Vetores - Apostilas - Química_Parte2, Notas de estudo de Química. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)
Paulo89
Paulo895 de Março de 2013

Vetores - Apostilas - Química_Parte2, Notas de estudo de Química. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)

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Apostilas e exercicios de Química sobre o estudo do Vetores.
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76 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Solução. Como

¡!1 = 1 ¢ ¡!+ 0 ¢ ¡! + 0 ¢ ¡!

¡!2 = 1 ¢ ¡!+ 1 ¢ ¡! + 0 ¢ ¡!

¡!3 = 1 ¢ ¡!+ 1 ¢ ¡! + 1 ¢ ¡!

temos que a matriz de mudança de base é

M =

2 64 1 1 1

0 1 1

0 0 1

3 75

Logo, det(M) = 1 0.

EXERCÍCIOS

1. Mostrar que ¡!+¡!, ¡!+¡!e ¡!¡ ¡!são LD quaisquer que sejam os vetores ¡!, ¡! e ¡!.

2. Seja B = f¡! ¡! ¡!g uma base de R3. Mostrar que B0 = f¡!+ ¡! ¡!¡ 2¡! ¡!+ 3 ¡! ¡ ¡!g também é uma base de R3. Elas têm a mesma orientação?

3. Seja B = f¡! ¡! ¡!g uma base de R3. Mostrar que f¡!+ 2¡!¡ ¡!  3¡!¡ ¡!+ ¡! ¡¡!+ 5¡!¡ 3¡!g é um conjunto LD.

4. Sejam ¡!e ¡!vetores LI tais que ¡! = ¡!+ 2¡!, ¡¡! = ¡4¡!¡ ¡!e ¡¡! = ¡5¡!¡ 3¡!. Mostrar que  é um trapézio.

5. A seção ouro ou divisão harmônica de um segmento  é a escolha de um ponto entre e tal que °°°¡¡!

°°° °°°¡¡!

°°° =

°°°¡¡! °°°

°°°¡! °°°

Determinar a razão de divisão (;) se é escollhido desta maneira.

6. Sejam 1, 2, 3 postos colineares e = (1 2;3). Mostrar que o conjunto de

todas as razões de divisões ( ;), onde    2 f123g, é igual a ½  1

 ¡(1 + )¡ 1

1 +  ¡ 1 +

¡1 +  

¾

7. Sejam , , e pontos. Mostrar que:

(a) Os segmentos  e  são paralelos se, e somente se, existe 2 R¤ tal que

¡!¡ ¡!= (¡!¡ ¡!)

onde ¡!= ¡!, ¡!= ¡¡!, ¡!= ¡! e ¡!= ¡¡!.

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3.7. PRODUTO ESCALAR 77

(b) Os segmentos  e  interceptam-se se, e somente se,

(¡!¡ ¡!) + (¡!¡ ¡!) = ¡!0

implica que = = 0, onde ¡!= ¡!, ¡!= ¡¡!, ¡!= ¡! e ¡!= ¡¡!.

8. Considere duas semi-retas originando-se de um ponto comum. Escolha dois pontos

e da primeira diferente de e dois pontos e da segunda diferente de ,

de modo que existam     2 R tais que

+ = + = 0 e ¡! +

¡!  =

¡¡!  +

¡!  =

¡! 0

Mostrar que os segmentos  e  são paralelos se, e somente se, = (= ).

9. Sejam , , , , e pontos dados como no Teorema de Ceva tais que os

segmentos ,  e  interceptam-se em um ponto comum . Mostrar que

(;) + (;) + (;) = ¡1

10. Seja  um triângulo qualquer. Mostrar que suas medianas interceptam-se em

um ponto comum. (Sugestão: Use o Teorema de Ceva.)

11. Seja um triângulo qualquer. Mostrar que os três bissetores internos interceptam-

se em um ponto comum. (Sugestão: Use a Lei dos Senos e o Teorema de Ceva.)

12. Seja  um triângulo qualquer. Mostrar que as três alturas interceptam-se em

um ponto comum.

13. (Teorema de Menelao) Dado um triângulo , escolhemos um ponto no segmento, um ponto no segmento e um ponto no segmento. Mostrar

que , e são colineares se, e somente se,

(;)(;)(;) = ¡1

14. (Teorema de Desargues) Dados dois triângulos  e  tais que 6= , 6= , 6= e os pares de retas suportes dos segmentos  e ;  e ;  e  sejam concorrentes. Mostrar que as retas suportes dos segmentos  ,  e

 são concorrentesou paralelas se, e somente se, os pontos de interseções das retas

suportes dos segmentos  e ;  e ;  e  sejam colineares.

3.7 Produto escalar

Sejam ¡!e ¡!vetores não nulos de V. O ângulo entre ¡!e ¡!é a …gura geométrica formada pelos segmentos

¡!  e

¡¡! , onde é um ponto qualquer do espaço e , são

escolhidos de modo que ¡!= ¡! e ¡!= ¡¡!. Vamos denotar o ângulo entre ¡!e ¡!por

= \(¡! ¡!)

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78 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Sejam ¡!  ¡!vetores não nulos de V e o ângulo entre ¡!e ¡!. O produto escalar (interno) de ¡!e ¡!é de…nido como

h¡! ¡!i = k¡!k °°°¡!

°°° cos 

Note que, na de…nição de produto escalar de dois vetores ¡!e ¡!não especi…camos se o ângulo é medido de ¡!para ¡!ou de ¡!para ¡!e nem se é medido no sentido horário ou anti-horário. Portanto, cada escolha para dar o mesmo resultado para h¡! ¡!i, pois

cos = cos(¡) = cos(2¡ ) = cos(¡ 2)

Assim,

h¡! ¡!i = h¡! ¡!i

Além disso, se ¡!= ¡!0 ou ¡!= ¡!0 , de…nimos

h¡! ¡!i = 0

Proposição 3.31 Sejam ¡! e ¡! vetores quaisquer de V. Então:

1. k¡!k = p

h¡! ¡!i;

2. O menor dos dois ângulos entre ¡! e ¡! é

= arccos

0 @ h

¡! ¡!i k¡!k

°°°¡!°°°

1 A ;

3. ¡! e ¡! são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se, h¡! ¡!i = 0.

Prova. Vamos provar apenas o item 3. Note que,

h¡! ¡!i = 0 , k¡!k = 0°°°¡!

°°° = 0 ou cos = 0

¥

Seja ¡!um vetor não nulo de V.Todo vetor ¡!de V pode ser escrito de modo único sob a forma

¡! =

¡! 0 +

¡! 00

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3.7. PRODUTO ESCALAR 79

onde ¡! 0 é um vetor com a mesma direção que ¡!e

¡! 00 é ortogonal a ¡!.

A componente ¡! 0 é chamada a projeção de

¡! sobre ¡!e denotada por Pr¡!

¡! . Em outras

palavras, Pr¡!¡! é por de…nição o único vetor ¡!2 V tal que ¡!¡ ¡!seja ortogonal a

¡!. Esta de…nição de projeção é motivada da física, por exemplo, se aplicamos uma força constante

¡! ao longo de uma trajetória, então, em cada momento, somente aquela parte

de ¡! que age na direção de ¡!da trajetória contribui para o trabalho feito por ¡!. Neste

caso, o trabalho é dado por

= °°°¡!

°°° k¡!k cos = h¡! ¡!i

Proposição 3.32 Sejam ¡! , ¡! e ¡! vetores de V com ¡!6= ¡!0 e  2 R. Então:

1. Pr¡!¡! =

°°°¡!°°° cos ¡!k¡!k = h

¡! ¡!i ¡!k¡!k2 ;

2. Pr¡!( ¡! +¡!) = Pr¡!

¡! + Pr¡!

¡!;

3. Pr¡!(¡! ) = Pr¡!

¡! ;

4. h¡! ¡!i = h¡! Pr¡!¡! i.

Prova. 1Pela …gura.

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80 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

o comprimento da Pr¡!¡! é °°°¡!

°°° cos e ¡!

k¡!k é um vetor de comprimento unitário na direção de ¡!. Logo,

Pr ¡!¡! =

°°°¡!°°° cos

¡!k¡!k = h

¡! ¡!i ¡!

k¡!k2

2Vamos primeiro ver geometricamente,

Seja

= f¡!2 V : h¡! ¡!i = 0g

o plano perpendicular a ¡!. Como ¡! ¡ Pr ¡!

¡! 2 e ¡!¡ Pr ¡!¡!2

temos que

( ¡! +¡!)¡ (Pr ¡!

¡! + Pr ¡!

¡!) = (¡!¡ Pr ¡!¡! ) + (¡!¡ Pr ¡!¡!) 2

Por outro lado, o único vetor ¡!2 V tal que

( ¡! +¡!)¡ ¡!2

é, por de…nição, a projeção ¡! +¡!sobre ¡!, a saber: Pr¡!(

¡! +¡!). Segue que

Pr ¡!( ¡! +¡!) = Pr ¡!

¡! + Pr ¡!

¡!)

3É similar a 2. Para provar 4. Seja o ângulo entre ¡!e ¡!. Como o ângulo entre ¡!e Pr¡!

¡! é igual a 0±, obtemos que

h¡! Pr ¡!¡! i = k¡!k

°°°Pr ¡!¡!

°°° cos 0±

= k¡!k °°°Pr ¡!

¡!

°°°

= k¡!k °°°¡!

°°° cos

= h¡! ¡!i

¥

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3.7. PRODUTO ESCALAR 81

Proposição 3.33 Sejam ¡! , ¡! e ¡! vetores quaisquer de V e  2 R. Então:

1. h¡! ¡!i = h¡! ¡!i;

2. h¡! ¡!+¡!i = h¡! ¡!i+ h¡! ¡!i;

3. h¡!  ¡!i = h¡! ¡!i;

4. h¡! ¡!i ¸ 0 e h¡! ¡!i = 0 se, e somente se, ¡!= ¡!0 .

5. ¯̄ ¯h¡! ¡!i

¯̄ ¯ · k¡!k

°°°¡!°°° (Desigualdade de Cauchy-Schwarz).

6. °°°¡!+¡!

°°° · k¡!k+ °°°¡!

°°° (Desigualdade Triangular).

Prova. Vamos provar apenas os itens 2e 5. Se ¡!= ¡!0 , nada há para ser provado. Se ¡!6= ¡!0 , então

h¡! ¡!+¡!i ¡!

k¡!k2 = Pr ¡!(

¡! +¡!)

= Pr ¡!¡! + Pr ¡!

¡!)

= h¡! ¡!i ¡!

k¡!k2 + h¡! ¡!i

¡!k¡!k2

= ³ h¡! ¡!i+ h¡! ¡!i

´ ¡!k¡!k2

Assim, comparando os coe…cientes, obtemos que

h¡! ¡!+¡!i = h¡! ¡!i+ h¡! ¡!i

Agora, vamos provar 5, se ¡!= ¡!0 , nada há para ser provado. Se ¡!6= ¡!0 , então a função : R ! R de…nida por () =

°°°¡!¡ ¡!°°° 2

, satisfaz () ¸ 0, para todo 2 R. Como

°°°¡!¡ ¡!°°° 2

= h¡!¡ ¡! ¡!¡ ¡!i

= h¡! ¡!¡ ¡!i ¡ h¡! ¡!¡ ¡!i = h¡! ¡!i ¡ h¡! ¡!i ¡ h¡! ¡!i+ 2h¡! ¡!i

= °°°¡!

°°° 2

¡ 2h¡! ¡!i+ 2 k¡!k2

temos que

k¡!k2 2 ¡ 2h¡! ¡!i+ °°°¡!

°°° 2

¸ 082 R

Logo, a função quadrática () não pode ter duas raízes reais distintas. Assim, o discrim-

inante de () deve ser menor do que ou igual zero e, assim,

³ ¡2h¡! ¡!i

´2 ¡ 4 k¡!k2

°°°¡!°°° 2

· 0 , ³ h¡! ¡!i

´2 ·

³ k¡!k

°°°¡!°°° ´2

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82 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Portanto, extraindo a raiz quadrade desta desigualdade, obtemos que ¯̄ ¯h¡! ¡!i

¯̄ ¯ · k¡!k

°°°¡!°°°

¥

Exemplo 3.34 Mostrar que um paralelogramo é um losango, se e somente se, suas di- agonais são ortogonais.

Solução. Sejam ¡!e ¡!vetores gerando o paralelogramo, conforme …gura.

Então ¡!+¡!e ¡!¡ ¡!são as diagonais. Como

h¡!+¡! ¡!¡ ¡!i = h¡! ¡!¡ ¡!i+ h¡! ¡!¡ ¡!i = h¡! ¡!i ¡ h¡! ¡!i+ h¡! ¡!i ¡ h¡! ¡!i

= k¡!k2 ¡ °°°¡!

°°° 2

temos que

k¡!k = °°°¡!

°°° , h¡!+¡! ¡!¡ ¡!i = 0

Exemplo 3.35 Mostrar que todo ângulo inscrito em um semicírculo é um ângulo reto.

Solução. Sejam ¡!e ¡!vetores mostrados na …gura.

Como k¡!k = °°°¡!

°°° temos, pelo Exemplo 3.34, que

h¡!+¡! ¡!¡ ¡!i = 0

isto é,

\(¡!+¡! ¡!¡ ¡!) = 2

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3.8. BASES ORTOGONAIS 83

Exemplo 3.36 Sejam  um triângulo qualquer e  um ponto qualquer no lado . Mostrar que

°°°¡¡! °°° ·

°°°¡! °°° ou

°°°¡¡! °°° ·

°°°¡¡! °°°.

Solução. Pelo Exercício 8, temos que

¡¡!  = ¡

1 +

¡!  ¡ 1

1 +

¡¡! 

Assim, pela desigualdade triangular,

°°°¡¡! °°° ·

1 +

°°°¡! °°°+ 1

1 +

°°°¡¡! °°°

Como em um triângulo qualquer , °°°¡!

°°° · °°°¡¡!

°°° ou °°°¡¡!

°°° · °°°¡!

°°°, temos que

°°°¡¡! °°° ·

1 +

°°°¡¡! °°°+ 1

1 +

°°°¡¡! °°° = µ

1 + +

1

1 +

¶°°°¡¡! °°° =

°°°¡¡! °°°

3.8 Bases ortogonais

Seja ¡!2 V um vetor qualquer. Dizemos que ¡!é vetor unitário se

k¡!k = 1

Se ¡!2 V é um vetor qualquer não nulo, então

¡!= ¡!

k¡!k

é um vetor unitário de mesma direção que ¡!. Neste caso, dizemos que ¡!é a normalização de ¡!.

Seja

B = f¡!1¡!2¡!3g

uma base de V. Dizemos que B é uma base ortogonal de V se

h¡!1¡!2i = h¡!1¡!3i = h¡!2¡!3i = 0

isto é, os vetores ¡!1, ¡!2 e ¡!3 são dois a dois ortogonais. Dizemos que B é uma base ortonormal ou sistema de coordenadas cartesianas de V se B é uma base ortogonal e

h¡!1¡!2i =  = ( 1 se =

0 se 6= 

onde  é o símbolo de Kronecker, isto é, os vetores ¡!1, ¡!2 e ¡!3 são dois a dois ortogonais

e unitários.

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84 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Proposição 3.37 Seja B = f¡!1¡!2¡!3g uma base ortonormal de V. Então ¡!= h¡! ¡!1i¡!1 + h¡! ¡!2i¡!2 + h¡! ¡!3i¡!38¡!2 V

Prova. Dado ¡!2 V existem únicos 1 2 3 2 R tais que ¡!= 1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!3

= 3X

=1

 ¡! 

Logo,

h¡! ¡! i = h1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!3¡! i = 1h¡!1¡! i+ 2h¡!2¡! i+ 3h¡!3¡! i =   = 123

Portanto, ¡!= h¡! ¡!1i¡!1 + h¡! ¡!2i¡!2 + h¡! ¡!3i¡!3

¥

Observação 3.38 O escalar  = h¡! ¡! i é chamado o coe…ciente de Fourier de ¡! em relação a ¡! .

Proposição 3.39 Seja B = f¡!1¡!2¡!3g uma base ortonormal de V. Se ¡!= 1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!3 e ¡!= 1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!3

então:

1. h¡! ¡!i = 11 + 22 + 33;

2. k¡!k = p 21 +

2 2 +

2 3 e k¡!k =

p 21 +

2 2 +

2 3;

3. O menor dos dois ângulos entre ¡! e ¡! é

= arccos

à 11 + 22 + 33p

21 + 2 2 +

2 3

p 21 +

2 2 +

2 3

! ;

4. (11 + 22 + 33)2 · (21 + 22 + 23)(21 + 22 + 23)

Prova. Vamos provar apenas o item 1.

h¡! ¡!i = h1¡!1 + 2¡!2 + 3¡!33X

=1

 ¡! i

= 1h¡!13X

=1

 ¡! i+ 2h¡!2

3X

=1

 ¡! i+ 3h¡!3

3X

=1

 ¡! i

= 11 + 22 + 33

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3.8. BASES ORTOGONAIS 85

¥ Seja

B = f¡! ¡! ¡!g

uma base qualquer de V. Escolhendo ¡!1 = ¡!, já vimos que o vetor

¡!2 = ¡! ¡ h

¡!  ¡!1i k¡!1k2

¡!1

é ortogonal ao vetor ¡!1 e claramente ¡!1 e ¡!2 são linearmente independentes e estão no plano gerado por ¡!e ¡!. Assim, os vetores coplanares a ¡!1 e ¡!2 são da forma

¡!1 + ¡!2

para alguns   2 R. Logo,

h¡!¡ (¡!1 + ¡!2)¡!1i = 0 , = h¡! ¡!1i k¡!1k2

Analogamente,

h¡!¡ (¡!1 + ¡!2)¡!2i = 0 , = h¡! ¡!2i k¡!2k2

Assim, o vetor ¡!3 = ¡!¡

h¡! ¡!1i k¡!1k2

¡!1 ¡ h¡! ¡!2i k¡!2k2

¡!2

é simultaneamente ortogonal a ¡!1 e ¡!2Portanto,

B¶= f¡!1¡!2¡!3g

é uma base ortogonal deV. Este processo de ortogonalização é conhecido como o Processo

de Ortogonalização de Gram-Schmidt.

Conclusão. A partir de uma base qualquer de V podemos obter uma base ortogonal de V.

Sejam , e pontos no espaço tais que

B = f¡!¡¡!¡!g

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86 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

seja uma base ortonormal de V. Vamos de…nir os vetores ¡! ,

¡! e

¡! como:

¡! =

¡! 

¡! =

¡¡!  e

¡! =

¡! 

Portanto, os vetores ¡! ,

¡! e

¡! satisfazem às seguintes relações:

h¡! ¡!i = h¡! ¡!i = h¡! ¡!i = 0 e h¡! ¡!i = h¡! ¡!i = h¡! ¡!i = 1

Neste caso, dizemos que

B = f¡! ¡! ¡!g

é a base canônica de V.

Sejam um ponto qualquer no espaço e ¡!= ¡! . Então existem únicos , , 2 R tais que

¡!= ¡!+ ¡!+ ¡! 

É fácil veri…car que

= h¡! ¡!i = k¡!k cos 1onde 1 = \(¡!  ¡! );

= h¡! ¡!i = k¡!k cos 2onde 2 = \(¡!  ¡! );

= h¡! ¡!i = k¡!k cos 3onde 3 = \(¡!  ¡! )

Os ângulos 1, 2, 3 são chamados de ângulos diretores do vetor ¡!e os cossenos cos 1,

cos 2 e cos 3 são chamados de cossenos diretores do vetor ¡!.

Assim, qualquer vetor pode ser escrito de modo único em termos de suas coordenadas

cartesianas. Portanto, as coordenadas (  ) de um ponto em R3 podem ser identi…- cadas com o vetor

¡!= ¡!+ ¡!+ ¡! 

Neste caso, denotamos o vetor ¡!por ¡!= ¡! = ¡!+ ¡!+ ¡!= (  )

Uma base f¡!1¡!2¡!3g de R3 é positiva se ela tem a mesma orientação da base canônica f¡! ¡! ¡!g. Caso contrário, dizemos que ela é uma base negativa.

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3.8. BASES ORTOGONAIS 87

Exemplo 3.40 Sejam ¡!= (230), ¡!= (101), ¡!= (012) e ¡!= (111).

1. Mostrar que B = f¡! ¡! ¡!g é uma base de R3.

2. Escreva o vetor ¡! como combinação linear de ¡! , ¡! e ¡! .

3. B é uma base positiva de R3?

Solução. Para mostrar 1, basta provar que os vetores ¡!, ¡!e ¡!são LI. Sejam    2 R3 tais que

¡!+ ¡!+ ¡!= ¡!0

Então

(230) + (101) + (012) = (000)

m (2+  3+   + 2) = (000)

ou, equivalentemente, 8 >< >:

2+ = 0

3+ = 0

+ 2= 0

(3.5)

Assim, o problema de determinar se os vetores ¡!, ¡!e ¡!são LI é equivalente a resolver o sistema homogêneo de equações lineares (3.5). Para isto, consideremos a matriz dos

coe…cientes do sistema

A =

2 64 2 1 0

3 0 1

0 1 2

3 75

Reduzindo a matriz A à forma em escada, nosso sistema é equivanlente a: 8 >< >:

= 0

= 0

= 0

Portanto, os vetores ¡!, ¡!e ¡!são LI. 2. Sejam    2 R3 tais que

¡!= ¡!+ ¡!+ ¡! 

Então

(111) = (230) + (101) + (012)

m (111) = (2+  3+   + 2)

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88 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

ou, equivalentemente, 8 >< >:

2+ = 1

3+ = 1

+ 2= 1

(3.6)

Assim, o problema de determinar se o vetor¡!os vetores ¡!, ¡!e ¡!é equivalente a resolver o sistema não homogêneo de equações lineares (3.6). Para isto, consideremos a

matriz ampliada do sistema

A¶=

2 664 2 1 0

... 1

3 0 1 ... 1

0 1 2 ... 1

3 775

Reduzindo a matriz A¶à forma em escada, nosso sistema é equivanlente a: 8 >< >:

= 1 4

= 1 2

= 1 4

Portanto, ¡!= 1

4 ¡!+ 1

2

¡! +

1

4 ¡! 

3. Por de…nição dos vetores ¡!, ¡!e ¡!, obtemos a matriz mudança de base

M =

2 64 2 1 0

3 0 1

0 1 2

3 75

Como det(M) = ¡8 temos que a base B é negativa.

EXERCÍCIOS

1. Dados ¡!= ¡!¡ ¡!+¡!e ¡!= 2¡!¡ 5¡! 

Determine o vetor ¡!tal que

¡!+ 2¡!= 1 2 ¡!¡ ¡! 

2. Sejam ¡!= 1

4

¡! ¡ ¡!+ 1

2

¡! e

¡! =

¡! + 2

¡! ¡ ¡! 

Determinar e de modo que ¡! tenha sentido contrário a ¡!e seja quatro vezes

maior do que ¡!.

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3.8. BASES ORTOGONAIS 89

3. Sejam

¡!= 1 ¡! + 2

¡! + 3

¡!  

¡! = 1

¡! + 2

¡! + 3

¡!  ¡!= 1

¡! + 2

¡! + 3

¡!

e

= det

0 B@

2 64 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 75

1 CA

(a) Mostrar que ¡!, ¡!e ¡!são LD se, e somente se, = 0.

(b) Mostrar que ¡!, ¡!e ¡!são LI se, e somente se, 6= 0.

4. Sejam ¡!= 2¡!¡ ¡! ¡!= ¡!+ 2¡!e ¡!= ¡!+ 2¡!¡ ¡! 

(a) O conjunto B = f¡! ¡! ¡!g é uma base de R3?

(b) Escreva o vetor ¡!= 4¡!+ 2¡!¡ 4¡!como combinação linear de ¡!, ¡!e ¡!.

5. Sejam (124), (232) e (21¡1).

(a) Os pontos , e são vértices de um triângulo?

(b) Determinar de modo que  seja um paralelogramo.

(c) Determinar o ponto de interseções das diagonais deste paralelogramo.

6. Dê exemplo de dois vetores unitários que tenham a mesma direção que ¡!= 4¡!+ 2 ¡! ¡ 4¡!.

7. Sejam (310), (101) e (¡1  2). Determine de modo que , e sejam colineares.

8. Sejam ¡!= ¡!¡2¡!+¡!e ¡!= 2¡!+¡!. Dê exemplo de dois vetores cujas normas sejam o triplo da norma ¡!+¡!.

9. Sejam ¡!= ¡!+¡!¡ ¡! ¡!= ¡!+¡!e ¡!= 2¡!¡ ¡!+¡! 

(a) Mostrar que B = f¡! ¡! ¡!g é uma base de R3.

(b) Determinar as coordenadas de ¡!= 4¡!¡ 2¡!nesta base.

10. Determinar se as bases são positivas ou negativas.

(a) f¡! ¡! ¡!g;

(b) f3¡! ¡¡!¡ ¡! ¡2¡!¡ 5¡!g;

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90 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

(c) f¡! ¡! ¡!g;

(d) f¡!+¡!+¡! ¡!+¡! ¡!g.

11. Veri…car se os pontos (221), (312), (230) e (232) são coplanares.

12. Sejam ¡!e ¡!vetores quaisquer. Mostrar que °°°¡!§ ¡!

°°° 2

= k¡!k2 § 2h¡! ¡!i+ °°°¡!

°°° 2

13. Seja  um triângulo qualquer. Mostrar a Lei dos Cossenos

2 = 2 + 2 ¡ 2 cos 

onde

= °°°¡¡!

°°°   = °°°¡!

°°°   = °°°¡!

°°° e = \(¡!¡!)

14. Calcular as seguintes somas e diferenças:

(a) ( ¡! + 2

¡! ¡ 3¡!) + (2¡!¡ ¡!+ 5¡!)

(b) (¡¡!+ 5¡!¡ 6¡!) + (2¡!+¡!¡ ¡!) + (¡!¡ 2¡!+ 6¡!)

(c) (2 ¡! +

¡! ¡ 3¡!)¡ (6¡!+ 2¡!+¡!)

(d) ( ¡! + 2

¡! ¡ 4¡!)¡ (2¡!+ 5¡!+ 6¡!) + (3¡!¡ 5¡!+ 7¡!)

15. Sejam ¡!= ¡!+ 2¡!¡ 3¡!e ¡!= 2¡!+ ¡!¡ 2¡!. Determinar vetores unitários paralelos aos vetores

(a) ¡!+¡!

(b) ¡!¡ ¡!

(c) 2¡!¡ 3¡! 

16. Calcular a norma de cada um dos seguintes vetores:

(a) ¡!= ¡!¡ 2¡!+ 4¡!

(b) ¡! = cos

¡! + sen

¡!

(c) ¡!= 2¡!¡ ¡!+ 3¡! 

17. Mostrar que os pontos (122), (334), (453) e (241) são os vértices de

um paralelogramo.

18. Dados os pontos (215) e (362), escreva o vetor ¡!  como combinação linear

dos vetores ¡! ,

¡! ,

¡! . Qual é a norma de

¡! .

19. Calcular os seguintes produtos internos:

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3.8. BASES ORTOGONAIS 91

(a) h¡!+ 2¡!¡ 3¡!  2¡!¡ ¡!+ 5¡!i

(b) h¡¡!+ 5¡!¡ 6¡!  2¡!+¡!¡ ¡!i

(c) h2¡!+¡!¡ 3¡!  6¡!+ 2¡!+¡!i

20. Determinar o vetor unitário da bissetriz do ângulo entre os vetores

¡!= 2¡!+ 3¡!+¡!e ¡!= 3¡!+ 2¡!¡ 3¡! 

21. Determinar o valor de para o qual os vetores ¡! + 3

¡! + 4

¡! e 3

¡! + 2

¡! ¡ 3¡!

sejam perpendiculares.

22. Determinar que não existe um número real tal que os vetores ¡! + 2

¡! + 4

¡! e

¡! ¡ 2¡!+ 3¡!sejam perpendiculares.

23. Determinar o ângulo entre os seguintes pares de vetores:

(a) 2 ¡! +

¡!  

¡! ¡ ¡!

(b) ¡! +

¡! +

¡!  ¡2¡!¡ 2¡!

(c) 3 ¡! + 3

¡!   2

¡! +

¡! ¡ 2¡! 

24. Determinar os ângulos do triângulo cujos vértices são os pontos

(321) (322) e (332)

25. Veri…car se os seguintes vetores são LI:

(a) 2 ¡! +

¡! ¡ ¡!  2¡!+ 3¡!¡ 2¡!e ¡!+ 2¡!+¡!

(b) 3 ¡! + 2

¡! +

¡!   2

¡! +

¡! + 3

¡! e 4

¡! + 3

¡! + 6

¡! .

26. Veri…car se os seguintes pontos são coplanares:

(a) (221), (312), (230) e (232)

(b) (202), (320), (021) e (120).

27. Sejam , e pontos quaisquer e o ponto médio do segmento . Mostrar

que

h¡!¡¡!i = °°°¡!

°°° 2

¡ °°°¡!

°°° 2

28. Sejam ¡!um vetor não nulo qualquer e , e os ângulos que ¡!forma com os vetores

¡! ,

¡! e

¡! , respectivamente. Mostrar que

cos2 + cos2 + cos2 = 1

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92 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

29. Mostrar que, se ¡!e ¡!são vetores quaisquer, então

(a) h¡! ¡!i = 1 4

µ°°°¡!+¡!°°° 2

¡ °°°¡!¡ ¡!

°°° 2 ¶

(b) °°°¡!+¡!

°°° 2

+ °°°¡!¡ ¡!

°°° 2

= 2

µ k¡!k2 +

°°°¡!°°° 2 ¶

(c) ¯̄ ¯k¡!k ¡

°°°¡!°°° ¯̄ ¯ · k¡!k+

°°°¡!°°°

30. Sejam    2 R¤+. Mostrar que

(+ + )

µ 1

+ 1

+ 1

¶ ¸ 9

(Sugestão: Faça

¡!= ( p 

p 

p ) e ¡!= ( 1p

  1p   1p )

e use a Desigualdade de Cauchy-Schwarz.)

31. Mostrar que se ¡!, ¡!e ¡!são vetores não nulos, então pelo menos um dos três ângulos \(¡! ¡!), \(¡! ¡!) e \(¡! ¡!) é menor do que

3 . (Sugestão: Assuma que

k¡!k = °°°¡!

°°° = k¡!k = 1 e calcule °°°¡!+¡!+¡!

°°° 2

.)

3.9 Produto vetorial

Nesta seção vamos introduzir uma quarta operação entre elementos de V. Sejam ¡!e ¡! vetores não nulos de V e o ângulo entre ¡!e ¡!. O produto vetorial (externo) de ¡!e

¡! , nesta ordem, é o único vetor ¡!£ ¡!que satisfaz às seguintes condições:

1. h¡! ¡!£ ¡!i = h¡! ¡!£ ¡!i = 0;

2. °°°¡!£ ¡!

°°° = k¡!k °°°¡!

°°° jsen j;

3. Se ¡!e ¡!são LD, então ¡!£ ¡!= ¡!0 . Se ¡!e ¡!são LI, então

f¡! ¡! ¡!£ ¡!g

é uma base positiva de V.

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3.9. PRODUTO VETORIAL 93

Proposição 3.41 Sejam ¡! , ¡! e ¡! vetores quaisquer de V e  2 R. Então:

1. ¡!£ ¡!= ¡(¡!£ ¡!);

2. ¯̄ ¯h¡!£ ¡! ¡!i

¯̄ ¯ é igual ao volume do paralelepípedo gerado pelos vetores ¡! , ¡! e ¡!;

3. ¡!£ (¡!+¡!) = ¡!£ ¡!+¡!£ ¡!;

4. ¡!£ (¡!) = (¡!£ ¡!);

5. ¡! £ ¡!= ¡! , ¡!£ ¡!= ¡! e ¡!£ ¡!= ¡!;

6. Se ¡!= 1

¡! + 2

¡! + 3

¡!  e

¡! = 1

¡! + 2

¡! + 3

¡!  

então

¡!£ ¡!= (23 ¡ 32) ¡! + (¡13 + 31)

¡! + (12 ¡ 21)

¡!

= det

0 B@

2 64

¡!

¡!

¡!

1 2 3

1 2 3

3 75

1 CA

Prova. Para mostrar 1, basta observar que, se

f¡! ¡! ¡!g

é uma base positiva de V, então

f¡! ¡! ¡¡!g

é uma base positiva de V.

2. Se ¡!, ¡!e ¡!são vetores LD, então o volume reduz-se a 0 e, assim, h¡!£¡! ¡!i = 0. Suponhamos que ¡!, ¡!e ¡!são vetores LI. Sejam = \(¡! ¡!) e = \(¡!£ ¡! ¡!), conforme …gura.

O volume do paralelepípedo é o produto da área da base, a qual é igual a °°°¡!£ ¡!

°°° = k¡!k °°°¡!

°°° jsen j

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94 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

pela altura . Como

= °°°Pr¡!£¡!

¡!°°° = k¡!k jcosj

temos que °°°¡!£ ¡!

°°°= °°°¡!£ ¡!

°°° k¡!k jcosj

= ¯̄ ¯ °°°¡!£ ¡!

°°° k¡!k cos¯̄ ¯

= ¯̄ ¯ °°°¡!£ ¡!

°°° k¡!k cos¯̄ ¯

= ¯̄ ¯h¡!£ ¡! ¡!i

¯̄ ¯

3. Primeiro, note que, na fórmula do volume do item 2não importa a ordem dos

vetores ¡!, ¡!e ¡!, pois se f¡! ¡! ¡!g

é uma base positiva de V, então

f¡! ¡! ¡!g e f¡! ¡! ¡!g

são bases positivas de V, conforme …gura.

Logo,

h¡!£ ¡! ¡!i = h¡!£ ¡! ¡!i = h¡!£ ¡! ¡!i

Agora, sejam ¡!um vetor qualquer de V e

¡!= ¡!£ (¡!+¡!)¡ (¡!£ ¡!)¡ (¡!£ ¡!)

Então

h¡! ¡!i = h¡! ¡!£ (¡!+¡!)i ¡ h¡! ¡!£ ¡!i ¡ h¡! ¡!£ ¡!i = h¡! ¡!£ (¡!+¡!)i+ h¡! ¡!£ ¡!i+ h¡! ¡!£ ¡!i = h¡! ¡!£ (¡!+¡!)i+ h¡!+¡! ¡!£ ¡!i = h¡! ¡!£ (¡!+¡!)i ¡ h¡! ¡!£ (¡!+¡!)i = 0

Assim, °°°¡!£ (¡!+¡!)¡ (¡!£ ¡!)¡ (¡!£ ¡!) °°° 2

= 0

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3.10. PRODUTO MISTO 95

Portanto, ¡!£ (¡!+¡!) = (¡!£ ¡!) + (¡!£ ¡!)

4. É similar a 3. O item 5. segue da unicidade. Para provar 6, sejam 1 = ¡! , 2 =

¡!

e 3 = ¡! . Então, pelos itens anterior, obtemos que

¡!£ ¡!= 3X

=1

3X

=1

( £ )

= (23 ¡ 32) ¡! + (¡13 + 31)

¡! + (12 ¡ 21)

¡!

= ¡! det

Ã" 2 3

2 3

#! ¡ ¡!det

Ã" 1 3

1 3

#!

+ ¡! det

Ã" 1 2

1 2

#!

= det

0 B@

2 64

¡!

¡!

¡!

1 2 3

1 2 3

3 75

1 CA

¥

Observação 3.42 O determinante do item 6 da Proposição acima foi calculado no sen- tido formal, isto é, expansão pela primeira linha. Note que ele não é um determinante

real, pois a primeira linha são vetores e não números reais.

Exemplo 3.43 Sejam

¡!= 2¡!¡ ¡!+ 3¡! e ¡!= ¡¡!+ 3¡!¡ 2¡! 

Determinar ¡!£ ¡! .

Solução.

¡!£ ¡!= det

0 B@

2 64

¡!

¡!

¡!

2 ¡1 3 ¡1 3 ¡2

3 75

1 CA

= ¡7¡!+¡!+ 5¡! 

3.10 Produto Misto

Seja B = f¡! ¡! ¡!g é uma base ordenada de V. O produto misto de ¡! ¡!e ¡!, nesta ordem, é de…nido como

[¡! ¡! ¡!] = h¡!£ ¡! ¡!i

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96 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

Seja = \(¡!£ ¡! ¡!). Se    2 , isto é, é um ângulo agudo, então k¡!k cosé a

altura do paralelepípedo. Se    2 , isto é, é um ângulo obtuso, então ¡k¡!k cosé a

altura do paralelepípedo, conforme …gura. Assim,

[¡! ¡! ¡!] 0 ou [¡! ¡! ¡!] 0

se B é positiva ou não. Como as bases

f¡! ¡! ¡!g e f¡! ¡! ¡!g

são ambas positivas ou ambas negativas temos que

[¡! ¡! ¡!] = [¡! ¡! ¡!] = h¡!£ ¡! ¡!i

Portanto, o produto misto depende somente da ordem cíclica dos vetores e não da posição

do produto escalar e do produto vetorial.

Proposição 3.44 Sejam

¡!= 1 ¡! + 2

¡! + 3

¡!  

¡! = 1

¡! + 2

¡! + 3

¡!  e ¡!= 1

¡! + 2

¡! + 3

¡!

vetores quaisquer de V. Então

[¡! ¡! ¡!] = det

0 B@

2 64 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 75

1 CA

Prova. Como

¡!£ ¡!= (23 ¡ 32) ¡! + (¡13 + 31)

¡! + (12 ¡ 21)

¡!

temos que

h¡!£ ¡! ¡!i = (23 ¡ 32)1 + (¡13 + 31)2 + (12 ¡ 21)3 = (23 ¡ 32)1 + (¡13 + 31)2 + (12 ¡ 21)3

= 1 det

Ã" 2 3

2 3

#! ¡ 2 det

Ã" 1 3

1 3

#!

+3 det

Ã" 1 2

1 2

#!

= det

0 B@

2 64 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 75

1 CA

¥

Exemplo 3.45 Determinar o volume do tetraedro de vértices , ,  e .

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3.10. PRODUTO MISTO 97

Solução. Sejam ¡!= ¡!, ¡!= ¡! e ¡!= ¡¡! os vetores mostrados na …gura.

Então o volume do paralelepípedo gerado por ¡!, ¡!e ¡!é igual a duas vezes o volume do prisma  , isto é,

 = 1

2

¯̄ ¯[¡! ¡! ¡!]

¯̄ ¯

Note que o prisma é dividido em três tetraedros, a saber, ,  e  com

o mesmo volume, por exemplo,  e  têm faces congruentes ,  e o

mesmo vértice . Portanto, o volume do tetraedro é igual

 = 1

3  =

1

6

¯̄ ¯[¡! ¡! ¡!]

¯̄ ¯

ou seja, o volume do tetraedro é igual um sexto do volume do paralelepípedo gerado por ¡!, ¡!e ¡!.

Exemplo 3.46 Calcular a altura do tetraedro de vértices

(¡22¡1)   (012)  (113) e  (001)

relativa à face de vértices ,  e .

Solução. Pela …gura acima temos que

= °°°Pr¡¡!£¡¡!

¡! 

°°° =

¯̄ ¯h¡¡! £ ¡¡!¡!i

¯̄ ¯

°°°¡¡! £ ¡¡! °°°

=

¯̄ ¯[¡¡!¡¡!¡!]

¯̄ ¯

°°°¡¡! £ ¡¡! °°°

Como ¡!  = (¡21¡3), ¡¡! = (101) e ¡¡! = (0¡1¡1) temos que

¡¡!  £ ¡¡! = (11¡1) e [¡¡!¡¡!¡!] = ¡2

Portanto,

= 2p 3 = 2 p 3

3

EXERCÍCIOS

1. Calcular o produto misto [¡! ¡! ¡!] para os seguintes ternos de vetores:

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98 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

(a) ¡!= 2¡!¡ ¡!+¡!  ¡!= ¡!¡ ¡!+¡!e = ¡!+ 2¡!¡ ¡! 

(b) ¡!= ¡!  ¡!= ¡!+ 1000¡!e = 100¡!¡ 200¡! 

(c) ¡!= 2¡!  ¡!= 3¡!e = 4¡! 

(d) ¡!= 2¡!¡ ¡!+¡!  ¡!= 3¡!¡ ¡!+¡!e = ¡!+ 2¡!¡ 3¡! 

2. Calcular o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto (216) e

os três vértices adjacentes nos pontos (413)   (132) e (121)

3. Calcular os seguintes produtos vetoriais:

(a) ³¡! ¡ ¡!+¡!

´ £

³ 2 ¡! +

¡! ¡ ¡!

´

(b) ³ ¡¡!+ 2¡!+ 3¡!

´ £

³ 2 ¡! ¡ ¡!+ 3¡!

´

(c) ³ 2 ¡! ¡ 3¡!¡ ¡!

´ £

³ ¡¡!+¡!¡ ¡!

´

4. Calcular a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são (101)

(213) e (325)

5. Mostrar que f¡! ¡! ¡!g é uma base ortonormal, onde

¡!= 1p 6 ( ¡! + 2

¡! +

¡! )

¡! =

1p 2 (¡¡!+¡!)¡!= 1p

3 ( ¡! ¡ ¡!+¡!)

Essa base é positiva ou negativa?

6. Calcular a área do triângulo com vértices (121)   (304) e (513)

7. Determinar um vetor unitário perpendicular aos vetores

¡!= ¡!¡ 2¡!+ 3¡!e ¡!= 3¡!¡ ¡!+ 2¡! 

8. Calcular os produtos h¡! ¡!ih¡! ¡!i¡!£ ¡!  ¡!£ ¡!  [¡! ¡! ¡!](¡!£ ¡!) £ (¡!£ ¡!) e h¡!£ ¡! ¡!£ ¡!i quando ¡!= 2¡!+¡!¡ 2¡!  ¡!= 2¡!¡ ¡!+ 3¡!e ¡!= ¡!+ 2¡!¡ ¡! 

9. Calcular k¡!k, h¡! ¡!i, °°°¡!£ ¡!

°°°, [¡! ¡! ¡!], e o ângulo entre ¡!e ¡!, sendo

¡!= 2¡!¡ ¡!+ 3¡! ¡!= ¡¡!+ 3¡!¡ 2¡! ¡!= ¡¡!+ 2¡!¡ 2¡! 

10. Use o produto misto para mostrar que se duas linhas quaisquer em um determinante

de terceira ordem são iguais, então o valor desse determinante é zero.

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3.10. PRODUTO MISTO 99

11. Utilize o produto misto para mostrar que:

det

0 B@

2 64 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 75

1 CA = det

0 B@

2 64 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 75

1 CA

e

det

0 B@

2 64 1 +

0 1 2 +

0 2 3 +

0 3

1 2 3

1 2 3

3 75

1 CA = det

0 B@

2 64 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 75

1 CA

+det

0 B@

2 64 01

0 2

0 3

1 2 3

1 2 3

3 75

1 CA

12. Mostrar que f¡! ¡! ¡!g, com ¡!= ¡!¡ 2¡!+ 2¡!, ¡!= 2¡!+ 2¡!+ ¡!e ¡!= ¡2¡!+ ¡!+ 2¡!, é uma base ortogonal positiva se 6= 0. Para que valor de essa base é ortonormal?

13. O produto vetorial é associativo? Justi…que sua resposta.

14. Seja ¡!= ¡!+ 2¡!¡ ¡!e ¡!= ¡¡!+ 3¡!. Calcular:

h¡! ¡!i¡!£ ¡!  ¡!°°°¡!

°°° e

°°°¡!£ ¡!°°°

15. Mostrar que ¡!e ¡!são linearmente independente se, e somente se, ¡!£ ¡!6= ¡!0 .

16. Escreva o vetor ¡!= 6¡!+ ¡!¡ ¡!como combinação linear dos vetores da base f¡! ¡! ¡!g do Exercício 6

17. Mostrar que os vetores ¡!, ¡!e ¡!são linearmente independentes se, e somente se,

det

0 B@

2 64

h¡! ¡!i h¡! ¡!i h¡! ¡!i h¡! ¡!i h¡! ¡!i h¡! ¡!i h¡! ¡!i h¡! ¡!i h¡! ¡!i

3 75

1 CA 6= 0

18. Sejam ¡!e ¡!vetores quaisquer. Mostrar que °°°¡!£ ¡!

°°° 2

+ ³ h¡! ¡!i

´2 = k¡!k2

°°°¡!°°° 2

19. Sejam ¡!e ¡!vetores e um escalar. Determinar todos os vetores ¡!tais que

¡!£ ¡!= ¡!e h¡! ¡!i = 

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100 CAPÍTULO 3. CÁLCULO VETORIAL

20. Sejam ¡!, ¡!e ¡!vetores, com ¡!6= ¡!0 e um escalar. Provar ou dar um contra exemplo que

h¡! ¡!i = h¡! ¡!i e ¡!£ ¡!= ¡!£ ¡!) ¡!= ¡! 

21. Sejam ¡! ¡! ¡!e ¡!vetores quaisquer. Mostrar que:

(a) ¡!£ (¡!£ ¡!) = h¡! ¡!i¡!¡ h¡! ¡!i¡!; (Expansão de Grassmann) (Sug- estão: Mostre que

h¡! ¡!£ (¡!£ ¡!)i = h¡!  ³ h¡! ¡!i¡!¡ h¡! ¡!i¡!

´ i

onde ¡!= ¡!, ¡!e ¡!, continue.)

(b) (¡!£ ¡!)£ ¡!= h¡! ¡!i¡!¡ h¡! ¡!i¡!;

(c) ¡!£ (¡!£¡!)+¡!£ (¡!£¡!)+¡!£ (¡!£¡!) = ¡!0 ; (Identidade de Jacobi)

(d) h¡!£ ¡! ¡!£ ¡!i = h¡! ¡!ih¡! ¡!i ¡ h¡! ¡!ih¡! ¡!i; (Identidade de La- grange) (Sugestão: Note que

h¡!£ ¡! ¡!£ ¡!i = h¡!£ (¡!£ ¡!)¡!i

e use .)

(e) (¡!£ ¡!)£ (¡!£ ¡!) = [¡! ¡! ¡!]¡!¡ [¡! ¡! ¡!]¡!.

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