Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты  - упражнение - Эконометрика (11), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament
wklev85
wklev8525 March 2013

Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты - упражнение - Эконометрика (11), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament

PDF (398.2 KB)
21 страница
242количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Эконометрика. Тема Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Лабораторная работа. Разные варианты. Вариант 11.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 21
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, вариант 11 - контрольная работа - Эконометрика

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

филиал в г. Туле

Контрольная работа

по дисциплине

«Эконометрика»

тема:

«Зависимость объема выпуска продукции от объема

капиталовложений, вариант 11»

Тула, 2009

2

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена

информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У,

млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.).

Х 33 17 23 17 36 25 39 20 13 12

У 43 27 32 29 45 35 47 32 22 24

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать

экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить

дисперсию остатков Sε 2; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии

с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость

уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти

среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве

модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя У при

уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80%

от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения У,

точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

- гиперболической;

- степенной;

- показательной.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и

средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим

характеристикам и сделать вывод.

3

Решение

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать

экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: хbау ⋅+=)

Для нахождения параметров уравнения линейной регрессии ),( ba

используем формулы:

22 xx

xyyx b

⋅−= , xbya ⋅−=

Построим следующую расчетную таблицу, используя MS Excel:

По данным таблицы рассчитываем значения параметров уравнения

линейной регрессии:

909,0 85,82

3,75

5,231,635

5,236,339,864 2

== −

⋅−=b

242,125,2391,06,33 =⋅−=a

Следовательно, искомое уравнение линейной регрессии будет иметь

вид: xy ⋅+= 909,0242,12)

Таким образом, при увеличении объема капиталовложений (x) на 1 млн.

руб. объем выпускаемой продукции (y) увеличится в среднем на 0,909 млн.

руб., что свидетельствует об эффективности работы предприятия.

4

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов;

оценить дисперсию остатков 2 ES . Построить график остатков.

Вычислим остатки по формуле iyiyiе )−= , где

iy )

– значения у, вычисленные по модели xy ⋅+= 909,0242,12 .

Остатки рассчитываем в таблице, используя MS Excel:

Остаточная сумма квадратов равна 020,12 1

2 =∑ =

n

i

e .

Дисперсию остатков рассчитываем по формуле:

2 1

2

2

− = ∑

=

n

e S

n

i e ,

502,1 210

020,122 = −

=eS .

График остатков построим с помощью инструмента Excel Регрессия.

5

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

1) Математическое ожидание случайной величины, как видно из

таблицы, равно нулю: 0)( =iM ε . Сумма всех остатков равна нулю.

Предпосылка выполнена.

2) Случайный характер остатков (критерий поворотных точек):

 

  

 −−−×> 90

2916 96,1

3

)2(2 nn р , где

n – количество наблюдений;

р – количество поворотных точек, р = 5.

 

  

 −⋅−−×> 90

291016 96,1

3

)210(2 5

[ ]455,196,133,55 −> 969,25 > , следовательно, свойство случайности остатков выполняется.

6

3) Независимость уровней ряда остатков (отсутствие / наличие

автокорреляции) проверяем с помощью Критерия Дарбина-Уотсона:

=

= −−

= n

i i

n

i ii

d

1

2

2

2 1 )(

ε

εε

Определяем численное значение коэффициента, используя данные

следующей таблицы:

11,3 020,12

326,37 ==d

11,32 < , находим 89,011,34 =−=′d

Расчетное значение d сравниваем с табличным значением при 5%-ном

уровне значимости. При n=10 и к=1 (число факторов) нижнее значение

d1=0,88, а верхнее d2=1,32.

Случаи, когда d1 ≤ d' ≤ d2 являются неопределенными, когда гипотеза

не принимается и не отвергается.

Расчетный показатель попал в область d1 ≤ d' ≤ d2 (0,88 ≤ 0,89 ≤ 1,32),

следовательно, гипотеза о независимости уровней ряда остатковне

принимается и не отвергается.

Поскольку ситуация оказалась неопределенной, воспользуемся первым

коэффициентом автокорреляции:

607,0 020,12 299,7

1

2

2 1

)1( −=−=

=

= − ⋅

= ∑

n

i i

n

i ii

r

ε

εε

7

Так как фактическое значение коэффициента меньше табличного для

5%-ного уровня значимости – 0,6319, то принимаем гипотезу об отсутствии

автокорреляции.

4) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения

проверяем с помощью R/S-критерия:

226,1

/ minmax

=

− =

е

e

S

S SR

εε ,

maxε , minε - соответственно максимальный и минимальный уровни ряда

остатков.

967,2 226,1

)057,2(581,1 / =−−=SR

расчSR / ⊂ (2,67;3,57), т.е. 2,967 ⊂ (2,67;3,57), значит, гипотеза о

нормальном распределении ряда остатков принимается.

5. Гомоскедастичность (постоянство) дисперсии остатков.

Расчетные значения для обнаружения гетероскедастичности

представлены в следующей таблице:

8

Для обнаружения гетероскедастичности (нарушение

гомоскедастичности), используем тест Гольдфельда-Квандта:

а) Упорядочим выборку из n-наблюдений по мере возрастания

факторного признака x.

б) Совокупность наблюдений разделим на 2 группы, соответственно с

малыми и большими значениями факторного признака х и определим по

каждой из групп уравнение регрессии:

- для первой группы уравнение регрессии имеет вид хy ⋅+= 140,1785,8) ;

- для второй группы уравнение регрессии имеет вид хy ⋅+= 937,0174,11) .

в) Вычислим остаточную сумму квадратов:

- для первой регрессии, по формуле:

∑ =

−= 1

1

2 1ˆ1 )ˆ(

n

i iiy yyS

159,7)ˆ( 5

1

2 1ˆ1 =−=∑

=i iiy yyS

- для второй регрессии, по формуле:

∑ +−=

−= 1

1 1

2 2ˆ2 )ˆ(

n

nni iiy yyS

028,2)ˆ( 10

6

2 2ˆ2 =−=∑

=i iiy yyS

Далее определяем расчетное значение F-критерия Фишера по формуле:

y

y расч S

S F

)

)

2

1= , так как yy SS )) 21 >

530,3 028,2

159,7 ==расчF

9

Используя надстройки Excel, находим табличное значение F-критерия

Фишера: F(0,05; 4; 4) = 6,389.

Сравниваем расчетное значение F-критерия Фишера с табличным

значением. Поскольку Fрасч = 3,530 < Fтабл = 6,389, то остатки обладают

свойством гомоскедастичности.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения

регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

Для оценки статистической значимости, существенности параметров

модели парной регрессии xy ⋅+= 909,0242,12 , используем t-критерий

Стьюдента. Расчетные значения t-статистики получаем путем сопоставления

значения параметров α (a) и β (b) с величинами случайных ошибок этих

параметров и :

ˆˆ ;

расч расч t t

S Sα βα β

βα − −= =

Стандартные ошибки определяем по формулам:

∑ ∑

−⋅ ⋅

= 2

22

)( xxn

xS S

i

ie α ;

∑ − =

2

2

)( xx

S S

i

e β

073,1 5,82810

6351502,1 = ⋅

⋅=αS 043,05,828 502,1 ==βS

Тогда:

407,11 073,1

242,12 ==− расчtα , 342,21 043,0

909,0 ==− расчtβ

Табличное значение t-критерия при 05,0=α и степенях свободы (10-

2=8) составляет 2,306. Так как tрасч > tтабл, то это говорит о значимости

параметров модели.

Для значимого уравнения регрессии строим интервальную оценку:

- для параметра 1α : [ ]βββ Stтабл ⋅±∈ ) α1: 0,909 ± 2,306 · 0,043

α1: 0,909 ± 0,099

10

Нижняя граница: 0,909 – 0,099 = 0,81

Верхняя граница: 0,909 + 0,099 = 1,008

α1: (0,81 ÷ 1,008), следовательно, коэффициент регрессии α1 значим, так как в эти границы не попадает 0.

- для свободного члена 0α : [ ]ααα Stтабл ⋅±∈ ) , α0: 12,242 ± 2,306 · 1,073

α0: 12,242 ± 2,474

Нижняя граница: 12,242 – 2,474 = 9,768

Верхняя граница: 12,242 + 2,474 = 14,716

α0: (9,768 ÷ 14,716), следовательно, параметр α0 значим, так как в эти границы не попадает 0.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость

уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти

среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о

качестве модели.

1) Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:

=

=

− ==

n

i i

n

i i

yx

yy

yy rR

1

2

1

2

22

)(

)ˆ(

983,0 40,696

380,68422 === yxrR

Качество данной модели высокое.

Таким образом, все изменения объема выпуска продукции в среднем

обусловлены на 98,3% изменениями объема капиталовложений и на 1,7% –

изменениями факторов, неучтенных в модели.

2) Для проверки значимости модели регрессии используем F-критерий

Фишера:

- вычисляем расчетное значение Fрасч по формуле:

11

)2( 1)1()1( 2

2

2

2

− −

= −−−

= n R

R

кnR

кR Fрасч

502,455 8/017,0

983,0

)1110()983,01(

1983,0 == −−−

=расчF

- определяем табличное значение Fтабл: F(0,05;1;8) = 5,318.

Так как, Fрасч > Fтабл , следовательно, то уравнение регрессии является.

статистически значимым.

3) Для оценки точности регрессионной модели используем среднюю

относительную ошибку аппроксимации, которую находим по формуле:

%100 1

%100 ˆ1

1

⋅=⋅−= ∑∑ =

n

i i

i отн yny

yy

n E

ε

%193,3929,31 10

1 ==отнE

Это означает, что в среднем расчетные значения ŷ отличаются от

фактических значений на 3,193%.

Так как отнE =3,193% < 7%, то ошибка считается приемлемой, что

свидетельствует о хорошем качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y

при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X

составляет 80% от его максимального значения.

Для прогнозирования результативного показателя подставим в

уравнение прогпрог xy ⋅+= βα ˆˆˆ значение факторного показателя, равного 80% от

его максимального значения:

2,318,0398,0max =⋅=⋅= xxпрог

Тогда точечный прогноз составит: 60,402,31909,0242,12ˆ =⋅+=прогy

То есть при уровне значимости α =0,1, если прогнозное значение

фактора «Х» составит 80% от его максимального значения или 31,2,

точечный прогноз среднего значения «Y» составит 40,6.

12

Точечный прогноз обычно сопровождают интервальным, поскольку

трудно ожидать совпадения в будущем фактического значения y с ŷ прог.

Интервальный прогноз задается с помощью доверительного интервала:

Uyпрог ±ˆ , где U – величина отклонения от линии регрессии.

Величину U находим по формуле:

∑ − −

++⋅⋅= 2

2

ˆ )(

)(1 1

xx

xx

n tSU прогнтаблу

Стандартная ошибка – Sу = 1,226;

таблt рассчитываем с помощью программы Excel – Мастера функций –

СТЬЮДРАСПОБР (0,1;8); его значение составит таблt =1,86.

47,2 5,828

)5,232,31(

10

1 186,1226,1

2

=−++⋅⋅=U

В результате находим интервальный прогноз:

Верхняя граница: 40,60 + 2,47=43,07

Нижняя граница: 40,60 – 2,47 = 38,13

Таким образом, с вероятностью 80% объем выпуска продукции (Y,

млн.руб.) при ожидаемых объемах капиталовложений (X, млн.руб.), будет

находиться в пределах от 38,13 млн.руб. до 43,07 млн.руб.

13

7. Представить графически фактические и модельные значения Y

точки прогноза.

График прогноза

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

X

Y

y

ŷпр.

Нижняя граница

Верхняя граница

14

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

Гиперболической;

Степенной;

Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Гиперболическая модель

Уравнение гиперболической модели парной регрессии x

b axy +=)(ˆ

Произведём линеаризацию модели путём замены x

X 1= .

В результате получим линейное уравнение Xbay ⋅+=ˆ

Для получения необходимых значений построим следующую таблицу:

Рассчитаем параметры уравнения по данным таблицы:

75,415 )0495,0(003,0

0495,06,33514,1 222

−= −

⋅−= −

⋅−⋅= XX

XyXy b

18,540495,075,4156,33 =⋅+=⋅−= Xbya

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

х у

75,415 18,54 −=) .

В полученное уравнение регрессии подставляем имеющиеся значения

х, таким образом, найдем теоретические значения у) . Затем по этим данным

построим график гиперболической модели регрессии.

15

График гиперболической модели

0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

ŷ

Степенная функция

Уравнение степенной модели имеет вид: bxay ⋅=ˆ

Приведем это уравнение к линейному виду. Для этого произведем

логарифмирование обеих частей уравнения:

xbay lglgˆlg ⋅+=

Обозначим aAxXyY lg,lg,ˆlg === . Тогда уравнение примет вид

Y=A+bX – линейное уравнение регрессии.

Найдем параметры линейного уравнения регрессии степенной функции

используя данные следующей таблицы:

16

6250,0 338,1819,1

338,1513,1043,2 222

= −

⋅−= −

⋅−⋅= XX

XYXY b

6767,0338,16250,0513,1 =⋅−=⋅−= XbYA

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y=0,6767+0,6250Х.

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование

данного уравнения: 6250,06767,010 ху ⋅=)

Использовав функцию СТЕПЕНЬ Мастера функций Excel, получим

уравнение степенной модели регрессии: 6250,0750,4 ху ⋅=)

Найдем теоретические значения у )

, подставив имеющиеся значения х в

полученное уравнение регрессии. По этим данным построим график

степенной модели регрессии.

График степенной модели

0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

ŷ

Показательная функция

Уравнение показательной кривой: xbay ⋅=ˆ

Приведем это уравнение к линейному виду. Для этого также

произведем логарифмирование обеих частей уравнения: bхay lglgˆlg ⋅+= .

Введем обозначения aAbByY lg,lg,ˆlg === .

С учетом этих обозначений получим линейное уравнение регрессии: Y = A + Bx.

17

Найдем параметры линейного уравнения регрессии показательной

функции используя данные следующей таблицы:

0116,0 5,23100,635

5,23513,1516,36 222

= −

⋅−= −

⋅−⋅= хх

хYхY В

2405,15,230116,0513,1 =⋅−=⋅−= хВYA

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y=1,2405+0,0116х.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование

данного уравнения: ху )10(10 0116,02405,1 ⋅=)

Использовав функцию СТЕПЕНЬ Мастера функций Excel, получим

уравнение степенной модели регрессии: xy 027,1398,17ˆ ⋅=

Построим график показательной модели регрессии.

График показательной модели

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

ŷ

18

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации,

коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки

аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать

вывод.

а) Линейная модель

Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле (также его

можно найти с помощью программы Регрессия надстройки Анализ данных

пакета Excel):

=

=

− ==

n

i i

n

i i

yx

yy

yy rR

1

2

1

2

22

)(

)ˆ(

983,0 40,696

380,68422 === yxrR

Качество данной модели высокое.

Это означает, что все изменения в объеме выпуска продукции

обусловлены в среднем на 98,3% изменениями объема капиталовложений и

на 1,7% – вариациями неучтенных в модели факторов.

Коэффициент эластичности рассчитываем по формуле:

636,0 6,33

5,23 909,0 =⋅=⋅=

y

x bЭ

Значит, если увеличить объем капиталовложений на 1%, то объем выпуска

продукции увеличится в среднем на 0,636%.

Средняя относительная ошибка аппроксимации для линейной модели

была найдена в пункте 5 и она равна:

%193,3929,31 10

1 ==отнE

Это означает, что в среднем расчетные значения ŷ для линейной

модели отличаются от фактических значений на 3,193%.

19

б) Гиперболическая модель

Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:

∑ ∑

− −=

2

2

2

)( 1

yy R

i

iε

895,0 4,696

947,72 12 =−=R

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 89,5 %

объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности рассчитываем по формуле:

485,0 749,4155,2318,54

749,415 = −⋅

= +⋅

−= bxa

b Э

Если увеличить объем капиталовложений на 1%, то объем выпуска

продукции увеличится в среднем на 0,485%.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по

формуле:

∑ ⋅= %100 1

y

E

n Е

i ОТН

%257,7568,72 10

1 =⋅=отнЕ

В среднем расчетные значения ŷ для гиперболической модели

отличаются от фактических значений на 7,257 %.

в) Степенная модель

Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:

∑ ∑

− −=

2

2

2

)( 1

yy R

i

iε

983,0 400,696

145,12 12 =−=R

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 98,3%

объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности для степенной функции рассчитывается по

формуле:

625,0==

20

Таким образом, если увеличить объем капиталовложений на 1%, то

объем выпуска продукции увеличится в среднем на 0,625%.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по

формуле:

%100 ˆ1 ⋅−= ∑ y yy

n Eотн

412,3124,34 10

1 =⋅=отнE

В среднем расчетные значения ŷ для степенной модели отличаются от

фактических значений на 3,412 %.

г) Показательная модель

Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:

∑ ∑

− −=

2

2

2

)( 1

yy R

i

iε

976,0 400,696

719,22 12 =−=R

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 97,6%

объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности для показательной модели рассчитываем

по формуле:

bxЭ ln⋅=

628,0027,05,23027,1ln5,23ln =⋅=⋅=⋅= bxЭ

Таким образом, если увеличить объем капиталовложений на 1%, то

объем выпуска продукции увеличится в среднем на 0,628%.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по

формуле:

%100 ˆ1 ⋅−= ∑

y

yy

n Eотн

819,3195,38 10

1 =⋅=отнE

В среднем расчетные значения ŷ для показательной модели отличаются

от фактических значений на 3,819 %.

21

Для сравнения моделей построим сводную таблицу результатов.

По данной таблице можно сделать вывод что, наилучшей является

линейная модель, т.к. у нее наибольший коэффициент детерминации и

наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации. Ее можно взять

в качестве лучшей для построения прогноза.

Модель

Параметры

Коэффициент детерминации,

2R

Коэффициент эластичности,

Э

Средняя относительная ошибка, отнε

Линейная 0,9827 0,636 3,193 Гиперболическая 0,895 0,527 7,257

Степенная 0,9825 0,625 3,412 Показательная 0,976 0,628 3,819

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome