Vestibular de Matemática - Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro - 2009 - UniRio, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
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Brasilia8013 de Março de 2013

Vestibular de Matemática - Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro - 2009 - UniRio, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Vestibular de Matemática da Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro do ano de 2009.
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UNIRIO - Vestibular 2009

Solução da Prova Discursiva de Matemática

1a Questão Temos sen2θ = 2senθcosθ.

Como cosθ = 12

13 ⇒ senθ =

√ 1−

( 12

13

)2 =

√ 25

169 =

5

13 , segue-se que

A = v20 g 2senθcosθ =

100

10 .2.

5

13 . 12

13 =

1200

169 m.

2a Questão Considere o complexo z1, cuja representação no plano de Gauss coincide com o vértice A do quadrado.

Temos |z1| = OA = 1

2

√ 4 + 4 =

√ 2 e o argumento de z1 é 15

o,

portanto, a forma trigonométrica de z1 é z1 = √ 2(cos15o + i sen15o) e

z = z41 = 4(cos60 o + isen60o)⇒ z = 2 + 2

√ 3 i.

3a Questão Sejam α e β as ráızes da equação x2 + x+ a = 0. Observe que α+ β = −1 e αβ = a, logo, α2 + β2 = (α + β)2 − 2αβ = (−1)2 − 2a = 1− 2a e 1

α +

1

β =

α+ β

αβ = −1 a

.

Temos 1− 2a = −1 a ⇒ 2a2 − a− 1 = 0⇒ a = 1 ou a = −1

2 ⇒ a = 1,

pois a > 0.

4a Questão Há três possibilidades para colocarmos o 1 na primeira linha do quadrado latino. Após a colocação do 1, há duas possibilidades para colocarmos o 2 na primeira linha e, na coluna em que o 1 foi colocado, há também 2 possibilidades para a colocação do 2. A partir dáı ficam bem determinadas as posições dos outros 6 números no quadrado latino. Pelo Prinćıpio Multiplicativo o total de quadrados latinos é 3.2.2 = 12.

5a Questão Como as moradias têm a mesma altura, a altura h do cone é igual ao raio

r2 da semi-esfera. Temos πr21r2 3

= 4πr32 6

⇒ r1 r2

= √ 2.

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6a Questão A equação da reta r ⊥ s é y = −x+ p. D = (10, 2) ∈ r ⇒ 2 = −10 + c⇒ c = 12. Logo, a reta r tem equação y = −x+ 12. O ponto B pertence à interseção das retas r e s, assim,as suas coordenadas

são a solução do sistema

{ y = x

y = −x+ 12 ⇒ B = (6, 6).

O ponto C é ponto médio de BD, assim, as coordenadas de C são

xC = 10 + 6

2 = 8 e yC =

2 + 6

2 = 4 e .

O raio r das circunferências satisfaz 4r = BD = √ (10− 6)2 + (2− 6)2

= 4 √ 2⇒ r =

√ 2.

A abscissa do ponto A satisfaz xA = 6− 2rcos45o = 6− 2 √ 2

√ 2

2 = 4.

Como E é ponto médio de AC, suas coordenadas são xE = 8 + 4

2 = 6 e

yE = 4 + 4

2 = 4, ou seja, E = (6, 4).

7a Questão Seja B a matriz a matriz obtida da matriz A pela troca de todos os sinais da 1a linha.

A inversa da matriz X =

[ −1

5 −4

5 2 5

3 5

] é a matriz X−1 =

[ 3 4 −2 −1

] .

Logo, B =

[ 0 1 1 0

] [ 3 4 −2 −1

] =

[ −2 −1 3 4

] ⇒ A =

[ 2 1 3 4

] .

8a Questão Temos (2, 32− x)1000000 = 600000⇒ x = 2, 32− 0, 6 = 1, 72. Portanto, a empresa vendeu 1 dólar por R$ 1,72.

9a Questão Observe que, na seqüência, há um 1, dois 2, três 3, quatro 4 e assim sucessivamente, nesta ordem. Portanto o inteiro k aparece pela primeira

vez na seqüência como o termo 1 + 2 + . . .+ (k − 1) + 1 = (k − 1)k 2

+ 1.

Em particular, o primeiro 100 ocupa a posição (99)100

2 + 1 = 4951.

10a Questão O raio r do ćırculo inscrito ao triângulo retângulo ABC de hipotenusa a

e catetos b e c é dado por r = p−a, onde p = a+ b+ c 2

é o semipeŕımetro.

Como a = √ b2 + c2, temos 4 = b+ c− a = 5+ c−

√ 25 + c2 ⇒

√ 25 + c2

= 1 + c⇒ 25 + c2 = 1 + 2c+ c2 ⇒ 2c = 24⇒ c = 12. Portanto, a área do triângulo retângulo ABC é S =

bc

2 =

60

2 = 30.

2

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