Некоторые векторные равенства - конспект - Математика, Конспект из Математика
petr_j
petr_j13 June 2013

Некоторые векторные равенства - конспект - Математика, Конспект из Математика

PDF (117.1 KB)
6 страница
441количество посещений
Описание
Kazan State Finance and Economics Institute. Лекция конспект по математике. Среди векторных соотношений можно выделить несколько важных соотношений, называемых здесь основными. Эти основные соотношения являются, образн...
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 6
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
????? 2

Глава 2

1. Некоторые векторные равенства

Среди векторных соотношений можно выделить несколько важных

соотношений, называемых здесь основными. Эти основные соотношения

являются, образно выражаясь, ключами к решению широкого класса задач.

I Основное соотношение. Во всяком треугольнике ЛВС выполняется

равенство

(I)

Где М – центроид (точка пересечения медиан) треугольника АВС.

Докажем соотношение (I).

Пусть М – центроид треугольника А В С .

Соединим точку М со всеми

вершинами треугольника. Прямая МВ

пересекает сторону АС треугольника АВС в точке

О, являющейся серединой стороны АС. На п р я мо й

ВМ откладываем МЕ = ВМ и соединяем точку Е

с вершинами А и С. очевидно, что АМСЕ

–параллелограмм. Поэтому . Откуда . Так

как , то . Ч.т.д.

Задача. Доказать, что если М – центроид треугольника АВС и О

-произвольная точка пространства, то выполняется равенство

(1)

Доказательство:

Запишем следующие векторные равенства:

Сложив эти равенства по частям, получаем:

,

откуда

Доказанное равенство также следует отнести к основным векторным

соотношениям, так как оно часто используется в решении многих задач.

II Основное соотношения. В треугольнике АВС на стороне АС взята

точка D так, что АD : = m : n.

Тогда имеет месть следующее соотношение:

(II)

Доказательство:

Из треугольника АВС имеем:

.

Ч.т.д.

Задача. Через середину Е медианы СС1 треугольника АВС проведена

прямая АЕ, пересекающая сторону ВС в точке F. Вычислить АЕ : ЕF и СF :

.

Решение.

Введем векторы и .

Пусть СF : = m : n. Тогда по формуле

(II) имеем:

и (1)

где 0 < х < 1.

С другой стороны, учитывая, что Е – середина медианы СС1 получаем

для АЕ следующее выражение:

(2)

В силу единственности разложения вектора по двум векторам из (1) и

(2) получаем систему:

(3)

Разделив по частям первое уравнение системы (3) на второе,

получаем, что m : n = 1 : 2, т.е. СF : = 1 : 2.

Сложив по частям уравнение системы (3), находим, что , т.е.

AE : EF = 3 : 4

III Основное соотношение. Если точки М и N делят отрезки АВ и CD

соответственно в равных отношениях так, что

AM : MB = CN : ND = m : n, то выполняется

равенство.

(III)

Доказательство:

Для доказательства равенства (III)

мы воспользуемся формулой (II). Запишем, что отрезки АВ и CD могут

произвольно располагаться относительно друг друга (например, они могут

лежать на скрещивающихся прямых и на прямых, принадлежащих одной

плоскости).

Пусть О - произвольная точка, не принадлежащая ни отрезку АВ, ни

отрезку CD. Соединим точку О с точками А, М, В, С, N и D и раcсмотрим

векторы и .

Имеем:

,

,

Ч. т. д.

Задача. На прямой m даны три точки Р, Q, R, а на прямой m1 -три

точки P1, Q1, R1 причем , . Доказать, что середины

отрезков PP1, QQ1 и RR1 принадлежат одной прямой.

Решение.

Пусть М, N и К - середины отрезков

РР1 QQ1 и RR1 соответственно.

На основании (III) запишем

следующие векторные равенства:

(1)

(2)

Из (1) и (2) следует, что векторы и коллинеарные. А так

как начало одного из них является концом другого, то точки М, N и К

принадлежат одной прямой.

IV Основное соотношение. Дан тетраэдр ABCD и в плоскости его

грани ABC точка М. Доказать, что для разложения

Выполняется равенство

Доказательство:

Допустим, что точка М лежит внутри треугольника ABC.

Проведем через точки А и М прямую, которая пересекает сторону ВС в

точке Е. Пусть Е делит сторону ВС в

отношении m : n, т.е.

BE : EC = m : n.

Тогда по формуле

(II)

Пусть далее точка М делит отрезок

АЕ в отношении p : q, т.е. AM : ME = p:q. Тогда

.

Откуда

Ч. т. д.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome