Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени - конспект - Математика, Конспект из Математика
petr_j
petr_j13 June 2013

Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени - конспект - Математика, Конспект из Математика

PDF (65.8 KB)
2 страница
474количество посещений
Описание
Kazan State Finance and Economics Institute. Лекция конспект по математике. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
????? ????????????? ????? ??????? ?????????????? ????????? ????????? ???????

Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Валентин Подвысоцкий Уравнение:

X4 + TX2 + PX + Q = 0 (1)

имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.

Известно, что:

X1 + X2 + X3 + X4 = 0, (2)

X1X2 + X1X3 + X1X4 + X2X3 + X2X4 + X3X4 = T, (

3)

X1X2X3 + X1X2X4 + X1X3X4 + X2X3X4 = –P, (

4)

X1X2X3X4 = Q. (5)

Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

X1X2 + X3X4 = T + (X1 + X2)2, (6)

(X1 + X2)(X1X2 – X3X4) = P. (7)

Составляем квадратное уравнение:

Y2 – (X1X2+X3X4)Y + X1X2X3X4 = 0, (

8)

где Y1 = X1X2, Y2 = X3X4.

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2)2 перепишем уравнение (8) в виде:

Y2 – (T + A)Y + Q = 0.

Решая уравнение (8) получаем:

X1X2 = 1/2(T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2), (

9)

X3X4 = 1/2(T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2). (10)

Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

X1X2 – X3X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2. (11)

Учитывая, что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:

X1X2 – X3X4 = Р/А1/2. (12)

Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем

P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2. (13)

Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0. (14)

Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1+X2)2 и двух квадратных уравнений:

X2 – (X1 + X2)X + X1X2 = 0, (15)

X2 – (X3 + X4)X + X3X4 = 0. (16)

Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

X2 – A1/2X + 1/2(T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0, (17)

X2 + A1/2X + 1/2(T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0. (18)

Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.

Список литературы Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.n-t.org/

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome