Vetores - Apostilas - Química_Parte1, Notas de estudo de Química. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)
Paulo89
Paulo895 de Março de 2013

Vetores - Apostilas - Química_Parte1, Notas de estudo de Química. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)

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Apostilas e exercicios de Química sobre o estudo do Vetores.
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Capítulo 3

Cálculo Vetorial

O objetivo deste capítulo é o estudo de “vetores” de um ponto de vista geométrico e

analítico. De acordo com a necessidade, a abordagem do assunto será formal ou informal.

O estudo axiomático é visto em cursos de Introdução à Álgebra Linear.

3.1 Segmentos Orientados

Sejam e dois pontos, com 6= . A única reta que passa por e é chamada de reta suporte.

Um segmento de reta determinado por e , denotado por , é o conjunto de

pontos formado por e e os pontos da reta suporte que estejam entre e . Neste

caso, e chamam-se os pontos extremos.

Um segmento orientado é um segmento  mais a escolha de um de seus extremos.

O extremo escolhido é chamado origem ou ponto inicial do segmento orientado e o outro

é chamado de extremidade ou ponto …nal. Se é o extremo escolhido, denotaremos por ¡! . Formalmente, um segmento orientado

¡!  pode ser de…nido como um par (;),

formado pelo segmento  e um ponto inicial .

Observação 3.1 1. Um segmento orientado pode ser visualizado como uma ‡exa cuja cauda representa o ponto inicial e a cabeça representa o ponto …nal.

51

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52 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

2. Os pontos são também considerados como segmentos orientados e, nesse caso, chama-

dos de segmentos nulos. Assim, o ponto  pode ser identi…cado com o segmento

orientado ¡! 

3. Dois segmentos orientados ¡!  e

¡¡!  são chamados colineares se eles têm a mesma

reta suporte.

O comprimento ou a norma do segmento orientado ¡! , denotado por

°°°¡! °°°, é o

comprimento do segmento , isto é, a distância entre os pontos e .

Observação 3.2 Se °°°¡!

°°° = 0, então  = .

Sejam ¡!  e

¡¡!  segmentos orientados não nulos. Dizemos que eles têm a mesma

direção se as respectivas retas suporte são paralelas (podendo ser coincidentes).

Note que, na ilustração, ¡!  e

¡¡!  têm a mesma direção, enquanto

¡!  e

¡!  não têm.

Dado o segmento orientado não nulo ¡!  e 0 um ponto fora de sua reta suporte,

dizemos que ¡¡! 00 é uma translação paralela de

¡!  se

¡! , tem a mesma direção que

¡¡! 00, e

¡¡! 0, tem a mesma direção que

¡¡! 0 ou, em outras palavras, se 00é um

paralelogramo.

Sejam ¡!  e

¡¡!  segmentos orientados não nulos. Dizemos que eles têm o mesmo

sentido se uma das a…rmações ocorre: 1) têm a mesma direção, são não colineares e ¡!  \ ¡¡! = ;; 2) são colineares e, dada a translação paralela

¡¡! 00 de

¡¡! ,

¡!  e

¡¡! 00

têm mesmo sentido.

Se ¡!  \ ¡¡! 6= ;, no primeiro caso, ou se

¡¡!  0 \

¡¡! 0 6= ;, no segundo caso,então

dizemos que ¡!  e

¡¡!  têm sentido opostos.

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3.1. SEGMENTOS ORIENTADOS 53

Observação 3.3 1. Note que, na ilustração, ¡!  e

¡¡!  têm mesmo sentido, enquanto

¡!  e

¡¡!  têm sentidos opostos.

Observação 3.4 Não se comparam sentidos de segmentos orientados que possuem di- reções diferentes. No caso do segmento orientado nulo, a direção e o sentido são in-

de…nidos.

Sejam ¡!  e

¡¡!  segmentos orientados não nulos. Dizemos que

¡!  e

¡¡!  são equipo-

lentes (ou equivalentes), denotado por ¡!  » ¡¡!, se ambos são segmentos nulos ou então

se eles têm o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido, isto é, se um

pode ser obtido do outro por uma translação paralela.

Proposição 3.5 Sejam  e  dois pontos.

1. ¡!  » ¡!; (re‡exividade)

2. Se ¡!  » ¡¡!, então ¡¡! » ¡!; (simétria)

3. Se ¡!  » ¡¡! e ¡¡! » ¡! , então ¡! » ¡! ; (transitividade)

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54 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

4. ¡!  » ¡¡! e ¡! não colinear a ¡¡! se, e somente se, ¡! e ¡¡! determinam um paralelogramo.

5. Dados um segmento orientado ¡!  e um ponto  , existe um único ponto  tal que

¡!  » ¡!. ¥

3.2 Vetores

Um vetor ou vetor livre determinado por um segmento orientado ¡!  é a classe de

todos os segmentos orientados que são equivalentes a ¡! .

Observação 3.6 1. Note a diferença entre um segmento orientado e um vetor. Um segmento orientado é um segmento de reta direcionado, o qual é …rmemente …xado e

tem um ponto inicial e …nal bem de…nidos, enquanto um vetor é uma classe inteira

de segmentos, onde cada um deles é chamado representante do vetor e denotado por ¡! .

2. Quando visualizamos um vetor ¡! , usualmente fazemos desenhando uma única ‡exa, mas com o entendimento que, esta ‡exa representando ¡! é deteminada, a menos de translações paralelas, e podendo ser livremente movida paralela a ela própria.

Se ¡!é representado por um segmento orientado ¡!, denotaremos por ¡!= ¡!. Sejam ¡!e ¡!vetores determinados por ¡! e ¡¡!, respectivamente. Dizemos que ¡!

e ¡! são iguais, denotado por ¡!= ¡!, se, e somente se, ¡! » ¡¡!.

Exemplo 3.7 Na …gura acima temos que ¡!  =

¡¡!  =

¡!  . Isto signi…ca que os pontos

 e  têm a mesma posição mútua como os pontos  e  ou  e  .

É conveniente, às vezes, expressar a posição mútua de dois pontos e , considerando

as posições de e relativas a um ponto de referência …xado 0, chamado de origem.

Mais precisamente: suponhamos que um ponto de referência …xado 0 no “espaço” seja

escolhido. Então:

1. Para cada vetor ¡!existe um único segmento orientado representando ¡!, o qual origina-se de 0. Reciprocamente, cada segmento orientado originando-se em 0 rep-

resenta um único vetor ¡!, a saber, a classe de todas as suas translações paralelas.

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3.3. ADIÇÃO DE VETORES 55

Conclusão: Existe uma correspondência biunívoca entre vetores e segmentos ori- entados originando-se em 0.

2. Para cada ponto no “espaço” existe um único segmento orientado, a saber, ¡! 0.

Reciprocamente, cada segmento orientado originando-se em 0 determina um único

ponto no “espaço”, a saber, sua cabeça.

Conclusão: Existe uma correspondência biunívoca entre segmentos orientados originando-se em 0 e pontos no “espaço.”

O segmento orientado ¡!  é chamado o vetor posição do ponto relativo à origem

. Usualmente denotaremos pontos por letras maiúsculas e os correspondentes vetores

posições por letras minúsculas. Assim escrevemos

¡!= ¡!¡!= ¡¡!¡!= ¡! e ¡!0 = ¡! o vetor nulo

3.3 Adição de Vetores

Sejam , e três pontos tais que ¡!= ¡! e ¡!= ¡¡!. A soma de ¡!e ¡!, denotada por ¡!+¡!, é de…nida por

¡!+¡!= ¡!

Vamos mostrar que a soma de dois vetores está bem de…nida, isto é, não depende da

escolha do ponto . De fato, suponhamos que

¡!  =

¡¡! 00 e

¡¡!  =

¡¡! 00

Então ¡!  =

¡!  +

¡¡!  =

¡¡! 00 +

¡¡! 00 =

¡¡! 00

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56 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Observação 3.8 (Regra do Paralelogramo) Note que ¡!+¡!= ¡!+¡! é a diagonal do paralelogramo gerado por ¡! e ¡! .

O vetor inverso (ou o oposto) de um vetor ¡!, denotado por ¡¡!, é o vetor obtido de ¡!mudando apenas o sentido. Assim, se ¡!= ¡!, então ¡¡!= ¡!.

Proposição 3.9 Sejam ¡! , ¡! e ¡! vetores quaisquer. Então:

1. ¡!+ (¡!+¡!) = (¡!+¡!) +¡!;

2. ¡!+¡!= ¡!+¡!;

3. ¡!+¡!0 = ¡!(o vetor nulo é o elemento neutro da adição);

4. ¡!+ (¡¡!) = ¡!0 (o vetor inverso é o elemento inverso da adição).

Prova. Vamos provar apenas o item 1. Observando as …guras, obtemos o resultado. ¥

Sejam ¡!e ¡!vetores quaisquer. A diferença entre ¡!e ¡!é de…nida como

¡! ¡ ¡!= ¡!+ (¡¡!)

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3.3. ADIÇÃO DE VETORES 57

Assim, se ¡!= ¡! e ¡!= ¡¡!, então ¡!¡ ¡!= ¡!, pois ¡!+¡! = ¡¡! implica que ¡!  =

¡!  +

¡! 0

= ¡!  +

³¡! + (¡¡!)

´

= ³¡!  +

¡! 

´ + (¡¡!)

= ¡¡!  + (¡¡!)

= ¡! ¡ ¡! 

Observação 3.10 As propriedades associativa e comutativa da adição de vetores impli- cam que uma soma de um certo número de vetores é independentente da maneira pela

qual estes vetores são combinados ou associados. Por exemplo, se ¡! , ¡! , ¡! e ¡! são vetores quaisquer, então

(¡!+¡!) + (¡!+¡!) = [¡!+ (¡!+¡!)] +¡!)

e esta pode ser escrita sem confusão como

¡!+¡!+¡!+¡! 

Exemplo 3.11 Sejam ¡! , ¡! e ¡! vetores quaisquer tais que ¡!+¡!= ¡! . Mostrar que ¡!= ¡!¡ ¡! .

Solução.

¡!= ¡!+¡!0 = ¡!+ [¡!+ (¡¡!)] = [¡!+¡!] + (¡¡!) = ¡!¡ ¡! 

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58 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Exemplo 3.12 Sejam , , ,  e  os vértices de um polígono (fechado). Mostrar que

¡!  +

¡¡!  +

¡¡!  +

¡¡!  +

¡!  =

¡! 0

Solução. Vamos primeiro construir o polígono.

Pela …gura, obtemos que ¡!  +

¡¡!  +

¡¡!  +

¡¡!  =

¡! 

Como ¡!  +

¡!  =

¡!  =

¡! 0 temos que

¡!  +

¡¡!  +

¡¡!  +

¡¡!  +

¡!  =

³¡!  +

¡¡!  +

¡¡!  +

¡¡! 

´ +

¡! 

= ¡!  +

¡! 

= ¡! 0

Exemplo 3.13 Sejam , ,  e  os vértices de um tetraedro. Se ¡!= ¡!, ¡!= ¡! e

¡! =

¡¡! . Escreva os vetores

¡¡! ,

¡¡!  e

¡¡!  em termos dos vetores ¡! , ¡! e ¡! .

Solução. Vamos primeiro construir o tetraedro.

Pela …gura, obtemos que

¡!  =

¡!  +

¡¡!  ) ¡¡! = ¡!¡ ¡!

¡¡!  =

¡!  +

¡¡! ) ¡¡! = ¡!¡ ¡!

¡¡!  =

¡!  +

¡¡! ) ¡¡! = ¡!¡ ¡! 

3.4 Multiplicação por escalar

A segunda operação que queremos introduzir é a multiplicação de um vetor por um

número real (um elemento de R). Neste contexto, os números reais são chamados de escalares.

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3.4. MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR 59

Sejam ¡!um vetor qualquer e um escalar (2 R). O produto de por ¡!, denotado por ¡!, é o vetor obtido de ¡!mudando o comprimento de ¡!pelo fator , mantendo o mesmo sentido, se é positivo e invertendo-o se é negativo. Nesse caso, k¡!k = jj k¡!k. frequentemente, denotaremos por ¡!

o vetor 1

¡!, para 2 R¤.

Proposição 3.14 Sejam ¡! , ¡! vetores quaisquer e ,  escalares quaisquer. Então:

1. (¡!) = ()¡!;

2. (+ )¡!= ¡!+ ¡!;

3. (¡!+¡!) = ¡!+ ¡!;

4. 1¡!= ¡!;

5. Se  = 0 ou ¡!= ¡!0 , então ¡!= ¡!0 ;

6. Se ¡!= ¡!0 , então  = 0 ou ¡!= ¡!0 .

Prova. Vamos provar apenas o item 3. Se = 0, nada há para ser provado. Se 6= 0, então observando as …guras e usando semelhança de triângulos, obtemos o resultado. ¥

Sejamepontos distintos e2 . A razão simples ou razão de divisão (;) é um escalar tal que

¡¡!  =

¡¡! 

Observação 3.15 1. Se ¡!= ¡!, ¡!= ¡¡! e ¡!= ¡¡! com relação a uma origem qualquer , então

¡!¡ ¡!= (¡!¡ ¡!) ) ¡!= ¡!+ ¡!1 +

 se  6= ¡1

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60 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Neste caso, °°°¡¡! °°°

°°°¡¡! °°° = jj

2. Se (;) = , dizemos que  divide o segmento  na razão . Em particular,

se  = 1, dizemos que  é o ponto médio do segmento . Em termos de vetores

posições signi…ca que

¡!= ¡!+¡!2

3. Seja  é a reta suporte de  e . Sejam  2  e  = (;). Se  2 , então 0   1. Se  2 , então ou  está à esquerda de , neste caso, ¡1    0 ou  está à direita de , neste caso,   ¡1. Além disso, se  = , então  = 0 e se  = , então  =1.

Exemplo 3.16 Mostrar que as diagonais de um paralelogramo interceptam-se ao meio.

1Solução. Sejam , , , os vértices do paralelogramo e , os pontos médios das diagonais  e , como mostra a …gura.

Expressando todos em termos de vetores posições em relação a uma origem qualquer ,

obtemos que

¡!= ¡!+¡!2

e ¡!= ¡! +

¡!

2

Como ¡! ¡ ¡!= ¡(¡!¡ ¡!) temos que

¡!¡ ¡!= ¡! +

¡!

2 ¡

¡!+¡!2

= ( ¡! ¡ ¡!) + (¡!¡ ¡!)

2

= ¡! 0

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3.4. MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR 61

Assim, ¡¡!  =

¡¡!  +

¡¡!  =

¡¡!  ¡ ¡¡! = ¡!¡ ¡!= ¡!0

Portanto, = .

2Solução. Sejam ¡!= ¡! e¡!= ¡¡!. Então

¡¡!  =

¡!  +

¡¡! 

= ¡!+ 1 2 ( ¡! ¡ ¡!)

= ¡!+¡!2

= ¡¡! 

Logo, ¡¡!  =

¡¡! +

¡¡!  =

¡¡! +

¡¡!  =

¡¡!  =

¡! 0

Portanto, = .

Exemplo 3.17 Mostrar que em um quadrilátero qualquer, os pontos médios dos lados formam um paralelogramo.

1.Solução. Sejam , , , os vértices do quadrilátero e , , , os pontos médios, como mostra a …gura.

Expressando todos em termos de vetores posições em relação a uma origem qualquer ,

obtemos que

¡!= 1 2 (¡!+¡!)¡!= 1

2 ( ¡! +¡!)

¡!= 1 2 (¡!+¡!) e ¡!= 1

2 ( ¡! +¡!)

Logo,

¡!¡ ¡!= 1 2 (¡!¡ ¡!) = ¡!¡ ¡!) ¡! = ¡! e

¡!¡ ¡!= 1 2 ( ¡! ¡ ¡!) = ¡!¡ ¡!) ¡! = ¡!

Portanto, o quadrilátero  é um paralelogramo.

2.Solução. Pela …gura, obtemos que

¡!  =

¡¡!  =

1

2

¡! 

¡¡!  =

¡!  =

1

2

¡¡! 

¡!  =

¡¡!  =

1

2

¡¡!  e

¡!  =

¡!  =

1

2

¡¡! 

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62 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Como ¡!  +

¡¡!  +

¡¡!  +

¡¡!  =

¡! 0

¡!  =

¡¡!  +

¡¡!  e

¡!  =

¡¡!  +

¡! 

temos que

¡! +

¡!  =

¡¡!  +

¡¡! +

¡¡!  +

¡! 

= 1

2

³¡!  +

¡¡!  +

¡¡!  +

¡¡! 

´

= 1

2

¡! 0 =

¡! 0

Logo,

¡!  =

¡! 0 +

¡! 

= ³¡! +

¡! 

´ +

¡! 

= ¡! +

³¡!  +

¡! 

´

= ¡! +

¡! 0 =

¡! 

De modo análogo, mostra-se que ¡!  =

¡! . Portanto, o quadrilátero  é um

paralelogramo.

EXERCÍCIOS

1. Sejam , e três pontos. Seja um ponto no segmento  tal que °°°¡!

°°° °°°¡¡!

°°° =

 

Escreva o vetor ¡!  em termos dos vetores

¡!  e

¡¡! .

2. Sejam  um paralelogramo e , os pontos médios dos lados  e ,

respectivamente. Mostrar que

¡¡!  +

¡¡!  =

3

2

¡! 

3. Seja  um paralelogramo. Junte o vértice com os pontos médios dos lados

 e , respectivamente. Mostrar que as duas retas assim obtidas divide a

diagonal  em três partes iguais.

4. Sejam  e  dois segmentos que interceptam-se em . Se é o ponto médio

destes segmentos Mostrar que  é um paralelogramo.

5. Sejam  um triângulo equilátero e, os pontos médios dos lados  e ,

respectivamente. Mostrar que  é também um triângulo equilátero.

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3.4. MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR 63

6. Seja  um triângulo qualquer. Sejam um ponto no lado  e um ponto

no lado  tais que ¡¡!  =

1

3

¡!  e

¡¡!  =

2

3

¡! 

Escreva o vetor ¡¡!  em termos dos vetores

¡!  e

¡¡! .

7. Seja  um triângulo qualquer. Sejam , e os pontos médios dos lados

,  e , respectivamente, e um ponto qualquer no interior deste triângulo.

Mostrar que ¡¡!  +

¡¡!  +

¡¡!  =

¡! +

¡¡!  +

¡! 

8. Sejam  um triângulo qualquer e um ponto qualquer no lado  tal que ¡¡!  =

¡¡!  com 6= ¡1. Escreva ¡¡! em termos de ¡! e ¡¡!.

9. Mostrar que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo

qualquer é paralelo ao terceiro lado e tem a metade do comprimento deste.

10. Use o resultado do exercício anterior para mostrar que em um quadrilátero qualquer,

os pontos médios dos lados formam um paralelogramo.

11. Seja  um trapézio qualquer com lados paralelos  e . Sejame os

pontos médios dos lados  e , respectivamente. Mostrar que

¡¡!  =

1

2 ( ¡!  +

¡¡! )

12. Mostrar que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um

trapézio qualquer é paralelo aos outros dois lados.

13. Sejam , = 1     6, os vértices de um polígono regular centrado na origem .

Mostrar que ¡¡! 12 +

¡¡! 13 +

¡¡! 14 +

¡¡! 15 +

¡¡! 16 = 6

¡¡! 1

14. Sejam , = 1     6, os vértices de um polígono regular centrado na origem e ¡!  =

¡¡! . Mostrar que

¡!1 +¡!2 +¡!3 +¡!4 +¡!5 +¡!6 = ¡! 0

Generalize para um polígono regular qualquer.

15. Sejam  um tetraedro e o ponto médio do lado . Escreva o vetor ¡¡! 

em termos dos vetores ¡! ,

¡!  e

¡¡! .

16. Seja o ponto médio do lado  do cubo da …gura abaixo. Escreva o vetor ¡¡! 

em termos dos vetores ¡! ,

¡¡!  e

¡! .

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64 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

17. Seja  um triângulo qualquer. Mostrar que:

(a) Se ,  e  são suas medianas, então ¡¡!  +

¡¡!  +

¡!  =

¡! 0

(b) Existe um triângulo com lados paralelos às medianas de  e com os com-

primentos destas?

18. Seja  um hexágono regular. Sejam ¡!= ¡! e ¡!= ¡¡!. Escreva os vetores

¡¡! ,

¡¡! ,

¡!  ,

¡! ,

¡! ,

¡¡!  e

¡!  em termos de ¡!e ¡!.

19. Sejam , e pontos distintos. Mostrar que , e são colineares se, somente

se, existem    2 R¤ tais que

+ + = 0 e ¡! +

¡¡!  +

¡!  =

¡! 0

3.5 Dependência e independência linear

Sejam ¡!e ¡!dois vetores. Então os vetores ¡!+ ¡!, onde 2 R, são obtidos medindo externamente os múltiplos de

¡! da cabeça de ¡!.

Sejam um ponto e ¡!um vetor não nulo. Seja a reta que passa em na direção do vetor ¡!. Então

= f¡!+ ¡!: 2 Rg = ¡!+R¡! 

onde ¡!= ¡! .

Assim, 2 se, e somente se, existe 2 R tal que ¡!¡ ¡!= ¡!se, e somente se, existe 2 R tal que

¡!= ¡!+ ¡! 

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3.5. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 65

onde ¡!= ¡¡!. Isto signi…ca que: um ponto arbitrário de pode ser alcançado de primeiro indo de para via ¡!e então anda ao longo de via um certo múltiplo de ¡!.

Exemplo 3.18 Sejam  e  pontos distintos. A reta  passando por  e  é dada por

= f¡!+ ¡!:   2 R e + = 1g

onde ¡!= ¡! e ¡!= ¡¡!.

Solução. Vamos primeiro construir a reta que passa por e .

Assim, 2 se, e somente se, existe 2 R tal que

¡!= ¡!+ (¡!¡ ¡!) = (1¡ )¡!+ ¡! 

Fazendo = 1¡ e = , obtemos que

¡!= ¡!+ ¡!onde + = 1

Sejam ¡!e ¡!vetores quaisquer. Dizemos que um vetor ¡!é combinação linear de ¡!e

¡! se existirem   2 R tais que

¡!= ¡!+ ¡! 

Dizemos que ¡!e ¡!são linearmente dependentes (LD) ou colineares se existirem   2 R, não ambos nulos, tais que

¡!+ ¡!= ¡!0

Caso contrário, dizemos que ¡!e ¡!são linearmente independentes (LI) ou não colineares, isto é, a única solução da equação vetorial

¡!+ ¡!= ¡!0

é a trivial = = 0.

Observação 3.19 Note que ¡! e ¡! são LD se, e somente se, um deles é múltiplo escalar do outro, isto é, eles têm a mesma direção. Note, também, que todo vetor ¡! , com ¡!6= ¡!0 , é sempre LI.

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66 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Exemplo 3.20 Seja ¡! e ¡! dois vetores LI. Então os vetores ¡!¡ ¡! e ¡!+¡! são LI.

Solução. Seja   2 R. Devemos mostrar que a única solução da equação vetorial

(¡!¡ ¡!) + (¡!+¡!) = ¡!0

é a trivial = = 0. Como

(¡!¡ ¡!) + (¡!+¡!) = (+ )¡!+ (¡ )¡!

temos que

(¡!¡ ¡!) + (¡!+¡!) = ¡!0 , (+ )¡!+ (¡ )¡!= ¡!0

Assim, por hipótese, ( + = 0

¡ = 0

Resolvendo o sistema, obtemos que = = 0. Portanto, os vetores ¡!¡¡!e ¡!+¡!são LI.

Sejam um ponto, ¡!e ¡!vetores linearmente independentes. Seja um plano que passa por e é paralelo ou coincidente ao plano gerado por ¡!e ¡!. Então

= f¡!+ ¡!+ ¡!:   2 Rg = ¡!+R¡!+R¡! 

onde ¡!= ¡! .

Assim, 2 se, e somente se, existem   2 R tais que ¡!¡¡!= ¡!+ ¡!se, e somente se, existem   2 R tais que

¡!= ¡!+ ¡!+ ¡! 

onde ¡!= ¡¡!. Isto signi…ca que: um ponto arbitrário de pode ser alcançado de primeiro indo de para via ¡!e então anda dentro de uma certa distância na direção de ¡!e uma certa distância na direção de ¡!.

Exemplo 3.21 Sejam ,  e  pontos não colineares. O plano  passando por , e  é dado por

= f¡!+ ¡!+ ¡!:    2 R e + + = 1g

onde ¡!= ¡!, ¡!= ¡¡! e ¡!= ¡! .

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3.5. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 67

Solução. Vamos primeiro construir o plano que passa por , e ..

Assim, 2 se, e somente se, existem   2 R tais que

¡!= ¡!+ (¡!¡ ¡!) + (¡!¡ ¡!) = (1¡ ¡ )¡!+ ¡!+ ¡! 

Fazendo = 1¡ ¡ , = e = , obtemos que

¡!= ¡!+ ¡!+ ¡!onde + + = 1

Sejam ¡!, ¡!e ¡!vetores quaisquer. Dizemos que um vetor ¡!é combinação linear de ¡!, ¡!e ¡!se existirem    2 R tais que

¡!= ¡!+ ¡!+ ¡! 

Dizemos que ¡!, ¡!e ¡!são LD ou coplanares se existirem    2 R, não todos nulos, tais que

¡!+ ¡!+ ¡!= ¡!0

Caso contrário, dizemos que ¡!, ¡!e ¡!são LI ou não coplanares, isto é, a única solução da equação vetorial

¡!+ ¡!+ ¡!= ¡!0

é a trivial = = = 0.

Observação 3.22 Note que ¡! , ¡! e ¡! são LD se, e somente se, um dêles é combinação linear dos outros dois, isto é, eles são coplanares. Note, também, que se pelo menos um

dos vetores ¡! , ¡! e ¡! for o vetor nulo ¡!0 , então os vetores ¡! , ¡! e ¡! são sempre LD.

Exemplo 3.23 Sejam ¡! , ¡! e ¡! três vetores LI. Então os vetores ¡! , ¡!+ ¡! e ¡!+ ¡! +¡! são LI.

Solução. Sejam    2 R. Devemos mostrar que a única solução da equação vetorial

¡!+ (¡!+¡!) + (¡!+¡!+¡!) = ¡!0

é a trivial = = = 0. Como

¡!+ (¡!+¡!) + (¡!+¡!+¡!) = (+ + )¡!+ (+ )¡!+ ¡!

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68 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

temos que

¡!+ (¡!+¡!) + (¡!+¡!+¡!) = ¡!0 , (+ + )¡!+ (+ )¡!+ ¡!= ¡!0

Assim, por hipótese, 8 >< >:

+ + = 0

+ = 0

= 0

Resolvendo o sistema, obtemos que = = = 0. Portanto, os vetores ¡!, ¡!+ ¡!e ¡!+¡!+¡!são LI.

Seja V o conjunto de todos os vetores. Um conjunto

B = f¡!1¡!2¡!3g

é uma base de V se todo vetor ¡!de V pode ser escrito de modo único como uma combinação linear dos vetores ¡!1, ¡!2 e ¡!3, isto é,

¡!= 1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!3

onde 1 2 3 2 R . Isto signi…ca que: para obter ¡!temos que fazer 1 vezes o compri- mento de ¡!1 na direção de ¡!1, então 2 vezes o comprimento de ¡!2 na direção de ¡!2 e …nalmente 3 vezes o comprimento de

¡!3 na direção de ¡!3.

Observação 3.24 Para veri…car que um conjunto

B = f¡!1¡!2¡!3g

é uma base de V, basta mostrar que os vetores ¡!1, ¡!2 e ¡!3 são LI. Isto signi…ca, intuitivamente, que ¡!1 e ¡!2 estão localizados em direções diferentes e ¡!2 sai do plano gerado por ¡!1 e ¡!2.

O conjunto

B = f¡!1¡!2¡!3g

de vetores linearmente independentes de V é chamado uma base ordenada de V ou um

sistema de coordenadas para V. O escalar  é a -ésima coordenada de ¡!em relação à base B. Note que, se

¡!= 1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!3

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3.5. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 69

então

¡!+¡!= (1 + 1)¡!1 + (2 + 2)¡!2 + (3 + 3)¡!3

e

¡!= (1)¡!1 + (2)¡!2 + (3)¡!3

Assim, a -ésima coordenada de ¡!+ ¡!e ¡!em relação à base B é ( + ) e (), respectivamente.

Seja R3 o conjunto de todos os ternos ordenados (  ), onde    2 R, isto é,

R3 = f(  ) :    2 Rg

De…nimos a adição e a multiplicação por escalar em R3 como:

(1 2 3) + (1 2 3) = (1 + 1 2 + 2 3 + 3)

e

(1 2 3) = (1 2 3)

É fácil veri…car que R3 com estas operações satisfaz todas as propriedades do conjunto de vetores V.

Conclusão. Cada base ordenada de V determina uma correspondência biunívoca

¡!$ (1 2 3)

entre o conjunto dos vetores V e o conjunto dos ternos ordenados R3.

Observação 3.25 É conveniente, às vezes, usar a matriz das coordenadas de ¡! em relação à base B :

[¡!]B =

2 64 1

2

3

3 75

ao invés do terno (1 2 3) das coordenadas.

Exemplo 3.26 Mostrar que as medianas de um triângulo se interceptam em um ponto, o qual é um ponto de trisseção de cada mediana.

Solução. Sejam ¡!e ¡!os vetores gerando o triângulo, conforme …gura.

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70 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Então as medianas são: ¡!+¡!2 ¡!¡ 2¡!

2 e

¡!¡ 2¡!2

Assim, as medianas se interceptam em um ponto se, e somente se, existem escalares ,

e tais que

µ¡!+¡!2

¶ = ¡!+

µ¡!¡ 2¡!2

¶ e µ¡!+¡!

2

¶ = ¡!+

µ¡!¡ 2¡!2

Estas equações podem ser re-escrita como ( (¡ )¡!+ (+ 2¡ 2)¡!= ¡!0 (+ 2¡ 2)¡!+ (¡ )¡!= ¡!0

Como ¡!e ¡!são LI temos que 8 >>>< >>>:

¡ = 0 + 2= 2

+ 2= 2

¡ = 0

Portanto, as medianas se interceptam em um ponto se, e somente se, o sistema acima

tem solução. É fácil veri…car que o sistema tem uma única solução

= = = 2

3

Teorema 3.27 (Ceva) Dado um triângulo , escolhemos um ponto  no segmento , um ponto  no segmento  e um ponto  no segmento . Sejam 1 = (;),

2 = (;) e 3 = (;). Então as seguintes condições são equivalentes:

1. Os segmentos ,  e  são concorrentes;

2. 123 = 1 e 1 + 2 + 23 6= 0;

3. 123 = 1 e cada um dos três números 1+1+12, 1+2+23 e 1+3+13 é diferente de zero.

Prova. Primeiro vamos desenhar a …gura.

Expressando todos em termos de vetores posições em relação a uma origem qualquer ,

obtemos que ¡! =

¡!+ 1 ¡!

1 + 1 ¡!=

¡! + 2

¡!1 + 2

e ¡!= ¡!+ 3¡!1 + 3

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3.5. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 71

Em particular, tomando = , obtemos que

¡! =

¡!+ 1 ¡!

1 + 1 ¡!=

¡!

1 + 2 e ¡!= 3

¡!1 + 3

Logo,

¡!  = ¡!+

à ¡!

1 + 2 ¡ ¡!

!

¡!  =

¡! +

µ 3

¡!1 + 3

¡ ¡!

¡!  =

á!+ 1 ¡!

1 + 1

!

Assim, os segmentos ,  e  se interceptam em um ponto se, e somente se,

¡!+ Ã ¡!

1 + 2 ¡ ¡!

! =

¡! +

µ 3

¡!1 + 3

¡ ¡!¶ =

á!+ 1 ¡!

1 + 1

!

ou ainda,

(1¡ )¡!+ 1 + 2

¡! =

3

1 + 3

¡!+ (1¡ )¡!= 1 + 1

¡!+ 11 + 1

¡!

e, portanto, · (1¡ 3

1 + 3

¸ ¡!+

·

1 + 2 + (¡ 1)

¸ ¡! =

¡! 0

· (1¡

1 + 1

¸ ¡!+

·

1 + 2 ¡ 11 + 1

¸ ¡! =

¡! 0

Como ¡!e ¡!são LI temos que 8 >>>< >>>:

+ 3 1+3 = 1

1 1+2 + = 1

+ 1 1+1 = 1

1 1+2 ¡ 1

1+1 = 0

Assim, os segmentos ,  e  se interceptam em um ponto se, e somente se, o

sistema acima tem solução. Agora vamos mostrar as equivalências.

(1, 2) Suponhamos que ,  e  sejam concorrentes. Então o sistema tem solução , e . Resolvendo para a primeira e a segunda equação, …ca

= 1¡ 3 1 + 3

= (1 + 2)(1¡ ) ) (1 + 2 + 23)= 2(1 + 3)

Assim, se 1 + 2+ 23 = 0, então 2(1 + 3) = 0 e 2 = 0. Logo, 1 + 2+ 23 = 1 6= 0, o que é impossível. Portanto, 1 + 2 + 23 6= 0 e, consequentemente,

= 2(1 + 3)

1 + 2 + 23 e =

1 + 2 1 + 2 + 23

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72 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Por outro lado,

= (1 + 1)(1¡ ) = (1 + 1)23 1 + 2 + 23

= 1 + 1

(1 + 2 + 23)1

se, e somente se, 123 = 1, pois 1 6= 0. Reciprocamente, suponhamos que 123 = 1 e 1 + 2 + 23 6= 0. Então o sistema tem solução

= 1 + 2

1 + 2 + 23   =

2(1 + 3)

1 + 2 + 23 e

= (1 + 1)23 1 + 2 + 23

= 1 + 1

(1 + 2 + 23)1

(2, 3) Suponhamos, por absurdo, que 1 + 3 + 31 = 0. Então

0 = 2(1 + 3 + 31)

= 2 + 23 + 231

= 2 + 23 + 1

o que é uma contradição. A recíproca é imediata. ¥

3.6 Mudança de Bases

Sejam

B = f¡!1¡!2¡!3g e B0 = f¡!1¡!2¡!3g

duas bases ordenadas deV. Então, para cada vetor ¡!2 V existem únicos 1 2 3 1 2 3 2 R tais que

¡!= 1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!3 (3.1) ¡!= 1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!3

Como ¡!  2 V temos que existem únicos  2 R,   = 123, tais que

¡!1 = 11¡!1 + 21¡!2 + 31¡!3 (3.2) ¡!2 = 12¡!1 + 22¡!2 + 32¡!3 ¡!3 = 13¡!1 + 23¡!2 + 33¡!3

Substituindo ¡!  na segunda equação de (3.1), obtemos que

¡!= 1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!3

= 1

à 3X

=1

1 ¡! 

! + 2

à 3X

=1

2 ¡! 

! + 3

à 3X

=1

3 ¡! 

!

=

à 3X

=1

1

! ¡!1 +

à 3X

=1

2

! ¡!2 +

à 3X

=1

3

! ¡!3

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3.6. MUDANÇA DE BASES 73

Pela primeira equação de (3.1) e unicidade das coordenadas, obtemos que

1 = 111 + 122 + 133

2 = 211 + 222 + 233

3 = 311 + 322 + 333

Em forma de matriz 2 64 1

2

3

3 75 =

2 64 11 12 13

21 22 23

31 32 33

3 75

2 64 1

2

3

3 75

Fazendo

[I]B 0

B =

2 64 11 12 13

21 22 23

31 32 33

3 75

obtemos que

[¡!]B = [I]B 0

B [ ¡!]B0

A matriz M = [I]B 0 B é a matriz de mudança da base B0 para a base B. Comparando M

com (3.2), notamos esta matriz é obtida colocando as coordenadas em relação à base B de ¡!  na -ésima coluna.

Observação 3.28 A matriz M é invertível, pois para cada  = 123, temos que

¡!  = 1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!3 = 3X

=1

 ¡!  (3.3)

e para cada  = 123, temos que

¡!  = 1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!3 = 3X

=1

 ¡!  (3.4)

Fazendo A = [] e B = [], obtemos [I]B 0 B = A

 e [I]BB0 = B . Substituindo a equação

(34) na equação (33), obtemos

¡!  = 3X

=1



à 3X

=1

 ¡! 

! =

3X

=1

à 3X

=1



! ¡! 

Como f¡!1¡!2¡!3g é uma base para V temos que

3X

=1

 =

( 1 se  =

0 se  6= ) AB = I3

Portanto,

[I]BB0 [I] B0 B = B

A= (AB)= (I3) = I3 ) [I]BB0 =M¡1

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74 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Sejam B e B0 duas bases ordenadas de V. Dizemos que B e B0 determinam a mesma orientação se det (M) 0. Caso contrário, elas determinam orientação oposta, onde M

é a matriz de mudança de base.

????????????

Se é um ponto qualquer do espaço, o vetor ¡! 0pode ser escrito em termos dos

sistemas 0, ¡! ,

¡! ,

¡! e 0, ¡!1, ¡!2, ¡!3 como

¡! 0= 1

¡! + 2

¡! + 3

¡!

= 1 ¡!1 + 2¡!2 + 3

¡! 33

veja …gura 3.1.

Figura 3.1:

Escrevendo os vetores ¡! ,

¡! ,

¡! como combinação linear dos vetores ¡!1, ¡!2, ¡!3,

obtemos

¡! = 11

¡!1 + 21¡!2 + 31¡!3 ¡! = 12

¡!1 + 22¡!2 + 32¡!3 ¡! = 13

¡!1 + 23¡!2 + 33¡!3

sendo

1 = ¡!  ¡! , 2 =

¡!  ¡! e 3 =

¡!  ¡! , = 123

substituindo essas equações em

¡! 0= 1

¡! + 2

¡! + 3

¡!

= 1 ¡!1 + 2¡!2 + 3

¡! 33

obtemos

(111 + 122 + 133) ¡!1 + (211 + 222 + 233)¡!2

+(311 + 322 + 333) ¡!3 = 1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!3

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3.6. MUDANÇA DE BASES 75

ou seja

1 = 111 + 122 + 133

2 = 211 + 222 + 233

3 = 311 + 322 + 333

que pode ser escrito na forma matricial 0 B@ 11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 CA

0 B@ 1

2

3

1 CA =

0 B@ 1

2

2

1 CA

Exemplo 3.29 Calcular as coordenadas do ponto  (102) no sistema de coordenadas 0, ¡!1, ¡!2, ¡!3, onde

¡!1 = 1p 2

³¡! +

¡!

´ , ¡!2 =

1p 2

³ ¡¡!+¡!

´ , ¡!3 =

¡!  

Solução: Observe que

¡! =

p 2

2 ¡!1 ¡

p 2

2 ¡!2 + 0¡!3

¡! =

p 2

2 ¡!1 +

p 2

2 ¡!2 + 0¡!3

¡! = 0¡!1 + 0¡!2 + 1¡!3

e, portanto, escrevendo na forma matricial, obtemos 0 B@

p 2 2

¡ p 2 2

0 p 2 2

p 2 2

0

0 0 1

1 CA

0 B@ 1

0

2

1 CA =

0 B@ 1

2

3

1 CA

de onde, temos: 1 = p 2 2

, 2 = p 2 2

, 3 = 2.

???????????

Exemplo 3.30 Sejam

B = n¡! ¡! ¡!

o e B0 = f¡!1¡!2¡!3g

onde

¡!1 = ¡!¡!2 = ¡!+

¡!

¡!3 = ¡!+ ¡! +¡!

duas bases ordenadas de V. Então B e B0 determinam a mesma orientação.

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