Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области, вариант  -  упражнение  - Эконометрика (6), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament
wklev85
wklev8525 March 2013

Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области, вариант - упражнение - Эконометрика (6), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament

PDF (832.8 KB)
22 страница
1000+количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Эконометрика. Тема Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Лабораторная работа. Разные варианты. Вариант 6.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 22
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области, вариант 8 - контрольная работа - Эконометрика

1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ

ФИНАНАСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра «Математики и информатики»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине

«Эконометрика»

тема:

«Эконометрическое моделирование стоимости

квартир в Московской области, вариант 8»

Барнаул – 2008 г.

2

Содержание

Задача №1 ..................................................................................................... 2

Задача №2 ................................................................................................... 16

Литература ................................................................................................. 21

3

Задача 1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области

Строительная фирма занимается реализацией квартир в строящихся домах городов

Подольск и Люберцы Московской области. Для выработки управленческих решений компании необходимо осуществить эконометрическое моделирование стоимости квартир на основании исходных данных, представленных в таблице.

№ Цена квартиры тыс.долл.

Город области (1-Подольск, 0-Люберцы)

Число комнат в квартире

Общая площадь квартиры, кв.м.

Y X1 X2 X3 41 38,0 1 1 41,9 42 62,2 1 2 69,0 43 125,0 0 3 67,0 44 61,1 1 2 58,1 45 67,0 0 1 32,0 46 93,0 0 2 57,2 47 118,0 1 3 107,0 48 132,0 0 3 81,0 49 92,5 0 3 89,9 50 105,0 1 4 75,0 51 42,0 1 1 36,0 52 125,0 1 3 72,9 53 170,0 0 4 90,0 54 38,0 0 1 29,0 55 130,5 0 4 108,0 56 85,0 0 2 60,0 57 98,0 0 4 80,0 58 128,0 0 4 104,0 59 85,0 0 3 85,0 60 160,0 1 3 70,0 61 60,0 0 1 60,0 62 41,0 1 1 35,0 63 90,0 1 4 75,0 64 83,0 0 4 69,5 65 45,0 0 1 32,8 66 39,0 0 1 32,0 67 86,9 0 3 97,0 68 40,0 0 1 32,8 69 80,0 0 2 71,3 70 227,0 0 4 147,0 71 235,0 0 4 150,0 72 40,0 1 1 34,0 73 67,0 1 1 47,0 74 123,0 1 4 81,0 75 100,0 0 3 57,0 76 105,0 1 3 80,0 77 70,3 1 2 58,1 78 82,0 1 3 81,1 79 280,0 1 4 155,0 80 200,0 1 4 108,4

4

По условию задачи требуется: 1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции.

Для расчета указанных коэффициентов используем Excel/сервис/анализ данных/КОРРЕЛЯЦИЯ:

Получим матрицу коэффициентов парной корреляции между всеми имеющимися переменными:

Проанализируем коэффициенты корреляции между результирующим признаком Y

и каждым из факторов Xj: r(Y,X1)=-0,01<0 – значит, между переменными Y и X1 наблюдается обратная корреляционная зависимость, значит цена квартиры выше для г. Люберцы. |r(Y,X1)|=0,01<0,4 – это зависимость слабая. r(Y,X2)=0,75>0 – следовательно, между переменными Y и X2 наблюдается прямая корреляционная зависимость: чем выше число комнат, тем выше цена квартиры. r(Y,X2)=0,75>0,7 – следовательно, зависимость является тесной.

Y X1 X2 X3

Y 1

X1 -0,011259267 1

X2 0,75106074 -0,034098478 1

X3 0,892251173 -0,044627836 0,810124506 1

5

r(Y,X3)=0,89>0 – следовательно, между переменными Y и X3 наблюдается прямая корреляционная зависимость: чем больше общая площадь квартиры, тем выше стоимость квартиры. r(Y,X3)=0,89>0,7 – следовательно, зависимость является тесной.

Для проверки значимости найденных коэффициентов корреляции используем критерий Стьюдента.

Для каждого коэффициента корреляции r(Y, Xj) вычислим t-статистику по формуле:

21

)2( 2

r

nr t

− −=

где, n - количество исходных данных; r – проверяемый коэффициент. Результаты расчетов занесем в корреляционную таблицу.

Y X1 X2 X3 t-статистики

Y 1

X1 -0,011259267 1 0,069411185

X2 0,75106074 -0,034098478 1 7,012446419

X3 0,892251173 -0,044627836 0,810124506 1 12,18100887

Определим критическое значениеtкр, для чего используем Еxcel/вставка/функция/ СТЬЮДРАСПОБР: при этом принимаем уровень значимости α = 5% = 0,05; число степеней свободы k=n-2=40-2=38.

Получим значение tкр=2,02.

Сопоставим фактические значения tr с критическим tкр и сделаем выводы в соответствии со схемой:

не знач. 2,02 знач. 0 tкр t

t(r(Y,X1))=0,07<tкр=2,02 – следовательно коэффициент корреляции r(Y,X1) не является значимым, его отличие от нуля незакономерно. На основании выборочных данных есть основание утверждать, что зависимость между ценой квартиры Y и городом области X1 недостоверна. t(r(Y,X2))=7,01>tкр=2,02 – следовательно, коэффициент корреляции r(Y,X2) является значимым. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и X2, зависимость цены квартиры Y от числа комнат в квартире X2 является достоверной.t(r(Y,X3))=12,18>tкр=2,02 – следовательно, коэффициент корреляции r(Y,X3) является значимым. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и X3, зависимость цены квартиры Y от общей площади квартиры X3 является достоверной.

Таким образом, тесные и значимые зависимости наблюдается между ценой квартиры Y и числом комнат в квартире X2, и ценой квартиры Y и общей площадью квартиры X3.

Зависимость между ценой квартиры Y и городом области X1 не является значимой, т.е. достоверной. 2. Построить поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.

Для построения поля корреляции используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные Y и значения наиболее информативного фактора X3, т.к. t(r(Y,X3))=12,18> t(r(Y,X2))=7,01.

6

В результате получим диаграмму «Поле корреляции»:

Поле корреляции

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

300,0

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0 160,0 180,0

Общая площадь квартиры, X

Ц е н а к в а р ти р ы

, Y

Исходные данные

7

3. Рассчитать параметры линейных парных регрессий для всех факторов X.

Для построения парной линейной модели Yr = a + b·X1 используем программу РЕГРЕССИЯ (Сервис/Анализ данных). В качестве «входного интервала X» покажем значение фактора X3:

Результаты вычисления представлены в таблицах: ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика Множественный R 0,892251173

R-квадрат 0,796112156

Нормированный R-квадрат 0,790746687

Стандартная ошибка 26,20741042

Наблюдения 40

Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F

Регрессия 1 101909,5 101909,5 148,377 1,08E-14 Остаток 38 26099,48 686,8284 Итого 39 128009

Коэффи- циенты

Стандартнаяошибка

t-ста- тистика

P- Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение -14,88832959 10,39497 -1,43226 0,160244 -35,9319 6,155195 X3 1,592400817 0,130728 12,18101 1,08E-14 1,327756 1,857046

8

ВЫВОД ОСТАТКА

НаблюдениеПредсказанное Y ОстаткиСтандартные

остатки

1 51,83326465 -13,8333 -0,534738041

2 94,98732679 -32,7873 -1,267425394

3 91,80252516 33,19747 1,283280059

4 77,63015789 -16,5302 -0,638989022

5 36,06849656 30,9315 1,195686772

6 76,19699715 16,803 0,649536104

7 155,4985578 -37,4986 -1,449542525

8 114,0961366 17,90386 0,692090919

9 128,2685039 -35,7685 -1,382665638

10 104,5417317 0,458268 0,017714798

11 42,43809983 -0,4381 -0,016935167

12 101,19769 23,80231 0,920101

13 128,427744 41,57226 1,607015215

14 31,29129411 6,708706 0,259331426

15 157,0909587 -26,591 -1,027898873

16 80,65571944 4,344281 0,167932309

17 112,5037358 -14,5037 -0,560655742

18 150,7213554 -22,7214 -0,878315668

19 120,4657399 -35,4657 -1,370962007

20 96,57972761 63,42027 2,451571129

21 80,65571944 -20,6557 -0,798466539

22 40,84569901 0,154301 0,005964652

23 104,5417317 -14,5417 -0,562124511

24 95,7835272 -12,7835 -0,494159439

25 37,34241721 7,657583 0,296011167

26 36,06849656 2,931503 0,113320062

27 139,5745497 -52,6745 -2,036184966

28 37,34241721 2,657583 0,102731398

29 98,64984867 -18,6498 -0,720927691

30 219,1945905 7,805409 0,301725549

31 223,971793 11,02821 0,426305863

32 39,2532982 0,746702 0,028864471

33 59,95450882 7,045491 0,272350183

34 114,0961366 8,903863 0,344187334

35 75,87851699 24,12148 0,932438936

36 112,5037358 -7,50374 -0,290064065

37 77,63015789 -7,33016 -0,283354246

38 114,2553767 -32,2554 -1,246862355

39 231,9337971 48,0662 1,858044927

40 157,727919 42,27208 1,634067617 Коэффициенты модели содержатся в таблице итогов РЕГРЕССИИ (столбец Коэффициенты). Таким образом, модель (3) построена, ее уравнение имеет вид:

= -14,9 + 1,6· X3

Коэффициент регрессии b = 1,6 – следовательно, при увеличении общей площади квартиры (X3) на 1 кв.м. стоимость квартиры (Y) увеличится в среднем на 1,6 тыс. долларов. Свободный член а = - 14,9 в данном уравнении не имеет реального смысла.

9

Для построения модели, отражающей зависимости цены квартиры Y от города области X1, проведем аналогичные расчеты (используем программу РЕГРЕССИЯ):

Коэффициенты

Y-пересечение 101,8136

X1 -1,2803 Таким образом, модель (1) построена, ее уравнение имеет вид:

= 101,81 - 1,28· X1

Коэффициент регрессии b = -1,28 – следовательно, цена квартиры в Люберцах в среднем на 1,28 тыс. долл. выше чем в Подольске. Свободный член а = 101,81 в данном уравнении не имеет реального смысла.

Для построения модели зависимости цены квартиры Y от числа комнат в квартире X2, проведем аналогичные расчеты:

Коэффициенты

Y-пересечение 7,539299

X2 36,03777 Таким образом, модель (2) построена, ее уравнение имеет вид:

= 7,54 + 36,04· X2 Коэффициент регрессии b = 5,99 – следовательно, при увеличении числа комнат в квартире (X2) на одну, стоимость квартиры (Y) увеличится в среднем на 36,04 тыс. долларов. Свободный член а = 7,54 в данном уравнении не имеет реального смысла. 4. Оценить качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F – критерий Фишера. Выбрать лучшую модель.

Для удобства все результаты будем заносить в сводную таблицу. Коэффициенты детерминации R2 определены для каждой модели программой

РЕГРЕССИЯ (таблицы «Регрессионная статистика») и составляют:

Модель R-квадрат Ēотн F

YТ = -14,9 + 1,6·X3 (3) 0,796112

YТ = 101,81 + 1,28·X1 (1) 0,000127

YТ = 7,54 + 36,04·X2 (2) 0,564092

Таким образом, вариация цены квартиры Y на 79,61% объясняется (по модели (3))

вариацией размера общей площади квартиры X3; на 0,01% (по модели (1)) вариацией городом области квартиры X1 и на 56,41% (по модели (2)) вариацией количества комнат в квартире X2.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассмотрим остатки модели Ei=Yi–Yn, содержащиеся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица «Вывод остатка»). Дополним таблицу столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле:

100⋅= i

i отн Y

E iE - с помощью функции ABS, и определим, по вычисленному столбцу

относительных погрешностей, среднее значение Ēотн (функция СРЗНАЧ) для каждой модели.

10

Данные расчетов для модели (3) приведены в таблице: НаблюдениеПредсказанное Y ОстаткиСтандартные

остатки Eотн i

1 51,83326465 -13,83326465 -0,534738041 36,40333 2 94,98732679 -32,78732679 -1,267425394 52,71274 3 91,80252516 33,19747484 1,283280059 26,55798 4 77,63015789 -16,53015789 -0,638989022 27,05427 5 36,06849656 30,93150344 1,195686772 46,16642 6 76,19699715 16,80300285 0,649536104 18,06774 7 155,4985578 -37,49855784 -1,449542525 31,77844 8 114,0961366 17,9038634 0,692090919 13,56353 9 128,2685039 -35,76850387 -1,382665638 38,66865

10 104,5417317 0,458268305 0,017714798 0,436446 11 42,43809983 -0,438099829 -0,016935167 1,043095 12 101,19769 23,80231002 0,920101 19,04185 13 128,427744 41,57225605 1,607015215 24,45427 14 31,29129411 6,70870589 0,259331426 17,65449 15 157,0909587 -26,59095866 -1,027898873 20,37621 16 80,65571944 4,344280561 0,167932309 5,110918 17 112,5037358 -14,50373578 -0,560655742 14,79973 18 150,7213554 -22,72135539 -0,878315668 17,75106 19 120,4657399 -35,46573987 -1,370962007 41,7244 20 96,57972761 63,42027239 2,451571129 39,63767 21 80,65571944 -20,65571944 -0,798466539 34,4262 22 40,84569901 0,154300988 0,005964652 0,376344 23 104,5417317 -14,5417317 -0,562124511 16,15748 24 95,7835272 -12,7835272 -0,494159439 15,40184 25 37,34241721 7,657582785 0,296011167 17,01685 26 36,06849656 2,931503439 0,113320062 7,516675 27 139,5745497 -52,67454967 -2,036184966 60,61513 28 37,34241721 2,657582785 0,102731398 6,643957 29 98,64984867 -18,64984867 -0,720927691 23,31231 30 219,1945905 7,805409474 0,301725549 3,438506 31 223,971793 11,02820702 0,426305863 4,692854 32 39,2532982 0,746701805 0,028864471 1,866755 33 59,95450882 7,045491183 0,272350183 10,51566 34 114,0961366 8,903863402 0,344187334 7,238913 35 75,87851699 24,12148301 0,932438936 24,12148 36 112,5037358 -7,503735781 -0,290064065 7,146415 37 77,63015789 -7,330157887 -0,283354246 10,42697 38 114,2553767 -32,25537668 -1,246862355 39,33583 39 231,9337971 48,06620294 1,858044927 17,1665 40 157,727919 42,27208101 1,634067617 21,13604

20,5389 Для модели (3) Ēотн= 20,24%. Расчет и получение данных для моделей (2) и (3) выполняются аналогично. Для модели (1) Ēотн= 54,13%, для модели (2) Ēотн= 23,45%. Результаты внесем в сводную таблицу:

Модель R-квадрат Ēотн F

YТ = -14,9 + 1,6·X3 (3) 0,796112 20,24%

YТ = 101,81 + 1,28·X1 (1) 0,000127 54,13%

YТ = 7,54 + 36,04·X2 (2) 0,564092 23,45%

11

Оценим точность построенных моделей в соответствии со схемой: точная удовлетв. неудовлетв.

0 5% 15% Ēотн

Ēотн 1 = 20,24% > 15% Ēотн 2 = 54,13% > 15% Ēотн 3 = 23,45% > 15%

Все значения Ēотн>15% – следовательно, точность всех трех построенных моделей неудовлетворительная.

Проверим значимость полученных уравнений с помощью F – критерия Фишера. F – статистики определены программой РЕГРЕССИЯ (таблица «Дисперсионный анализ») и составляют:

Модель R-квадрат Ēотн F

YТ = -14,9 + 1,6·X3 (3) 0,796112 20,24% 148,377

YТ = 101,81 + 1,28·X1 (1) 0,000127 54,13% 0,00482

YТ = 7,54 + 36,04·X2 (2) 0,564092 23,45% 49,1744

Критическое значение Fкр = 4,08 найдено для уровня значимости α = 5% и чисел степеней свободы k1 = 1, k2 = 40 (функция РАСПОБР). Оценим значимость полученных уравнений моделей в соответствии со схемой:

не знач. 4,08 знач. 0 Fкр t

Сравнение показывает: F3=148,38>Fкр=4,08 – следовательно, уравнение модели (1) является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной X3. F1=0,005<Fкр=4,08 – следовательно, уравнения модели (2) не является значимым, его использование нецелесообразно. F2=49,17>Fкр=4,08 – следовательно, уравнение модели (3) является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной X2. Вывод: на основании оценки качества моделей по коэффициенту детерминации, средней

ошибке аппроксимации и критерию Фишера, наилучшей является модель (3) зависимости цены квартиры Y от размера общей площади квартиры X3.

Однако результаты оценки модели по средней ошибке аппроксимации показывают, что точность модели (1) неудовлетворительная, следовательно, использовать эту модель для прогнозирования в реальных условиях нецелесообразно. Необходимо построить более точную модель.

5. С использованием лучшей модели осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения Y, результаты прогнозирования.

Согласно условию задачи, прогнозное значение факторной переменной X3 составит 80% от X3max – x*=124,0 кв.м.

12

Рассчитаем по уравнению (3) прогнозное значение показателя Y:

Y*Т = -14,9 + 1,6· 124,0= -14,9+198,4 =182,569 тыс. долл. Таким образом, при использовании в прогнозировании лучшей модели, прогнозная

цена квартиры общей площадью 124,0 кв.м. составит 182,569 тыс. долларов.

Зададим достоверную вероятность p = 1-α и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования для среднего значения результирующего признака

S(Y*r) = SE · ∑ −

−+ ∗

2

2

)(

)(1

xx

xx

n i

Предварительно подготовим:  стандартную ошибку модели SE = 26,207 (таблица «Регрессионная статистика»

итогов РЕГРЕССИИ).  по столбцу исходных данных Xi найдем среднее значение x = 72,93 (функция

СРЗНАЧ) и определим ∑(хix = 40189,26 (функция КВАДРОТКЛ).  tкр(10%, 40) = 1,68 (функция СТЬЮДРАСПОБР).

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет

S(Y*T) = 26,207 · 255,40189

)925,720,124( 40 1 2−+ = 7,859

Размах доверительного интервала для среднего значения

U(Y*T) = tкр· S(Y*T) = 1,68 · 7,859 = 13,202 Границами прогнозного интервала будут

Uнижн= Y*T - U(Y*T) = 182,569 – 13,202 = 169,367 Uверх. = Y*T + U(Y*T) = 182,569 + 13,202 = 195,771

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что ожидаемая средняя цена квартиры жилой площадью 124,0 кв.м. будет находится в пределах от 169,367 тыс. долларов до 195,771 тыс. долларов.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

Поле корреляции

y = 1,5924x - 14,888

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

300,0

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0 160,0 180,0

Общая площадь квартиры, X

Ц е н а к в а р ти р ы

, Y

Исходные данные

Прогноз

Нижняя граница

Верхняя граница

Линейный (Исходные данные)

13

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построим модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

В нашей задаче фактор X1 (город области) не является значимым, а фактор X2 (число комнат в квартире) является значимыми, однако в познавательных целях, методом включения построим двухфакторные модели, сохраняя в них наиболее информативный фактор – X3(общая площадь квартиры).

В качестве «входного интервала X» укажем значения факторов X2 и X3, с помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:

Коэффициенты

Y-пересечение -16,47476878

X2 3,940559372

X3 1,473662179 Таким образом, модель (4) зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры X3 и количества комнат в квартире X2 построена, ее уравнение имеет вид:

= -16,47 + 3,94· X2 + 1,47· X3

Используем в качестве «входного интервала X» значения факторов X1 и X3, с помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:

Коэффициенты

Y-пересечение -16,5189

X1 3,254065

X3 1,59468 Таким образом модель (5) зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры X3 и города области X1 построена, ее уравнение имеет вид:

= -16,52 + 3,25· X1 + 1,59· X3

Построим множественную модель регрессии, учитывая все факторы X1, X2, X3. Коэффициенты

Y-пересечение -18,0924

X1 3,23487

X2 3,932395

X3 1,476174 Таким образом, трехфакторная модель (6) зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры X3, количества комнат в квартире X2 и города области X1 построена, ее уравнение имеет вид:

= -18,09 + 3,23· X1 + 3,93· X2 + 1,48· X3

Выберем лучшую из построенных множественных моделей. Для сравнения моделей с различным количеством учтенных в них факторов

используем нормированные коэффициенты детерминации, которые содержатся в строке «нормированый R-квадрат» итогов программы РЕГРЕССИЯ. Чем больше величина нормированного коэффициента детерминации, тем лучше модель.

МодельНормированный

R-квадратYТ = -16,47 + 3,94·X2 + 1,47·X3 (4) 0,787535 YТ = -16,52 + 3,25·X1 + 1,59·X3 (5) 0,785953 YТ = -18,09 + 3,23·X1 + 3,93·X2 + 1,48·X3 (6) 0,782508

14

Анализ коэффициентов детерминации показывает, что все три модели практически равнозначны, но лучшей из них является модель (4), показывающая зависимость цены квартиры Y от общей площади квартиры X3 и количества комнат в квартире X2.

Коэффициент регрессии b3=1,47, следовательно, при увеличении общей площади квартиры X3 на 1 кв.м. при неизменном значении количества комнат в квартире X2, цена квартиры увеличится в среднем на 1,47 тыс. долларов.

Коэффициент регрессии b2=3,94, следовательно, при изменении количества комнат в квартире X2 в сторону увеличения на одну, при неизменной общей площади квартиры X3, цена квартиры увеличится в среднем на 3,94 тыс. долларов.

Свободный коэффициент не имеет экономического смысла. 7. Оценить качество построенной модели. Выяснить, улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и ∆- коэффициентов.

Для оценки качества выбранной модели (4) используем коэффициент детерминации R-квадрат, среднюю относительную ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Коэффициент детерминации R-квадрат выпишем из итогов РЕГРЕССИИ (таблица «Регрессионная статистика» для модели (4)).

= 0,7984 = 79,84%, следовательно вариация (изменения) цены квартиры Y на 79,84% объясняется по данному уравнению вариацией общей площади квартиры X3 и количества комнат в квартире X2.

Используем исходные данныеyi и найденные программой РЕГРЕССИЯ остатки Ei (таблица «Вывод остатка» для модели (4)). Рассчитаем относительные погрешности и найдем среднее значение Ēотн = 21,11%.

Сравнение показывает, что 21,11%>15%. Следовательно, точность моделинеудовлетворительная.

С помощью F – критерия Фишера проверим значимость модели в целом. Для этого выпишем из итогов РЕГРЕССИИ (таблица «Дисперсионный анализ» для модели (4)) F=73,28. Определим критическое значение Fкр (5%,2,37) = 3,25 (Функция FРАСПОБР).

Сравним найденные величины: F=73,28>Fкр=3,25 – следовательно, уравнение модели в целом является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модель факторными переменными X2 и X3 .

Дополнительно с помощью t-критерия Стьюдента проверим значимость отдельных коэффициентов модели. t-статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в итогах программы РЕГРЕССИЯ. Для выбранной модели (4) получим следующие значения:

КоэффициентыСтандартная

ошибка t-

статистика P-

Значение

Y-пересечение -16,47476878 10,75309349 -1,532095745 0,134005

X2 3,940559372 6,040960563 0,652306753 0,518236

X3 1,473662179 0,224692418 6,558575451 1,11E-07 Критическое значение tкр = 2,026 найдено для уровня значимости α=5% и числа степеней свободы k = 40 – 2 - 1 = 37 (Приложение 1 или функция СТЬЮДРАСПОБР).

15

Схема проверки:

не знач. 2,03 знач. 0 tкр t

Для свободного коэффициента а= -16,47 определена статистикаt(а) = -1,53.t(а)│=0,77<tкр=2,03, следовательно, свободный коэффициент ане являетсязначимым, его можно исключить из модели.

Для коэффициента регрессии b2 = 3,94 определена статистика t(b2) = 0,65. t(b2)│= 0,65<tкр=2,03, следовательно, свободный коэффициент b2не являетсязначимым, его можно исключить из модели.

Для коэффициента регрессии b3 = 1,47 определена статистика t(b3) = 6,56. t(b3)│=6,56>tкр=2,03, следовательно, коэффициент регрессии b3является значимым, следовательно фактор общей площади квартиры нужно сохранить в модели.

Выводы о значимости коэффициентов модели сделаны на уровне значимости α = 5%. Рассматривая столбец «Р-значение», отметим, что свободный коэффициент a можно считать значимым на уровне 0,13 = 13%; коэффициент регрессии b2 – на уровне 0,52 = 52%; коэффициент регрессии b3 – на уровне 0,000000111 = 0, 00001%.

При добавлении в уравнение новых факторных переменных автоматически увеличивается коэффициент детерминации R² и уменьшается средняя ошибка аппроксимации, при этом не всегда улучшается качество модели. Поэтому для сравнения качества парной модели (3) и выбранной множественной модели (4) используем нормированные коэффициенты детерминации.

Модель Нормированный R- квадрат

YТ = -14,9 + 1,6·X3 (3) 0,790747 YТ = -16,47 + 3,94·X2 + 1,47·X3 (4) 0,787535

Таким образом, при добавлении в уравнение регрессии фактора количества комнат в

квартире (X2) качество модели ухудшилось, что говорит не в пользу сохранения фактора X2 в модели.

Средние коэффициенты эластичности в случае линейной модели определяются формулами:

Эj = bj· Y

X j , j = 1,2,…,

где jX , Y – выборочные средние признаков Xj и Y; bj – коэффициенты регрессии.

Подготовим 3X =72,93; 2X =2,6; Y =101,24

Э3 = 3,94· 24,101

93,72 = 2,838; Э2 = 1,47·

24,101

6,2 = 0,378

Следовательно, при увеличении общей площади квартиры X3 на 1% и неизменном значении количества комнат в квартире X2 стоимость квартиры увеличивается в среднем на 2,838%.

Изменение количества комнат в квартире в % выражать не имеет логического смысла.

Бета-коэффициенты определяются формулами βj = bj· y

xj

S

S , j = 1,2,…,

где Sxj , Sy - выборочные средние квадратичные (стандартные) отклонения признаков Xj и Y. bj – коэффициенты регрессии.

16

Подготовим Sx3 = 32,101; Sx2 = 1,194; Sy = 57,291 (функция СТАНДАРТОТКЛОН). Рассчитаем: β3 = 0,8237, β2 = 0,0821.

Таким образом, при увеличении только фактора X3 на одно свое стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,8237 своего стандартного отклонения Sу, при увеличении только фактора X2 на его одно стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,0821 своего стандартного отклонения Sу.

Дельта – коэффициенты определяются формулами ∆j = βj· 2

),(

R

XjYr , j = 1,2,…,

где r(Y, Xj) – соответствующие выборочные коэффициенты парной корреляции. Коэффициенты парной корреляции r(Y, X3) = 0,892; r(Y, X2) = 0,751 найдены с

помощью программы КОРРЕЛЯЦИЯ (п.1 данной задачи), коэффициент детерминации R2=0,798 определен из рассматриваемой двухфакторной модели программой РЕГРЕССИЯ. Вычислим дельта – коэффициенты:

∆3 = 0,823· 798,0

892,0 = 0,9205

∆2 = 0,082· 798,0

751,0 = 0,0772

Значит, по уравнению полученной линейной двухфакторной модели изменение результирующего фактора Y (цены квартиры) на 92,05% объясняется воздействием фактора X3 (общей площади квартиры) и на 7,72% влиянием фактора X2 (количество комнат в квартире).

17

Задача 2. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

№ наблюдения

Спрос на кредитные ресурсы Y в млн. руб.

1 8 2 13 3 15 4 19 5 25 6 27 7 33 8 35 9 40

Требуется:

1.Проверить наличие аномальных наблюдений. Используем метод Ирвина, основанный на определении λt – статистики.

y

tt

S

yy 1−−=λ ,

где Sy – выборочное среднеквадратичное (стандартное) отклонение признака Y. Подготовим Sy = 10,9 (функция СТАНДОТКЛОН) и рассчитаем λt – статистики.

наблюдения Спрос на кредитные ресурсы Y

в млн. руб. λt

1 8 2 13 0,45861696 3 15 0,183446784 4 19 0,366893568 5 25 0,550340352 6 27 0,183446784 7 33 0,550340352 8 35 0,183446784 9 40 0,45861696

Табличные значения λкр определим при n=9 и уровне значимости α = 5% – λкр=1,5.Схема проверки: не аном. 1,5 аном.

0 λкр λ Все величины статистики λi<λкр=1,5 – поэтому все наблюдения Yi признаются не аномальным и не требуют замены. 2. Построить линейную модель временного ряда Yt=a+b·t, параметры которой оценить МНК.

С помощью программы «РЕГРЕССИЯ» найдем

Коэффициенты

Y-пересечение 4,055555556

t 3,966666667

18

Таким образом, a = 4,056; b = 3,967.

Модель построена, ее уравнение имеет вид Yt = 4,056 + 3,967· t

Коэффициент регрессии b = 3,967 показывает, что с каждой последующей неделей спрос на кредитные ресурсы финансовой компании увеличивается в среднем на 3,967 млн. рублей. 3. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения. Проверка перечисленных свойств состоит в исследовании Ряда остатков et, который содержится в таблице «Вывод остатка» итогов РЕГРЕССИИ.

НаблюдениеПредсказанное Y Остатки

1 8,022222222 -0,022222222

2 11,98888889 1,011111111

3 15,95555556 -0,955555556

4 19,92222222 -0,922222222

5 23,88888889 1,111111111

6 27,85555556 -0,855555556

7 31,82222222 1,177777778

8 35,78888889 -0,788888889

9 39,75555556 0,244444444 Для проверки свойства независимости остаточной компоненты используем критерийДарбина-Уотсона. Согласно этому критерию вычислим по формуле статистику:

= −−

= n

t t

n

t tt

e

ee d

1

2

2

2 1 )(

Подготовим для вычислений:

∑ −

n

t te

1

2 = 6,82; 21 1

)( − −

−∑ t n

t t ee = 22,01

НаблюдениеПредсказанное Y Остатки (ei -e(i-1))х2

1 8,022222222 -0,022222222 2 11,98888889 1,011111111 1,067777778 3 15,95555556 -0,955555556 3,867777778 4 19,92222222 -0,922222222 0,001111111 5 23,88888889 1,111111111 4,134444444 6 27,85555556 -0,855555556 3,867777778 7 31,82222222 1,177777778 4,134444444 8 35,78888889 -0,788888889 3,867777778 9 39,75555556 0,244444444 1,067777778

6,822222222 22,00888889

Таким образом, 82,6

01,22=d = 3,23

По таблице d–статистики Дарбина–Уотсона определим критические уровни: нижний d1 = 0,82; верхний d2 = 1,32.

Сравним полученную фактическую величину d с критическими уровнями d1 и d2 и сделаем вывод согласно схеме:

не вып. доп. пров. вып. вспом d´ = 4 – d

0 0,82 1,32 2 4

19

d = 3,23 ∈(2;4) – следовательно, используем d´= 4 – 3,23 = 0,77. d´= 0,77 ∈(0;0,82) – следовательно свойство независимости остатков построенной модели не выполняется.

Для проверки свойства случайности остаточной компоненты используем критерий поворотных точек (пиков), основой которого является определение количества поворотных точек для ряда остатков. С помощью Мастера диаграмм построим график остатков ei.

График остатков

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Наблюдения

О с та тк и

Ряд1

Поворотными считаются точки максимумов и минимумов на этом графике – в нашей задаче: вторая, третья, пятая, шестая, седьмая, восьмая. Их количество p = 6.

По формуле  

  

 −−−= 90

2916 96,1)2(

3

2 n npкр , при n = 9 вычислим критическое значение

[ ]45,2=крp = 2.

Сравним значения p и pкр и сделаем вывод согласно схеме:

не вып. вып.

0 ркр = 2 р р=6>ркр= 2 – следовательно, свойствослучайности для ряда остатков выполняется.

Для проверки соответствия ряда остатков нормальному закону распределения используем R/S критерий. В соответствии с этим критерием вычислим по формуле статистику

R/S = )(

minmax

eS

ee − .

Подготовим для вычислений: emax = 1,178 – максимальный уровень ряда остатков. emin = - 0,956 – минимальный уровень ряда остатков. S(е) = 0,987 – стандартная ошибка модели (таблица «Регрессионная статистика» вывода итогов РЕГРЕССИИ).

Получим R/S = 987,0

)956,0(178,1 −− = 2,161

По таблице критических границ отношений R/S определим критический интервал.

При n = 9 и уровне значимости α = 5% можно использовать интервал (2,67;3,69).

20

Сопоставим фактическую величину R/S с критическим интервалом и сделаем вывод согласно схеме: не вып. вып. не вып. (2,67 -критич. интервал – 3,69) R/S 2,161 ∉ (2,67;3,69) – следовательно, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты не выполняется. Вывод:Проведенная проверка показывает, что для построенной модели не выполняется

условия нормального распределения остаточной компоненты. Таким образом, данная трендовая модель не является адекватной реальному ряду

наблюдений, и ее нельзя использовать для построения прогнозных оценок. 4. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации. Используем исходные данные yi (сглаженный ряд) и найденные программой РЕГРЕССИЯ остатки ei (таблица «Вывод остатка»).

По формуле 100⋅= t

t отнt y

e e рассчитаем столбец относительных погрешностей и найдем

среднее значение отнe = 3,703 = 3,7%

Сравним значение отнe и сделаем вывод в соответствии со схемой: высок. удовл. неуд. 0 5% 15% eотн

отнe = 3,7% < 5% - следовательно, точность модели высокая. 5. Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (прогнозный интервал рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

Следующие две недели соответствуют периодам упреждения k1 = 1 и k2 = 2, при этом t*1 = n + k1 = 10 и t*2 = n + k2 = 11

Согласно уравнению модели получим точечные прогнозные оценки: y*10 = 4,056+3,967· 10 = 43,7222 y*11 = 4,056+3,967· 11 = 47,6889

Таким образом, ожидаемы спрос на кредитные ресурсы в следующие две недели

будет составлять около 43,7222 млн. рублей и 47,6889 млн. рублей соответственно.

Для оценки точности прогнозирования рассчитаем границы прогнозного интервала для индивидуальных значений результирующего признака (доверительная вероятность 70%) Подготовим: tкр = 1,12 (функция СТЬЮДРАСПОБР при α=30%, k =9-2=7); S(e) = 0,987 (строка «стандартная ошибка» итогов РЕГРЕССИИ); t = 5 (функция СРЗНАЧ);

∑ =

− 9

1

2)( t

tt =60 (функция КВАДРОТКЛ);

21

Вычислим размах прогнозного интервала для индивидуальных значений, используя формулу:

∑ −

−++⋅⋅= n

t

кр

tt

tt

n eSt

1

2

2

)(

)(1 1)(U

При t*1 = 10 получим U10 = 1,3656 и определим границы доверительного интервала:

Uниж 10 = y´10 - U10 = 43,7222 – 1,3656 = 42,3566 Uверх 10 = y´10 + U 10 = 43,7222 + 1,3656 = 45,0878

При t*2 = 11 получим U11 = 1,4453 и определим границы доверительного интервала: Uниж 11 = y´11 - U 11 = 47,6889 – 1,4453 = 46,2436 Uверх 11 = y´11 + U 11 = 47,6889 + 1,4453 = 49,1342 Вывод: Таким образом, с надежностью 70% можно утверждать, что спрос на кредитные

ресурсы в следующие две недели будет составлять от 42,3566 млн. рублей до 45,0878 млн. рублей в первую прогнозируемую неделю и от 46,2436 млн. рублей до 49,1342 млн. рублей во вторую прогнозируемую неделю.

6. Представить графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные.

Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели. Покажем на графике результаты прогнозирования. Для чего в опции Исходные данные добавим ряды.

Результат моделирования и прогнозирования

y = 3,9667x + 4,0556

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Недели

С п р о с н а к р е д и тн ы е р е с у р с ы

м л н

. р у б

.

Фактические значения

Прогнозные значения

Нижние границы

Верхние границы

Линейный (Фактические значения)

22

Литература 1. Эконометрика: Учебник/ Под редакцией И.И. Елисеевой. М.; Финансы и статистика, 2004 г. 2. Эконометрика: Методические указания по выполнению контрольной работы. 3. Эконометрика: Задания для выполнения контрольной работы. 4. Эконометрика: Методические указания по решению задач и выполнению контрольной работы (для студентов 2-го высшего образования).

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome