Vestibular de Matemática -  Universidade Federal de Juiz de Fora - 2009 - UFJF, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
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Brasilia8013 de Março de 2013

Vestibular de Matemática - Universidade Federal de Juiz de Fora - 2009 - UFJF, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Vestibular de Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora do ano de 2009.
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Microsoft Word - Vestibular Fase 2 - MATEMÁTICA.doc

COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO - COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - PROGRAD

CONCURSO VESTIBULAR 2009 – 2ª Fase PROVA DE MATEMÁTICA

Pág. 1 de 6

Questão 1:

a) Enuncie o Teorema de Pitágoras.

b) Justifique por que a argumentação abaixo não pode ser considerada uma demonstração

para o Teorema de Pitágoras.

c) Demonstre o Teorema de Pitágoras.

QUESTÕES OBJETIVAS

Seja ABC um triângulo retângulo em B. Construa a altura BH , relativa à hipotenusa. Dos triângulos AHB e CHB tem-se:

2 2 2AB AH HB= + 2 2 2BC BH HC= +

A partir dessas igualdades obtém-se:

( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

22 2

2 2 2

2 Como tem-se:

AB BC AH HB BH HC

AB BC AH HB HC HB AH HC

AB BC AH HC

AB BC AC

+ = + + +

+ = + +

= ⋅

+ = +

+ =

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CONCURSO VESTIBULAR 2009 – 2ª Fase PROVA DE MATEMÁTICA

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Questão 2: Uma haste, de 4 m de comprimento, está deslizando numa parede, apoiada ao solo.

Veja a ilustração abaixo.

a) Encontre as coordenadas ( ),x y do ponto médio da haste, em função do ângulo α .

b) Determine o valor de α para o qual a diferença y x− , entre as coordenadas do ponto médio, seja igual a 2 .

α .

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Questão 3: Ao seccionarmos uma pirâmide triangular regular P, de aresta da base medindo 4 m,

por um plano π paralelo à sua base, foram obtidos dois sólidos: uma pirâmide T, cuja aresta da base mede 3 m, e um segundo sólido. A inclinação da aresta lateral de P em relação à sua base é igual a 60°. Determine a distância entre o plano π e o plano da base de P.

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Questão 4: Uma haste está sendo sustentada por um fio de 5,93 cm de comprimento. Esse fio

encontra-se tensionado e apoiado em uma roldana em forma de circunferência cuja equação é 2 2 10 6 33 0x y x y+ − − + = . As partes do fio que não se encontram em contato com a roldana são paralelas ao eixo y. A ordenada da extremidade B da haste é 2,14 cm. Veja a ilustração abaixo.

a) Determine as coordenadas do centro e o raio da roldana.

b) A extremidade A da haste encontra-se sobre o eixo x. Encontre a abscissa do ponto A. (Use a aproximação 3,14 para π )

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Questão 5: Considere os polinômios ( ) 5 4 3 22 7 15 8p x x x x ax bx= − + + + − e ( ) 2 4q x x= + na

variável x, com coeficientes inteiros. Sabe-se que eles têm pelo menos uma raiz em comum.

a) Determine os valores de a e b.

b) Encontre todas as raízes de ( )p x .

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Questão 6: Em um restaurante, um quilograma de comida custa R$ 25,00. Como política de

incentivo à fidelidade, em cada refeição, ele oferece um cupom para cada R$ 5,00 de comida consumida. Não é permitido somar consumos de dias diferentes para se ganhar cupons. Doze cupons acumulados valem um refrigerante que custa R$ 3,00.

a) Pedro consumiu diariamente 550 g nesse restaurante durante 4 dias. Determine o número

de cupons que Pedro acumulou ao final desses 4 dias.

b) Determine o desconto, em porcentagem, que Pedro obteria, caso pudesse converter os cupons já acumulados em dinheiro ao consumir 500 g em uma nova refeição.

c) Esboce o gráfico que representa o número de cupons ganhos em função do consumo (em gramas) em uma refeição.

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