Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты  - упражнение - Эконометрика (16), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament
wklev85
wklev8525 March 2013

Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты - упражнение - Эконометрика (16), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament

PDF (159.7 KB)
17 страница
709количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Эконометрика. Тема Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Лабораторная работа. Разные варианты. Вариант 16.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 17
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, вариант 16 - контрольная работа - Эконометрика

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине

Эконометрика

Тема:

«Зависимость объема выпуска продукции от

объема капиталовложений, вариант 16»

Калуга

2

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена

информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (y,

млн. руб.) от объема капиталовложений (x, млн. руб.).

x 31 23 38 47 46 49 20 32 46 24

y 38 26 40 45 51 49 34 35 42 24

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую

интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить

дисперсию остатков 2εS ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с

помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость

уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю

относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя «y» при

уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора «x» составит 80%

от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки

прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;

• показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

3

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние

относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим

характеристикам и сделать вывод.

Решение:

1. Модель линейной регрессии имеет вид: вxay +=ˆ . Параметры «а» и «в»

могут быть оценены с помощью МНК. Для автоматизации расчетов используем

программу «Регрессия» статистического пакета «Анализ данных» EXCEL

(Приложение 1).

Параметр «а»=12,708; параметр «в»=0,722. Получили модель:

xy 722,0708,12ˆ += . Это однофакторная модель.

Параметр, который находится при факторном признаке, называется

коэффициентом регрессии.

Коэффициент регрессии в=0,722 означает, что с увеличением объема

капиталовложений «х» на 1 млн. руб. объем выпуска продукции «y» в среднем

увеличится на 722 тыс. руб.

2. Оценку значимости, существенности параметров построенного

уравнения регрессии можно с помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05).

Расчетные значения t-статистики для соответствующих параметров

определяются по формулам: 57,5.)(;64,2.)( ==== в

в

a a S

в расчt

S

a расчt , где аS и вS -

стандартные ошибки оценки параметров «а» и «в» (Приложение 1).

Табличное значение t-статистики можно определить с помощью

стандартной функции «Мастера функций» EXCEL «СТЬЮДРАСПОБР (α,n-2)»:

31,2.)( =таблt (Приложение 1).

Поскольку 31,2.)(64,2.)( =〉= таблtрасчt a , то параметр «а» статистически

значим, и поскольку 31,2.)(57,5.)( =〉= таблtрасчtв , то коэффициент регрессии

«в» - статистически значим.

4

3. Коэффициент детерминации ( )2r можно рассчитать, например по

формуле: 795,0 )(

)ˆ( 2

2 2 =

−Σ −Σ=

yy

yy r (Приложение 1).

Таким образом, все изменения (вариации) в объеме выпуска продукции

«y» на 79,5% обусловлены вариациями в объеме капиталовложений «x», т.е. в

факторе, учтенном в модели. Соответственно, все изменения в объеме выпуска

продукции «y» на 20,5% (100% - 79,5%) обусловлены изменениями в факторах,

не учтенных в модели.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом можно осуществить с

помощью F-критерия Фишера (α = 0,05).

Расчетное значение F-критерия Фишера определяется по формуле:

99,30 )1/()1(

/ .)(

2

2

= −−−

= mnR

mR расчF , где m - число факторных признаков в модели

(Приложение 1).

Табличное значение F-статистики можно определить с помощью

стандартной функции «Мастера функций» EXCEL «FРАСПОБР (α, m, n-m-1)»:

32,5.)( =таблF (Приложение 1).

Поскольку 32,5.)(99,30.)( =〉= таблFрасчF , то построенное уравнение

регрессии статистически значимо.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации ( .отнE ) можно

определить по формуле: %31,9%100 1

%100 ˆ1

. =⋅Σ⋅=⋅−Σ⋅= y

e

ny

yy

n отнE

(Приложение 2).

Таким образом, модельные значения ( ) отклоняются от фактических

значений ( y ) в среднем на 9,31%. Так как величина ошибки менее 15%

( %15%31,9. 〈=отнE ), то получена модель удовлетворительной точности.

4. Остатки определяются по формуле: 01,1;ˆ =−= iyye iii (Приложение 2).

5

Остаточная сумма квадратов можно определить с помощью стандартной

функции «Мастера функций» EXCEL «СУММКВ»: 22,1482 =Σ ie (Приложение

2).

Дисперсию остатков можно определить с помощью стандартной функции

«Мастера функций» EXCEL «ДИСП»: 2εS 47,16= (Приложение 2).

График остатков построен с помощью «Мастера диаграмм» EXCEL и

представлен в Приложении 2.

5. Для оценки адекватности модели исследуются остатки

01,1;ˆ =−= iyye iii .

Исследование остатков ( ie ) предполагает проверку наличия у них

следующих 5-ти свойств (предпосылок МНК):

а) нулевая или близкая к ней средняя величина остатков. Среднюю

величину остатков можно определить с помощью стандартной функции

«Мастера функций» EXCEL «СРЗНАЧ». В нашем случае средняя величина

остатков нулевая: 0=e , т.е. первое свойство остатков выполняется

(Приложение 2).

б) случайный характер остатков. Проверку случайности остатков

проведем на основе критерия поворотных точек. Анализируя график остатков,

делаем вывод, что число поворотных точек в ряду остатков равно 6 (р=6).

В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

 

  

 −−−〉 90

2916 96,1

3

)2(2 nn p .

В нашем случае правая часть неравенства равна:

[ ] 296,2 90

291016 96,1

3

)210(2

90

2916 96,1

3

)2(2 == 

  

 −⋅−−= 

  

 −−− nn .

Т.е. в нашей задаче провиденное выше неравенство 26 〉=p

выполняется, а значит, свойство случайности остатков имеет место.

в) независимость остатков (отсутствие автокорреляции). При проверке

независимости остатков используется коэффициент автокорреляции

6

1

1

);(cov 1

− ⋅ = −

ii

ii

ee

ii ee SS

ee r . Коэффициент автокорреляции рассчитаем с помощью

стандартной функции «Мастера функций» EXCEL «КОРРЕЛ»: 14,0=

(Приложение 2).

Оценим значимость полученного коэффициента автокорреляции по t-

критерию. Расчетное значение t-критерия определяем по формуле:

40,0)2( 1

.)( 2

2

=−⋅ −

= n r

r расчt (Приложение 2).

Табличное значение t-статистики можно определить с помощью

стандартной функции «Мастера функций» EXCEL «СТЬЮДРАСПОБР (α,n-2)»:

31,2.)( =таблt (Приложение 2).

Поскольку 31,2.)(40,0.)( =〈= таблtрасчt , то коэффициент автокорреляции

не значим.

Таким образом, автокорреляция в ряду остатков не обнаружена.

Следовательно, свойство независимости остатков выполняется.

г) соответствие ряда остатков нормальному закону распределения.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения оцениваем при

помощи R/S-критерия.

Расчетное значение R/S-критерия можно определить по формуле:

18,3/ minmax =−= остS

ee SR , где остS - стандартное отклонение в ряду остатков

(Приложение 2).

Полученное значение этого критерия попадает между табулированными

границами (2,67; 3,57), с заданным уровнем значимости α = 0,05 и n = 10.

Таким образом, свойство соответствия ряда остатков нормальному закону

распределения выполняется.

д) гомоскедастичность дисперсии остатков. Чтобы оценить нарушения

гомоскедастичности (постоянства) может использоваться тест Гольдфельда –

Квандта. Выполним следующие шаги:

7

• Упорядочение «n» - наблюдений по мере возрастания переменной «х»

(Приложение 3).

• Разделение совокупностей на 2 группы, соответственно с малыми и

большими значениями фактора «х»; определение по каждой из групп

уравнений регрессии (Приложение 3).

• Определение остаточной суммы квадратов для первой и второй

регрессии. Остаточную сумму квадратов для первой и второй

регрессии можно определить по формулам:

∑∑ +−==

−=−= n

nni iiy

n

i iiy yySyyS

1

2 2ˆ2

1

; 2

1ˆ1

1

1

)ˆ()ˆ( или с помощью стандартной

функции «Мастера функций» EXCEL «СУММКВ»:

62,44;65,102 ˆ2ˆ1 == yy SS (Приложение 4, Приложение 5).

• Вычисление отношений y

y

S

S

ˆ1

ˆ2 или y

y

S

S

ˆ2

ˆ1 , в числителе должна быть

большая сумма квадратов. В нашем случае 30,2 ˆ2

ˆ1 = y

y

S

S (Приложение 3).

Далее используется F-критерий Фишера. Табличное значение F-

статистики можно определить с помощью стандартной функции «Мастера

функций» EXCEL «FРАСПОБР (α,n1-m,n-n1-m)»: 39,5.)( =таблF (Приложение 3).

Поскольку 39,5.)(30,2.)( =〈= таблFрасчF , то гетероскедастичность

остатков не обнаружена, а значит, свойство гомоскедастичности остатков

выполняется.

Таким образом, построенная модель регрессии адекватна, в общем.

6. Оценим прогнозное значение факторного признака. Для получения

точечного прогноза подставим в построенное уравнение регрессии ожидаемое

значение 8108,0 =⋅=прогx , получим 48,188722,0708,12ˆ =⋅+=прогy .

8

Для построения интервального прогноза определим доверительный

интервал uyпрог ±ˆ , где u - отклонение от линии регрессии, рассчитываемое по

формуле: 71,10 )(

)(1 1

2

2

= − −

++⋅⋅= ∑ xx

xx

n tSu прогe α (Приложение 6).

Определим нижнюю и верхнюю границы интервального прогноза:

19,29;77,771,1048,18ˆ =±=± uyпрог .

7. График фактических и модельных значений «y» и точек прогноза

построен с помощью «Мастера диаграмм» EXCEL и представлен в

Приложении 7.

8. Составим уравнения нелинейной регрессии.

Гиперболическая регрессия:

Модель гиперболической регрессии имеет вид: x

в ay +=ˆ . Произведем

линеаризацию модели путем замены переменной: x

z 1= . В результате получили

линейное уравнение: вzay +=ˆ . Параметры «а» и «в» могут быть оценены с

помощью программы «Регрессия» статистического пакета «Анализ данных»

EXCEL (Приложение 8).

Параметр «а»=60,248; параметр «в»=-704,477. Получили модель

гиперболической регрессии вида: x

y 477,704

248,60ˆ −= .

График гиперболической регрессии построен с помощью «Мастера

диаграмм» EXCEL и представлен в Приложении 8.

Степенная регрессия:

Модель степенной регрессии имеет вид: вxay ⋅=ˆ . Произведем

линеаризацию модели путем логарифмирования обеих частей уравнения:

xвay lglgˆlg ⋅+= . Произведем замены переменных: aAxXyY lg,lg,ˆlg === . В

результате получили линейное уравнение: вXAY += . Параметры «А» и «в»

могут быть оценены с помощью программы «Регрессия» статистического

пакета «Анализ данных» EXCEL (Приложение 9).

9

Параметр «А»=0,587; параметр «в»=0,644. Уравнение регрессии будет

иметь вид: Xy 644,0587,0ˆ += . Выполнив потенцирование данного уравнения

644,0587,010ˆ xy ⋅= , получили модель степенной регрессии вида: 644,0866,3ˆ xy ⋅= .

График степенной регрессии построен с помощью «Мастера диаграмм»

EXCEL и представлен в Приложении 10.

Показательная регрессия:

Модель показательной регрессии имеет вид: xвay ⋅=ˆ . Произведем

линеаризацию модели путем логарифмирования обеих частей уравнения:

вxay ⋅+= lglgˆlg . Произведем замены переменных: aAвByY lg,lg,ˆlg === . В

результате получили линейное уравнение: BxAY += . Параметры «А» и «В»

могут быть оценены с помощью программы «Регрессия» статистического

пакета «Анализ данных» EXCEL (Приложение 11).

Параметр «А»=1,268; параметр «В»=0,009. Уравнение регрессии будет

иметь вид: xy 009,0268,1ˆ += . Выполнив потенцирование данного уравнения

xy )10(10ˆ 009,0268,1 ⋅= , получили модель показательной регрессии вида:

xy 020,1549,18ˆ ⋅= .

График показательной регрессии построен с помощью «Мастера

диаграмм» EXCEL и представлен в Приложении 12.

9. Коэффициент детерминации для нелинейных связей называют

индексом детерминации. Индекс детерминации можно рассчитать по формуле:

∑ ∑

− −

= 2 2

2

)(

)ˆ(

yy

yy ρ .

Среднюю относительную ошибку аппроксимации ( .отнE ) можно

рассчитать по формуле: %100 1

%100 ˆ1

. ⋅Σ⋅=⋅−Σ⋅= y

e

ny

yy

n отнE .

Для гиперболической связи:

индекс детерминации равен 0,709; средняя ошибка аппроксимации равна

10,97% (Приложение 13).

10

Для степенной связи:

индекс детерминации равен 0,771; средняя ошибка аппроксимации равна

9,40% (Приложение 14).

Для показательной связи:

индекс детерминации равен 0,844; средняя ошибка аппроксимации равна

9,13% (Приложение 15).

Для сравнения моделей нелинейной регрессии по характеристикам

индекс детерминации и средняя ошибка аппроксимации построим сводную

таблицу результатов:

Модель

нелинейной

регрессии

Индекс детерминации

)( 2ρ

Средняя относительная

ошибка аппроксимации

( .отнE )

Гиперболическая 0,709 10,97

Степенная 0,771 9,40

Показательная 0,844 9,13

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее

значение индекса детерминации имеет модель показательной регрессии

2ρ =0,844. Наименьшее значение средней относительной ошибки

аппроксимации имеет модель показательной регрессии .отнE =9,13%, поэтому

эту модель можно считать моделью наиболее удовлетворительной точности

( .отнE < 15%; 9,13%<9,40%<10,97%). Таким образом, модель показательной

регрессии можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

11

Задача 2а

Дана структурная форма модели (СФМ), которая задана в виде матрицы

коэффициентов модели. Необходимо записать систему одновременных

уравнений и проверить систему на идентифицируемость.

Исходные данные:

Номер

урав-

нения

Переменные

у1 у2 у3 х1 х2 х3 х4

1 -1 0 b13 a11 0 a13 a14

2 b21 -1 b23 0 a22 0 a24

3 b31 0 -1 0 a32 a33 a34

Решение:

1. Система одновременных уравнений имеет вид:

4143132121113132121 xaxaxaxaybyby +++++= ;

4243232221213231212 xaxaxaxaybyby +++++= ;

4343332321312321313 xaxaxaxaybyby +++++= .

Запишем систему одновременных уравнений, используя исходные

данные:

414313211131321 00 xaxaxxaybyy ++⋅+++⋅= ; ⇒ 4143131113131 xaxaxayby +++= ;

424322213231212 00 xaxxaxybyby +⋅++⋅++= ; ⇒ 4242223231212 xaxaybyby +++= ;

434333232121313 00 xaxaxaxyyby +++⋅+⋅+= . ⇒ 4343332321313 xaxaxayby +++= .

2. Проверим систему на идентифицируемость.

Для того чтобы система одновременных уравнений была

идентифицируема, необходимо, чтобы каждое уравнение системы было

идентифицируемо, т.е. выполнялись необходимое и достаточное условия

идентификации.

Необходимое условие идентификации можно записать в виде

следующего счетного правила:

12

• если D+1<Н, то уравнение неидентифицируемо;

• если D+1=Н, то уравнение идентифицируемо;

• если D+1>Н, то уравнение сверхидентифицируемо,

где Н – число эндогенных переменных в уравнении; D – число

предопределенных переменных, которые содержатся в системе уравнений, но

не входят в данное уравнение.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено,

если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг матрицы не

меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного.

а) Проверим первое уравнение системы 4143131113131 xaxaxayby +++= на

выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

В этом уравнении две эндогенные переменные 1y и 3y (Н=2). В нем

отсутствуют эндогенная переменная 2y и экзогенная переменная 2x (D=2).

Уравнение сверхидентифицируемо, т.к. D+1>Н;(3>2), а значит необходимое

условие идентификации выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из

коэффициентов при переменных 2y и 2x , взятых в других уравнениях.

Уравнения, из которых взяты

коэффициенты при переменных

Переменные

у2х2

2 -1 a22

3 0 a32

Определитель полученной матрицы не равен нулю, т.к. 001 2232 ≠⋅−⋅− aa , а

ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и первое

уравнение идентифицируемо.

б) Проверим второе уравнение системы 4242223231212 xaxaybyby +++= на

выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

В этом уравнении три эндогенные переменные 1y , 2y и 3y (Н=3). В нем

отсутствуют две экзогенные переменные 1x и 3x (D=2). Уравнение

13

идентифицируемо, т.к. D+1=Н;(3=3), а значит необходимое условие

идентификации выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из

коэффициентов при переменных 1x и 3x , взятых в других уравнениях.

Уравнения, из которых взяты

коэффициенты при переменных

Переменные

х1х3

1 a11 a13

3 0 a33

Определитель полученной матрицы не равен нулю, т.к. 00 133311 ≠⋅−⋅ aaa , а

ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе

уравнение идентифицируемо.

в) Проверим третье уравнение системы 4343332321313 xaxaxayby +++= на

выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

В этом уравнении две эндогенные переменные 1y и 3y (Н=2). В нем

отсутствуют эндогенная переменная 2y и экзогенная переменная 1x (D=2).

Уравнение сверхидентифицируемо, т.к. D+1>Н;(3>2), а значит необходимое

условие идентификации выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из

коэффициентов при переменных 2y и 1x , взятых в других уравнениях.

Уравнения, из которых взяты

коэффициенты при переменных

Переменные

у2х1

1 0 a11

2 -1 0

Определитель полученной матрицы не равен нулю, т.к. 0)1(00 11 ≠⋅−−⋅ a .

Значит, достаточное условие выполнено, и третье уравнение идентифицируемо.

14

Система одновременных уравнений считается неидентифицируемой, если

хотя бы одно уравнение системы неидентифицируемо. Следовательно,

рассматриваемая в целом система идентифицируема.

15

Задача 2в

По данным таблицы, используя косвенный метод наименьших квадратов,

построить структурную форму модели вида:

;1111212011 ε+++= xaybay

.2222121022 ε+++= xaybay

Исходные данные:

n y1 y2 x1 x2

1 73,9 75,0 5 11

2 88,6 67,3 8 7

3 34,3 34,9 2 3

4 84,5 86,3 6 13

5 42,7 64,5 1 11

6 103,5 93,4 8 14

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся следующей

идентифицируемой моделью, содержащей две эндогенные )( 21 yиy и две

экзогенные )( 21 xиx переменные:

;11112121 ε++= xayby

.22221212 ε++= xayby

Структурную форму модели преобразуем в приведенную форму модели:

;12121111 uxdxdy ++=

,22221212 uxdxdy ++=

где 1u и 2u - случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов

d применим КМНК.

Для упрощения расчетов будем работать с отклонениями от средних

уровней yyy −= и xxx −= . Преобразованные таким образом данные

представлены в таблице (Приложение 16).

16

В этой же таблице представлены промежуточные расчеты, необходимые

для определения коэффициентов ikd .

Для нахождения коэффициентов kd1 первого приведенного уравнения

используем следующую систему нормальных уравнений:

∑ ∑ ∑+= ;2112211111 xxdxdxy

∑ ∑ ∑+= .2212211121 xdxxdxy

Подставляя необходимые данные из таблицы, получим:

;2344100,387 1211 dd +=

.833,8423450,349 1211 dd +=

Решение этих уравнений дает значения 742,711 =d и 020,212 =d .

Первое уравнение приведенной формы модели примет вид:

1211 020,2742,7 uxxy ++= .

Для нахождения коэффициентов kd2 второго приведенного уравнения

используем следующую систему нормальных уравнений:

∑ ∑ ∑+= ;2122212112 xxdxdxy

∑ ∑ ∑+= .2222212122 xdxxdxy

Подставляя необходимые данные из таблицы, получим:

;2344700,205 2221 dd +=

.833,8423033,396 2221 dd +=

Решение этих уравнений дает значения 604,221 =d и 962,322 =d .

Второе уравнение приведенной формы модели примет вид:

2212 962,3604,2 uxxy ++= .

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели

найдем 2x из второго уравнения приведенной формы модели:

962,3/)604,2( 122 xyx −= .

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели,

найдем структурное уравнение:

121211211 414,6510,0328,1510,0742,7962,3/)604,2(020,2742,7 xyxyxxyxy +=−+=−⋅+= .

17

Таким образом, 414,6;510,0 1112 == ab .

Найдем 1x из первого уравнения приведенной формы модели:

742,7/)020,2( 211 xyx −= .

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели,

найдем структурное уравнение:

212212212 283,3336,0962,3679,0336,0962,3742,7/)020,2(604,2 xyxxyxxyy +=+−=+−⋅= .

Таким образом, 283,3;336,0 2221 == ab .

Свободные члены структурной формы находим из уравнений:

361,3000,5414,6233,70510,0250,71111212101 =⋅−⋅−=−−= xaybyA ;

011,14833,9283,3250,71336,0233,70222121202 =⋅−⋅−=−−= xaybyA .

Окончательный вид структурной модели:

1121111212011 414,6510,0361,3 εε +++=+++= xyxaybay ;

2212222121022 283,3336,0011,14 εε +++=+++= xyxaybay .

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome