Vibrações mecânicas
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Clastow27 de Outubro de 2015

Vibrações mecânicas

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Universidade Estadual do Oeste do Paraná UNIOESTE/Campus de Foz do Iguaçu

Centro de Engenharias e Ciências Exatas - CECE

Vibrações Mecânicas

Notas de Aulas - 2.o Versão

Prof. Dr. Samuel da Silva

Foz do Iguaçu, 2009.

Prefácio

Este texto apresenta a 2.o versão das notas de aulas da disciplina Vibrações do curso de graduação em Engenharia Mecânica do Centro de Engenharias e Ciências Exatas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Campus de Foz do Iguaçu. Esta apostila foi elaborada em 2008 e não tem a pretensão de substituir os excelentes livros textos existentes na área [7], [5], [10], [11] ou [15], mas apenas servir como um instrumento conciso e simples para que os alunos e o professor possam seguir durante as aulas teóricas e práticas. Assim, é aconselhável que os alunos mais interessados busquem informações em outros livros para complementar e reforçar o assunto. Espero contar com o apoio dos alunos e demais colaboradores para melhorar este texto constantemente, sendo assim, sugestões, correções e comentários são muito bem vindos1. Gostaria de agradecer ao Prof. Dr. Milton Dias Junior da FEM/UNICAMP por ceder algumas figuras ilustrativas presentes no capítulo 1. Também agradeço ao Prof. Geraldo Carvalho Brito Jr. pela cuidadosa leitura da 1.o versão desta apostila e por seus comentários e correções. Boa leitura e estudo!

Samuel da Silva setembro de 2009.

1e-mail: sam.silva13@gmail.com

2

Sumário

Lista de Figuras 5

1 Introdução 9 1.1 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Análise vibro-acústica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Análise modal experimental e modificação estrutural . 10 1.1.3 Manutenção preditiva por análise de vibrações . . . . . 12 1.1.4 Integridade estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas . . . . 14 1.2.2 Componentes de sistemas mecânicos . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Forças de excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4 Análise de sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.5 Posição de equilíbrio estático . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Classificação das vibrações mecânicas . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Vibrações Livres em Sistemas com 1 Grau de Liberdade 30 2.1 Vibrações livres não-amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Vibrações livres amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.1 Movimento oscilatório subamortecido ou subcrítico (0 < ξ < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2 Movimento superamortecido ou super-crítico(ξ > 1) . . 44 2.2.3 Movimento amortecido criticamente ou crítico amorte-

cido (ξ = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Decremento logarítmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Vibrações Forçadas em Sistemas com 1 Grau de Liberdade 57 3.1 Vibração causada por excitação harmônica . . . . . . . . . . . 58

3

3.2 Vibração causada por força de desbalanceamento em máquinas rotativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Função de resposta ao impulso (IRF) . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4 Resposta para excitação do tipo degrau unitário . . . . . . . . 69 3.5 Método da integral de convolução . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.6 Função de transferência e métodos freqüênciais . . . . . . . . . 72

3.6.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.6.2 Função de resposta em freqüência (FRF) . . . . . . . . 74

3.7 Estimativa experimental de IRFs e FRFs: Análise Espectral . 76 3.8 Determinação experimental do coeficiente de amortecimento

por vibrações forçadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.9 Métodos numéricos para solução de equações do movimento . 85

3.9.1 Método de Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.9.2 Método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.9.3 Método de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.10 Vibrações em sistemas auto-excitados . . . . . . . . . . . . . . 92 3.10.1 Análise de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.10.2 Instabilidade dinâmica causada por escoamento de fluido 94

3.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 Isolamento de Vibrações, Tipos de Amortecimento e Técni- cas de Medição 103 4.1 Isolamento de Vibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.1.1 Isolamento ativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.1.2 Isolamento passivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2 Tipos de Amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.1 Amortecimento de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.2 Amortecimento histerético . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2.3 Amortecimento proporcional . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3 Técnicas de Medição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3.1 Medição em campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3.2 Medição em laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.3 Transdutores para medição de vibrações . . . . . . . . 115

5 Sistemas Mecânicos com Múltiplos Graus de Liberdade 117 5.1 Equações de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.2 Solução via modos normais: análise modal analítica . . . . . . 121

5.2.1 Vibrações livres: sistema sem amortecimento . . . . . . 122 5.2.2 Vibrações livres: sistema com amortecimento propor-

cional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.3 Vibrações forçadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4

5.4 Introdução à análise modal experimental . . . . . . . . . . . . 137 5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Referências Bibliográficas 150

5

Lista de Figuras

1.1 Análise modal experimental em porta e retrovisor de carros. . 11 1.2 Alguns modos de vibrar da porta. . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Desabamento de ponte sobre o o rio Mississipi em 2007. . . . . 13 1.4 Sistema torsional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Exemplo de força harmônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Exemplo de força periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7 Exemplo de força transitória. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8 Exemplo de força aleatória. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9 Sistema massa-mola-amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.10 Sistema mecânico como molas em paralelo. . . . . . . . . . . . 20 1.11 Sistema mecânico como molas em série. . . . . . . . . . . . . . 20 1.12 Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.13 Exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.14 Exemplo 2 - solução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.15 Exemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.16 Exemplo 3 - solução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.17 Exemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.18 Exercício 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.19 Exercício 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.20 Exercício 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.21 Exercício 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.22 Exercício 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 Sistema massa-mola-amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Exemplo de resposta de sistema livre não-amortecido com 1

gdl para várias condições iniciais diferentes. . . . . . . . . . . 34 2.3 Sistema massa-mola com 1 gdl. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Vagão batendo em uma mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Sistema com 1 gdl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 DCL do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.7 Exemplo de resposta do sistema subamortecido. . . . . . . . . 42

6

2.8 Exemplo de resposta de sistema livre amortecido com 1 gdl com movimento subamortecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.9 Sistema massa-mola-amortecedor com dois amortecedores. . . 44 2.10 Resposta do sistema superamortecido. . . . . . . . . . . . . . 45 2.11 Resposta do sistema criticamente amortecido. . . . . . . . . . 46 2.12 Resposta de sistema subamortecido evidenciando amplitudes

sucessivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.13 Resposta livre do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.14 Resposta livre do sistema estrutural. . . . . . . . . . . . . . . 51 2.15 Resposta ao impulso h(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.16 Vista do fórmula 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.17 Amortecedor para uma motocicleta. . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.18 Sistema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.19 Sistema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.20 Sistema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.21 Barra rígida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.22 Barra rígida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.23 Eixo com turbina montada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1 Curvas de ampliação de amplitudes de vibração para um sis- tema com 1 gdl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2 Exemplo de batimento para um sistema com 1 gdl. . . . . . . 62 3.3 Exemplo de máquina rotativa com massa desbalanceada. . . . 64 3.4 Curva da função Λ (r, ξ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5 Exemplo de resposta ao impulso h(t) de um sistema. . . . . . 68 3.6 Exemplo de resposta ao degrau unitário para um sistema com

um grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.7 Funções de resposta em freqüência para um sistema com 1

grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.8 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade para um sistema

com 1 grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.9 Gráfico da parte real e imaginária da FRF (compliância) para

um sistema com 1 grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . 79 3.10 Realizações de sinais medidos em um processo estocástico. . . 80 3.11 Exemplo de um sinal estacionário. . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.12 Distribuição de partes de um sinal estacionário. . . . . . . . . 82 3.13 Sistema linear e invariante com o tempo representado por uma

IRF discreta h[n]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.14 Esquema de aceleração média constante de Newmark. . . . . . 90 3.15 Conjunto moto-bomba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.16 Motor elétrico a ser instalado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7

3.17 FRF (Compliância) para um sistema com 1 grau de liberdade. 101 3.18 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade. . . . . . . . . . . 102 3.19 Antena de carro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.1 Exemplo de máquina montadas sobre uma base com isoladores.104 4.2 Transmissibilidade Absoluta do sistema. . . . . . . . . . . . . 106 4.3 Exemplo de máquina como isolamento passivo. . . . . . . . . . 107

5.1 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 118 5.2 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 120 5.3 Mapeamento dos pólos do sistema no plano complexo. . . . . . 132 5.4 Exemplo de sistema com dois graus de liberdade com força de

excitação harmônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.5 Respostas do sistema mecânica para o sinal de excitação F (t)

aplicado na massa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.6 Resposta experimental da estrutura ensaida. . . . . . . . . . . 142 5.7 FRFs experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.8 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 146 5.9 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 146 5.10 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 147 5.11 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 147 5.12 Exemplo de uma viga com múltiplos graus de liberdade. . . . 148 5.13 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 149

8

Capítulo 1

Introdução

A meta deste capítulo é introduzir os conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecânicas. Inicialmente, apresenta-se uma lista de al- gumas aplicações práticas na indústria dos conceitos envolvidos nesta dis- ciplina, com o propósito de motivar o leitor ao estudo de vibrações. Em seguida, destaca-se formalmente algumas definições básicas necessárias para estudar vibrações, como graus de liberdade, elementos de um sistema vi- bratório, forças de excitação, análise de sistemas equivalentes e posição de equilíbrio estático. Por fim, é mostrada uma forma de classificar os proble- mas de vibrações. Ao longo deste capítulo são apresentados alguns exercícios resolvidos.

1.1 Exemplos de aplicação Esta seção apresenta alguns exemplos de aplicações industriais que podem

ser feitas a partir do conhecimento desta disciplina.

1.1.1 Análise vibro-acústica

A análise vibro-acústica apresenta uma lugar de destaque no projeto de máquinas, automóveis, aeronaves, etc. Um nível de ruído ou vibração ex- cessivo em sistemas mecânicos pode comprometer o correto funcionamento de sistemas de engenharia, prejudicar o conforto humano e diminuir a vida útil do sistema. Portanto, uma análise sobre os níveis de vibração que um sistema mecânico pode atingir é extremamente necessária e desejada em pro- jetos modernos, seja no momento de síntese ou análise de algum protótipo.

Um exemplo é a vibração de um motor de automóvel. O motor é montado em cima de coxins que são presos a estrutura metálica do automóvel. O es-

9

tudante deve lembrar do conceito de ressonância1, estudado em física básica. Assim, se a freqüência de rotação do motor coincidir com alguma freqüência natural da estrutura do automóvel, como as freqüências naturais do capo, pode ocorrer um efeito trágico. Portanto, durante o projeto de um carro, os engenheiros devem conhecer muito bem quais são as freqüências naturais do sistema como um todo e de seus componentes, para se evitar ressonância, ou mesmo ruído indesejável em painéis, interior, etc2.

Outro exemplo interessante é o fenômeno aeroelástico de flutter que ocorre principalmente em estruturas aeronáuticas [2]. Flutter é uma vibração em vôo de estruturas flexíveis causada pela energia de fluxos de ar absorvidas por superfícies de sustentação (ocasionadas sobretudo devido ao despreendi- mento de vortíces). Este efeito conduz a uma instabilidade potencialmente destrutiva resultante de uma interação entre forças elásticas, de inércia e aerodinâmicas. Assim, para uma aeronave ser certificada pelo CTA/FAA as empresas aeronáuticas devem ter total conhecimento sobre freqüências de ressonância em função das velocidades de vôo, peso, altitude, pressão, etc. Conseqüentemente, as exigências básicas para os engenheiros envolvidos neste processo é ter conhecimentos básicos sólidos em vibrações mecânicas, muitos deles serão apresentados durante este curso introdutório.

1.1.2 Análise modal experimental e modificação estru- tural

A análise modal experimental (AME) consiste em extrair os chamados parâmetros modais de um sistema mecânico. Os parâmetros modais são pa- râmetros característicos do sistema e são compostos por freqüências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibrar. Se forem corretamente obtidos é possível descrever o comportamento de um sistema vibratório sem necessitar de um modelo matemático.

A AME também é muito usada pela indústria automobilística e aeronáu- tica. Um exemplo interessante de aplicação é a extração dos modos naturais de uma porta de carro visando otimizar o projeto de retrovisores [8]. Nesta aplicação, a empresa fabricante do automóvel constatou que em determina- das velocidades o retrovisor vibrava muito e refletia a luz do sol diretamente na face do motorista, o que poderia provocar desconforto, além do risco de acidente. Com o intuito de descobrir qual a origem desta vibração em ve- locidades tão características foi realizada uma AME na porta do carro com o retrovisor, vista na figura (1.1). Depois de extraído os modos naturais,

1O Cap. 2 irá definir formalmente o que é ressonância. 2Quem já não andou em um carro onde todo o seu interior vibra completamente?

10

vistos na figura (1.2), constatou-se que as freqüências naturais destes modos eram excitadas nesta faixa de velocidades. A partir de um procedimento de otimização usando uma malha de elementos finitos foi possível propor uma modificação estrutural na porta e retrovisor visando reduzir este problema.

(a) Carro com instrumentação usada no ensaio.

(b) Detalhe da porta.

Fig. 1.1: Análise modal experimental em porta e retrovisor de carros.

11

Fig. 1.2: Alguns modos de vibrar da porta.

1.1.3 Manutenção preditiva por análise de vibrações

Quando um componente mecânico de um máquina rotativa3, como ro- lamentos, mancais, conexões, etc. apresentam algum defeito, como desali- nhamento, desbalanceamento, trinca, etc. o comportamento vibratório do sistema muda o seu padrão. Caso se conheça algum sinal de referência da máquina é possível realizar uma comparação entre dois estados: referência (sem dano) e com dano. Assim, é possível dar um diagnóstico se a máquina está ok ou não. Adicionalmente, com aplicação de análise espectral, pode ser possível inclusive dar um diagnóstico de que tipo de dano a máquina apre- senta. As unidades de geração de usinas hidrelétricas, como as de Itaipu, são exemplos de sistemas que são monitorados periodicamente a partir de sinais de vibração para que se avalie se os níveis de vibração global estão dentro do estabelecido pelos fabricantes das máquinas.

1.1.4 Integridade estrutural

Integridade estrutural é o procedimento de extrair informações dinâmi- cas de estruturas como pontes, fuselagens de aeronaves, estruturas offshore, barragens, etc. visando detectar modificações estruturais correspondentes a falhas. Esta é uma área multidisciplinar, que compreende estudo de materi- ais, ferramentas estatísticas, reconhecimento de padrões, análise de tensões e

3Sistemas rotativos compreendem ventiladores industriais, compressores, turbinas, etc.

12

principalmente vibrações mecânicas. Assim, como na manutenção preditiva em sistemas rotativos por análise de vibrações, a medição de vibração mecâ- nica em grandes estruturas pode fornecer informações úteis para diagnóstico e prognóstico de saúde estrutural de sistemas de engenharia.

Um acidente estrutural que teve destaque recente na mídia foi a queda de uma ponte sobre o rio Mississipi, na cidade de Mineápolis nos Estados Unidos, figura 1.3. A ponte tinha sido inspecionada em 2005 e 2006 através de medidas de vibrações e na ocasião nenhum defeito estrutural foi encontrado, porém um estudo conduzido anteriormente emi2001 pelo Departamento de transportes de Minnesota mostrou vários defeitos por tempo de uso4 que foram ignorados pelas autoridades. O desastre teve um saldo trágico de 7 mortos e dezenas de feridos.

Fig. 1.3: Desabamento de ponte sobre o o rio Mississipi em 2007.

1.2 Conceitos básicos Vibração é definida como um movimento periódico, i.e., uma oscilação

de uma partícula, um sistema de partículas ou um corpo rígido em torno de uma posição de equilíbrio. A seguir alguns conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecânicas.

4A ponte foi construída em 1967.

13

1.2.1 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas

O número de graus de liberdade (gdl) usado na análise de um sistema mecânico é o número de coordenadas cinematicamente independentes ne- cessárias para descrever completamente (localizar e orientar) o movimento espacial de toda partícula de um sistema em qualquer instante de tempo. Qualquer conjunto de coordenadas é chamado de conjunto de coordenadas generalizadas. Deve ficar claro para o estudante que a escolha de um con- junto de coordenadas generalizadas não é única. Quantidades cinemáticas como deslocamentos, velocidades e aceleração são escritas em função das coordenadas generalizadas e de suas derivadas temporais.

1.2.2 Componentes de sistemas mecânicos

Um sistema mecânico contém componentes de inércia, de rigidez e amor- tecimento. Os componentes de inércia têm energia cinética quando o sistema está em movimento. A energia cinética de um corpo rígido5 em movimento é

T = 1

2 mv̄2 +

1

2 Īω2 (1.1)

sendo v̄ a velocidade do centro de massa do corpo, ω a velocidade angular do eixo perpendicular ao plano de movimento, m é a massa do corpo e Ī é o momento de inércia de massa paralelo ao eixo de rotação que atravessa o centro de massa.

Já um componente de rigidez (uma mola linear) tem uma relação força deslocamento conforme a equação abaixo

F = kx (1.2)

onde F é a força aplicada e x é a mudança do comprimento. A rigidez k tem dimensão de força por unidade de comprimento. No SI6 a unidade de rigidez é N/m.

Medir experimentalmente massa e rigidez não é tão difícil, agora medir amortecimento pode ser um enorme desafio, pois os sistemas mecânicos po- dem dissipar energia de formas diferentes. O mais comum é considerar um modelo de amortecedor com amortecimento viscoso. Um componente linear de amortecimento viscoso tem uma relação força-velocidade da forma

5Lembrando que um corpo rígido é definido como um corpo onde as suas dimensões devem ser consideradas na análise dinâmica e, assim, o momento de inércia deve ser levado em conta.

6Sistema Internacional.

14

F = cv (1.3)

sendo c o coeficente de amortecimento. A unidade no SI é N.s/m. Existem outros tipos comuns de amortecimento como: amortecimento de Coulomb, amortecimento estrutural, etc. que serão descritos mais a frente durante este curso.

Já quando uma coordenada angular é empregada como coordenada ge- neralizada para um sistema linear, o sistema pode ser modelado como um sistema torsional, figura (1.4).

Fig. 1.4: Sistema torsional.

O momento aplicado na mola linear torsional é proporcional à sua rotação angular enquanto o momento aplicado no amortecimento viscoso torsional é proporcional à velocidade angular. Os valores dos coeficientes do sistema torsional equivalente são determinados pelo cálculo da energia cinética to- tal, energia potencial, e trabalho feito pelo amortecedor viscoso do sistema original em termos da escolha da coordenada generalizada empregada

T = 1

2 Ieqθ̇

2, (1.4)

V = 1

2 kteqθ

2, (1.5)

W = − ∫ θ2 θ1

cteqθ̇dθ. (1.6)

1.2.3 Forças de excitação

De acordo com a força de excitação que age em um sistema mecânico as respostas de vibração podem ter características diferentes. A seguir os tipos

15

de excitação mais comuns:

Força harmônica: forma mais simples de excitação em sistemas mecânicos, descrita pela equação

F (t) = Fsen (ωt) , (1.7)

sendo F a amplitude da excitação e ω a freqüência de excitação em rad/s. Também é usual descrever as freqüências em Hertz Hz7. A freqüência em Hz é nomeada de f e descrita por

f = 1

T , (1.8)

sendo T o período de oscilações (tempo que o movimento harmônico leva para repetir seu padrão), medidos em s. A relação entre as freqüên- cias em Hz e rad/s é dada por

f = 1

2π ω. (1.9)

Um movimento harmônico é definido completamente a partir do co- nhecimento das variáveis acima. Um exemplo prático de excitação harmônica aparece em rotores com massa desbalanceada. A figura (1.5) mostra um exemplo gráfico de uma força deste tipo.

Força periódica: Tipo de excitação que se repete após um período, mas não de forma exatamente igual, conforme o exemplo da figura (1.6). Motores de combustão interna são exemplos deste tipo de excitação.

Força transitória: Excitação caracterizada por uma liberação de energia grande em um intervalo curto de tempo. Inúmeros exemplos descre- vem este tipo de força: explosão, impacto, etc. A figura (1.7) ilustra graficamente este tipo de excitação.

Força aleatória: São forças de excitação que não descrevem um padrão determinístico que possa ser definido por uma equação. Para tratar sistemas excitados por forças aleatórias é necessário utilizar métodos estatísticos. Fenômenos aeroelásticos são exemplos de sistemas exci- tados por forças aleatórias, como forças em asas de aviões, ventos em colunas de pontes, etc. A figura(1.8) ilustra um sinal típico de excitação aleatória.

7Em homenagem ao cientista alemão Hertz, o primeiro a estudar as ondas de rádio, que também são vibrações, porém de origem elétrica.

16

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo [s]

A m

p lit

u d

e [N

]

Fig. 1.5: Exemplo de força harmônica.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tempo [s]

A m

p lit

u d

e [N

]

Fig. 1.6: Exemplo de força periódica.

17

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo [s]

A m

p lit

u d

e [N

]

Fig. 1.7: Exemplo de força transitória.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −3

−2

−1

0

1

2

3

Tempo [s]

A m

p lit

u d

e [N

]

Fig. 1.8: Exemplo de força aleatória.

18

1.2.4 Análise de sistemas equivalentes

Todo o sistema linear de 1 grau de liberdade com amortecimento viscoso pode ser modelado como um sistema massa-mola-amortecedor simples, como a figura (1.9), onde meq, keq e ceq são a massa equivalente, rigidez equivalente e amortecimento viscoso equivalente.

Fig. 1.9: Sistema massa-mola-amortecedor.

Denotando a variável x como a coordenada generalizada, a energia ciné- tica de um sistema linear pode ser escrita como

T = 1

2 meqẋ

2. (1.10)

Já a energia potencial de um sistema linear pode ser escrita na forma

V = 1

2 keqx

2. (1.11)

O trabalho realizado pela força de amortecimento viscoso em um sistema linear entre duas localizações arbitrárias x1 e x2 podem ser escritas como

W = − ∫ x2 x1

ceqẋdx (1.12)

Molas em paralelo: O sistema da figura (1.10) tem molas em paralelo que são fixadas a um bloco com massa m. A meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinação de molas visando modelar o sistema com uma única mola, similar ao da figura (1.9).

Se o bloco estiver sujeito a um deslocamento arbitrário x, todas as molas sofrem este deslocamento, assim x = x1 = x2 = · · · = xn. Assim a força exercida é

19

Fig. 1.10: Sistema mecânico como molas em paralelo.

F = keqx = k1x+ k2x+ · · ·+ knx =

( n∑ i=1

ki

) x. (1.13)

Analisando a Eq. (1.13) observa-se que a rigidez equivalente para um sistema com molas em paralelo é dada por:

keq = n∑ i=1

ki. (1.14)

Molas em série: Já o sistema da figura (1.11) tem molas em série que são fixadas a um bloco com massa m. Novamente a meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinação de molas.

Fig. 1.11: Sistema mecânico como molas em série.

Definindo o deslocamento do bloco como sendo xi na i-ésima mola e assumindo que cada mola não tem massa, a força desenvolvida na extre- midade de cada mola tem a mesma magnitude, mas direções opostas. Assim a força em cada mola é

F = keqx = k1x1 = k2x2 = · · · = knxn. (1.15)

20

Sendo assim, o deslocamento total será descrito por

x = x1 + x2 + · · ·+ xn = n∑ i=1

xi = F

k1 + F

k2 + · · ·+ F

kn (1.16)

Resolvendo para xi da Eq. (1.15) e substituindo na Eq. (1.16) conduz à

F = x∑n i=1

1 ki

. (1.17)

A partir da Eq. (1.17) pode-se concluir que para um sistema com molas em série a rigidez equivalente é descrita por

keq = 1∑n i=1

1 ki

. (1.18)

1.2.5 Posição de equilíbrio estático

Sistemas mecânicos, como os da figura (1.9), têm elementos elásticos que estão sujeitos a forças quando o sistema está em equilíbrio. A deflexão re- sultante no elemento elástico é chamada de deflexão estática, geralmente nomeada por ∆st. O efeito de deflexão estática de um elemento elástico em um sistema linear não tem efeito na rigidez equivalente do sistema.

1.3 Classificação das vibrações mecânicas Há diferentes formas de classificar as vibrações em sistemas mecânicos:

Quanto à excitação: As vibrações podem ser livres8 ou forçadas9.

Quanto ao amortecimento: As vibrações podem ser amortecidas ou não- amortecidas.

Quanto ao deslocamento: Pode ser retilíneo ou torsional, ou combinação de ambos.

8O sistema vibra nas suas freqüências naturais e não há força de excitação externa. 9O sistema vibra na freqüência de excitação.

21

Fig. 1.12: Exemplo 1.

Quanto às propriedades físicas: O sistema pode ser discreto, neste caso tem um número finito de gdl, ou contínuo10, neste caso tem um número infinito de gdl.

Quanto às equações envolvidas: O sistema pode ser linear (potência 0 ou 1 e não existe produto entre estas e suas derivadas) ou não-linear, quando não é válido o princípio da superposição.

1.4 Exercícios resolvidos Exemplo 1.1 Determine o número de graus de liberdade (gdl) para ser usado na análise de vibrações da barra rígida da figura (1.12), e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado nesta análise.

Solução: Uma vez que a barra é rígida o sistema têm apenas um grau de liberdade. Uma possível escolha para coordenada generalizada é θ, deslocamento angular da barra medido positivo no sentido anti-horário da posição de equilíbrio do sistema.

Exemplo 1.2 Determine o número de gdl necessários para analisar o sis- tema mecânico composto por uma barra rígida com comprimento L e duas molas da figura (1.13), e especifique um conjunto de coordenadas generaliza- das que pode ser usado nesta análise de vibrações.

Solução: Assume-se x como sendo o deslocamento do centro de massa da barra rígida, medido a partir da posição de equilíbrio. Infelizmente, o conhecimento apenas de x é insuficiente para determinar totalmente o

10Também chamado de sistema com parâmetros distribuídos.

22

Fig. 1.13: Exemplo 2.

Fig. 1.14: Exemplo 2 - solução.

deslocamento de qualquer partícula na barra. Assim o sistema tem mais de um grau de liberdade. Para descrever totalmente este movimento deve-se considerar também a rotação angular θ no sentido anti-horário da barra com respeito ao eixo da barra em sua posição de equilíbrio. Se θ é pequeno11, então o deslocamento do fim do lado direito da barra é x + (L/2)θ. Portanto, o sistema tem 2 gdl, e x e θ são um possível conjunto de coordenadas generalizadas, como ilustrado na figura (1.14).

Exemplo 1.3 Dado o sistema da figura (1.15) encontre um modelo equiva- lente composto apenas por uma mola fixa ao bloco de massa m.

Solução: Primeiro deve-se substituir as combinações de molas em paralelo por rigidez equivalente usando a Eq. (1.14). Este primeiro resultado é

11Hipótese feita para assumir que o sistema é linear.

23

Fig. 1.15: Exemplo 3.

mostrado na figura (1.16a). Em seguida calcula-se a rigidez equivalente do lado esquerdo do bloco

1 1 3k

+ 1 3k

+ 1 k

+ 1 3k

= k

2 . (1.19)

Por sua vez, as molas fixadas do lado direito do bloco têm rigidez equivalente da forma

1 1 k

+ 1 2k

= 2k

3 . (1.20)

Como resultado tem-se o sistema da figura (1.16b). Quando o bloco tem um deslocamento arbitrário x, os deslocamentos em cada mola da figura (1.16b) são os mesmos, e a força total agindo sobre o bloco é a soma das forças desenvolvidas nas molas. Assim estas duas molas se comportam como se estivessem em paralelo e portanto a rigidez equivalente do sistema é descrita por

k

2 +

2k

3 =

7k

6 (1.21)

que é mostrada na figura (1.16c).

Exemplo 1.4 Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura (1.17) usando o deslocamento do bloco como uma coordenada gene- ralizada.

Solução: A deflexão da viga engastada-livre na sua extremidade livre é devido a uma carga concentrada neste ponto e é definida como δ =

24

Fig. 1.16: Exemplo 3 - solução.

FL3/(3EI), sendo F a carga aplicada, L o comprimento da viga, E o módulo de elásticidade e I o momento de inércia de área. Assim a rigidez equivalente da viga é dada por12

kb = 3EI

L3 =

3 (210× 109) (1.5× 10−5) (2.5)3

= 6.05× 105 N m . (1.22)

A rigidez da viga e a mola superior que está presa agem como se estives- sem em paralelo, pois a força na viga provocada pelo efeito de rigidez na viga é Fb = kbx e a força na mola superior é F1 = k1x, assim a força total é Fb − F1. Assim a deflecção no ponto de junção da extremidade livre da viga e da mola é:

δ = x = (Fb − F1) L3

3EI , (1.23)

12A rigidez é definida como o inverso da deflexão com uma carga unitária aplicada.

25

Fig. 1.17: Exemplo 4.

o que leva a

x = Fb

k1 + 3EI L3

. (1.24)

Assim, observa-se que a rigidez da viga com a mola superior, agem como duas molas em paralelo. Esta combinação em paralelo está em série com a mola entre a viga e o bloco. Por fim, esta combinação em série está em paralelo com a mola inferior entre o bloco e a parte fixa. Portanto a rigidez equivalente é escrita como:

keq = 1

1 6.05×105+5×105 +

1 2×105

+ 3× 105 = 4.69× 105 N m . (1.25)

1.5 Exercícios Ex. 1.1 Determine o número de gdl usados na análise do sistema mecânico da figura (1.18) e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado na análise deste sistema.

26

Fig. 1.18: Exercício 1.

Fig. 1.19: Exercício 2.

Ex. 1.2 Determine a massa equivalente meq e a rigidez equivalente keq do sistema mecânico da figura (1.19) quando x, o deslocamento do bloco, medido da posição de equilíbrio, é usado como coordenada generalizada.

Ex. 1.3 Determine a massa equivalente meq e a rigidez equivalente keq do sistema mecânico da figura (1.20) quando x, o deslocamento do bloco, medido da posição de equilíbrio, é usado como coordenada generalizada. Assuma que o disco é fino e rola sem atrito.

27

Fig. 1.20: Exercício 3.

Ex. 1.4 Determine a rigidez equivalente do sistema da figura (1.21).

Fig. 1.21: Exercício 4.

Ex. 1.5 O conceito de rigidez é um dos mais importantes em projeto de máquinas. A esse respeito, responda ao solicitado abaixo13. Explique em

13Questão extraída do Provão de Cursos EM 99.

28

poucas palavras o que é rigidez. Quais os fatores que determinam a rigidez de um componente mecânico? Como a rigidez e a massa de um componente estão relacionadas com sua freqüência natural? Entre os perfis apresentados na fig. (1.22), qual você escolheria como o mais adequado à estrutura de um veículo que será submetido a carregamentos combinados de flexão e torção, variáveis em direção e intensidade, de modo que o mesmo possa ter rigidez satisfatória com um peso relativamente reduzido? Justifique sua resposta.

Fig. 1.22: Exercício 5.

29

Capítulo 2

Vibrações Livres em Sistemas com 1 Grau de Liberdade

Como já visto no capítulo 1, muitos sistemas mecânicos lineares com- plexos podem ser modelados como um sistema equivalente massa-mola- amortecedor com 1 grau de liberdade (gdl). Sendo assim, é necessário saber como obter a equação do movimento de um sistema deste tipo e como resol- ver esta equação. Inúmeros métodos podem ser usados para obter a equação do movimento do sistema. Um método popular é construir um diagrama de corpo livre (DCL) em um instante arbitrário e descrever as forças atuantes externas e de inércia em termos de coordenadas generalizadas. As leis básicas de mecânica são então aplicadas no DCL conduzindo as equações diferenciais ordinárias que descrevem o movimento.

Para um corpo rígido o movimento oscilatório é descrito pelas equações de Newton-Euler

∑ F = ma (2.1)∑ MG = Iθ̈ (2.2)

sendo ∑ F o somatório de forças externas,

∑ MG o somatório de mo-

mentos no centro de gravidade G, I o momento de inércia de massa e θ̈ a aceleração angular.

Uma versão do método DCL para corpos rígidos usa uma variação do princípio de D’Alembert. Nesta nova configuração outro DCL mostrando forças externas em um instante arbitrário, um segundo DCL é desenhado em um mesmo instante mostrando as forças efetivas do sistema. As forças efetivas para um corpo rígido são definidas como forças iguais a ma, agindo

30

no centro de massa, e um conjugado igual a Iθ̈. As Eqs. (2.1) e (2.2) são aplicadas na forma (∑

F ) externas

= (∑

F ) efetivas

, (2.3)(∑ MA

) externas

= (∑

MA

) efetivas

, (2.4)

aplicadas a um ponto A. A figura (2.1) apresenta um sistema massa-mola-amortecedor com 1 gdl.

Fig. 2.1: Sistema massa-mola-amortecedor.

Considerando que esta massa sofra a ação de uma força F (t), a equação do movimento para este sistema é dada por:

∑ F = ma, (2.5)

F (t)− kx(t)− cẋ(t) = mẍ, (2.6) mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = F (t). (2.7)

A eq. (2.7) é uma equação diferencial ordinária (EDO) linear com coeficientes constantes, com deslocamento x(t), velocidade ẋ(t) e aceleração ẍ(t). É importante ressaltar que a força peso mg não entra neste balanço de forças, se a mola não distende em relação a linha de equilíbrio estático.

Com relação aos valores da força F e o dos coeficientes de amortecimento viscoso c pode-se definir os tipos de movimentos:

Movimento oscilatório livre não-amortecido: mẍ+ kx = 0.

Movimento oscilatório livre amortecido: mẍ+ cẋ+ kx = 0.

Movimento oscilatório forçado não-amortecido: mẍ+ kx = F (t).

Movimento oscilatório forçado amortecido: mẍ+ cẋ+ kx = F (t).

31

2.1 Vibrações livres não-amortecidas Considerando a fig. (2.3) assumindo c = 0, tem-se a equação do movi-

mento para um sistema livre não-amortecido

mẍ(t) + kx(t) = 0. (2.8)

Dividindo a Eq. (2.8) por m tem-se:

ẍ(t) + k

m x(t) = 0. (2.9)

Definindo a freqüência angular natural não-amortecida ωn em rad/s1

ωn =

√ k

m . (2.10)

Substituindo a Eq. (2.10) na Eq. (2.9) tem-se

ẍ(t) + ω2nx(t) = 0. (2.11)

Assumindo que a resposta desta EDO é do tipo x(t) = Ceλt com C constante. Assim

x(t) = Ceλt, (2.12) ẋ(t) = Cλeλt, (2.13) ẍ(t) = Cλ2eλt. (2.14)

Substituindo estes valores na Eq. (2.11) chega-se a

λ2Ceλt + ω2nCe λt = 0, (2.15)

Ceλt ( λ2 + ω2n

) = 0. (2.16)

Uma vez que C = 0 é solução trivial e eλt 6= 0, tem-se a equação caracte- rística

λ2 + ω2n = 0 ∴ λ 2 = −ω2n ⇒ λ1,2 = ±iωn. (2.17)

Com estes valores obtém-se a solução da EDO que descreve o movimento oscilatório

x(t) = C1e iωnt + C2e

−iωnt. (2.18) 1A freqüência natural em Hz é dada por fn = ωn2π .

32

Lembrando a relação de Euler eiθ = cos(θ) + isen(θ) e aplicando este resultado na Eq. (2.51)

x(t) = C1 [cos(ωnt) + isen(ωnt)] + C2 [cos(ωnt) + isen(ωnt)] , (2.19) x(t) = (C1 + C2) cos(ωnt) + (C1 − C2) isen(ωnt), (2.20)

x(t) = Asen(ωnt) +Bcos(ωnt). (2.21)

A solução final da equação do movimento é função das constantes A e B que são obtidas a partir das condições iniciais de deslocamento x(0) = x0 e velocidade ẋ(0) = v0, sendo assim

x0 = Asen(ωnt) +Bcos(ωnt) = B (2.22)

ẋ(t) = Aωncos(ωnt)−Bωnsen(ωnt) = v0 ∴ A = v0 ωn . (2.23)

Com isto a solução final da EDO é dada por

x(t) = v0 ωn sen(ωnt) + x0cos(ωnt). (2.24)

Em problemas práticos é interessante também saber qual o valor máximo x(t)max das amplitudes de vibração. Para encontrar este valor pode-se cal- cular os pontos críticos dx

dt = 0. Após estes cálculos, constata-se que o valor

da amplitude máxima de vibração livre em sistemas não-amortecidos é dado por

xmax =

√( v0 ωn

)2 + x20. (2.25)

Outra forma comum de se escrever a solução da Eq. (2.11) é

x(t) = Xsen (ωnt+ φ) , (2.26)

sendo

X =

√( v0 ωn

)2 + x20, (2.27)

φ = tan−1 ( ωnx0 v0

) . (2.28)

A fig. (2.2) apresenta exemplos de respostas de sistemas livres não- amortecidos para diferentes valores de condições iniciais.

33

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 −0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Tempo [s]

D es

lo ca

m en

to [

m ]

m = 12 kg; k = 1200 N/m; x 0 =0.02 m; v

0 =0;

(a) x0 6= 0 e v0 = 0.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 −0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Tempo [s]

D es

lo ca

m en

to [

m ]

m = 12 kg; k = 1200 N/m; x 0 =0; v

0 =0.6 m/s;

(b) x0 = 0 e v0 6= 0.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 −0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tempo [s]

D es

lo ca

m en

to [

m ]

m = 12 kg; k = 1200 N/m; x 0 =0.02 m; v

0 =0.6 m/s;

(c) x0 6= 0 e v0 6= 0.

Fig. 2.2: Exemplo de resposta de sistema livre não-amortecido com 1 gdl para várias condições iniciais diferentes.

Exemplo 2.1 Dado o sistema mecânico, visto na fig. (2.3), com massa m = 12 kg, rigidez da mola de k = 1200 N/m e com condições iniciais de deslocamento e velocidade de x0 = 0.02 m e v0 = 0, respectivamente, pede-se: a freqüência natural não-amortecida, o cálculo da resposta de vibração do sistema e a amplitude máxima de deslocamento.

Solução: A freqüência natural é definida pela Eq. (2.10), assim:

ωn = √

k m

= √

1200 12

= 10rad/s

ou convertendo para Hz tem-se fn = 1.59 Hz. Após a construção de um DCL constata-se que a equação do movimento deste sistema simples é mẍ+ kx = 0 com solução dada pela Eq. (2.21)

x(t)=Asen(ωnt) +Bcos(ωnt).

34

Fig. 2.3: Sistema massa-mola com 1 gdl.

As constantes A e B são descritas a partir do conhecimento das con- dições iniciais de deslocamento e velocidade

B = x0 = 0.02m,

A = v0 ωn

= 0.

Assim a resposta de oscilação deste sistema é descrita por:

x(t)=0.02cos(ωnt)

Já a amplitude máxima de deslocamento é dada pela Eq. (2.25)

xmax = √(

v0 ωn

)2 + x20 = 0.02m

A fig. (2.2(a)) ilustra a resposta de vibração deste sistema, onde pode- se observar que o sistema vibra como uma senóide com freqüência na- tural de 1.59 Hz e com amplitude máxima de 0.02 m.

Exemplo 2.2 Um vagão, visto na fig. (2.4), com massa m = 15000 kg se deslocando sem atrito bate em uma mola com velocidade v0. A mola é defor- mada em 200 mm e tem uma rigidez de 130000 N/m. Com que velocidade o vagão bateu na mola?

35

Fig. 2.4: Vagão batendo em uma mola.

Solução: A freqüência natural do sistema é dada por:

ωn = √

k m

= √

130000 15000

= 2.94rad/s.

A resposta livre do sistema massa-mola com 1 gdl é dada pela Eq. (2.21)

x(t)=Asen(ωnt) +Bcos(ωnt).

sendo

x(0) = B = 0,

ẋ(0) = v0 = Aωn ∴ v0 = 2.94A.

A mola foi deformada com 0.02 m, que corresponde ao valor da ampli- tude máxima de deslocamento dada pela Eq. (2.25)

xmax = 0.02m = √(

v0 ωn

)2 + x20 ⇒ v0 = 0.588m/s

Com isto a resposta livre de oscilação do vagão é descrita por:

x(t)=0.2sen(2.94t)

Exemplo 2.3 Considere o sistema da fig. (2.5). Calcule a freqüência na- tural e a equação do movimento deste sistema. O momento de inércia da massa é I = 1

2 Mr2.

36

Fig. 2.5: Sistema com 1 gdl.

Solução: A primeira etapa é construir um diagrama de corpo livre para este sistema especificando todas as forças e momentos externos e de inércia, visto na fig. (2.6).

Fig. 2.6: DCL do sistema.

Agora aplicando a equação de Newton, tem-se

37

∑ Fext +

∑ FInercia = 0,

mẍ+ kx+ Fat = 0. (2.29)

A equação de Euler é dada por

∑ Mext +MInercia = 0,

1

2 Mr2θ̈ − Fatr = 0⇒ Fat =

1

2 Mrθ̈. (2.30)

Substituindo a Eq. (2.30) em (2.29) tem-se:

mẍ+ kx+ 1

2 Mrθ̈ = 0. (2.31)

Lembrando que para ângulos pequenos senθ ≈ θ, tem-se que x = rθ e, portanto, ẍ = rθ̈. Com isto a equação do movimento é descrita por

mẍ+ kx+ 1

2 Mẍ = 0 (2.32)(

M + 1

2 M

) ẍ+ kx = 0 (2.33)

3M

2 ẍ+ kx = 0 (2.34)

Com isto a massa equivalente deste sistema é dada por meq = 3M2 e segue que a freqüência natural não-amortecida do sistema é

ωn = √

k meq

= √

2k 3M .

2.2 Vibrações livres amortecidas Caso o sistema da fig. (2.3) tenha c 6= 0, o problema é de vibrações livres

amortecidas, sendo o seu movimento descrito pela seguinte equação

mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = 0. (2.35)

Assumindo que este sistema tenha solução do tipo x(t) = Deλt, sendo λ uma variável complexa, assim:

38

x(t) = Deλt (2.36) ẋ(t) = λDeλt (2.37) ẍ(t) = λ2Deλt

Substituindo esta soluções na Eq. (2.35) conduz ao seguinte resultado

mλ2Deλt + cλDeλt + k = Deλt = 0 (2.39) Deλt

( mλ2 + cλ+ k

) = 0. (2.40)

Como D = 0 é a solução trivial e eλt nunca é zero, temos a seguinte equação característica

mλ2 + cλ+ k = 0, (2.41)

que pode ser escrita como

λ2 + c

m λ+

k

m = 0. (2.42)

A solução da equação de segundo grau na Eq. (2.42) pode ser solucionada usando álgebra simples, assim

λ1,2 = − c

2m ± √( c

2m

)2 − k m . (2.43)

Com isto a solução final da Eq. (2.35) é dada por:

x(t) = D1e λ1t +D2e

λ2t (2.44)

x(t) = D1e

„ − c

2m + q

( c2m) 2 − k m

« t +D2e

„ − c

2m − q

( c2m) 2 − k m

« t

(2.45)

Colocando em evidência o termo e− c

2m t tem-se a solução final:

x(t) = e− c

2m t

[ D1e

„q ( c2m)

2 − k m

« t +D2e

„ − q

( c2m) 2 − k m

« t

] (2.46)

Algumas observações:

1. O termo e− c

2m t é uma função exponencialmente decrescente.

39

2. Quando ( c

2m

)2 > k

m os expoentes serão números reais e não ocorrerá

oscilações, caracterizando superamortecimento.

3. Quando ( c

2m

)2 < k

m os expoentes serão números imaginários e ocorrerá

oscilações, característica de um movimento oscilatório subamortecido.

4. Quando ( c

2m

)2 = k

m tem característica de amortecimento crítico, ou

seja, quando perturbado o sistema não oscila e volta rapidamente para a sua posição de equilíbrio.

Neste ponto pode-se definir o coeficiente de amortecimento crítico cc, lembrando que ω2n =

k m ( cc

2m

)2 = ω2n ⇒ cc = 2mωn. (2.47)

Neste caso m é igual a massa equivalente do sistema de um grau de liberdade. Após a definição do coef. de amortecimento crítico cc define-se o fator de amortecimento:

ξ = c

cc ⇒ c = ξcc = ξ2mωn, (2.48)

c

2m = ξωn. (2.49)

Outra forma comum de escrever o fator de amortecimento ξ é observar que

ξ = c

2mωn =

c

2m √

k m

= c

2 √

km2

m

= c

2 √ km

(2.50)

Com isto os pólos da equação característica (raízes da Eq. (2.42)) podem ser rescritos como:

λ1,2 = − c

2m ± √( c

2m

)2 − k m

=

= −ξωn ± √ ξ2ω2n − ω2n =

= −ξωn ± ωn √ ξ2 − 1, (2.51)

sendo que ξ determina a natureza da solução, se é subamortecida, supe- ramortecida ou amortecimento crítico.

40

2.2.1 Movimento oscilatório subamortecido ou subcrí- tico (0 < ξ < 1)

Neste caso a solução da equação do movimento é dada por

x(t) = e−ξωnt [ D1e

iωn √

1−ξ2t +D2e −iωn √

1−ξ2t ] . (2.52)

Lembrando da relação de Euler eθt = cosθ + isenθ e substituindo na Eq. (2.52), após algumas manipulações matemáticas chega-se a:

x(t) = e−ξωnt (Acos(ωdt) +Bsen(ωdt)) , (2.53)

sendo ωd a freqüência angular natural amortecida definida como

ωd = ωn √

1− ξ2. (2.54) As constantes A e B são obtidas através das condições iniciais de deslo-

camento e velocidade e são dadas por:

A = x0, (2.55)

B0 = v0 + ξωnx0

ωn √

1− ξ2 . (2.56)

Os pólos do sistema são descritos por:

λ1,2 = −ξωn ± iωd, (2.57) |λ1,2|2 = ξ2ω2n + ω2n

( 1− ξ2

) = ω2n. (2.58)

Outra forma comum de resposta é

x(t) = Ce−ξωntsen (ωdt+ φ) , (2.59)

sendo C a amplitude máxima do deslocamento e φ a fase, definidas por:

C =

√ (v0 + ξωnx0)

2 + (x0ωd) 2

ωd , (2.60)

φ = tan−1 [

x0ωd v0 + ξωnx0

] . (2.61)

A fig. (2.7) mostra um exemplo de resposta de sistema subamortecido com o envoltório em linha tracejada.

41

0 0.5 1 1.5 2 2.5 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo [s]

x( t)

/x (0

)

m = 1 kg; c = 5 N.s/m; k = 1400 N/m; x 0 =0.02 m; v

0 =0;

Fig. 2.7: Exemplo de resposta do sistema subamortecido.

Exemplo 2.4 Uma massa de 4.5 kg é suspensa por uma mola de rigidez k = 1400 N/m. Um amortecedor com um coeficiente de amortecimento viscoso c = 50 N.s/m é conectado ao sistema. Determine o fator de amortecimento ξ, a freqüência natural ωn e a freqüência natural amortecida ωd?

Solução A freqüência natural ωn é descrita por

ωn = √

k m

= √

1400 4.5

= 17.63 rad/s,

ou em Hz, fn = 12πωn = 2.8 Hz. Já o coeficiente de amortecimento crítico cc é dado por:

cc = 2mωn = 2(4.5)(17.63) = 158.67 N.s/m.

Com isto o fator de amortecimento ξ é dado por:

ξ = c cc

= 50 158.67

= 0.31.

Como ξ está no intervalo 0 < ξ < 1 este sistema possui movimento oscilatório subamortecido. A freqüência natural amortecida é dada por

ωd = ωn √

1− ξ2 = 16.76 rad/s A fig. (2.8) mostra o gráfico de deslocamento deste sistema conside- rando x0 = 0.02 m e v0 = 0 como condições iniciais. É importante observar que as oscilações vão sendo amortecidas com o tempo dentro

42

de um envoltório definido por e−ξωnt, que é mostrado em linha tracejada na fig. (2.8).

0 0.5 1 1.5 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo [s]

x( t)

/x (0

)

m = 4.5 kg; c = 50 N.s/m; k = 1400 N/m; x 0 =0.02 m; v

0 =0;

Fig. 2.8: Exemplo de resposta de sistema livre amortecido com 1 gdl com movimento subamortecido.

Exemplo 2.5 Dado o sistema da fig. (2.9), escreva a equação do movimento e defina o fator de amortecimento.

Solução: Após a construção de um DCL pode-se escrever a equação do movi- mento:

mẍ+ (c1 + c2) ẋ+ kx = 0. (2.62)

Da Eq. (2.62) pode-se observar que ceq = c1 + c2 e dai

ξ = c

cc = c1 + c2 2mωn

(2.63)

Por fim deve-se notar que é possível escrever a equação do movimento de um sistema amortecido de 1 gdl em função de ωn e ξ, assim:

ẍ+ 2ξωnẋ+ ω 2x = 0 (2.64)

43

Fig. 2.9: Sistema massa-mola-amortecedor com dois amortecedores.

2.2.2 Movimento superamortecido ou super-crítico(ξ > 1)

Este caso acontece quando ξ > 1, o que faz com que as raízes da Eq. (2.51) sejam um par de números reais. A solução da equação do movimento para esta situação é dada por

x(t) = Ae

“ −ξ+ √ ξ2−1

” ωnt +Be

“ −ξ− √ ξ2−1

” ωnt, (2.65)

sendo A e B são novamente obtidas pelas condições iniciais e são dadas por:

A = v0 +

( ξ +

√ ξ2 − 1

) ωnx0

2ωn √ ξ2 − 1

, (2.66)

B = − v0 +

( ξ −

√ ξ2 − 1

) ωnx0

2ωn √ ξ2 − 1

, (2.67)

A resposta de sistemas superamortecidos não envolvem oscilação, assim quando este é perturbado, este retorna a sua posição de equilíbrio de forma exponencial. A fig. (2.10) mostra um exemplo de resposta para este sistema considerando como condições iniciais x0 = 0.02 m e velocidade inicial de v0 = 0.

44

0 0.5 1 1.5 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo [s]

x( t)

/x (0

)

m = 5 kg; c = 200 N.s/m; k = 1400 N/m; x 0 =0.02 m; v

0 =0;

Fig. 2.10: Resposta do sistema superamortecido.

2.2.3 Movimento amortecido criticamente ou crítico amortecido (ξ = 1)

Este caso especial ocorre quando ξ = 1 e neste caso as raízes são um par de números reais negativos e iguais. A solução da equação do movimento é dada por:

x(t) = e−ωnt [(v0 + ωnx0) t+ x0] (2.68)

Na fig. (2.11) é mostrada a resposta para vários valores da condição inicial de v0.

Um sistema amortecido criticamente quando perturbado por certas condi- ções iniciais, retorna à posição do equilíbrio no tempo mais rápido sem oscilar. Um exemplo clássico de aplicação deste sistema é o dispositivo amortecedor em portas de elevador, caso se solte a porta bruscamente esta não bate vio- lentamente no batente, e sim volta para a posição de equilíbrio suavemente. Outro exemplo é o sistema de recolhimento de armas de fogo.

45

0 0.5 1 1.5 −0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Tempo [s]

x( t)

[ m

]

m = 5 kg; c = 200 N.s/m; k = 1400 N/m; x 0 =0.02 m; v

0 =várias;

v0=0 v0=−0.5 m/s v0=0.5 m/s

Fig. 2.11: Resposta do sistema criticamente amortecido.

2.3 Decremento logarítmico Quando se está analisando um sistema estrutural já existente, normal-

mente não se conhece os valores dos parâmetros de rigidez e amortecimento, sendo necessário, portanto, determinar o valor do fator de amortecimento ξ assumindo um sistema de 1 gdl equivalente. Nestes casos é necessário realizar uma estimativa a partir dos dados experimentais do comportamento vibrató- rio do sistema quando lhe é aplicado alguma condição inicial de perturbação. Vários podem ser os métodos empregados. Neste capítulo será apresentado o método do decremento logarítmico. Nos capítulos seguintes irá se discutir outros métodos para sistemas forçados e com múltiplos graus de liberdade.

O decremento logarítmico δ é definido como o logarítmo natural da razão de duas amplitudes sucessivas. Considere a resposta x(t) do caso subamor- tecido (0 < ξ < 1) visto na fig. (2.12). O decremento logarítmico δ é escrito como:

δ = ln

( x(t)

x(t+ td)

) , (2.69)

sendo td = 2πωd o período entre duas oscilações sucessivas, onde ωd é a freqüência angular natural amortecida.

Para um caso geral tem-se:

46

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 −8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10 x 10

−3

Tempo [s]

x( t)

[ m

]

x1

x2 x3

x0

x4

Fig. 2.12: Resposta de sistema subamortecido evidenciando amplitudes su- cessivas.

δ = ln

( x0 x1

) = ln

( x1 x2

) = ln

( xn−2 xn−1

) , (2.70)

sendo n o número de oscilações realizadas. A Eq. (2.70) pode ser rescrita da forma:

eδ = x0 x1

= x1 x2

= xn−2 xn−1

= xn−1 xn

. (2.71)

Notando que x0 xn

= x0 x1

x1 x2

x2 x3 · · · xn−1

xn pode-se escrever a relação:

enδ = x0 xn . (2.72)

Com isto obtém-se uma nova expressão para o decremento logarítmico δ em função do número de ciclos n realizados no movimento oscilatório

δ = 1

n ln

( x0 xn

) . (2.73)

Lembrando que a resposta de um sistema subamortecido é do tipo

x(t) = Xe−ξωntsen (ωdt+ φ) (2.74)

47

Substituindo a Eq. (2.74) na Eq. (2.70) obtém-se a seguinte equação

δ = ln

( x0 x1

) = ln

( Xe−ξωnt0sen (ωdt0 + φ)

Xe−ξωnt1sen (ωdt1 + φ)

) , (2.75)

sendo t1 = t0 + td, onde td = 2πωd . Após algumas manipulações algébricas na Eq. (2.75) chega-se a expressão do decremento logarítmico δ em função do fator de amortecimento ξ

δ = 2πξ√ 1− ξ2

, (2.76)

Ou ainda da forma

ξ = δ√

4π2 + δ2 (2.77)

Assim se conheço duas amplitudes sucessivas x0 e x1, ou se uma amplitude x0 e uma amplitude xn após n ciclos, posso calcular o decremento logarítmico δ entre elas e estimar com a Eq. (2.77) o fator de amortecimento ξ do sistema.

Exemplo 2.6 Considere um sistema massa-mola-amortecedor com massa m = 20kg e deslocamento inicial x0 = 0.01 m. A fig. (2.13) mostra a resposta livre deste sistema. Estime os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema.

Solução: Considerando duas amplitudes sucessivas x0 = 0.01 m e x1 = 0.005 m, mostradas na fig. (2.13), o decremento logarítmico é calculado a seguir: δ = ln

( x0 x1

) = ln

( 0.01 0.005

) = 0.693.

Com o δ calculado emprega-se a Eq. (2.77) para se estimar o fator de amor- tecimento ξ ξ = δ√

4π2+δ2 = 0.693√

4π2+(0.693)2 = 0.11.

Como o fator de amortecimento ξ está entre 0 e 1, este sistema é subamor- tecido. Sabendo que o período entre as duas oscilações sucessivas é td = 0.06 s, também visto na fig. (2.13), pode-se calcular a freqüência angular natural amortecida ωd =

2π td

= 104.7 rad/s. Com o uso da Eq. (2.54) pode-se então estimar qual o valor da freqüência angular natural dada por ωn =

ωd√ 1−ξ2

= 104.7√ 1−(0.1)2

= 105.3 rad/s.

A rigidez do sistema pode ser escrita lembrando que ωn = √

k m , o que leva a

48

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 −8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10 x 10

−3

X: 0.06 Y: 0.004993

Tempo [s]

x( t)

[ m

]

X: 0 Y: 0.01

Fig. 2.13: Resposta livre do sistema.

k=mω2n = (20) (105.3) 2 = 2.22× 105 N/m.

Já o coeficiente de amortecimento viscoso é estimado por: c=2mωnξ = 2(20)(105.3)(0.11) = 4.63× 102 N.s/m

2.4 Exercícios Ex. 2.1 Plote em algum software (estilo Scilab) a resposta para o sistema mẍ + cẋ + kx = 0, com m = 1 kg, c = 4 N.s/m e k = 5000 N/m, com condição inicial de x0 = 0.03 m e v0 = 0.2 m/s2.

Ex. 2.2 Resolva a seguinte equação do movimento mẍ− kx = 0 com condi- ção inicial x0 = 1 e v0 = 0. Plote sua resposta assumindo valores para k e m em algum software (estilo Scilab). Discuta o resultado.

Ex. 2.3 Resolva a seguinte equação do movimento ẍ−ẋ+x = 0 com condição inicial x0 = 1 e v0 = 0. Plote sua resposta assumindo valores para k e m em alguma software (estilo Scilab). Discuta o resultado.

49

Ex. 2.4 Sabe-se que um sistema massa-mola-amortecedor tem os seguintes pólos λ1,2 = 1 × 102 (−0.1157± 1.0472j). Pede-se: (a) Estes pólos são es- táveis? Justifique. (b) Qual o tipo de movimento que este sistema realiza quando este é perturbado com uma condição inicial? (c) Determine a freqüên- cia natural e o fator de amortecimento deste sistema.

Ex. 2.5 Para um sistema massa-mola-amortecedor, com m = 8.75 kg, c = 1401.2 N.s/m e k = 14012.5 N/m quando este é sujeito a uma velocidade inicial de v0 = 25.4 m/s e x0 = 0 pede-se: (a) Verifique o tipo de sistema: subamortecido, crítico ou superamortecido; (b) O deslocamento máximo do sistema.

Ex. 2.6 Um canhão tem uma massa de 1100 kg e um sistema de recolhi- mento composto de uma mola k = 470000 N/m e amortecedor de choque viscoso com amortecimento crítico. A distância de recolhimento é de 0.9 m. Pede-se: (a) A velocidade inicial de recolhimento. (b) O tempo para retornar à posição 0.25 m da posição inicial. (c) O deslocamento em t=0.5 s.

Ex. 2.7 Para um sistema com amortecimento viscoso com massa m = 1 kg e rigidez k = 4900 N/m, verifica-se que a amplitude de vibração reduz-se em 80% em 15 ciclos. Determine o fator de amortecimento ξ e o coeficiente de amortecimento viscoso do sistema.

Ex. 2.8 Um componente estrutural de um sistema automotivo com massa de 1 kg é perturbado para oscilar com vibrações livres. A sua resposta experi- mental para esta condição é vista na fig. (2.14). Com base neste gráfico de- termine os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema, assumindo que ele tem apenas 1 grau de liberdade.

Ex. 2.9 A resposta ao impulso de um sistema mecânico é medida experi- mentalmente e mostrada na fig. (2.15). Com base neste gráfico pede-se o cálculo do coeficiente de amortecimento viscoso equivalente e do coeficiente de rigidez equivalente do sistema. A massa do sistema é 20 kg.

Ex. 2.10 Durante parte do Campeonato Mundial de Fórmula 1 de 2006, a Equipe Renault utilizou em seus carros absorvedores de vibração na dianteira e na traseira, com o objetivo de minimizar as oscilações do chassi provocadas pela passagem sobre as “zebras” e, consequentemente, melhorar seu desem- penho. No detalhe da fig. (2.16) está mostrado o dispositivo empregado na dianteira, que consiste basicamente em um sistema massa-mola-amortecedor de 1 grau de liberdade, com uma massa de 7 kg (1) apoiada sobre molas (2 e 3) de diferente rigidez, com relação 1 : 3, inseridas em uma carcaça (4)

50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5 x 10

−3

Tempo [s]

x( t)

[ m

]

Fig. 2.14: Resposta livre do sistema estrutural.

de fibra de carbono, e com um amortecedor regulável (5) contendo um fluido viscoso. Sabendo que a freqüência natural não amortecida do absorvedor de vibração utilizado na dianteira é de

√ 2/2 Hz, determine a rigidez das molas

empregadas2.

Ex. 2.11 O projeto de uma absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta para motocross de 200 kg de massa, fig. (2.17), deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma veloci- dade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento- tempo deve ser decrescente. Determine as constantes de rigidez e amorteci- mento necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for Td = 2 s e a amplitude tiver que reduzir em 1/4 em meio período. De- termine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm.

Ex. 2.12 Para os sistemas das figuras (2.18),(2.19) e (2.20) determine a equação do movimento e a frequência natural não-amortecida do sistema.

2Questão adaptada do ENADE 2008.

51

0 1 2 3 4 5 6 7 8 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Tempo [s]

h (t

) [m

m ]

Fig. 2.15: Resposta ao impulso h(t).

Fig. 2.16: Vista do fórmula 1.

Ex. 2.13 Uma haste delgada uniforme de massa m e comprimento l é ar-

52

Fig. 2.17: Amortecedor para uma motocicleta.

Fig. 2.18: Sistema 1.

ticulada no ponto A e está ligada a quatro molas lineares e a uma mola torcional, como mostra a fig. (2.21). Determine a frequencia natural não- amortecida do sistema se k = 2000 N/m, kt = 1000 N.m/rad, m = 10 e l = 5 m.

Ex. 2.14 Determine a equação do movimento da barra rígida OA de com- primento l e massa m da fig. (2.22). Determine também a sua frequência natural

53

Fig. 2.19: Sistema 2.

Fig. 2.20: Sistema 3.

Ex. 2.15 Desafio: Uma turbina hidráulica de 1000 kg de massa e 500 kg/m2 de momento de inércia de massa é montada em um eixo de aço como visto na fig. (2.23). A velocidade operacional da turbina é 2.400 rpm. Ad- mitindo que as extremidades do eixo sejam fixas, determine os valores de d, a e l tais que a frequência natural de vibrações da turbina em cada uma das direções axial, transversal e radial seja maior que a velocidade operacional da turbina. O momento de inércia de área do eixo é I = πd4/64, momento de inércia de massa é definido como:

54

Fig. 2.21: Barra rígida.

Fig. 2.22: Barra rígida.

I =

∫ m

r2dm (2.78)

sendo dm = ρdV . Dica: use os conceitos de energia cinética e potencial e cálculo de massa e rigidez equivalente do sistema.

55

Fig. 2.23: Eixo com turbina montada.

56

Capítulo 3

Vibrações Forçadas em Sistemas com 1 Grau de Liberdade

Imagine a seguinte situação prática e bastante comum em um ambiente industrial: Você trabalha em uma empresa que recebeu um compressor al- ternativo de grande dimensão e precisa instalá-lo. Para isto deve especificar uma fundação composta por absorvedores com determinada rigidez e amor- tecimento para reduzir a vibração da máquina. Caso isto não seja bem feito é possível que a vida útil da máquina seja reduzida devido a vibração exces- siva. Como proceder isto? Até o final deste capítulo, o estudante terá uma idéia de como realizar este projeto. Na situação hipotética descrita acima, e em muitas outras, as máquinas e sistemas estruturais vibram devido não somente às condições iniciais e na frequência natural (amortecida ou não) e sim em função também de forças de excitação externa F (t), que podem ser de diferentes tipos, conforme visto na seção 1.2.3.

Inicialmente iremos considerar apenas o caso em que a excitação é do tipo harmônica. Em seguida, excitações do tipo impulso unitário e degrau serão usadas. Nesta primeira parte uma série de conceitos e definições im- portantes em vibrações vão ser apresentadas. Como aplicação se mostrará a vibração causada por força de desbalanceamento em máquina rotativa e o projeto de fundação para instalação de máquinas. O caso de resposta de sistemas excitados por forças de excitação qualquer é tratado com várias abordagens: usando a transformada de Laplace, método da integral de con- volução e transformadas de Fourier. Na medida do possível, buscasse ilustrar todo o conteúdo apresentado com exemplos de aplicação prática na indús- tria. Também são introduzidos alguns conceitos básicos de análise espectral e formas de se estimar as funções de resposta ao impulso (IRF) e função de resposta em freqüência (FRF). A abordagem de solução das equações do movimento para sistemas com 1 grau de liberdade (livre ou forçado) através

57

de métodos de aproximação numérica é revista, em especial nas formulações baseadas em aproximação por séries de Taylor. Por fim, é apresentada uma discussão sucinta do fenômeno comum na prática de vibração auto-excitada, em especial a instabilidade dinâmica causada por escoamento de fluido.

3.1 Vibração causada por excitação harmônica Considere a equação do movimento de um sistema massa-mola-

amortecedor com 1 grau de liberdade com uma força de excitação F (t) agindo sobre ele

mẍ+ cẋ+ kx = F (t). (3.1)

A Eq. (3.1) é uma equação diferencial ordinária linear e não-homogênea (EDOLNH). No caso considerado nesta seção assuma que a força F (t) seja do tipo harmônica e descrita por

F (t) = Fsen (ωt) , (3.2)

sendo F a amplitude de excitação, unidade [N], e ω seja a freqüência de excitação. Com isto a Eq. (3.1) torna-se

mẍ+ cẋ+ kx = Fsen (ωt) . (3.3)

A questão agora é saber como solucionar a EDOLNH para saber o mo- vimento oscilatório x(t). Um método que pode ser usado envolve aplicar o método dos coeficientes indeterminados [3]. Assim a solução da equação do movimento (3.3) envolve a soma de duas soluções, uma primeira homogênea xh(t) (que pode ser as Eqs. (2.53), (2.65) ou (2.68) dependendo do valor do ξ do sistema) e uma segunda particular xp(t), ou seja,

x(t) = xh(t) + xp(t). (3.4)

A solução homogênea xh(t) corresponde a solução da equação quando F (t) = 0 e representa um termo transitório provocado pela resposta livre, já a solução permanente xp(t) depende da freqüência de excitação e é uma res- posta em regime permanente. Fisicamente, a solução em regime permanente xp(t) segue a excitação F (t) com uma amplitude Xp e fase ϕ em relação a excitação1, assim a solução da parte permanente é do tipo

xp(t) = Xpsen (ωt− ϕ) . (3.5) 1Obviamente se for assumido que o sistema é linear e que a excitação é senoidal.

58

Derivando a Eq. (3.5) e substituindo na Eq. (3.3) chega-se a amplitude de resposta Xp do sistema:

Xp = F k√(

1−mω2 k

)2 + ( cω k

)2 , (3.6) ou de uma forma mais elegante

M (r, ξ) = Xpk

F =

1√ (1− r2)2 + (2ξr)2

, (3.7)

sendo r = ω ωn

a razão entre as freqüências de excitação e natural não- amortecida e M (r, ξ) o fator de ampliação, que é função da razão r e do fator de amortecimento ξ. Já a fase ϕ pode ser escrita como

ϕ = tan−1 (

2ξr

1− r2

) . (3.8)

Então a solução final da equação do movimento para um sistema suba- mortecido, 0 < ξ < 1, pode ser escrita como:

x(t) = xh(t) + xp(t),

x(t) = Xhe −ξωntsen (ωdt+ φ) +

F/k√ (1− r2)2 + (2ξr)2

sen (ωt− ϕ) , (3.9)

sendo Xh a amplitude da resposta transitória dada pela Eq. (2.59). Exa- minando a Eq. (3.9) pode-se realizar duas observações importantes:

• Quando o tempo t é grande (t → ∞) o termo transiente xh(t) (pri- meiro termo da Eq. (3.9) torna-se muito pequeno e consequentemente a resposta de regime permanente xp(t) fica predominante na resposta final x(t).

• Caso a freqüência de excitação ω seja igual ou próxima da freqüência natural ωn, a razão r ≈ 1. Este fenômeno é conhecido como ressonância e implica que o fator de ampliação M (r, ξ) possa aumentar muito, de- pendendo do valor do ξ do sistema, e consequentemente as amplitudes de vibração podem ficar muito grandes.

O fenômeno de ressonância normalmente deve ser evitado no projeto de estruturas e máquinas, uma vez que grandes amplitudes de vibração podem

59

acelerar o processo de falha por fadiga, desconforto, ruído, dentre outros problemas. Ocasionalmente, o fenômeno de ressonância pode ser catástrofico, dependendo do valor do fator de amortecimento ξ do sistema. Entretanto, o conceito de ressonância também é muito útil em teste estrutural. Por exemplo, toda a análise modal é baseada em medir vibrações em condição de ressonância.

A fig. (3.1) ilustra como o valor da razão de freqüência r e do fator de amortecimento ξ afetam as amplitudes na condição de ressonância, quando r = 1. Esta figura ilustra o fator de ampliaçãoM (r, ξ) para vários valores de ξ. Note que existe uma faixa próxima a r = 1 onde existe uma ampliação nas amplitudes de vibração, esta região é conhecida como faixa de ressonância. É interessante também observar pela Eq. (3.7) que quando ξ = 0 e r = 1 o valor de Xp →∞.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Razão entre freqüências (r)

M (r

,ξ )

ξ=1.5 ξ=1.0 ξ=0.3 ξ=0.2 ξ=0.1 ξ=0.05

Fig. 3.1: Curvas de ampliação de amplitudes de vibração para um sistema com 1 gdl.

O máximo valor de M (r, ξ) é chamado de pico de ressonância e é encon- trado quando

60

dM (r, ξ)

dr = 0⇒ r =

√ 1− 2ξ2 = ω

ωn (3.10)

O valor máximo de M (r, ξ) quando r = √

1− 2ξ2 e quando ξ < 1/ √

2 é dado por:

Mmax = 1

2ξ √

1− ξ2 . (3.11)

Pode-se definir também a largura de banda (Bandwidth) BW como sendo o valor da freqüência em que a magnitude de vibração Xpk/F fica abaixo de 70.7%, que corresponde a um decaimento de -3.0 dB2. A largura da banda BW pode ser relacionada ao fator de amortecimento ξ através da expressão

BW = ωn

√ (1− 2ξ2) +

√ 4ξ4 − 4ξ2 + 2 (3.12)

Outras duas quantidades utilizadas na discussão de vibrações de estrutu- ras e máquinas é o fator de perda η descrito por

η = 2ξ, (3.13)

e o valor Q ou fator de forma de ressonância expressado através da relação

Q = 1

2ξ =

1

η . (3.14)

É interessante notar que quando r = 1 o fator de ampliação M (r, ξ) é igual ao valo Q.

Outra situação interessante acontece quando r ≈ 1 e o sistema não é amortecido ξ ≈ 0. Nestes casos ocorre o fenômeno de batimento, ilustrado na fig. (3.2). Um exemplo prático do fenômeno de batimento ocorre em vibração de transformadores.

Na seqüência apresenta-se alguns exemplos sobre a aplicação destes con- ceitos em problemas práticos de engenharia.

Exemplo 3.1 Uma máquina com 45 kg é montada em cima de um isolador não-amortecido composto por quatro molas em paralelo com rigidez de 2×105 N/m em cada mola. Quando opera a uma velocidade de 32 Hz, a amplitudes em regime permanente Xp é medida a partir de um teste experimental e corresponde a 1.5 mm. Qual a magnitude da força que excita esta máquina nesta velocidade?

2O decíbel (dB) é definido como sendo -20log(Amplitude), no caso -20log(.707)=-3.0 dB.

61

0 5 10 15 20 25 30 −2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

x( t)

Fig. 3.2: Exemplo de batimento para um sistema com 1 gdl.

Solução: A freqüência natural deste sistema é calculada por:

ωn =

√ keq m

=

√ 4 (2× 105)

45 = 133.3 rad/s. (3.15)

A freqüência de excitação em rad/s é calculada como ω = 2πf = 2π(32). Com isto a razão entre freqüências do sistema é calculada como:

r = ω

ωn =

2π(32)

133.3 = 1.51. (3.16)

Como o sistema é montado em um isolador sem amortecimento (ξ = 0) com um r > 1 o fator de ampliação M (r, ξ) é calculado pela Eq. (3.7) de forma modificada:

M (r = 1.51, ξ = 0) = 1

|1− r2| =

1

|1− (1.51)2| = 0.781. (3.17)

Rearranjando a Eq. (3.7) obtém-se o valor da amplitude da força de excitação deste sistema:

62

F = Xpkeq

M (r = 1.51, ξ = 0) =

(0.0015) (8× 105) 0.781

= 1.54× 103 N. (3.18)

Exemplo 3.2 Uma máquina com 120 kg é montada no meio de uma viga simplesmente suportada com comprimento L = 1.5 m, modulo de elasticidade E = 200× 109 N/m2 e momento de inércia de área I = 1.53× 10−6 m4. Um teste de vibrações é feito nesta máquina quando esta é excitada por uma força harmônica com magnitude de 2000 N para diferentes velocidades de rotação da máquina. Todas as medições experimentais das amplitudes de vibração Xp, em função das velocidades de rotação, são gravadas e constata-se analisando estes resultados que a maior amplitude corresponde a 2.5 mm. Com esta informação estime o coeficiente de amortecimento do sistema.

Solução: O primeiro passo é calcular a rigidez da viga, que para esta con- dição de contorno (simplesmente suportada) é definida como:

k = 48EI

L3 =

48 (200× 109) (1.53× 10−6) (1.5)3

= 4.35× 106 N/m. (3.19)

Com a rigidez calculada é possível se calcular a freqüência natural ωn do sistema:

ωn =

√ k

m =

√ 4.35× 106

120 = 190.4 rad/s. (3.20)

Como a informação conhecida é a máxima amplitude de vibração em regime permanente medida experimentalmente Xmax = 0.0025 m pode-se calcular o fator de ampliação máximo Mmax pela Eq. (3.7)

M (r, ξ) = Xmaxk

F =

(0.0025) (4.35× 106) 2000

= 5.44. (3.21)

Com o valor de Mmax calculado, a Eq. (3.11) pode ser rearranjada

ξ4 − ξ2 + 1 4M2max

= 0, (3.22)

que é uma equação quadrática em ξ2 cuja raízes são dadas por

ξ =

[ 1

2

( 1±

√ 1− 1

Mmax2

)] . (3.23)

Substituindo Mmax = 5.44 e notando que o sinal positivo em ± leva a um fator de amortecimento maior do que 1/

√ 2, tem-se então que ξ = 0.092. Ou

seja apenas uma das raízes da equação acima é significativa fisicamente.

63

3.2 Vibração causada por força de desbalance- amento em máquinas rotativas

Um caso especial de vibrações excitadas por forças harmônicas ocorre em máquinas rotativas com massa desbalanceada. Nestes casos o sistema é excitado por uma massa desbalanceada com uma velocidade angular ω e com uma excentricidade e. Esta força de desbalanceamento é dada por:

Fc(t) = m0eω 2sen (ωt) (3.24)

A fig. (3.3) mostra uma máquina rotativa representada por um sistema massa-mola-amortecedor com um grau de liberdade.

Fig. 3.3: Exemplo de máquina rotativa com massa desbalanceada.

Neste caso a equação do movimento do sistema é descrita por:

mẍ+ cẋ+ kx = m0eω 2sen (ωt) (3.25)

Assim para este caso, a amplitude de vibrações em regime permanente de uma máquina rotativa com desbalaceamento pode obtida a partir da Eq. (3.7)

Xp = F/k√

(1− r2)2 + (2ξr)2 . (3.26)

64

Como a amplitude da força de desbalanceamento é F = m0eω2 a Eq. (3.26) pode ser reescrita

Xp k

= m0eω

2√ (1− r2)2 + (2ξr)2

(3.27)

sendo que m0e representa a quantidade de desbalanceamento do sistema. Em geral m0e é obtido a partir de um teste experimental para procurar adicionar massas para corrigir este desbalanceamento, uma vez que esta ex- citação em níveis muito grandes pode comprometer o funcionamento de uma máquina e diminuir sua vida útil. Dividindo a Eq. (3.27) por m obtém-se a expressão final conhecida como fator de ampliação adimensional Λ (r, ξ)

mXp m0e

= Λ (r, ξ) = r2√

(1− r2)2 + (2ξr)2 (3.28)

A fig. (3.4) ilustra a função Λ (r, ξ) para vários valores de r e ξ.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Razão entre freqüências (r)

Λ (r

,ξ )

ξ=1.5 ξ=1.0 ξ=0.3 ξ=0.2 ξ=0.1 ξ=0.05

Fig. 3.4: Curva da função Λ (r, ξ).

Nota-se que para um ξ < 1/ √

2, o máximo valor Λ é

65

Λmax = 1

2ξ √

1− ξ2 , (3.29)

e ocorre quando a razão de freqüências r é dada por

rΛmax = 1√

1− 2ξ2 (3.30)

Exemplo 3.3 Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa m = 1100 kg está montado sobre isoladores com uma rigidez equiva- lente keq = 1.5 MN/m. O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 26 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical com curso de 0.45 m a 500 rpm. O curso é definido como curso = 2e. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor, Xp é de 0.01 m. Admitindo amortecimento viscoso, calcular o coeficiente de amortecimento do sistema.

Solução: A freqüência de excitação da máquina em rad/s é dada por

ω = 500 2π

60 = 52.3 rad/s (3.31)

A freqüência natural ωn do sistema é dada por:

ωn =

√ k

m =

√ 1.5× 106

1100 = 36.9 rad/s (3.32)

A razão entre as freqüências do sistema r é escrita como

r = ω

ωn =

52.3

36.92 = 1.41 (3.33)

A excentricidade é calculada sabendo que o curso = 2e, como o curso é de 0.45 m então a excentricidade e é dada por 0.225 m. A massa de desbalan- ceamento é m0 = 26 kg. Com isto a partir da Eq. (3.28) pode-se calcular o fator de amortecimento ξ

mXp m0e

= r2√

(1− r2)2 + (2ξr)2 (3.34)

1100(0.01)

(26)(0.225) =

(1.41)2√ (1− (1.41)2)2 + (2ξ(1.41))2

(3.35)

66

Com isto o valor do fator de amortecimento é dado por ξ = 0.133. Lembrando do capítulo 2 que o coeficiente de amortecimento viscoso é calculado por

c = 2mξωn = 2(1100)(0.133)(36.92) = 10559.1 N.s/m. (3.36)

3.3 Função de resposta ao impulso (IRF) Uma situação muito comum em análise de vibrações e em problemas de

dinâmica estrutural é focar na análise transiente da resposta. Nestes casos uma entrada do tipo impulso ocupa um lugar de destaque. A resposta ao impulso basicamente tem a forma da resposta as condições iniciais do caso homogêneo. Muitos sistemas mecânicos são excitados por carregamentos que são aplicados por um tempo breve. Matematicamente, estas situações são modeladas usando uma representação matemática chamada de impulso unitário ou função delta de Dirac δ(t− a). Esta representação matemática é definida como

δ (t− a) = {

0, t 6= 0 ∞, t = a , (3.37)

sendo ∫ ∞ −∞

δ (t− a) dt = 1 (3.38)

Assim a equação do movimento para um sistema massa-mola-amortecedor com um grau de liberdade é descrita por

mẍ+ cẋ+ kx = δ(t− a) (3.39)

A resposta da Eq. (3.39) para o caso subamortecido é escrita como

x(t) =

{ e−ξωntsen(ωdt)

mωn , t ≥ a

0, t < a , (3.40)

onde ωd = ωn √

1− ξ2 é a freqüência natural amortecida. A resposta do sistema quando a excitação aplicada é uma função impulso unitário é tão importante que nestes casos x(t) é chamada de função de resposta ao impulso (IRF)3 e escrita como sendo h(t). Quando a = 0 a IRF de um sistema de um grau de liberdade é escrita como:

3Do inglês Impulse Response Function.

67

h(t) = e−ξωntsen (ωdt)

mωn . (3.41)

Note que a IRF h(t) é idêntica a resposta livre subamortecida do sistema, Eq. (2.52), quando as condições iniciais de deslocamento e velocidade são respectivamente, x0 = 0 e v0 = 1m . A fig. (3.5) apresenta um exemplo de IRF quando m = 1 kg, c = 5 N.s/m e k = 1000 N/m.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Tempo [s]

IR F

− h

(t )

Fig. 3.5: Exemplo de resposta ao impulso h(t) de um sistema.

A IRF é muito útil para realização de análise transiente de sistemas estru- turais e mecânicos complexos e também para descrever a resposta de sistemas para diversos tipos de excitação. O conhecimento da IRF também pode ser usado em análise modal visando extrair os parâmetros modais (freqüências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibrar). Algumas destas con- siderações ainda serão apresentadas até o final deste capítulo, assim como formas de se estimar a IRF de maneira experimental.

68

3.4 Resposta para excitação do tipo degrau unitário

A resposta para excitação do tipo degrau unitário u(t − t0) é útil para análise de projeto de sistemas dinâmicos e muito usada para especificação de controladores. A partir da resposta x(t) de um sistema à excitação degrau unitário é possível definir vários parâmetros que descrevem o comportamento dinâmico de um sistema qualquer.

A função degrau unitário é descrita matematicamente pela expressão a seguir

u (t− t0) = ∫ t

0

δ(τ − t0)dτ (3.42)

que leva então para

u (t− t0) = {

0, t ≤ t0 1, t > t0

(3.43)

Quando t0 = 0 a excitação degrau unitário é dada por u(t − t0) = µ(t). A equação do movimento de um sistema quando aplicado como excitação F (t) = µ(t) um degrau unitário é dada por

mẍ+ cẋ+ kx = µ(t). (3.44)

Resolvendo a equação diferencial dada pela Eq. (3.44) chega-se ao resul- tado abaixo:

x(t) = 1− e −ξωntsen (ωdt+ φ)√

1− ξ2 , (3.45)

sendo a fase φ descrita como

φ = arctan

(√ 1− ξ2 ξ

) (3.46)

Um esboço da resposta ao degrau unitário para um sistema mecânico com m = 1 kg, c = 5 N.s/m e k = 1000 N/m é mostrado na fig. (3.6).

Note que na fig. (3.6) são descritos alguns parâmetros que descrevem o comportamento dinâmico de um sistema e podem ser usados para analisar qualitativamente se um sistema mecânico tem comportamento adequado ou não, de acordo com especificações de projeto. Uma destas medidas é o sobre- sinal, mais conhecido pelo termo em inglês overshoot OS. Este valor é dado

69

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8 x 10

−3

X: 0.1013 Y: 0.001778

Tempo [s]

x( t)

X: 1.759 Y: 0.0009952

OS

t s

t p

Fig. 3.6: Exemplo de resposta ao degrau unitário para um sistema com um grau de liberdade.

pelo máximo valor da resposta menos o valor desta quando o sistema entra em regime permanente

OS = xmax (t)− 1 = exp

( −ξπ√ 1− ξ2

) , (3.47)

o overshoot ocorre exatamente em um tempo de pico tp descrito como

tp = π

ωn √

1− ξ2 . (3.48)

Outra característica importante é o período de oscilações Td dado por

Td = 2π

ωn √

1− ξ2 = 2tp. (3.49)

Por fim o tempo de ajuste, ts, define o tempo em que a resposta do sistema atinge o regime permanente dentro de um intervalo de ±5%4. Uma aproximação para ts pode ser escrita como

4Há definições para ts quando este intervalo é ±3%.

70

ts = 3

ωnξ . (3.50)

É importante observar que a partir das equações anteriores é possível pro- jetar um sistema com um determinado fator de amortecimento ξ e freqüência natural ωn de acordo com os parâmetros de tempo de ajuste, overshoot, pe- ríodo de oscilações e tempo de pico para conduzirem a uma resposta com características e forma desejada.

3.5 Método da integral de convolução A integral de convolução ocupa um lugar de destaque no estudo de siste-

mas dinâmicos lineares. A partir desta integral é possível descrever a resposta de um sistema mecânico quando este é excitado por qualquer tipo de sinal de entrada (força) F (t) e quando as condições iniciais de deslocamento e veloci- dade são nulas, x(0) = 0 e ẋ(0) = 0, respectivamente. Para isto é necessário se conhecer a IRF h(t). A convolução entre a excitação F (t) e a IRF h(t) conduz a resposta do sistema

x(t) =

∫ +∞ −∞

F (τ)h(t− τ)dτ. (3.51)

O limite inferior da Eq. (3.51) pode ser descrito como zero, pois o comum é estudar sistemas que são causais5, assim a integral de convolução pode ser rescrita na forma

x(t) =

∫ +∞ 0

F (τ)h(t− τ)dτ = F (t) ∗ h(t), (3.52)

onde o símbolo ∗ representa a operação de convolução entre sinais. A Eq. (3.52) mostra a importância do conhecimento da IRF h(t). Caso se estime experimentalmente a IRF h(t) é possível descrever a resposta de um sistema mecânico complexo a qualquer tipo de excitação sem precisar resolver uma equação diferencial do movimento, uma grande vantagem da integral de convolução.

Em termos práticos os sinais experimentais medidos de entrada F (t) e da IRF h(t) são de natureza discreta. Assim define-se a força e a IRF em

5O conceito de sistemas causais significa que um sistema só começa a responder se uma entrada é aplicada em um instante t ou um instante anterior t − t0. Já um sistema não-causal pode responder em um instante t à entradas futuras t + t0 que ainda nem foram aplicadas. Um exemplo de sistema não-causal é sistemas dinâmicos que descrevem o comportamento de bolsas de valores.

71

termos de amostras em instantes n, sendo que a distância entre estas amostras depende da taxa de amostragem empregada6. Nestes casos a IRF e força são escritas como seqüências h[n] e F [n] e a integral de convolução da Eq. (3.52) é escrita na forma discreta como uma soma de convolução

x[n] = N∑ k=0

h[n− k]F [k] = h[n] ∗ F [n], (3.53)

sendo N = NF +Nh− 1 o número de amostras contidas no sinal discreto x[n], onde NF é o número de amostras no sinal de força F [n] e Nh o número de amostras da IRF discreta h[n].

3.6 Função de transferência e métodos freqüên- ciais

Até este ponto toda a análise de vibrações empregada se baseou em téc- nicas temporais. Outra abordagem é analisar vibrações em outros domínios, como no domínio da variável de Laplace s ou no domínio da freqüência. Nes- tes casos as equações diferenciais ordinárias lineares podem ser descritas de forma algébrica, além de ser em alguns casos mais fácil se extrair informações dinâmicas de um sistema mecânico quando este está representado no domínio s ou jω.

3.6.1 Transformada de Laplace

A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática para mudança de domínios entre sistemas contínuos. A transformada de Laplace é definida para sistemas lineares causais e contínuos descritos por uma IRF h(t) como sendo

H(s) = L {h(t)} = ∫ +∞

0

e−sth(t)dt. (3.54)

Se aplicarmos a transformada de Laplace na equação do movimento, Eq. (3.1) com condições iniciais nulas, obtém-se

X(s) [ ms2 + cs+ k

] = F (s), (3.55)

que pode ser organizada como uma relação entre sinais de entrada e saída. Esta relação fornece a transformada de Laplace da IRF H(s)

6Definida com cuidado para se evitar o fenômeno de aliasing.

72

H(s) = X(s)

F (s) =

1

ms2 + cs+ k .

A função H(s) é comumente chamada de função de transferência do sis- tema e é uma característica intrínseca do sistema dinâmico em estudo. Im- portante fazer algumas observações sobre a função de transferência H(s):

• A função de transferência (FT) é a mesma qualquer que seja a excitação aplicada.

• O conhecimento da FT de um sistema ajuda a descrever a resposta a qualquer excitação.

• O denominador da FT é a já definida equação caraterística.

• As raízes do denominador da FT são valores singulares chamados de pólos e para um sistema subamortecido são dados por s = −ξn ± jωn √

1− ξ2.

A contrapartida no domínio s de Laplace para a integral de convolução da Eq. (3.52) é dada por

X(s) = H(s)F (s), (3.57)

ou seja, é possível descrever a resposta de um sistema devido a um sinal qualquer usando uma simples relação algébrica entre os dados de entrada e saída, em vez de calcular uma integral de convolução ou mesmo resolver uma equação diferencial. Esta é uma das grandes vantagens de se trabalhar com transformadas. Note que a variável s é complexa.

Existe também uma contrapartida para o caso discreto usando a soma de convolução, nesta situação se emprega a transformada z, que infelizmente ainda não é estudada em detalhes em um curso convencional de graduação em Engenharia Mecânica. A tabela (3.1) resume as situações para os casos contínuos e discretos.

A FT também pode ser descrita em função de ωn e ξ

H(s) = 1/m

s2 + 2ξωns+ ω2n . (3.58)

Em problemas de engenharia de controle a FT é descrita apenas como a razão entre sinais de entrada e saída, sem grande preocupação com as grandezas física envolvidas nesta razão. Porém, em problemas de análise de vibrações e dinâmica estrutural é comum se medir a grandeza física de

73

Tab. 3.1: Tipos de análise de sistemas mecânicos usando transformadas.

Contínuo Discreto X(s) = H(s)F (S) X(z) = H(z)F (s)

Transformada de Laplace Transformada z x(t) =

∫ +∞ 0

F (τ)h(t− τ)dτ x[n] = ∑N

k=0 h[n− k]F [k] Integral de convolução Soma de Convolução

aceleração ẍ usando acelerômetros, nestes casos a relação entrada/saída é dada por s2H(s) e é chamada de inertância. A tabela (3.2) mostra os vários tipos de FT que podem ser aplicadas em dinâmica de estruturas dependendo do tipo de medida efetuada.

Tab. 3.2: Vários tipos de função de transferência empregadas na análise dinâmica.

Resposta medida Função de Transferência Inverso da FT Deslocamento H(s), Compliância Rigidez dinâmica Velocidade sH(s), Mobilidade Impedância Aceleração s2H(s), Inertância Massa aparente

Note que uma vez conhecida a inertância ou qualquer outra função de transferência é possível transformar de uma a outra a partir ou de multipli- cações ou divisões pela variável de Laplace s.

3.6.2 Função de resposta em freqüência (FRF)

Do ponto de vista experimental o que se faz é trabalhar com a transfor- mada de Fourier7. Assim uma vez conhecido o sinal de entrada (excitação) no domínio do tempo F (t)8 e considerando um mapeamento da função de transferênciaH(s) em s = jω, sendo ω uma freqüência que varia em um inter- valo de análise, obtém-se a então chamada função de resposta em freqüência (FRF)9 H(jω) = H(ω)

7Em particular com sua variante no domínio discreto: A Tranformada Discreta de Fourier.

8Que pode ser medido com o auxílio de células de carga. 9Do inglês Frequency Response Function.

74

H(jω) = 1

m(jω)2 + cjω +K =

1

(k − ω2m) + jcω . (3.59)

Interessante observar que a FRF H(ω) nada mais é do que a aplicação da transformada de Fourier na função de resposta ao impulso (IRF) h(t) no domínio contínuo ou da aplicação da transformada discreta de Fourier na IRF discreta h[n]. Sendo assim, também é possível escrever a relação entre entrada e saída dada pela Eq. (3.57) no domínio da freqüência ω

X(ω) = H(ω)F (ω). (3.60)

Note na Eq. (3.54) que se considerarmos s = jω obtém-se a expressão para a transformada de Fourier da IRF conduzindo a FRF

H(ω) =

∫ +∞ 0

e−jωth(t)dt. (3.61)

Assim como a FT, a FRF também pode ser descrita em função dos sinais de aceleração, velocidade e deslocamento. A tabela (3.3) mostra estes casos, onde observa-se que a relação entre estas FRFs são em relação a dividir ou multiplicar H(ω) pela freqüência ω.

Tab. 3.3: Vários tipos de FRFs empregadas na análise dinâmica.

Resposta medida FRF Inverso da FRF Deslocamento H(ω), Compliância Rigidez dinâmica Velocidade jωH(ω), Mobilidade Impedância Aceleração j2ω2H(ω), Inertância Massa aparente

Deve-se notar também que a FRF H(ω) é uma grandeza complexa des- crita por uma parte real e imaginária

H(ω) = <{H(ω)}+ j={H(ω)} , (3.62)

sendo sua magnitude descrita por

|H(ω)| = √ <{H(ω)}2 + ={H(ω)}2, (3.63)

e sua fase escrita como

φ = ={H(ω)} < {H(ω)}

. (3.64)

75

Pode-se representar uma FRF graficamente de diferentes formas. A mais comum é o chamado diagrama de Bode que consiste em descrever o módulo e a fase da FRF com a amplitude em dB. A fig. (3.7) apresenta as FRFs do sistema com m = 1 kg, c = 5 N.s/m e k = 1000 N/m, considerando inertância, mobilidade e compliância.

Outro gráfico comum é escrever a parte imaginária em função da parte real. Neste caso o gráfico tem a forma de um círculo com centro em 1

2c e

raio 1 c , caso se empregue a FRF de mobilidade. A fig. (3.8) apresenta um

exemplo deste tipo de gráfico. Esta representação é conhecida como diagrama de Nyquist e muito usada em teoria de controle para estudo de estabilidade de sistemas. Em análise modal este diagrama é usado para estimativa do fator de amortecimento ξ e da freqüência natural ωn, com um método conhecido como Curve Fitting, que será estudado nos próximos capítulos.

Por fim, outra forma de representar sistemas dinâmicos é com o uso dos gráficos da parte real e imaginária da resposta em freqüência. A fig. (3.9) mostra estas representações.

3.7 Estimativa experimental de IRFs e FRFs: Análise Espectral

Uma FRF pode ser obtida experimentalmente caso se conheça um sinal qualquer de resposta medida (aceleração, velocidade ou aceleração) e o sinal de força aplicada (que pode ser medido com a ajuda de uma célula de carga). Um dos métodos é aplicar a transformada de Fourier nos sinais de saída x(t) e F (t) que são definidos no domínio contínuo como

X(ω) =

∫ +∞ 0

e−jωtx(t)dt, (3.65)

F (ω) =

∫ +∞ 0

e−jωtF (t)dt. (3.66)

Porém na prática a aplicação da transformada contínua de Fourier (in- tegral acima) não é muito efetiva, uma vez que os sinais são normalmente amostrados em intervalos de tempo. O mais sensato então é aplicar a trans- formada discreta de Fourier nos vetores discretizados (seqüências) x[n] e F [n]

X(ωk) = N∑ n=0

x[n]e−jωkn, (3.67)

76

0 5 10 15 −150

−100

−50

0

50

Freqüencia [Hz] In

er tâ

n ci

a (d

B )

0 5 10 15 0

1

2

3

4

Freqüência [Hz]

P h

as e

(r ad

)

(a) Inertância

0 5 10 15 −100

−80

−60

−40

−20

0

Freqüencia [Hz]

M o

b ili

d ad

e (d

B )

0 5 10 15 −2

−1

0

1

2

Freqüência [Hz]

P h

as e

(r ad

)

(b) Mobilidade

0 5 10 15 −80

−70

−60

−50

−40

Freqüencia [Hz]

C o

m p

iâ n

ci a

(d B

)

0 5 10 15 −4

−3

−2

−1

0

Freqüencia [Hz]

P h

as e

(r ad

)

(c) Compliância

Fig. 3.7: Funções de resposta em freqüência para um sistema com 1 grau de liberdade.

77

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 −0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Real(jωH(jω))

Im ag

(j ω

H (j

ω ))

Fig. 3.8: Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade para um sistema com 1 grau de liberdade.

F (ωk) = N∑ n=0

F [n]e−jωkn, (3.68)

sendo ωk o valor discreto de freqüência em uma posição k dado por ωk = 2π N k e N o número de amostras calculadas. É importante observar que pela

natureza do processo de amostragem o sinal no domínio da freqüência é periodizado, portanto se os sinais têm N amostras temporais, somente N/2 amostras são usadas para descreve-los frequencialmente. Assim, a FRF pode ser obtida pela razão entre X(ωk) e F (ωk)

H(ωk) = X(ωk)

F (ωk) . (3.69)

Este método é o mais simples e é conhecido como o de varredura em freqüência. Infelizmente esta forma de se estimar a FRF também não conduz a bons resultados em geral, uma vez que a razão entre ruídos nos sinais de entrada e saída pode ser amplificada pela Eq. (3.69). Na prática esta estimativa é feita usando conceitos de processamento de sinais aleatórios e se empregando alguns conceitos básicos de estatística. Toda esta área é conhecida como Análise Espectral.

78

0 5 10 15 −3

−2

−1

0

1

2

3

4 x 10

−3

Freqüência [Hz]

R ea

l( H

(j ω

))

0 5 10 15 −7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0 x 10

−3

Freqüência [Hz]

Im ag

(H (j

ω ))

Fig. 3.9: Gráfico da parte real e imaginária da FRF (compliância) para um sistema com 1 grau de liberdade.

79

Fig. 3.10: Realizações de sinais medidos em um processo estocástico.

A meta de análise espectral é descrever a distribuição sobre freqüência da potência contida em um sinal com base em um conjunto finito de amostras. Estas ferramentas são úteis em análise modal, vibro-acústica, telecomunica- ções, identificação de sistemas, processamento de imagens, etc. Assume-se que os sinais, tanto de entrada como de saída de um sistema linear qualquer, são aleatórios, ou seja, não se consegue prever seus estados futuros. Estes sinais também não são periódicos e nem transientes, portanto a rigor não podemos utilizar diretamente as ferramentas de análise de Fourier estudadas até o momento.

Vários termos utilizados em análise espectral são novos para a maioria dos alunos de graduação, portanto é interessante fazer uma definição de alguns termos básicos:

Processo Estocástico: graficamente pode ser expresso por um conjunto de testes com amostras aleatórias xk[n] com k = 1, 2, .., K realizações e n = 1, 2, ..., N pontos cada, ou seja, só é possível analisar as caracterís- ticas médias deste processo. A fig. (3.10) mostra um exemplo gráfico de processo estocástico.

Momentos estatísticos: métricas utilizadas para descrever as característi- cas de processos estocásticos. Por exemplo, o valor médio de um sinal x[n] é chamado de momento de 1.o ordem

80

m[k] = lim K→∞

1

K

K∑ k=1

xk[n]. (3.70)

Entre os momentos estatísticos mais importantes se destacam as fun- ções de autocorrelação (FAC) Rxx(n,m)

Rxx(n,m) = lim K→∞

1

K

K∑ k=1

xk[n]xk[n+m] (3.71)

e funções de correlações cruzadas (FCC)

RFx(n,m) = lim K→∞

1

K

K∑ k=1

Fk[n]xk[n+m] (3.72)

sendo m o número de atrasos temporais. É interessante notar que a FAC é a média do produto entre xk[n] e xk[n+m] e a FCC é a média do produto entre duas seqüência diferentes Fk[n] e xk[n+m].

Processo estacionário: um processo é dito estacionário se suas proprieda- des estatísticas não variam com o tempo (se mantém constante). A fig. (3.11) apresenta um sinal estacionário. Caso se divida este sinal em várias partes e se calcule a distribuição de probabilidade em cada uma destas partes irá se constatar que a distribuição estatística é a mesma, conforme a fig. (3.12).

Fig. 3.11: Exemplo de um sinal estacionário.

81

Fig. 3.12: Distribuição de partes de um sinal estacionário.

Processo ergódico: Um processo é dito ergódico quando as propriedades médias calculadas no tempo para qualquer realização são iguais às pro- priedades calculadas a partir das médias do conjunto. Assim as FAC e FCC de processos estacionários e ergódicos se tornam dependentes ape- nas dos atrasos m, assim Rxx(m,n) = Rxx(m) e RFx(n,m) = RFx(m). Existem vários métodos temporais para se estimar as correlações (pois dificilmente elas são conhecidas por serem baseadas na definição de um limite). Um dos métodos mais conhecidos é o método de Levinson- Durbin. A rigor deveríamos utilizar os termos função de autocovariân- cia e função de covariância cruzada, que são iguais as FAC e FCC, mas retirando o efeito da média.

Após estas definições básicas é possível descrever o espectro de potências de um sinal aleatório discreto x[n] descrito por um processo estocástico, es- tacionário e ergódico através da transformada de Fourier da FAC Rxx(m) em função da freqüência ω.

Sxx(ω) = ∞∑

m=−∞

Rxx(m)e −jωm (3.73)

82

sendo ω = 2π f Fs , onde Fs é a taxa de amostragem em Hz e f o vetor de

freqüências, também em Hz. Assim

Sxx(f) = ∞∑

m=−∞

Rxx(m)e −2πjf Fs

m. (3.74)

A partir do espectro de potências é possível escrever a densidade espetral de potência (PSD) Pxx(f) do sinal x[n]

Pxx(f) = Sxx(f)

Fs . (3.75)

A PSD representa a potência contida em um sinal em uma banda de freqüência infinitesimal, daí a definição densidade. A unidade da PSD é po- tência do sinal (e.g., Watts) por unidade de freqüência. Na prática o calculo da PSD a partir da FAC não é usual. Alternativamente se usam méto- dos não-paramétricos (Periodograma, Welch, Correlgorama, etc.), métodos paramétricos (Modelos auto-regressivos, Equações de Yule-Walker, etc.) e métodos de subespaço.

O estimador espectral não-paramétrico mais usado e simples é o Periodo- grama definido como

P̂xx(f) = |X(f)|2

FsL , (3.76)

sendo X(f) a transformada discreta de Fourier do sinal aleatório x[n] com L pontos. Já a PSD cruzada entre dois sinais x[n] e y[n] é obtida por

P̂xy(f) = X(f)Y ∗(f)

FsL , (3.77)

sendo Y ∗(f) o complexo conjugado da transformada discreta de Fourier do sinal y[n]. Infelizmente o periodograma obtido a partir da operação acima fornece estimativas pobres devido à problemas relacionados à resolução, po- larização e variância. A solução é a utilização de janelas, o que dá origem ao Periodograma Ponderado e/ou divisão em segmentos o que dá origem ao Periodograma de Welch. Maiores detalhes nestes métodos podem ser obtidos no livro [14].

Uma das aplicações mais comuns de PSD é estimar de forma não- paramétrica funções de transferência de sistemas lineares e invariantes com o tempo a partir de dados de entrada/saída obtidos de testes experimentais, fig. (3.13). Ou seja, conhecidos os sinais de excitação x[n] = F [n] e de resposta y[n] qual o sistema h[n]?

83

Fig. 3.13: Sistema linear e invariante com o tempo representado por uma IRF discreta h[n].

Pode-se mostrar que a FCC entre a excitação F [n] e a resposta x[n], RFx[i], é igual a convolução discreta entre a IRF h[n] e a FAC de F [n], RFF [i]. Esta relação é conhecida como equação de Wiener-Hopf

RFx[i] = ∞∑ j=0

h[j]RFF [i− j]. (3.78)

Assim, através da estimativa das FAC e FCC pode-se calcular h[n] a partir da Eq. (3.78). Este método é conhecido como Método das correlações [1]. Esta estimativa também pode ser feita em termos espectrais utilizando a PSD e a PSD cruzada entre os sinais F [n] e x[n].

Um dos estimadores espectrais clássicos de funções de transferência é o estimador H1 definido como:

H1(f) = PFx(f)

PFF (f) , (3.79)

este estimador H1 é utilizado principalmente quando o ruído afeta mais os sinais de resposta. Outro estimador usual é o H2 usado quando o ruído afeta mais o sinal de entrada

H2(f) = Pxx(f)

PxF (f) . (3.80)

Um estimador espectral de FRFs mais genérico é o Hv usado quando o ruído afeta tanto os sinais de entrada quanto os sinais de saída

Hv(f) = √ H1(f)H2(f)T . (3.81)

Uma forma efetiva de conferir se uma estimativa espectral de FRF foi bem realizada é calcular a função de coerência entre os sinais de excitação F [n] e resposta x[n]

84

CFx(ω) = |SFx(ω)|2

SFF (ω)Sxx(ω) . (3.82)

O resultado da função de coerência é sempre um valor real entre 0 e 1. Se a coerência de um sinal é próxima à 1 para uma determinada banda de freqüência, significa que nesta faixa obteve-se uma boa estimativa da FRF do sistema mecânico de interesse, quando este recebe como entrada um sinal F [n] e produz na saída um sinal x[n]. Ou seja, as estimativas de H1 e H2 são próximas.

3.8 Determinação experimental do coeficiente de amortecimento por vibrações forçadas

Uma forma de se estimar o coeficiente de amortecimento em testes for- çados é empregar a Eq. (3.7) vista nas seções anteriores. Em resumo: caso se conheça a amplitude da força de excitação F e da vibração em regime permanente Xp, a razão de freqüências r e a rigidez do sistema k pode-se estimar o fator de amortecimento ξ. A metodologia usando o decremento logarítmico δ também pode ser empregada a partir de um teste experimental de aplicação de um impulso, caso se tenha em mãos um martelo de impacto com célula de carga ou se extrairmos experimentalmente a FRF ou a IRF usando os métodos descritos na seção anterior.

Um método popular de se estimar o fator de amortecimento ξ com base na FRF do sistema é medir as duas freqüências ω1 e ω2 em torno de um pico de ressonância com freqüência ωn quando a ampitude em ω1 e ω2 da FRF são 0.707, ou seja, −3.0 dB (este valor é conhecido como ponto de meia potência). O fator de amortecimento pode ser estimado por [4]:

ξ = 1

2

( ω2 − ω1 ωn

) . (3.83)

Este método é chamado de Quadrature peak picking e é válido para sis- temas levemente amortecidos.

3.9 Métodos numéricos para solução de equa- ções do movimento

Equações diferenciais aparecem com enorme frequência em diversos pro- blemas de modelagem de fenômenos físicos [12]. Exemplos são equações que

85

descrevem escoamento de fluidos, transferência de calor e massa, química, dinâmica e vibrações em sistemas mecânicos, etc.

Uma equação diferencial é definida como uma equação que envolve deri- vadas das funções. A ordem de uma equação diferencial é descrita em função da maior ordem p da derivada envolvida.

Dois tipos básicos podem aparecer, o primeiro envolve equações diferen- ciais ditas ordinárias. Neste caso existe apenas uma variável independente, y(x):

dy

dx = x+ y (3.84)

Equações diferenciais ordinárias contém parâmetros físicos concentrados. O segundo tipo acontece quando existe mais de uma váriavel indepen-

dente, por exemplo u(x, y) sendo o deslocamento u em uma placa em função de x e y:

∂2u

∂x2 + ∂2u

∂y2 = ∇2u = 0 (3.85)

sendo∇2 o Laplaciano. Esta equação é um exemplo de equação diferencial parcial. Este tipo de equação envolve parâmetros distribuídos. Neste texto iremos focar apenas a solução numérica de equações diferenciais ordinárias (EDO).

Um fato interessante é constatar que EDOs não possuem apenas uma solução e sim uma família ou conjunto de soluções possiveis. Para parti- cularizar a solução de uma EDO é essencial se definir valores de condições suplementares. Caso estes valores sejam especificadas no mesmo ponto tem- se uma condição inicial e neste contexto o problema é classificado como de valor inicial (PVI). Por outro lado se for especificada em mais de um ponto tem-se um problema de valor de contorno (PVC).

As equações diferenciais podem ser lineares ou não-lineares, dependendo se é válido ou não o princípio da superposição. Um exemplo de equação diferencial ordinária não-linear é:

u′′(x) + u′2(x) = 1 (3.86)

A grande preocupação dos matemáticos é garantir a existência e unici- dade da solução de PVI e PVC. Um problema de PVC normalmente é mais complexo, pois em inúmeros exemplos não se garante unicidade da solução.

Em problemas de dinâmica de sistemas mecânicos a aplicação da 2.o lei

86

de Newton gera sistemas de EDOs que são essencialmente não-lineares10. Ao menos para casos bem particulares, no geral linearizados e com aplicação de hipóteses simplificadoras, a solução analítica destas equações pode se tor- nar inviável. Assim, justifica-se a aplicação e implementação de métodos numéricos [13].

A ideia básica de grande parte deste métodos numéricos é ser capaz de construir uma solução para uma equação do tipo x′(t) = f(x, t) dada uma condição x(t0) = x0. O que se busca é definir uma sequência de valores t1, t2, · · ·, tn, não necessariamente espaçados e calcular aproximações numéricas para xi(ti) baseado em informações passadas. Se apenas uma informação passada é empregada o método é conhecido com sendo da classe passo sim- ples. Por outro lado, se usarmos vários valores passados, o método é de passo múltiplo. Alguns métodos clássicos usados envolvem a aproximação numérica da série de Taylor, como será apresentado na sequência.

3.9.1 Método de Série de Taylor

A série de Talyor pode ser usada para resolver qualquer tipo de EDO, porém os resultados em termos de eficiência computacional são limitados para EDOs de ordem baixa. A ideia consiste em aproximar a função x(t) em um ponto em torno de t = tn+1 por uma série11:

x(tn+1) ≈ x(tn) + ẋ(tn)∆t+ ẍ(tn) (∆t)2

2 (3.87)

sendo ∆t = tn+1 − tn o passo de integração, que não necessariamente precisa ser uniforme entre todos os pontos. Obviamente, que a equação acima terá um erro de truncamento. Observa-se claramente que uma redução de ∆t faria com que a solução convirja mais rápido para a solução exata. Porém, do ponto de vista computacional uma redução grande de ∆t pode não conduzir na prática à um aumento da precisão, uma vez que existe uma maior propagação de erros de truncamento, além do tempo de processamento ficar elevado.

Um caso particular é realizar uma aproximação de 1.o ordem:

x(tn+1) ≈ x(tn) + ẋ(tn)∆t (3.88)

neste caso, a série de Taylor de 1.o ordem é chamada de método de Euler. 10Estas EDOs são as equações do movimento e no nosso curso de vibrações na maioria

das vezes linearizamos assumindo pequenas oscilações. 11Que neste caso específico é truncada em termos de 2.o ordem.

87

O procedimento para obter a solução de uma EDO é conhecer os condições iniciais no instante t0 e prosseguir na aproximação em instantes t1 = t0 + ∆t até tN = t0 +N∆t, sendo N o número de amostras a avaliar.

Assim para uma EDO do tipo:

ẍ(t) + ẋ(t) + x(t) = 0 (3.89)

com condições iniciais ẋ(t0) e x(t0) conhecidas, tem-se que ẍ(t0) é:

ẍ(t0) = −ẋ(t0)− x(t0) (3.90)

Para um instante t1 = t0 + ∆t deve-se aproximar quem são as funções ẋ(t1) e x(t1). Usando a aproximação com o método de Euler:

x(t1) = x(t0 + ∆t) ≈ x(t0) + ẋ(t0)∆t (3.91) ẋ(t1) = ẋ(t0 + ∆t) ≈ ẋ(t0) + ẍ(t0)∆t (3.92)

E portanto a função ẍ(t1) será aproximada usando estes resultados:

ẍ(t1) ≈ −ẋ(t1)− x(t1) (3.93)

e assim por diante até atingir tN , tendo as respostas numéricas que solu- cionam a EDO em estudo.

A maior desvantagem do uso da série de Taylor é a necessidade de se verificar valores das derivadas de ordem mais alta da função x(t) a aproxi- mar. Assim, apesar de ser teoricamente possível resolver qualquer EDO, os resultados computacionais só são eficientes para EDOs de ordem baixa (1.o ou 2.o ordem). O método de Runge-Kutta resolve em partes esta deficiência.

3.9.2 Método de Runge-Kutta

O método de Runge-Kutta foi proposto por dois matemáticos alemães em 1902 visando:

• Aproveitar as qualidades da série de Taylor para aproximar x(t).

• Eliminar a necessidade de cálculo das derivadas de x(t) na aproximação, por exemplo, lembre que para aproximar via método de Euler x(t1) necessito conhecer x(t0) e ẋ(t0). O preço pago na família de métodos12 de Runge-Kutta é calcular ẋ(t) = f(x, t) em vários pontos.

12O termo família é usado pois existem métodos de Runge-Kutta de várias ordens.

88

O método de Runge-Kutta de 1.o ordem é uma aproximação pelo método de Euler da forma:

x(tn+1) = x(tn) + f(tn, x(tn))∆t (3.94)

Um dos métodos mais populares13 de Runge-Kutta é o de 4.o ordem, descrito por:

x(tn+1) ≈ x(tn) + 1

6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (3.95)

sendo as constantes calculadas para cada passo ∆t:

k1 = ∆tf(tn, x(tn)) (3.96) k2 = ∆tf(tn + ∆t/2, x(tn) + k1/2) (3.97) k3 = ∆tf(tn + ∆t/2, x(tn) + k2/2) (3.98)

k4 = ∆tf(tn + ∆t, x(tn) + k3) (3.99)

3.9.3 Método de Newmark

O sistema de equações diferenciais de segunda ordem em dinâmica estru- tural pode ser resolvido por qualquer método considerando a existência de alguma excitação F externa sendo aplicado no sistema ou mesmo condição inicial de deslocamento e velocidade em algum nó. Entre estes, o método de Newmark é um dos mais versátil e popular14 para solução de grandes sistemas de equações diferenciais de segunda ordem. Aqui não será dada nenhuma prova. Apenas apresentado sucintamente o método e mostrado um algoritmo efetivo para solução do sistema de EDOs.

Considerando a equação do movimento do sistema descrita pelas matrizes de massa e rigidez e com o amortecimento sendo do tipo proporcional a massa e/ou rigidez:

Mẍ + Cẋ + Kx = F. (3.100)

sendo ẍ, ẋ e x os vetores aceleração, velocidade e deslocamento, respec- tivamente.

A equação acima pode ser integrada usando algum método numérico. Em essência, a integração numérica direta é baseada em duas ideias. Na primeira, ao invés de tentar satisfazer a equação acima em todo tempo t,

13Consulte o comando ODE45 no Matlab R©. 14O integrador do software de elementos finitos Ansys R© é baseado neste procedimento.

89

busca-se satisfaze-lá apenas em intervalos discretos de tempo ∆t. A segunda ideia consiste em variar os deslocamentos, velocidades e acelerações dentro do intervalo de tempo ∆t assumido.

Em seguida, considera-se que os vetores deslocamento, velocidade e ace- leração no tempo inicial t0, denotados por x(0), ẋ(0) e ẍ(0) respectivamente, são conhecidos e implementa-se a solução das equações de equilíbrio para um tempo de t0 até tN . Na solução, todo o tempo considerado é dividido em N intervalos iguais ∆t(∆t = tN/N) e o esquema de integração empre- gado estabelece uma solução aproximada para os tempos ∆t, 2∆t, 3∆t, · · ·,t, t+ ∆t,· · ·, TN .

O esquema geral no método de Newmark assume que:

ẋ (t+ ∆t) = ẋ(t) + ∆t [(1− γ)ẍ(t) + γẍ(t+ ∆t)] (3.101)

x(t+ ∆t) = x(t) + ∆tẋ(t) +

[( 1

2 − β

) ẍ(t) + βx(t+ ∆t)

] ∆t2 (3.102)

As constantes γ e β são conhecidas como parâmetros de Newmark e são determinados visando obter exatidão e estabilidade numérica. Na literatura existem muitas variações deste algoritmo. Newmark originalmente propôs o esquema conhecido como aceleração média constante, conhecida como regra trapezoidal, neste caso γ = 1/2 e β = 1/6. A fig. (3.14) mostra o esquema de integração. Porém outros esquemas podem ser usados, como por exemplo γ = 1/2 e β = 1/4, que será empregado na rotina computacional do final desta seção.

Fig. 3.14: Esquema de aceleração média constante de Newmark.

A ideia é fazer com que a equação do movimento, eq. (3.100), seja válida nos intervalos de tempo de 0 até tN :

90

Mẍ(0) + Cẋ(0) + Kx(0) = F(0). ...

Mẍ(t) + Cẋ(t) + Kx(t) = F(t).

Mẍ(t+ ∆t) + Cẋ(t+ ∆t) + Kx(t+ ∆t) = F(t+ ∆t). ... (3.103)

Mẍ(tN) + Cẋ(tN) + Kx(tN) = F(tN).

Com base nesta ideia e no esquema de integração de Newmark pode-se es- crever um algoritmo computacional para integração de equações diferenciais de segunda ordem de sistemas lineares descrito por quatro passos básicos:

• Inicialização.

• Predição.

• Equação de equilíbrio

• Correção.

Escrevendo explicitamente cada passo temos:

1. Dados do problema: M,C,K

2. Inicialização:

ẍ(0) = M−1 {

F(0)−Cẋ(0)−Kx(0) }

(3.104)

3. Incremento temporal:

tk+1 = tk + ∆t (3.105)

4. Predição:

ẋtk+1 = ẋtk + (1− γ)∆tẍtk (3.106)

xtk+1 = xtk + ∆tẋtk + ( 1

2 − β)∆t2ẍtk (3.107)

91

5. Equação de equilíbrio:

S = M + γ∆tC + β∆t2K (3.108) ẍtk+1 = S

−1 (Ftk −Cẋtk −Kxtk) (3.109)

6. Correção:

ẋtk+1 = ẋtk + ∆tγẍtk (3.110) xtk+1 = xtk + ∆t

2βẍtk (3.111)

7. Critério de parada: atingir tN .

3.10 Vibrações em sistemas auto-excitados Até o momento o sistema dinâmico em estudo era forçada por uma fonte

externa e independente do movimento. Porém, existem inúmeros casos práti- cos em que as forças que excitam o sistema são dependentes da cinemática do movimento. Este tipo de sistema é conhecido como auto-excitado, uma vez que o próprio movimento é responsável pela excitação. Exemplos práticos de sistemas auto-excitados incluem:

• Instabilidade de eixos rotativos em velocidades críticas.

• Tremulação de pás de turbinas e hélices.

• Vibrações em tubulações induzidas por escoamento de fluidos ou des- cargas.

• Vibrações em pneus de automóveis.

• Vibrações em pontos por fenômenos aerodinâmicos.

3.10.1 Análise de estabilidade

Nos capítulos anteriores vimos que um sistema dinâmico linear é dito estável se sua resposta transiente de sistemas amortecidos (vibração livre) converge ao equilíbrio. Isto significou que o movimento decresce com o tempo seguindo e−ξωnt. Se este movimento divergir o sistema é dito instável, ou seja com o passar do tempo as amplitudes em regime transiente aumentam. Um

92

sistema mecânico pode se tornar instável se houver alimentação de energia ao sistema por auto-excitação.

Para visualizar bem isto é interessante verificar as raízes da equação carac- terísticas, que conforme já foi discutido, são chamadas de pólos do sistema. Para o caso de sistema de 2.o ordem, que é o mais comum de ocorrer em vibrações temos:

λ1,2 = − c

2m ± 1

2

√( c m

)2 − 4 k

m (3.112)

Nesta condições o sistema é estável nas situações:

• Raízes reais e negativas para ξ ≥ 1.

• Raízes conjugadas complexas com parte real negativa para 0 < ξ < 1.

Esta situação é alcançada se c m

e k m

são constantes positivas. Assim no caso de um sistema instável:

λ1 = p+ iq λ2 = p− iq (3.113)

sendo p e q números reais, de modo que:

(λ− λ1) (λ− λ2) = λ2 − (λ1 + λ2)λ+ λ1λ2 =

= λ2 + ( c m

) λ+

k

m = 0 (3.114)

Onde pode-se observar que:

c

m = −(λ1 + λ2) = −2p

k

m = λ1λ2 = p

2 + q2 (3.115)

A eq. (3.115) ilustra que se p for negativo, c m

é positivo, e para p2 + q2, k m

deve ser positiva. Admitimos que a massa m sempre é positiva, c e k devem ser positivos para o sistema ser estável.

Um exemplo bem interessante de vibração auto-excitada ocorre em freios de absorção com correia e polia e cursores de máquinas ferramentas [11]. Uma máquina-ferramenta (torno) pode sofrer algum solavanco mesmo o cursor tendo um movimento suave. Assuma um máquina com massa m e a conexão bancada-cursor de avanço como uma mola com rigidez k e amortecimento viscoso c. Existe um coeficiente de atrito µ entre a bancada e superfície do cursor que varia em função da velocidade de deslizamento. A equação do movimento da bancada pode ser descrita como:

93

mẍ+ cẋ+ kx = mg

( µ0 −

a

mg (V − ẋ)

) (3.116)

sendo a uma constante. A equação anterior pode ser descrita como:

mẍ+ (c− a)ẋ+ kx = 0 (3.117)

onde vê-se claramente que se a > c o sistema é instável.

3.10.2 Instabilidade dinâmica causada por escoamento de fluido

A vibração causada por escoamento de fluido ao redor de corpos é muito comum. Exemplos:

• Vibração em linhas de transmissão causada por vento.

• Vibração em antenas de automóveis causada por vento.

• Vibração em chaminés ou torres altas.

• Vibrações em pás de turbinas hidráulicas.

• Tubos de compressores de ar.

• Tubulações de óleo.

Todos estes sistemas podem vibrar violentamente sob certos regimes de escoamento. O que ocorre é que estes sistemas podem extrair energia da fonte induzindo vibrações cada vez maiores. Vários fenômenos físicos podem ser os responsáveis por esta indução de vibrações. Grande parte podem ser resultado da emissão de redemoinhos, conhecidos como vórtices de Karman.

Vórtices de Karman ocorrem alternadamente em sentido horário e anti- horário quando despreendidos por um escoamento de fluido ao redor de um corpo sólido. Estes vórticeces provocam forças de elevação com variação harmônica e perpendiculares à velocidade do fluido. Testes experimentais em túnel hidrodinâmico e/ou de vento mostram que a emissão de vórtices de Karman é muito grande na faixa de número de Reynolds (Re) entre 60 a 5000. O número de Reynolds nesta faixa é calculado como:

Re = V d

µ (3.118)

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sendo d o diâmetro de um cilindro ao redor do qual o fluido escoa, ρ a densidade, V a velocidade e µ a viscosidade do fluido. Para Re > 1000 a frequência adimensional de emissão de vórtices pode ser expressa em função do número de Strouhal St:

St = fd

V = 0.21 (3.119)

sendo f a frequência de emissão de vórtices em Hz. A força de eleva- ção F (t) harmônica induzida pelo escoamento perpendicular a velocidade do fluído é:

F (t) = 1

2 cρV 2Asen(ωt) (3.120)

sendo c uma constante dependente da geometria do corpo (para cilindros c ≈ 1), A a área projetada do cilindro perpendicular à direção de V , ω a frequencia ângular de emissão dos vórtices.

Assim o escoamento de fluidos ao redor de um corpo pode produzir vi- bração auto-excitada. Para projeto tem-se que garantir:

• A magnitude da força F (t) deve ser baixa para que não ocorra falha. Perfil aerodinâmico adequado pode ser usado para reduzir esta força.

• Mesmo a magnitude da força ser baixa, a frequência de emissão não pode produzir fadiga na estrutura mecânica.

• A frequência de emissão dos vórtices de Karman não pode coincidir com a frequência de ressonância do sistema15.

Em termos práticos vários são as técnicas usadas para reduzir estas ins- tabilidades. Por exemplo, em grandes estruturas esbeltas e altas é comum a instalação de spoilers ou reforços. Spoilers quebram o padrão de emis- são de vórtices de tal forma que nenhuma excitação harmônica bem-definida seja aplicada. Em aerofólios busca-se criar forças aerodinâmicas voltadas ao contrário da força F (t) buscando minimiza-la e garantir estabilidade.

3.11 Exercícios Ex. 3.1 Uma máquina com 110 kg é montada em uma fundação elástica com rigidez de 2× 106 N/m. Quando a máquina opera com uma velocidade de 150 rad/s, esta é sujeita a uma força harmônica com magnitude de 1500

15A causa do colapso da ponte Takoma foi causada por não atender a esta especificação.

95

N. A amplitude em regime permanente Xp medida em um teste de vibração nesta situação é encontrada ser de 1.9 mm. Qual o fator de amortecimento ξ desta fundação?

Ex. 3.2 Uma máquina ferramenta com 82 kg é montado em uma fundação elástica. Um teste experimental é realizado para estimar as características de rigidez e amortecimento desta base. Quando a ferramenta é excitada com uma força harmônica com magnitude de 8000 N em várias freqüências, a máxima amplitude em regime permanente obtida é dada por 4.1 mm na freqüência de excitação de 40 Hz. Usando estas informações estime o fator de amortecimento ξ e o coeficiente de rigidez desta fundação.

Ex. 3.3 Uma máquina de 45 kg é montada na extremidade livre de uma viga engastada-livre de aço com comprimento L = 2.5m e módulo de elasticidade E = 210× 109 N/m2. A rigidez da viga engastada-livre é calculada por k = 3EI L3

, sendo I o momento de inércia de área. A máquina é sujeita a excitação harmônica com magnitude de 1000 N em uma velocidade de rotação de 40 rad/s. Suponha que sua meta é limitar a amplitude de vibração em regime permanente desta máquina para no máximo 15 mm. Para isto você precisa especificar um perfil para a viga engastada-livre com base em um catalogo comercial em função do momento de inércia de área desejado. Para quais valores do momento de inércia de área I a exigência de projeto é satisfeita.

Ex. 3.4 Uma máquina industrial de serrar com 65 kg tem um desbalancea- mento m0e de 0.15 kg.m. A máquina opera em uma velocidade de 125 Hz e é montada sob uma fundação com rigidez equivalente de k = 2× 106 N/m e fator de amortecimento ξ = 0.12. Qual a amplitude de vibração em regime permanente desta máquina?

Ex. 3.5 Um ventilador industrial com 40 kg tem um desbalanceamento m0e de 0.1 kg.m. Este ventilador é montado na extremidade livre de uma viga engastada-livre com comprimento L = 1.2 m, módulo de elasticidade E = 200 × 109 N/m2 e momento de inércia de área de I = 1.3 × 10−6 m4. A rigidez da viga engastada-livre é calculada por k = 3EI

L3 . A viga foi confec-

cionada para adicionar amortecimento viscoso. Como a rotação de trabalho do ventilador é variável foi notado que a máxima amplitude de vibração em regime permanente é dada por 20.3 mm. Qual é a amplitude de vibração em regime permanente do ventilador quando este opera em 1000 rpm?

Ex. 3.6 Considere uma máquina com 120 kg montada sob uma viga engasta- livre com comprimento L = 0.8 m, módulo de elasticidade E = 200 × 109 N/m2 e momento de inércia de área de I = 4.5× 10−6 m4. A rigidez da viga

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engastada-livre é calculada por k = 3EI L3

. A partir de um teste experimental de vibrações livres constata-se que a razão entre duas amplitudes sucessivas em um ciclo é de 2.5 para 1. Determine a resposta da máquina devido a um desbalanceamento m0e de 0.25 kg.m quando a máquina opera em uma rotação de 2000 rpm e o amortecimento é assumido ser viscoso.

Ex. 3.7 Considere o conjunto moto-bomba visto na fig. (3.15) A bomba tem uma massa de 123 kg e o motor 390 kg. Constatou-se que em ope- rações normais de trabalho a vibração do conjunto era muita alta e acima do nível máximo tolerado, que é 4 mm/s. Neste primeiro teste o nível de vibrações do conjunto era 13 mm/s. Após um enrijecimento da base feito a partir de suportes de uma chapa dobrada em L com um reforço interli- gando as abas (mão francesa de chapa de mesma espessura) constatou-se que a vibração reduziu-se para 9.5 mm/s. Mesmo assim ficou acima do nível máximo tolerado, mostrando que esta mudança não foi suficiente. A rotação da bomba é 3000 rpm. Para simplificação dos cálculos, assuma que o sistema tem um amortecimento estrutural ξ nulo. Lembre-se que x(t) = Xpsen(ωt) e ẋ(t) = ωXpcos(ωt). Baseado nestas informações pede-se16:

a) Calcule uma estimativa da mudança ocorrida na rigidez do sistema com a modificação estrutural proposta e implementada.

b) Quanto deveria ser esta mudança para que o nível de amplitude de vibra- ções ficasse abaixo do valor máximo permitido (4 mm/s)?

Ex. 3.8 O motor elétrico de acionamento de um sistema mecânico possui massa de 20 kg e deve ser instalado sobre quatro absorvedores de vibração, conforme ilustrado na fig. (3.16). Esse motor deve operar na faixa de 100 a 1000 rpm, e seu rotor possui um desbalanceamento representado pela força Fo = 0, 05ω2, onde Fo é expressa em N e ω é a rotação do motor em rad/s. Considere os três tipos de absorvedores disponíveis apresentados na tabela (3.4), despreze qualquer efeito dissipativo e admita apenas o movimento vi- bratório na direção vertical17.

a. Determine as frequencias de ressonância do sistema correspondentes aos três tipos de absorvedores de vibrações apresentados, obtendo os resultados em rpm.

16Caso real ocorrido na Itaipu Binacional. 17Questão tirada do Provão Eng. Mec. 2001 - INEP.

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Tab. 3.4: Constantes elásticas dos absorvedores de vibração disponíveis.

Tipo de Absovedor Constante elástica [N/m] A 200000 B 20000 C 445

b. Especifique o tipo de absorvedor que deve ser utilizado para atender a requisitos de montagem que limitam em 1 mm o deslocamento vibratório ver- tical máximo do motor.

Ex. 3.9 Em um teste experimental se estimou uma função de resposta em freqüência (FRF) com base no sinal de deslocamento. Esta FRF é vista na fig. (3.17). Estime a freqüência natural e o fator de amortecimento ξ que este sistema contém.

Ex. 3.10 A fig. (3.18) mostra o diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade obtido através de um teste experimental. Com base neste gráfico estime o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente c do sistema.

Ex. 3.11 Considere um sinal de excitação F [n] obtido experimentalmente que é composto por 5 amostras: F [0] = 0.5, F [1] = 0.25, F [2] = 0.3, F [3] = 0.65 e F [4] = 1.0. Quando este sinal de força é aplicado para excitar um sistema mecânico, a resposta medida com um sensor de deslocamento é dada pelo sinal discreto x[n] também formado por 5 amostras: x[0] = 0.2, x[1] = 0.3, x[2] = 0.25, x[3] = 0.7 e x[4] = 0.1. Estes dois sinais são discretizados com uma taxa de amostragem de Fs = 100 Hz (100 amostras por segundo). Com base nestas informações pede-se:

a. Calcule a transformada discreta de Fourier F (ωk) e X(ωk) para os sinais F [n] e x[n] com 5 amostras.

b. Calcule a densidade espectral de potência Pxx(f) e PFx(f) destes sinais.

c. Estime as FRFs usando os estimadores H1, H2 e Hv.

d. Calcule a função de coerência desta estimativa e comente os resultados.

e. Estime a IRF h[n] e confira os resultados a partir de x[n] = h[n] ∗ F [n].

Ex. 3.12 Uma estrutura de aço tem 20 m de altura, 0.75 m de diâmetro interno e 0.8 m de diâmetro externo. Determine a velocidade do fluxo de vento ao redor desta estrutura que induzirá vibração transversal da chaminé

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na direção do fluxo de ar. Dica: frequencia natural fundamental da viga em balanço pode ser escrita como ω1 = (1.875104)2

√ EI/ρAl4.

Ex. 3.13 As duas primeiras frequencias naturais de uma antena de carro, fig. (3.19), são 3.0 Hz e 7.0 Hz. Determine se a emissão de vórtices ao redor da antena irá causar instabilidade na faixa de velocidades de 100 à 120 km/hora do automóvel.

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(a) Vista geral do conjunto.

(b) Detalhe da base.

Fig. 3.15: Conjunto moto-bomba. 100

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