Vestibular de Matemática -  Universidade Federal do Ceará - 2010 - UFC, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8013 de Março de 2013

Vestibular de Matemática - Universidade Federal do Ceará - 2010 - UFC, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Vestibular de Matemática da Universidade Federal do Ceará do ano de 2010.
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Prova de Física

Matemática

01.Considere a expressão x4 – x3 – 5x2 – x – 6. Pede-se:

A) encontrar o valor numérico da expressão para x = – 2.

B) obter todas as raízes complexas do polinômio p(x) = x4 – x3 – 5x2 – x – 6.

Questão 01 Comentários: A questão explora conhecimentos sobre aritmética, álgebra elementar, números complexos e polinômios.

A) A substituição direta fornece

(–2)4 – (–2)3 – 5(–2)2 – (–2) – 6 = 16 – (–8) – 5⋅ 4 + 2 – 6 = 16 + 8 – 20 + 2 – 6 = 0.

B) Pelo item A), uma das raízes de p(x) é – 2. Portanto p(x) é divisível por x – (–2) = x + 2, e, efetuando tal divisão, obtemos

p(x) = (x + 2)(x3 – 3x2 + x – 3).

A partir disso, há duas abordagens possíveis.

i. Observando que x3 – 3x2 + x – 3 = (x3 + x) – (3x2 + 3)

= x(x2 + 1) – 3(x2 + 1) = (x2 + 1)(x – 3),

concluímos que as demais raízes de p(x) são as raízes complexas dos polinômios x2 + 1 ou x – 3, isto é, são ± i e 3.

ii. Aplicando o critério de pesquisa de raízes racionais ao polinômio q(x)= x3 – 3x2 + x – 3, concluímos

que suas possíveis raízes racionais são da forma b a

, em que a e b são inteiros tais que a é divisor de 3

e b é divisor de 1. Portanto, as possíveis raízes racionais de q(x) são –3, –1, 1 ou 3. Testando tais possibilidades, concluímos que 3 é raiz de q e então obtemos q(x) = (x2 + 1)(x – 3). O resto se dá como em (i).

Pontuação: O item A vale até dois pontos; o item B vale até oito pontos.

02.Os números reais a, b e y são tais que a ≠ 0 e ysenbycosa ≠ . Se ysenbycosa ycosbysena

xtg − += ,

calcule o valor de tg(xy) em função de a e b somente.

Questão 02 Comentários: A questão explora conhecimentos sobre trigonometria. Solução 1. Note inicialmente que

tgxtgy = ⇔ 1

−=

 

 − +

ycos ysen

ysenbycosa ycosbysena

ycos)ysenbycosa(ysen)ybcosysena( −−=+⇔

,aycosaysena 0 22 =⇔−=⇔

o que não ocorre. Portanto, podemos aplicar a fórmula de adição ytg.xtg ytgxtg

)yx(tg +

−=− 1 .

Substituindo a expressão para tgx na mesma fórmula, obtemos sucessivamente

CCV/UFC/Vestibular 2010 – 2ª Etapa – Matemática Pág. 1 de 6docsity.com

ytg

ysenbycosa ycosbysena

ytg ysenbycosa ycosbysena

ytg.xtg ytgxtg

)yx(tg



 

 − +

+

− − +

= +

− =−

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) a

b

ysenaycosa

ysenbycosb ysenycosbysenaycosysenbycosa ysenysenbycosaycosycosbysena =

+

+= ++− −−+= 22

22

Solução 2. Denote c = 22 ba + , e seja ),[ π∈θ 20 o arco trigonométrico tal que c acos =θ e

c bsen =θ . Então, θ= cosca e θsencb= , donde segue que

)y(tg )y(cos )y(sen

ysensencycoscosc ycossencysencosc

xtg +θ= +θ +θ=

θ−θ θ+θ= .

Logo, existe um inteiro k tal que π=+θ− k)y(x , ou ainda π+θ=− kyx , e segue daí que

tg(xy) = )k(tg π+θ . a btg =θ=

Pontuação: Até dez pontos.

03. Calcule o menor valor inteiro de n tal que 2n > 520, sabendo que 0,3 < log102 < 0,302.

Questão 03 Comentários: A questão aborda conhecimentos sobre logaritmos.

Tomando logaritmos decimais em ambos os membros da desigualdade desejada, obtemos

2n > 520 ⇔ log102n > log10520 ⇔ n⋅ log102 > 20⋅ log105 ⇔ n⋅ log102 > 20(1 – log102)

n > 20 .log   

 

 −1

2 1

10

Utilizando as estimativas do enunciado, obtemos

47 3

1401 3

10201 30

1201 2

120 10

<=  

  −=

 

  −<

 

 −

,log

e

. ,log

46 151 69801

302 1000201

3020 1201

2 120 10

>=  

  −=

 

  −>

 

 −

Portanto, o menor valor possível de n é 47. Pontuação: Até dez pontos.

CCV/UFC/Vestibular 2010 – 2ª Etapa – Matemática Pág. 2 de 6docsity.com

04.Poupêncio investiu R$ 1000,00 numa aplicação bancária que rendeu juros compostos de 1% ao mês, por cem meses seguidos. Decorrido esse prazo, ele resgatou integralmente a aplicação. O montante resgatado é suficiente para que Poupêncio compre um computador de R$ 2490,00 à vista? Explique sua resposta.

Questão 04 Comentários: A questão aborda conhecimentos sobre matemática financeira, sequências e binômio de Newton. Para ver por que o dinheiro de que Poupêncio dispunha após os cem meses foi suficiente para a compra, observe-se que, se o montante investido em um certo mês fosse x reais, no mês seguinte

Poupêncio teria x + (1%)x = x  

  +

100 11 reais. Portanto, a sequência que define a evolução do

montante aplicado é uma progressão geométrica de razão 100

11+ e termo inicial 1000, de maneira

que Poupêncio resgatou, após cem meses, um total de 100

100 111000 

 

  + reais. Esse total é certamente

maior que 2490 reais, pois a fórmula do binômio de Newton nos dá

kk k 100

11001000 100

111000 1000 100

∑ 

 

 =

 

  + =

  

  



 

 +

 

 +

 

 >

210 100

1 2

100

100

1 1

100

100

1 0

100 1000

= .2495 200 9921000 =

 

  +

Pontuação: Até dez pontos.

05.Em um sistema Cartesiano de origem O, seja P o ponto de coordenadas (1, 2) e r uma reta que passa por P e intersecta os semieixos positivos das abscissas e ordenadas, respectivamente, nos pontos A e B. Calcule o menor valor possível para a área do triângulo AOB.

Questão 05 Comentários: A questão aborda conhecimentos sobre geometria analítica, funções de segundo grau e álgebra elementar.

Se A(a, 0), B(0, b) e S denota a área de AOB, então a, b > 0 e S =

2 ab

. Por outro lado, a

equação da reta r no sistema Cartesiano em questão é 1=+ b y

a x

, e, como P r, devemos ter

121 =+ ba

. A partir disso, há duas possíveis abordagens.

i. S será mínima se e somente se S2 1

for máxima. Como

S2 1

= ba 11 ⋅ =

bb 121 

 

  − = (1 – 2u)u = – 2u2 + u,

em que u = b 1

, é suficiente maximizarmos, para u > 0, a função f (u) = – 2u2 + u. A teoria de máximos

e mínimos de funções de segundo grau garante que o valor máximo de tal função é 8 1

, valor atingido

quando u = 4 1

. Portanto, o valor máximo para S2 1

é 8 1

, e daí obtemos que o valor mínimo para S é

4.

CCV/UFC/Vestibular 2010 – 2ª Etapa – Matemática Pág. 3 de 6docsity.com

ii. Isolando a em função de b, obtemos a = 2−b

b ; como a > 0, temos b – 2 > 0, e daí

2S = ab = 2

2

b b =

2 42 −

++ b

b

= 4 2

42 + −

+− b

b

( ) 84 2

422 =+ −

⋅−≥ b

b ,

em que utilizamos a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica para dois números reais

positivos na última passagem acima. Portanto, S 4≥ , sendo o valor 4 atingido quando b – 2 = 2

4 −b

,

isto é, quando b = 4. Pontuação: Até dez pontos.

06. Temos, em um mesmo plano, uma reta r e um triângulo ABC, de lados AB = 3 cm, AC = 4 cm e BC = 5 cm, situado de tal forma que o lado AC é paralelo à reta r, distando 3 cm dela. Calcule, em cm3, os possíveis valores para o volume V do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo ABC em torno da reta r.

Questão 06 Comentários: A questão explora conhecimentos sobre geometria espacial e geometria plana. Inicialmente, como 32 + 42 = 52, a recíproca do teorema de Pitágoras garante que ABC é retângulo em A. Portanto, o ponto D, de interseção da reta r com a reta suporte do lado AB, coincide com o pé da perpendicular baixada de B (ou de A) a r. Seja E o pé da perpendicular baixada de C a r. Há dois casos a considerar:

a) B e D coincidem: neste caso, temos V = V1 – V2, em que V1 é o volume do cilindro circular reto de geratriz AC e raio da base CE e V2 o volume do cone circular reto de altura DE e raio da base CE. Em

cm3, V1 = π=π 36432.. e V2 = π=π 1243 3 1 2.. ; logo, V = .π=π−π 241236

b) A é o ponto médio do segmento BD: sendo F a interseção de r com a reta suporte do lado BC, temos V = V3 – (V1 + V4), em que V3 é o volume do cone circular reto de altura DF e raio da base BD e V4 o volume do cone circular reto de altura EF e raio da base CE. Agora, a semelhança dos triângulos

CEF e BDF garante que EF = 4 cm, daí DF = 8 cm. Portanto, em cm3 temos V3 = π=π 9686 3 1 2..

e V4 = V2 = 12π , de maneira que V = 96π – (36π + 12π ) = 48π .

Pontuação: Até dez pontos.

CCV/UFC/Vestibular 2010 – 2ª Etapa – Matemática Pág. 4 de 6docsity.com

07.Os inteiros não todos nulos m, n, p, q são tais que 190756045 =qpnm ... . Pede-se:

A) dar exemplo de um tal quaterno (m, n, p, q).

B) encontrar todos os quaternos (m, n, p, q) como acima, tais que m + n + p + q = 8.

Questão 07 Comentários: A questão explora conhecimentos sobre aritmética e sistemas lineares. Escrevendo 45 = 32⋅ 5, 60 = 22⋅ 3⋅ 5, 75 = 3⋅ 52 e 90 = 2⋅ 32⋅ 5, obtemos

1 = (32⋅ 5)m(22⋅ 3⋅ 5)n(3⋅ 52)p(2⋅ 32⋅ 5)q = 22n + q32m + n + p + 2q5m + n + 2p + q,

e, a partir daí, o sistema linear homogêneo de equações

 

  

=+++ =+++

=+

.qpnm qpnm

qn

02 022

02

A primeira equação do sistema nos dá q = –2n. Substituindo essa relação nas duas outras equações e escrevendo-as como um sistema linear em m e p, obtemos

  

=+ =+

.npm npm 2

32

Resolvendo o sistema para m e p, obtemos m = 3

5n e p = –

3 n

.

a) Fazendo n = 3, obtemos a possibilidade m = 5, n = 3, p = – 1, q = – 6. b) Como m + n + p + q =

3 5n

+ n – 3 n

– 2n = 3 n

, devemos ter 3 n

= 8, e daí n = 24, m = 40,

p = – 8, q = – 48.

Pontuação: O item A vale até seis pontos; o item B vale até quatro pontos.

08.ABC é um triângulo retângulo em A, com catetos AB e AC de medidas respectivamente iguais a 3 cm e 4 cm. Com centros em B e em C, traçamos dois círculos β e γ , de raios respectivamente 3 cm e 4 cm, e, em seguida, uma reta r que passa por A e intersecta β e γ respectivamente nos pontos P e Q, com P, QA. Calcule o maior valor possível do produto dos comprimentos dos segmentos PA e QA.

Questão 08 Comentários: A questão aborda conhecimentos sobre geometria plana e funções trigonométricas.

Se ∠ PAB =

θ , então ∠ QAC = θ−090 . Como os triângulos PAB e QAC são isósceles de

bases PA e QA, respectivamente, a trigonometria de triângulos retângulos nos dá PA = 6 cos θ e QA = 8 cos ( )θ−090 = 8 senθ . Logo,

PAQA = 48 cosθ senθ = 24 sen(2θ),

de maneira que o maior valor possível para PAQA é 24 cm2, obtido quando 045=θ . Pontuação: Até dez pontos.

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