Vestibular de Matemática - Universidade de São Paulo - 2006 - Fuvest, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8013 de Março de 2013

Vestibular de Matemática - Universidade de São Paulo - 2006 - Fuvest, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Vestibular de Matemática da Universidade de São Paulo do ano de 2006.
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estou de saco pletrico

Q.01 Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de 2 m por 2 m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o padrão quadrado de 18 cm por 18 cm, mostrado abaixo, será repetido tanto na horizontal quanto na vertical; e uma faixa mostarda, de 5 cm de largura, será bordada em toda a volta do tapete, como na figura.

a) Qual o tamanho do maior tapete quadrado, como descrito acima, que pode ser bordado na tela? Quantas vezes o padrão será repetido?

b) Se com um novelo de lã pode-se bordar 400 cm2, qual é o número mínimo de novelos de lã mostarda

necessário para confeccionar esse tapete?

Q.02 Um comerciante compra calças, camisas e saias e as revende com lucro de 20%, 40% e 30% respectivamente. O preço x que o comerciante paga por uma calça é três vezes o que ele paga por uma camisa e duas vezes o que ele paga por uma saia. Um certo dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas e duas saias e obteve um desconto de 10% sobre o preço total.

a) Quanto esse cliente pagou por sua compra, em função de x? b) Qual o lucro aproximado, em porcentagem, obtido pelo comerciante nessa venda?

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Q.03 Uma função f satisfaz a identidade ( ) ( )xafaxf = para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que

. Considere ainda a função para todo o número real x. ( ) 24f = ( ) ( ) 11xfxg +−=

a) Calcule . ( )3g

b) Determine , para todo x real. ( )xf c) Resolva a equação . ( ) 8xg =

Q.04 A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB.

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Q.05 Na figura abaixo, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo β mede 60o e

4 3αsen = .

a) Determine em função de AB. BÂOsen b) Calcule AB.

Q.06 Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura 2. Se a área da base deste novo sólido é 32 da área de B , determine seu volume.

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Q.07 No paralelogramo ABCD abaixo, tem-se que 3AD = e . Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado

o30BÂD =

DC e à bissetriz do ângulo . BÂD

a) Calcule AP. b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero ABCP é 21.

Q.08

Determine os números complexos z que satisfazem, simultaneamente, 2z = e 2 1

i1 izIm =⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛ + − .

Lembretes: ; se , com a e b reais, então 1i2 −= biaw += 22 baw += e ( ) bwIm = .

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Q.09 Considere o sistema linear nas variáveis zeyx, :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪

⎪ ⎪ ⎪

=+

=++

=++

0zsenycos

0zsenycosx

0zsenycosx

22

22

22

cc

bb

aa

a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear. b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais? c) Calcule as soluções do sistema quando e 1sen2 =a 51cos2 =c .

Q.10

a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos quais os gráficos de 1 x

12y −= e 06yx =−+ se

interceptam. b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz e que pertence à

reta . BĈABÔA =

2x =

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