Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты  - упражнение - Эконометрика (7), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament
wklev85
wklev8525 March 2013

Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты - упражнение - Эконометрика (7), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament

PDF (342.0 KB)
20 страница
784количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Эконометрика. Тема Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Лабораторная работа. Разные варианты. Вариант 7.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 20
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, вариант 7 - контрольная работа - Эконометрика

1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИН-

СТИТУТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Эконометрика»

Тема:

«Зависимость объема выпуска продукции от объема

капиталовложений, вариант 7»

г. Серпухов, 2008

2

Задача

По предприятиям легкой промышленности региона получена инфор-

мация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции Y , млн.

руб. от объема капиталовложений X , млн. руб. (таблица 1):

Таблица 1 Исходные данные варианта

х 36 28 43 52 51 54 25 37 51 29 y 85 60 99 117 118 125 56 86 115 68

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую

интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дис-

персию остатков 2Sε ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с

помощью t-критерия Стьюдента ).05,0( =α

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравне-

ния регрессии с помощью F - критерия Фишера )05,0( =α , найти сред-

нюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве

модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при

уровне значимости 0,1α = , если прогнозное значения фактора Х со-

ставит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения ,Y точки

прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;

• показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

3

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние

относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим ха-

рактеристикам и сделать вывод.

Решение:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономиче-

скую оценку коэффициента регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: bxay += .

Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии, воспользуемся ин-

струментом анализа данных Регрессия. Для этого в главном меню выбираем

Сервис/Анализ данных/ Регрессия(рисунок 1):

Рис. 1. Диалоговое окно ввода параметров инструмента «Регрессия»

Результаты регрессионного анализа для данных представлены на ри- сунке 2.

Рис. 2. Результаты применения инструмента «Регрессия»

4

Отсюда, a=-1,035; b=2,314, тогда уравнение регрессии имеет вид:

у=-1,035+2,314х

Экономическая интерпретация коэффициента регрессии заключается в

том, что если объёмы капиталовложений возрастут на 1 млн. руб., то объём

выпуска продукции возрастёт на 2,314млн.руб.

2.Для вычисление остатков, остаточной суммы квадратов и оценки

дисперсии 2εS , построим рабочую таблицу (таблица 2):

Таблица 2 Рабочая таблица

t iy ix iy ii yy

( )2ii yy ie 2ie

1 85 36 82,2578 -7,9 62,41 2,7422 7,5197 2 60 28 63,7482 -32,9 1082,41 -3,7482 14,049 3 99 43 98,4537 6,1 37,21 0,5463 0,2984 4 117 52 119,277 24,1 580,81 -2,277 5,1847 5 118 51 116,9633 25,1 630,01 1,0367 1,0747 6 125 54 123,9044 32,1 1030,41 1,0956 1,2003 7 56 25 56,8071 -36,9 1361,61 -0,8071 0,6514 8 86 37 84,5715 -6,9 47,61 1,4285 2,0406 9 115 51 116,9633 22,1 488,41 -1,9633 3,8545

10 68 29 66,0619 -24,9 620,01 1,9381 3,7562

Остатки рассчитаны в таблице 2 (столбец 7) по формуле: iii yye −= .

Остаточная сумма квадратов: 63,392 =Σ ie .

Дисперсия остатков 2εS рассчитывается по формуле: 2

2 2

− Σ= n

e S ie , тогда

2 εS =4,9537. График остатков представлен на рисунке 3:

График остатков

-6,0

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t

e

Рис. 3. График остатков

3.Проверим выполнение следующих предпосылок МНК:

Для оценки адекватности модели исследуют остатки ;iii yye −=

5

Исследование остатков предполагает проверку наличия у них следую-

щих пяти предпосылок МНК:

а) Случайность характера остатка.

Для проверки случайного характера остатков строится график зависи-

мости остатков ie от теоретических значений результативного признака (ри-

сунок 4):

График зависимости остатков e от теоретических значений y

-6

-4

-2

0

2

4

56 ,8

07 1

63 ,7

48 2

66 ,0

61 9

82 ,2

57 8

84 ,5

71 5

98 ,4

53 7

11 6,

96 3

11 9,

27 7

11 6,

96 3

12 3,

90 4

y

e

Рис. 4. Зависимость случайных остатков ie от теоретических значений xy

Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки ie пред-

ставляют собой случайные величины и МНК оправдан. В нашем случае на

графике остатков получена горизонтальная полоса, то есть остатки ie пред-

ставляют собой случайные величины и МНК оправдан.

б) Нулевая (или близкая к ней) средняя величина остатка.

Для вычисления среднего значения остатка используем функцию

СРЗНАЧ (рисунок 5):

Рис. 5. Диалоговое окно ввода параметров функции СРЗНАЧ

В данной задаче 0≈Å , поэтому вторая предпосылка выполняется.

6

в) Гомоскедастичность (постоянство) дисперсии остатков. Если это

условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Для обнару-

жения гетероскедастичности используют метод Голдфельда-Квандта. Чтобы

оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Голдфельда-Квандта необ-

ходимо выполнить следующие шаги:

• Упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной х

(таблица 3);

Таблица 3 Исходные данные, упорядоченные по мере возрастания переменной х

№ п/п Объем выпуска продукции,

млн.руб. Объем капиталовложений,

млн.руб.

1 56 25 2 60 28 3 68 29 4 85 36 5 86 37 6 99 43 7 118 51 8 115 51 9 117 52

10 125 54

• Разделение совокупности на две группы (соответственно с малыми и

большими значениями фактора х), определение по каждой из групп уравнений

регрессии. Разделение на две группы по фактору х примет вид (таблица 4, 5):

Таблица 4 Таблица 5

Выполнив в Excel функцию РЕГРЕССИЯ для первой и второй групп

(рисунок 6, 7):

Y, млн. руб.

Х, млн. руб.

56 25 60 28 68 29 85 36 86 37

Y, млн. руб.

X, млн. руб.

99 43 118 51 115 51 117 52 125 54

7

Рис. 6. Результаты применения инструмента регрессии

для группы с малыми значениями фактора х

Рис. 7. Результаты применения инструмента регрессии

для группы с большими значениями фактора х

Получим следующие уравнения регрессии:

õó

õy

249,292,1

627,2445,10

+= +−=

• Определение остаточной суммы квадратов первой и второй ре-

грессий осуществим с помощью функции СУММКВ (рисунок 8):

8

Рис. 8. Диалоговое окно ввода параметров функции СУММКВ

В результате получим для первой регрессии: 719,161 =yS , для второй

=yS2 10,825.

• Вычисление отношений yy SS 12 / (расчетного значения F-критерия):

16,719/10,825= 1,54.

Вычисление табличного значения F-критерия, которое производится

при помощи функции FРАСПОБР. );;( 11 mnnmnFтабл −−−= α , где α =0,1. 1n =5,

m=2, n=10 (рисунок 9) 39,5=òàáëF :

Рис. 9. Определение табличного значения F-критерия

Значение F-расчетного меньше F-табличного, что свидетельствует о

том, что гетероскедастичность не обнаружена и, следовательно, выполняются

свойства гомоскедастичности остатков.

9

4) Независимость (отсутствие автокорреляции) остатков проверяют с

помощью критерия Дарбина-Уотсона: dw= ( ) ∑

∑ −− 2

2 1

i

ii

e

ee , где iii yye −= . Для

нахождения коэффициента корреляции построим рабочую таблицу (таблица

6):

Таблица 6 Рабочая таблица

№ п/п x y iy ie 2 ie 1−− ii ee ( )22ii ee

1 25 56 56,807 -0,807 0,651 2 28 60 63,748 -3,748 14,045 -2,941 8,650 3 29 68 66,061 1,939 3,758 5,686 32,334 4 36 85 82,257 2,743 7,524 0,804 0,647 5 37 86 84,571 1,429 2,043 -1,314 1,726 6 43 99 98,453 0,547 0,299 -0,882 0,778 7 51 115 116,962 -1,962 3,850 -2,509 6,297 8 51 118 116,962 1,038 1,077 3,000 9,000 9 52 117 119,276 -2,276 5,180 -3,314 10,980

10 54 125 123,903 1,097 1,203 3,373 11,375 Итого: 39,630 81,787

Таким образом, dw = 630.39

787.81 =2,064. Перед сравнением с табличным зна-

чением преобразую dw критерий по формуле: dw'=4-dw, тогда dw'=4-

2,064=1,936. Табличные значения, при уровне значимости α =0,05, соответ-

ственно равны 32,1;88,0 21 == dd . Так как 1,32<1,936<2, тогда ряд остатков не

коррелирован, т.е. выполняется свойство независимости остатков.

5) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения

определяется при помощи R/S-критерия:

2 ,/

2 minmax

− Σ=−= n

e ãäåS

S

ee SR ie

e e

. 91,2 23,2

)748,3(743,2 /23,2

8 630,39 =−−=→== ee SRS .

Полученное значение этого критерия попадает между табулированны-

ми границами (2,67-3,57) с заданным уровнем значимости ( 05,0=α ) и n=10,

таким образом, свойство нормальности остатков выполняется.

10

Все предпосылки МНК выполнены. Построенная модель является

адекватной реальному процессу, её можно использовать для построения про-

гнозных оценок.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии

с помощью t-критерия Стьюдента ( 05,0=α ).

Для оценки статистической значимости параметров полученной модели

используем t-критерий. Расчетное значение t-статистики определяется по

формулам: ajjaj Sat /= . Расчетные значения t-критерия можно найти в прото-

коле Excel после применения инструмента Регрессия (рисунок 10):

Рис. 10. Результат применения инструмента Регрессия

515,34

3683,0

)(

)(

=

−=

ðàñ÷b

ðàñ÷a

t

t

Табличное значение t-критерия (0,05;8)=2,306.

Поскольку òàáëðàñ÷à tt <)( , то параметр а является статистически незначимым.

òàáëðàñ÷b tt >)( , следовательно, параметр b статистически значим.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость урав-

нения регрессии с помощью F-критерия Фишера ( 05,0=α ), найти среднюю

относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

а) Коэффициент детерминации 2R можно определить по формуле:

9933,0 )(

)( 2

2 2 =

− −

= ∑ ∑

yy

yy R

Это означает, что 99,33% вариации объёма выпуска продукции (у) объ-

ясняется вариацией фактора х – объёмом капиталовложений.

б) Оценка значимости уравнения регрессии проводится с помощью F-

критерия. Расчетное значение F-критерия в нашем случае определяется по

формуле:

11

( ) ( ) 28,119111 2 2

= −−−

= knR

kR Fðàñ÷

Табличное значение F-критерия при 8:1:05,0 21 === kka , 32,5=òàáëF

Поскольку расчетное значение F-критерия Фишера больше табличного,

то уравнение регрессии признается статистически значимым.

в) Находим среднюю относительную ошибку аппроксимации :

∑∑ =⋅=⋅ −⋅= %1001%1001

i

i

i

ii

y

e

ny

yy

n À 2,14%

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как À не

превышает 8 – 10%. À <5%, поэтому модель точна и по ней можно прогнози-

ровать с достаточно высокой вероятностью.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при

уровне значимости 1,0=α , если прогнозное значение фактора Х составит 80%

от его максимально значения.

9156,982,43*314,2035,1

2,438,0*548,0*;* max =+−=

===+=

ïð

ïðïðïð

ó

õõxbày

Отклонение от линии регрессии рассчитывается по формуле:

( ) ( )∑ −

− ++⋅⋅=

2

2 1

1 xx

xx

n tSU ïðîãíe α , где Se=2,2257 (см. значение «Стандартная ошиб-

ка»). Произведём необходимые расчёты (таблица 7):

Таблица 7 Рабочая таблица

№ п/п x y ( )2xxi − 1 25 56 243,36 2 28 60 158,76 3 29 68 134,56 4 36 85 21,16 5 37 86 12,96 6 43 99 5,76 7 51 115 108,16 8 51 118 108,16 9 52 117 129,96

10 54 125 179,56 Итого: 406 929 1102,4

среднее 40,6 92,9

12

Коэффициент Стьюдента αt для 8 степеней свободы и на уровне значимо-

сти 1,0=α рассчитывается при помощи функции СТЬЮДРАС-

ПОБР(0,1;8)=1,8595.

( ) =− 2хxпр (43,2-40,6)2=6,76 Uпр=2,2257*1,85* =++

4,1102

76,6

10

1 1 4,33

Следовательно, интервальный прогноз будет выглядеть: прпрпрпрпр uууuу +≤≤−

94,58 25,103≤≤ ïðó

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки

прогноза.

Строим график «Фактические и модельные значения У»: скопируем в лист

с вычислениями прогнозируемых значений график подбора с листа «Регрес-

сия Y». Соединим точки графика отрезками (активировать курсором точки –

тип данных – отрезки).

Переименовываем график подбора в «Фактические значения У». К суще-

ствующим данным добавляем новые (Исходные данные – Ряд – Добавить):

для точечного прогноза, нижней и верхней границ прогноза, указывая соот-

ветствующие данные (рисунок 11):

фактические и модельные значения У

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50 60

x,млн.руб.

y, м лн

.р уб

.

фактические значения у модельные значения у точка прогноза верхняя граница прогноза нижняя граница прогноза

Рис. 11. График фактических и модельных значений у

8. Составить уравнения гиперболической (а), степенной (б), показатель-

ной (в) нелинейной регрессий. Построить графики построенных уравнений

регрессии.

13

а) Уравнение гиперболической регрессии имеет вид: õbay /+=

Приведем эту модель к линейному виду осуществив замену переменных:

x Õ

1= . В результате получим линейное уравнение вида Õbay *+= .

Для расчетов используем данные рабочей таблицы 8:

Таблица 8

t y x X yX X² ŷ

1 56 25 0,04 2,24 0,0016 49,42828 2 60 28 0,0357 2,142 0,0013 63,2546 3 68 29 0,0345 2,346 0,0012 67,16526 4 85 36 0,0278 2,363 0,0008 88,77212 5 86 37 0,027 2,322 0,0007 91,35205 6 99 43 0,0233 2,3067 0,0005 103,2842 7 118 51 0,0196 2,3128 0,0004 115,2163 8 115 51 0,0196 2,254 0,0004 115,2163 9 117 52 0,0192 2,2464 0,0004 116,5063

10 125 54 0,0185 2,3125 0,0003 118,7637 Сумма 929 0,2652 22,8454 0,0076 Ср. знач. 92,9 0,02652 2,2845 0,0008

= −

−= − −=

0007,00008,0

0265,0*9,922845,2** 22 XX

XyXy b -3224,91;

43,1780265,0*)08,1792(9,92* =−−=−= Xbya .

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

ŷ=178,43-3224,91/х

График гиперболической модели представлен на рисунке 11:

график гиперболической модели

0 20 40 60 80

100 120 140

0 5 10 15

t

y

Рис. 11. График гиперболической модели

14

б) Уравнение степенной модели имеет вид: baxy = . Для построения модели

произведем линеаризацию переменных, осуществив логарифмирование обе-

их частей уравнения: lg ŷ =lg a+b lg x. Обозначив Y = lg у, X = lg х, А = lg а,

получаем модель вида: Y=A+bX.

Для расчетов параметров уравнения используем данные рабочей таблицы

(таблица 8):

Таблица 8 Рабочая таблица

t y Y x X YX X² ŷ 1 56 1,7482 25 1,3979 2,4438 1,9541 56,5121 2 60 1,7782 28 1,4472 2,5734 2,0944 63,4595 3 68 1,8325 29 1,4624 2,6798 2,1386 65,7792 4 85 1,9294 36 1,5563 3,0027 2,4221 82,0658 5 86 1,9345 37 1,5682 3,0337 2,4593 84,3988 6 99 1,9956 43 1,6335 3,2598 2,6683 98,4262 7 118 2,0719 51 1,7076 3,538 2,9159 117,199 8 115 2,0607 51 1,7076 3,5189 2,9159 117,199 9 117 2,0682 52 1,716 3,549 2,9447 119,5507

10 125 2,0969 54 1,7324 3,6327 3,0012 124,257 Сумма 929 19,5161 406 15,9291 31,2318 25,5145 Ср. знач. 92,9 1,9516 40,6 1,5929 3,1232 2,5515

.3219,05929,1*0231,19516,1*

;0231,1 5929,1*5929,15515,2

5929,1*9516,11232,3** 22

=−=−=

= − −=

− −=

XbYA XX

XYXY b

Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,3219-1,0231*X.

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного

уравнения: 0231,10231,13219,0 *0985,2*10 õóõó =⇒= .

График степенной модели представлен на рисунке 12:

график степенной модели

0 20 40 60 80

100 120 140

0 2 4 6 8 10 12

t

y

Рис. 12. График степенной модели

15

в) Уравнение показательной кривой: ŷ = xbà * . Для построения модели

проведу линеаризацию (логарифмирование) переменных: lg ŷ = lg a + lg x*b.

Обозначим Y = lg ŷ, B = lg b, A = lg a, тогда линейное уравнение регрессии

имеет вид: Y = A+ B*x.

Для расчетов параметров уравнения, используем данные рабочей таблицы (таблица 9):

Таблица 9 Рабочая таблица

t y Y x Yx x² ŷ 1 56 1,7482 25 43,705 625 59,1352 2 60 1,7782 28 49,7896 784 64,0183 3 68 1,8325 29 53,1425 841 65,7339 4 85 1,9294 36 69,4584 1296 79,1026 5 86 1,9345 37 71,5765 1369 81,2225 6 99 1,9956 43 85,8108 1849 95,1901 7 118 2,0719 51 105,6669 2601 117,6193 8 115 2,0607 51 105,0957 2601 117,6193 9 117 2,0682 52 107,5464 2704 120,7715

10 125 2,0969 54 113,2326 2916 127,3316 Сумма 929 19,5161 406 805,0244 17586 Ср. знач. 92,9 1,9516 40,6 80,5024 1758,6

.4847,16,40*0115,09516,1*

0115,0 6,40*6,406,1758

6,40*9516,15024,80** 22

=−=−=

= − −=

− −=

xBYA xx

xYxY B

Уравнение имеет вид: Y = 1,4847 + 0,0115*x.

Выполнив потенцирование данного уравнения, получаем:

ŷ = õ)10(*10 0115,04847,1 → ŷ = õ0268,1*5281,30

Найдем теоретическое значение y, построим график степенной регрессии

при использовании функции Мастер диаграмм (рисунок 13):

График показательной модели

0

20

40

60

80

100

120

140

0 2 4 6 8 10 12

t

y

Рис. 13. график показательной функции

16

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и сред-

ние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим харак-

теристикам и сделать вывод.

а) гиперболическая

Рассчитаем характеристики точности модели, расчеты произведены

средствами MS Excel (Приложение 1).

Индекс детерминации: ∑ ∑

− −

= 2 2

2

)(

)(

yy

yy ρ =0,7962.

Таким образом, все вариации в объеме выпуска продукции Y на 79,62%

обусловлены вариацией в объеме капиталовложений X, т.е. изменениями в

факторе X, учтенном в модели.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

%100 1 ⋅−⋅= ∑ y

yy

n Eîòí =11,7515%.

Таким образом, модельные значения y отклоняются от фактических

значений Y в среднем на 11,7515%, т.е. получена модель среднего качества.

б) степенная

Рассчитаем характеристики точности модели (Приложение 2).

Индекс детерминации: ∑ ∑

− −

= 2 2

2

)(

)(

yy

yy ρ =0,9931.

Таким образом, все вариации в объеме выпуска продукции Y на 99,31%

обусловлены вариацией в объеме капиталовложений X, т.е. изменениями в

факторе X, учтенном в модели.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

%100 1 ⋅−⋅= ∑

y

yy

n Eîòí =2,1205%

Таким образом, модельные значения y отклоняются от фактических

значений Y в среднем на 2,12 %, т.е. получена модель хорошего качества,

высокой точности.

17

в) показательная

Рассчитаем характеристики точности модели (Приложение 3).

Индекс детерминации: ∑ ∑

− −

= 2 2

2

)(

)(

yy

yy ρ =0,9781.

Таким образом, все вариации в объеме выпуска продукции Y на 97,81%

обусловлены вариацией в объеме капиталовложений X, т.е. изменениями в

факторе X, учтенном в модели.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

%1001 ⋅−⋅= ∑ y yy

n Eîòí = 3,9659 %.

Таким образом, модельные значения y отклоняются от фактических

значений Y в среднем на 3,97%, т.е. получена модель среднего качества.

Сравнение полученных моделей

Для сравнения моделей используем полученные данные. Построим таб-

лицу (таблица 10):

Таблица 10

коэффициент детерминации

средняя относи- тельная ошибка

гиперболическая 0,7962 11,7515 степенная 0,9931 2,1205

показательная 0,9781 3,9659

Сравнив модели по этим характеристикам можем сделать вывод:

Степенная модель имеет большее значение коэффициента детермина-

ции R2 небольшую относительную ошибку аппроксимации, следовательно,

степенная модель лучше остальных оценивает взаимосвязь.

18

Приложение 1

Расчет параметров гиперболической модели

19

Приложение 2

Расчет параметров степенной модели

20

Приложение 3

Расчет параметров показательной модели

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome