Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты  - упражнение - Эконометрика (5), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament
wklev85
wklev8525 March 2013

Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты - упражнение - Эконометрика (5), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament

PDF (254.1 KB)
16 страница
126количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Эконометрика. Тема Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Лабораторная работа. Разные варианты. Вариант 5.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 16
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, вариант 5 - контрольная работа - Эконометрика

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Барнауле

Кафедра Математики и Информатики

Контрольная работа

по Эконометрике

Тема:

«Зависимость объема выпуска продукции от объема

капиталовложений, вариант 5»

Барнаул 2008

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена

информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y,

млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

X 31 23 38 47 46 49 4120 32 46 24

Y 38 26 40 45 51 49 34 35 42 24

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую

интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить

дисперсию остатков 2εS ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с

помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения

регрессии с помощью F- критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю

относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при

уровне значимости α=0,1 если прогнозное значение фактора X составит

80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки

прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

− гиперболической;

− степенной;

− показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние

относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим

характеристикам и сделать вывод.

Решение:

1. Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ = а0 + а1x.

Построим линейную модель.

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю таблицу

исходных данных по возрастанию факторной переменной Х (Данные =>

Сортировка). ( рис. 1).

Рис. 1. Сортировка данных. Используем программу РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели.

Результаты вычислений представлены в таблицах 2-5.

Таблица 2. ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионнаястатистика

Множественный R 0,891531 R-квадрат 0,794827 Нормированный R-квадрат 0,76918 Стандартная ошибка 4,304314 Наблюдения 10

Таблица 3. Дисперсионный анализ

df SS MS F Значимость

F Регрессия 1 574,183 574,183 30,99148 0,00053 Остаток 8 148,217 18,52712 Итого 9 722,4

Таблица 4.

КоэффициентыСтандартная

ошибка t-

статистика P-

ЗначениеНижние

95% Верхние

95% Нижние 95,0%

Y- пересечение 12,70755 4,811671 2,640984 0,029668 1,611806 23,80329 1,611806 Х 0,721698 0,129639 5,567 0,00053 0,422751 1,020645 0,422751

Таблица 5. ВЫВОД ОСТАТКА

НаблюдениеПредсказанное

УОстатки

1 27,14151 6,858491 2 29,3066 -3,3066 3 30,0283 -6,0283 4 35,08019 2,919811 5 35,80189 -0,80189 6 40,13208 -0,13208 7 45,90566 -3,90566 8 45,90566 5,09434 9 46,62736 -1,62736

10 48,07075 0,929245

Коэффициенты модели содержатся в таблице 4 (столбец Коэффициенты).

Таким образом, модель построена и ее уравнение имеет вид Yт =

2,70755+0,721698Х.

Коэффициент регрессии b=0,721698, следовательно, при увеличении времени

разговора с продавцом (Х) на 1 минуту сумма покупки (Y) увеличивается в

среднем на 0,721698 ден. ед.

Свободный член а=12,70755, в данном уравнении не имеет реального

смысла.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить

дисперсию остатков S²e; построить график остатков.

Остатки модели Ei=уi-уti содержатся в столбце Остатки итогов программы

РЕГРЕССИЯ (таблица 5).

Программой РЕГРЕССИЯ найдены также остаточная сумма квадратов

SSост=148,217 и дисперсия остатков MS=18,52712 (таблица 3).

Для построения графика остатков нужно выполнить следующие действия:

• Вызвать Матер Диаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с

соединенными точками).

• Для указания данных для построения диаграммы зайти во вкладку Ряд,

нажать кнопку Добавить; в качестве значений Х указать исходные

данные Х (таблица 1);значения Y - остатки ( таблица 5).

В результате получим график остатков.

остатки

-10

-5

0

5

10

0 20 40 60

остатки

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели

являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.

• В уравнении линейной модели Y=a+b*X+ε слагаемое ε - случайная

величина, которая выражает случайный характер результирующей

переменной Y.

• Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении

равно нулю, а дисперсия постоянна.

• Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).

• Распределение случайного члена является нормальными. 1) Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию повторных точек. Количество повторных точек определим по графику остатков: p=5 Вычислим критическое значение по формуле:

 

  

 −⋅−−= 90

2916 96,1

3

)2(2 nn pкр . При 10=n найдем [ ] 296,2 ==крp

Схема критерия:

Сравним 25 =>= крpp , следовательно, свойство случайности для ряда

остатков выполняется.

1. Равенство нулю математического ожидания остаточной

компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по

МНК, выполняется автоматически. С помощью функции СРЗНАЧ для ряда

остатков можно проверить: 0=E .

Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по

критерию Гольдфельда–Квандта.

В упорядоченных по возрастанию переменной X исходных данных

( 10=n ) выделим первые 4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не

рассматриваем.

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым

четырем наблюдениям (регрессия-1), для этой модели остаточная сумма

квадратов 877193,61 =SS .

Дисперсионный анализ

df SS MS F Значимость

F Регрессия 1 107,7894737 107,7894737 15,67347 0,15751

Остаток 1 6,877192982 6,877192982 Итого 2 114,6666667

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним

четырем наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма

квадратов 58333,442 =SS .

Дисперсионный анализ

df SS MS F Значимость

F Регрессия 1 4,166666667 4,166666667 0,186916 0,707647 Остаток 2 44,58333333 22,29166667 Итого 3 48,75

Рассчитаем статистику критерия: 48,6 88,6

58,44

min

max === SS

SS F .

Критическое значение при уровне значимости %5=α и числах степеней

свободы 211421 =−−== kk составляет 19=крF .

Схема критерия:

Сравним 1948,6 =<= крFF , следовательно, свойство постоянства

дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

2. Для проверки независимости уровней ряда остатков используем

критерий Дарбина–Уотсона

( )

=

− −−

= n

i i

n

i ii

E

EE d

1

2

2

2 1

.

Предварительно по столбцу остатков с помощью функции

СУММКВРАЗН определим ( ) 062589,352 2

2 1 =−∑

− −

n

i ii EE ; используем найденную

программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты

217,148 1

2∑ =

== n

i iост ESS .

Таким образом,

375,2 217,148

063,352 ==d

Схема критерия:

Полученное значение d=2,375, что свидетельствует об отрицательной

корреляции. Перейдем к d’=4-d=1,62 и сравним ее с двумя критическими

уровнями d1=0,88 и d2=1,32.

D’=1,62 лежит в интервале от d2=1,32 до 2, следовательно, свойство

независимости остаточной компоненты выполняются.

∑ =

=

− =

n

i i

i

n

i i

E

EE

r

1

2

1 2

*

)1( . С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков

144869,2* 2

1 −=∑ =

ÅEE n

i ii , следовательно r(1)=2,4869Е-14/148,217=1,67788Е-16.

Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как

отношение /96,1=êðr √n и составляет для данной задачи 62,010/96,1 ==êðr

Сравнения показывает, что r(1)= 1,67788Е-16<0,62, следовательно, ряд

остатков некоррелирован.

4) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим

с помощью −SR / критерия:

ES

EE SR minmax/

− = .

С помощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим

86,6max =E , 03,6min −=E . Стандартная ошибка модели найдена программой

РЕГРЕССИЯ и составляет 304314,4=ES . Тогда:

( ) 995,2

304,4

03,686,6 / =−−=SR

Критический интервал определяется по таблице критических границ

отношения SR / и при 10=n составляет (2,67; 3,57).

Схема критерия:

2,995 ∈ (2,67; 3,57), значит, для построенной модели свойство нормального

распределения остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала,

что для модели выполняются все условия Гаусса–Маркова.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения

регрессии с помощью t–критерия Стьюдента ( 05,0=α ).

t–статистика для коэффициентов уравнения приведены в таблице 4.

Для свободного коэффициента 70755,12=a определена статистика

( ) 640984,2=at .

Для коэффициента регрессии 721698,0=b определена статистика

( ) 567,5=bt .

Критическое значение 31,2=крt найдено для уравнения значимости

05,0=α и числа степеней свободы 81110 =−−=k с помощью функции

СТЬЮДРАСПОБР.

Схема критерия:

Сравнение показывает:

( ) 31,264,2 =>= êðtat , следовательно, свободный коэффициент a является

значимым.

( ) 31,2567,5 =>= êðtbt , значит, коэффициент регрессии b является значимым.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость

уравнения регрессии с помощью F–критерия Фишера ( 05,0=α ), найти

среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о

качестве модели.

Коэффициент детерминации R–квадрат определен программой

РЕГРЕССИЯ и составляет %5,79795,02 ==R .

Таким образом, вариация объема выпуска продукции Y на 79,5%

объясняется по полученному уравнению вариацией объема

капиталовложений X.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F–критерия

Фишера.

F–статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 3) и

составляет 99148,30=F .

Критическое значение 32,5=крF найдено для уровня значимости

05,0=α и чисел степеней свободы 11 =k , 82 =k .

Схема критерия:

Сравнение показывает: 32,599148,30 =>= FF ; следовательно, уравнение

модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая

переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель

факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации

рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые

вычислим по формуле 100_ ⋅= i

i iотн y

E E с помощью функции ABS (таблица 6).

ВЫВОД ОСТАТКА

НаблюдениеПредсказанное Y ОстаткиОтн. Погр-

ти 1 27,14150943 6,858490566 20,17% 2 29,30660377 -3,306603774 12,72% 3 30,02830189 -6,028301887 25,12% 4 35,08018868 2,919811321 7,68% 5 35,80188679 -0,801886792 2,29% 6 40,13207547 -0,132075472 0,33% 7 45,90566038 -3,905660377 9,30% 8 45,90566038 5,094339623 9,99% 9 46,62735849 -1,627358491 3,62%

10 48,07075472 0,929245283 1,90%

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение

%31,9=îòíE (функция СРЗНАЧ).

Схема проверки:

Сравним: 9,31% < 15%, следовательно, модель является точной.

Вывод: на основании проверки предпосылок МНК, критериев

Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель

можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой

модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при

уровне значимости 1,0=α , если прогнозное значение фактора X составит

80% от его максимального значения.

Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной

Х составит 80% от 49, следовательно, 2,39* =x . Рассчитаем по уравнению

модели прогнозное значение показателя У:

4899,4749*72,071,12* ≈=+=Òy .

Таким образом, если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб.,

то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 48 млн. руб.

Зададим доверительную вероятность αγ −= 1 и построим

доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:

( ) ( )( )∑ − −+⋅=

xx

xx

n SyS

i

ET

2* * 1

Предварительно подготовим:

- стандартную ошибку модели 304314,4=ES (Таблица 2);

- по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение 6,35=x

(функция СРЗНАЧ) и определим ( ) 4,11022∑ =− xxi (функция КВАДРОТКЛ). Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего

значения составляет:

( ) ( ) 44,1 4,1102

6,352,39

10

1 304314,4

2 * =−+⋅=TyS

При 86,1)8%;10( =крt размах доверительного интервала для среднего

значения

( ) ( ) 6784,244,186,1** =⋅=⋅= TêðT yStyU Границами прогнозного интервала будут

( ) 3,4531116,456784,299,47**. ≈=−=−= TTíèæí yUyU ( ) 67,506684,506784,299,47**. ≈=+=+= TTâåðõ yUyU

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем

капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска

продукции будет от 45,3 млн. руб. до 50,67 млн. руб.

7. Представить графически фактические и модальные значения Y

точки прогноза.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная)

покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию

модели:

тип → линейная; параметры → показывать уравнение на диаграмме.

Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в

опции Исходныеданные добавим ряды:

Имя → прогноз; значения *xX → ; значения *yY → ;

Имя → нижняя граница; значения *xX → ; значения .нижнUY → ;

Имя → верхняя граница; значения *xX → ; значения .верхUY

y = 0,7217x + 12,708

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60

Исходные данные

Прогноз

Нижняя граница

Верхняя граница

Линейный (Исходные данные)

8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической;

степенной; показательной.

Гиперболическая модель x

b ayТ += не является стандартной.

Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим x

x 1~ = и

получим вспомогательную модель xbayT ~⋅+= . Вспомогательная модель

является линейной. Ее можно построить с помощью программы

РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец

значений iy (остается без изменений) и столбец преобразованных значений

x x

1~ = (таблица 7).

Таблица 7

Y Х 1/Х 34 20 0,050 26 23 0,043 24 24 0,042 38 31 0,032 35 32 0,031 40 38 0,026 42 46 0,022 51 46 0,022 45 47 0,021 49 49 0,020

С помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:

Таким образом, 248,60=a ; 477,704−=b , следовательно, уравнение

гиперболической модели x

477,704

248,60 −= .

С помощью полученного уравнения рассчитаем теоретические

значения Tiy для каждого уровня исходных данных ix .

Покажем линию гиперболической модели на графике. Для этого добавим

к ряду исходных данных ( )ii yx , , ряд теоретических значений

y = 4,117x0,628

0,000 5,000

10,000 15,000 20,000 25,000 30,000 35,000 40,000 45,000 50,000

0 20 40 60

Ут

Гиперболический

Степенная модель bT xay ⋅= является стандартной. Для ее построения

используем Мастер диаграмм: исходные данные покажем с помощью

точечной диаграммы, затем добавим линию степенного тренда и выведем на

диаграмму уравнение модели.

Коэффициенты Y-пересечение 60,24808165 1/Х -704,4773077

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome