Vetores - Exercícios - Física Geral, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
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Botafogo8 de Março de 2013

Vetores - Exercícios - Física Geral, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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Apostilas e exercicios de Física Geral da Universidade Federal de Santa Catarina sobre o estudo dos Vetores.
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Microsoft Word - lista01_5101_20122

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CFM DEPARTAMENTO DE FÍSICA FSC 5101 – FÍSICA I– Semestre 2012.2 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – VETORES

1) Quais são as propriedades de dois vetores a

e b

, tais que

a) a b c → → →

+ = e a b c+ =

b) →→→

=+ cba e a b c− =

c) a b a b → → → →

+ = −

d) a b c → → →

+ = e a b c2 2 2+ =

2) Um deslocamento possui módulo s1 = 30 cm. Outro deslocamento possui módulo s2 = 40 cm. (a)

Calcule o módulo do deslocamento resultante supondo que os deslocamentos componentes sejam

perpendiculares entre si. (b) Se o módulo de r s for igual a 70 cm, qual será a orientação relativa dos

deslocamentos? (c) E se o módulo do deslocamento resultante for igual a 10 cm? (d) Calcule a orientação

relativa dos dois deslocamentos, s1 e s2, se o módulo do deslocamento resultante for igual a 20 cm. (e)

Calcule a orientação relativa dos dois deslocamentos, s1 e s2, se o módulo do deslocamento resultante for

igual a 65 cm.

3) Um carro percorre uma distância de 30,0 km no sentido Oeste-Leste; a seguir percorre 10,0 km no sentido Sul-Norte e finalmente percorre 5,00 km numa direção que forma um ângulo de 30,0° com o

Norte e 60,0° com o Leste. Usando o método geométrico (ou gráfico) e o método analítico, calcule: (a) O

módulo do deslocamento resultante. (b) O ângulo entre o vetor deslocamento resultante e o sentido

Oeste-Leste.

4) Um vetor a

tem módulo de 10,0 unidades e sentido de Oeste para Leste. Um vetor b

tem módulo de

20,0 unidades e sentido de Sul para Norte. Determine o módulo dos seguintes vetores: (a) ba rr

+ ,

(b) →→

ba .

5) Um jogador de golfe dá três tacadas para colocar a bola num buraco. A primeira tacada desloca a bola 6,0 m para o Norte, a segunda desloca a bola 2,0 m para o Leste e a terceira desloca a bola 2,0 m para o

Nordeste. Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento equivalente que poderia ser obtido

com uma única tacada.

6) (a) Determine os componentes escalares dos vetores CeBA rrr

,

indicados na figura ao lado. (b) Escreva os vetores CeBA rrr

,

utilizando os vetores unitários. (c) Calcule o módulo, direção e

sentido do vetor S A B C= + + r r rr

.

7) Dois vetores são dados por: kjia ˆˆ2ˆ3 −−= r

e kjib ˆ2ˆˆ3 −−= r

. Determine: (a) ba rr

+ , (b) ba rr

− ,

(c) ba rr

+− .

8) Dois vetores de módulos a e b fazem um ângulo θ entre si. Prove, considerando os componentes escalares ao longo de dois eixos perpendiculares, que o módulo da resultante dos dois vetores é:

)cos2( 22 θabbar ++=

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9) Dados dois vetores jia ˆˆ2 −= r

e jib ˆˆ −= r

, determine o módulo e a direção de a r

, de b r

, de )( ba rr

− , de

)( ba rr

+ e de )( ab rr

− .

10) Os vetores a

e b

estão orientados

conforme indica a figura. A resultante

da soma destes vetores vale R

.Temos:

a = b = 5,0 unidades. Determinar:

(a) Os componentes de R

segundo Ox

e segundo Oy, (b) O módulo de R

,

(c) O ângulo que R

forma com o eixo Ox.

11) Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos sobre um plano: 2,0 m de Norte para Sul, 4,0 m de Oeste para Leste e 12,0 m numa direção que forma um ângulo de 60,0° com o Leste e de 30,0° com o

Norte. Escolha o eixo Ox apontando no sentido Oeste-Leste e o eixo Oy no sentido Sul-Norte. Faça a

origem O coincidir com a origem dos deslocamentos. Determine: (a) os componentes escalares de cada

deslocamento, (b) os componentes escalares do deslocamento R

resultante, (c) o módulo, a direção e o

sentido do deslocamento resultante.

12) Uma velejadora encontra ventos que impelem seu pequeno barco a vela. Ela veleja 2,00 km de oeste para leste, a seguir 3,50 km para sudeste e depois uma certa distância em direção desconhecida. No final

do trajeto ela se encontra a 5,80 km diretamente a leste de seu ponto de partida. Determine o módulo, a

direção e o sentido do terceiro deslocamento. Faça um diagrama em escala da soma vetorial dos

deslocamentos e mostre que ele concorda aproximadamente com o resultado mediante a solução

numérica.

13) Uma estação de radar observa um avião aproximando-se vindo do

leste. Na primeira observação, a

posição do avião é de 360 m a

uma altura de 40,0° acima do horizonte.

O avião é rastreado por 123° no plano

leste-oeste e a distância final é

de 791 m. Determine o módulo

do deslocamento do avião

durante o período de observação.

14) Você deseja programar o movimento do braço de um robô em uma linha de montagem. Seu primeiro

deslocamento é A r

; seu segundo deslocamento é B r

, cujo módulo é igual a 6,40 cm, orientado formando

um ângulo de 63,0 o , medido considerando-se uma rotação do eixo +Ox para o eixo –Oy. A resultante

BAC rrr

+= dos dois deslocamentos deve também possuir módulo igual a 6,40 cm , porém formando um

ângulo de 22,0 o , medido considerando-se uma rotação do eixo +Ox para o eixo +Oy. (a) Desenhe um

diagrama em escala aproximada para estes vetores. (b) Calcule os componentes escalares de A r

. (c)

calcule o módulo direção e sentido de A r

.

a

b 105°

30°

y

O x

v

791m 360m 123°

40° L O

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15) Os três vetores mostrados têm módulos a = 3, b = 4 e c =10.

(a) Calcule os componentes escalares destes vetores.

(b) Ache os números p e q tais que bqapc rrr

+= .

16) Uma formiga, enlouquecida pelo sol em um dia quente, sai correndo em um plano xy. Os componentes (x ; y) de quatro corridas consecutivas em linha reta são os seguintes, todos em

centímetros: (30,0; 40,0), (bx ; -70,0), (-20,0; cy); (-80,0; -70,0). O deslocamento resultante das quatro

corridas tem componentes (-140; -20,0). Determine (a) bx e (b) cy. Determine (c) o módulo e (d) o

ângulo (em relação ao semi-eixo x positivo) do deslocamento total.

17) Um vetor v

possui módulo igual a 4 m e está situado a 45° com a direção Oeste-Leste no sentido

anti-horário. Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: (a) v

/ 2, (b) − →

2 v .

18) Dois vetores são dados por kjia ˆˆ2ˆ3 −−= r

e kjib ˆ2ˆˆ3 −−= r

Determine o vetor ba rr

23 − .

19) Prove que dois vetores devem ter módulos iguais para que a sua soma seja perpendicular à sua diferença.

20) A resultante de uma soma vetorial de dois vetores possui módulo igual a 4,0 m. O módulo de um dos vetores componentes é igual a 2,0 m e o ângulo entre os dois vetores componentes é igual a 60°. Calcule

o módulo do outro vetor componente.

21) Mostre que, para qualquer vetor, a

, temos que a a a → →

=. 2 e que a x a → →

= 0.

22) Um vetor a

de módulo igual a 10 unidades e outro vetor b

de módulo igual a 6 unidades apontam

para direções que fazem um ângulo de 60° entre si. (a) Determine o produto escalar entre os dois vetores

e (b) o produto vetorial entre eles.

23) (a) Determine os componentes e o módulo de cbar rrrr

+−= se kjia ˆ6ˆ4ˆ5 −+= r

, kjib ˆ3ˆ2ˆ2 ++−= r

e kjic ˆ2ˆ3ˆ4 ++= r

. (b) Calcule o ângulo entre r r

e o eixo z positivo.

24) Mostre que a área do triângulo

compreendido entre os vetores a

eb

da figura, é igual a (1/2) |a x b → →

| onde as

barras verticais indicam o módulo.

25) Determine o valor de m para que o vetores kjic ˆ9ˆ5ˆ3 −+= r

e kjmia ˆ4ˆˆ7 ++= r

sejam

perpendiculares entre si.

a r

b r

bsenθθ

y

x a r

b r

c r

30°

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26) Três vetores, ,a b e c rr r

somam zero, como no triângulo retângulo

da figura ao lado. Sabendo-se que os módulos dos três vetores são,

respectivamente, 4, 3 e 5, calcule:

(a) ba rr

⋅ ; (b) ca rr

⋅ ; (c) cb rr

⋅ ; (d ) ba rr

× ; (e) ca rr

× ; (f) cb rr

× .

27) O vetor a r

está no plano yz a 63,0° do eixo +Oy, com uma componente z positiva e tem módulo 3,20

unidades. O vetor b r

está no plano xz a 48,0° do eixo +Ox, com uma componente z positiva e tem

módulo de 1,40 unidade. Ache (a) a r

. b r

, (b) a r

xb r

e (c) o ângulo entre a r

e b r

.

RESPOSTAS - VETORES

1) (a) a

e b

devem ser colineares e de mesmo sentido.

(b) a

e b

devem ser colineares e de sentidos opostos.

(c) b = 0

(d) a

e b

devem ser perpendiculares entre si.

2) (a) 50 cm

(b) os dois deslocamentos seriam paralelos e de mesmo sentido.

(c) os dois deslocamentos seriam paralelos e de sentidos contrários.

(d) 151°

(e) 44°

3) (a) 35,5 km

(b) 23,8°

4) (a) 22,4 unidades

(b) 22,4 unidades

5) módulo: 8,2 m; direção: formando um ângulo de 65° com o Leste e 25° com o Norte.

6) (a) Ax = 7,2 m; Ay = 9,6 m; Bx = 11,5 m, By = -9,6 m; Cx = -3,0 m, Cy = -5,2 m

(b) ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ7,2 9,6 ( ); 11,5 9,6 ( ); 3,0 5,2 ( )A i j m B i j m C i j m= + = − = − − r r

(c ) módulo=16,5 m; faz um ângulo de 342° com o eixo x positivo, medido no sentido anti-horário.

7) (a) kji ˆ3ˆ3ˆ6 −− (b) kj ˆˆ +− (c) kj ˆˆ −

9) =a r

5 ; 27° com eixo OX positivo, medido no sentido horário.

=b r

2 ; 45° com o eixo OX positivo, medido no sentido horário.

=− ba rr

1; paralelo ao eixo OX positivo.

=+ ba rr

13 ; 34° com o eixo OX positivo, medido no sentido horário.

ab rr

− = 1; 180° com o eixo OX positivo, medido no sentido antihorário.

a r

c r

b r

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10) (a) Rx = 0,79 unidades; Ry = 6,0 unidades.

(b) R = 6,1 unidades.

(c) 82° no sentido antihorário.

11) (a) ax = 0; ay = -2,0 m ; bx = 4,0 m; by = 0 ; cx = 6,0 m; cy = 10,4 m.

(b) Rx = 10 m; Ry = 8,4 m.

(c) R = 13,1 m; direção: 40,0° com o eixo OX positivo, medido no sentido antihorário.

12) 2,81 km; 61,8 o do leste para o norte.

13) 1032 m.

14) (b) Ax = 3,03 cm; Ay = 8,10 cm.

(c) 8,65 cm; 69,5 o medido no sentido do eixo +Ox para o eixo +Oy (medido no sentido antihorário a

partir do eixo +Ox).

15) (a) ax= 3, ay= 0; bx=2 3 , by= 2; cx = -5, cy = 35 .

(b) p = 3

20 − , q =

2

35 .

16) (a) -70,0 cm;

(b) 80,0 cm;

(c) 141 cm;

(d) 188° com o eixo OX positivo, medido no sentido antihorário.

17) (a) 2 m, 45° com a direção Oeste-Leste medido no sentido antihorário.

(b) 8 m, 225° com a direção Oeste-Leste medido no sentido antihorário.

18) kji ˆˆ4ˆ3 +−

20) 2,6 m

22) (a) 30 unidades 2

(b) 52 unidades

2 ; direção: perpendicular ao plano formado pelos dois vetores. Sentido: regra de mão

direita.

23) (a) kjir ˆ7ˆ511 −+= → )

; r = 14

(b) 120°

25) m= 3

26) (a) 0 (b) -16 (c) -9 (d) k̂12 (e) k̂12− (f) k̂12

27) (a) 2,97 unidades 2 (b)

2)ˆ36,1ˆ68,2ˆ51,1( unidadeskji −+ (c) 48,5°

Problemas compilados dos livros:

-"Fundamentos da Física - 1"; David Halliday , Robert Resnick e Jearl Walker; Livros Técnicos e Científicos Editora.

-“Física-Vol.1"; David Halliday, Robert Resnick e K.S. Krane; 4a Edição; Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.

- “Física-Mecânica”, vol. 1, Paul Tipler, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.

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