Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2013 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8013 de Março de 2013

Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2013 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

PDF (206.6 KB)
5 páginas
1000+Número de visitas
Descrição
Vestibular de Matematica do Instituto Tecnológico de Aeronáutica do ano de 2013.
20pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 5
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Pré-visualização finalizada
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Pré-visualização finalizada
Consulte e baixe o documento completo
prova-vmat13-v04

NOTAÇÕES

N : conjunto dos números naturais C : conjunto dos números complexos

Z : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i2 = −1 R : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z ∈ C

Mm×n(R) : conjunto das matrizes reais m× n Re z : parte real do número z ∈ C det(M): determinante da matriz M [a, b] : {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}

M t : transposta da matriz M [a, b[ : {x ∈ R; a ≤ x < b}

AB : {x : x ∈ A e x /∈ B} ]a, b[ : {x ∈ R; a < x < b} k∑

n=0

anx n : a0 + a1x+ a2x

2 + ... + akx k, k ∈ N

k∑

n=0

an : a0 + a1 + a2 + ...+ ak, k ∈ N

Arg z : argumento principal de z ∈ C {0} , Arg z ∈ [0, 2π[ AC : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

AB : segmento de reta unindo os pontos A e B

A ∧

BC : ângulo formado pelos segmentos AB e BC, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Questão 01. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações:

I. A (B ∩ C) = (AB) ∪ (A C); II. (A ∩ C)B = A ∩BC ∩ C; III. (AB) ∩ (B  C) = (AB) C,

é (são) verdadeira(s)

A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas I e II.

D ( ) apenas I e III. E ( ) todas.

Questão 02. A soma das raízes da equação em C, z8 − 17z4 + 16 = 0, tais que z − |z| = 0, é

A ( ) 1. B ( ) 2. C ( ) 3. D ( ) 4. E ( ) 5.

Questão 03. Considere a equação em C, (z − 5 + 3 i)4 = 1. Se z0 é a solução que apresenta o menor argumento principal dentre as quatro soluções, então o valor de |z0| é

A ( ) √ 29. B ( )

√ 41. C ( ) 3

√ 5. D ( ) 4

√ 3 E ( ) 3

√ 6.

Questão 04. A soma de todos os números reais x que satisfazem a equação

8 √ x+1

+ 44 ( 2 √ x+1 ) + 64 = 19

( 4 √ x+1 )

é igual a

A ( ) 8. B ( ) 12. C ( ) 16. D ( ) 18. E ( ) 20.

docsity.com

Questão 05. Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações √ a √ b =

1

2 e ln(a2 + b) + ln 8 = ln 5,

um possível valor de a

b é

A ( )

√ 2

2 . B ( ) 1. C ( )

√ 2. D ( ) 2. E ( ) 3

√ 2.

Questão 06. Considere as funções f e g, da variável real x, definidas, respectivamente, por

f(x) = ex 2+ax+b e g(x) = ln

(ax 3b

) ,

em que a e b são números reais. Se f(−1) = 1 = f(−2), então pode-se afirmar sobre a função composta g ◦ f que

A ( ) g ◦ f(1) = ln 3. B ( ) ∄ g ◦ f(0). C ( ) g ◦ f nunca se anula. D ( ) g ◦ f está definida apenas em {x ∈ R : x > 0}. E ( ) g ◦ f admite dois zeros reais distintos.

Questão 07. Considere funções f, g, f + g : R→ R. Das afirmações:

I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora;

II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora;

III. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora;

IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora,

é (são) verdadeira(s)

A ( ) nenhuma. B ( ) apenas I e II. C ( ) apenas I e III.

D ( ) apenas III e IV. E ( ) todas.

Questão 08. Seja n > 6 um inteiro positivo não divisível por 6. Se, na divisão de n2 por 6, o quociente é um número ímpar, então o resto da divisão de n por 6 é

A ( ) 1. B ( ) 2. C ( ) 3. D ( ) 4. E ( ) 5.

Questão 09. Considere a equação 5∑

n=0

an x n = 0 em que a soma das raízes é igual a −2 e os

coeficientes a0, a1, a2, a3, a4 e a5 formam, nesta ordem, uma progressão geométrica com a0 = 1. Então 5∑

n=0

an é igual a

A ( ) −21. B ( ) −2 3 . C ( )

21

32 . D ( )

63

32 . E ( ) 63.

Questão 10. Seja λ solução real da equação √ λ+ 9 +

√ 2λ+ 17 = 12. Então a soma das soluções z,

com Re z > 0, da equação z4 = λ− 32, é

A ( ) √ 2. B ( ) 2

√ 2. C ( ) 4

√ 2. D ( ) 4. E ( ) 16.

docsity.com

Questão 11. Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito Ω. Se A e B são eventos de

Ω tais que p(A) = 1

2 , p(B) =

1

3 e p(A ∩ B) = 1

4 , as probabilidades dos eventos A  B, A ∪ B e

AC ∪ BC são, respectivamente,

A ( ) 1

4 , 5

6 e 1

4 . B ( )

1

6 , 5

6 e 1

4 . C ( )

1

6 ,

7

12 e 3

4 .

D ( ) 1

3 , 5

6 e 1

3 . E ( )

1

4 ,

7

12 e 3

4 .

Questão 12. Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda:

I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos.

II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos.

III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos.

Pode-se afirmar que

A ( ) dos três resultados, I é o mais provável.

B ( ) dos três resultados, II é o mais provável.

C ( ) dos três resultados, III é o mais provável.

D ( ) os resultados I e II são igualmente prováveis.

E ( ) os resultados II e III são igualmente prováveis.

Questão 13. Considere A ∈M5x5(R) com det(A) = √ 6 e α ∈ R {0}. Se det(αAtAAt) =

√ 6α2,

o valor de α é

A ( ) 1

6 . B ( )

√ 6

6 . C ( )

3 √ 36

6 . D ( ) 1. E ( )

√ 216 .

Questão 14. Sejam a um número real e n o número de todas as soluções reais e distintas x ∈ [0, 2π] da equação cos8 x− sen8 x+ 4 sen6 x = a. Das afirmações:

I. Se a = 0, então n = 0;

II. Se a = 1

2 , então n = 8;

III. Se a = 1, então n = 7;

IV. Se a = 3, então n = 2,

é (são) verdadeira(s)

A ( ) apenas I. B ( ) apenas III. C ( ) apenas I e III.

D ( ) apenas II e IV. E ( ) todas.

Questão 15. Se cos 2x = 1

2 , então um possível valor de

cotg x− 1 cossec(x− π)− sec(π − x) é

A ( )

√ 3

2 . B ( ) 1. C ( )

√ 2. D ( )

√ 3. E ( ) 2.

docsity.com

Questão 16. Uma reta r tangencia uma circunferência num ponto B e intercepta uma reta s num ponto A exterior à circunferência. A reta s passa pelo centro desta circunferência e a intercepta num

ponto C, tal que o ângulo A ∧

BC seja obtuso. Então o ângulo C ∧

AB é igual a

A ( ) 1

2 A ∧

BC. B ( ) 3

2 π − 2A

BC. C ( ) 2

3 A ∧

BC.

D ( ) 2A ∧

BC − π. E ( ) A ∧

BC − π 2 .

Questão 17. Sobre a parábola definida pela equação x2+2xy+y2−2x+4y+1 = 0 pode-se afirmar que

A ( ) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox.

B ( ) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox.

C ( ) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.

D ( ) a abscissa do vértice da parábola é x = −1. E ( ) a abscissa do vértice da parábola é x = −2

3 .

Questão 18. Das afirmações:

I. Duas retas coplanares são concorrentes;

II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas;

III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma das retas;

IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo,

é (são) verdadeira(s) apenas

A ( ) III. B ( ) I e III. C ( ) II e III.

D ( ) III e IV. E ( ) I e II e IV.

Questão 19. Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente,

√ 10,

√ 17 e 5 cm. O volume, em cm3, do sólido

VABC é

A ( ) 2. B ( ) 4. C ( ) √ 17. D ( ) 6. E ( ) 5

√ 10.

Questão 20. No sistema xOy os pontos A = (2, 0), B = (2, 5) e C = (0, 1) são vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro circular reto de altura 8. Para este cilindro, a razão volumeárea total da superfície ,

em unidade de comprimento, é igual a

A ( ) 1. B ( ) 100

105 . C ( )

10

11 . D ( )

100

115 . E ( )

5

6 .

AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES.

Questão 21. Para z = 1+ iy, y > 0, determine todos os pares (a, y), a > 1, tais que z10 = a. Escreva a e y em função de Arg z.

docsity.com

Questão 22. Determine o maior domínio D ⊂ R da função f : D→ R , f(x) = log x(π

4 −x)(4 senx cosx− 1).

Questão 23. Considere o polinômio P (m) = am2 − 3m − 18, em que a ∈ R é tal que a soma das raízes de P é igual a 3. Determine a raiz m de P tal que duas, e apenas duas, soluções da equação em x, x3 +mx2 + (m+ 4)x+ 5 = 0, estejam no intervalo ]− 2, 2[ .

Questão 24. Quantos tetraedros regulares de mesma dimensão podemos distinguir usando 4 cores distintas para pintar todas as suas faces? Cada face só pode ser pintada com uma única cor.

Questão 25. Considere o sistema na variável real x: {

x2 − x = α x− x3 = β.

(a) Determine os números reais α e β para que o sistema admita somente soluções reais.

(b) Para cada valor de β encontrado em (a), determine todas as soluções da equação x− x3 = β.

Questão 26. Considere o sistema nas variáveis reais x e y : {

x senα+ 3 y cosα = a x cosα+ y senα = b,

com α ∈ [0, π 2 [ e a, b ∈ R. Analise para que valores de α, a e b o sistema é (i) possível determinado, (ii)

possível indeterminado ou (iii) impossível, respectivamente. Nos casos (i) e (ii), encontre o respectivo conjunto-solução.

Questão 27. Encontre os pares (α, β) ∈ ]0, π 2 [× ]0, π

2 [ que satisfazem simultaneamente as equações

(tgα+ cotg β) cosα senβ − 2 cos2(α− β) = −1 e √ 3 sen(α+ β) + cos(α+ β) =

√ 3 .

Questão 28. Determine a área da figura plana situada no primeiro quadrante e delimitada pelas curvas

(y − x− 2)(y + x 2 − 2) = 0 e x2 − 2x+ y2 − 8 = 0.

Questão 29. Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente

ao vértice C, dividem o ângulo B ∧

CA em quatro ângulos iguais. Se l é a medida do lado oposto ao vértice C, calcule:

(a) A medida da mediana em função de l.

(b) Os ângulos C ∧

AB, A ∧

BC e B ∧

CA.

Questão 30. Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são, respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem uma progressão aritmética cuja soma é 12 cm. Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é igual a 10 cm3. Calcule:

(a) As medidas das arestas do paralelepípedo.

(b) O volume e a área total da superfície do paralelepípedo.

docsity.com

comentários (0)
Até o momento nenhum comentário
Seja o primeiro a comentar!
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome