Задачи, варианты - упражнение - Финансовая математика (4), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи, варианты - упражнение - Финансовая математика (4), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (175.7 KB)
16 страница
714количество посещений
Описание
Задачи. Упражнения по предмету финансовая математика. Задачи с решениями. Упражнения с ответами. Разные варианты. Вариант 4.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 16
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по финмат, вариант 3 - контрольная работа - Финансовая математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА «ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине

Финансовая математика

Тема:

«Задачи по финмат, вариант 3»

2

Задание 1

В табл. 1.1 представлены поквартальные данные о кредитах от

коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).

Таблица 1.1 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Y(t) 39 50 59 38 42 54 66 40 45 58 69 42 50 62 74 46

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с

учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2

= 0,6; α3 = 0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней

ошибки аппроксимации;

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве

критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому

коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения

r1 = 0,32;

• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию

с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную

модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

( ) tbatYp ×+= )0()0( Метод наименьших квадратов дает возможность определить

коэффициенты линейного уравнения по формулам:∑

90,0= 42

38 =

2)-(

∑ )-(×)-)(( =)0(

срtt

срttсрYtY b

3

43,44=5,4×90,0-5,48=×)0(-=)0( срtbсрYa

Таблица 1.2 t Y(t) t-t ср (t-t ср )

2 Y-Y ср (Y-Y ср )× (t-t ср )

1 39 -3,5 12,25 -9,5 33,25 2 50 -2,5 6,25 1,5 -3,75 3 59 -1,5 2,25 10,5 -15,75 4 38 -0,5 0,25 10,5 5,25 5 42 0,5 0,25 -6,5 -3,25 6 54 1,5 2,25 5,5 8,25 7 66 2,5 6,25 17,5 43,75 8 40 3,5 12,25 -8,5 -29,75

36 388 0 42 0 38

Произведем расчет:

25,39=314× 8

1 =∑ )(×

1 = tY

Nср Y

50,436 8

11 =×=×= ∑N N

tср

Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

( ) ttpY 90,0+03,44=

Для сопоставления фактических данных Y(t) и рассчитанных по

линейной модели значений Yp(t) составим таблицу (табл. 1.3).

Таблица 1.3 t 1 2 3 4 5 6 7 8

Y(t) 39 50 59 38 42 54 66 40

Yp(t) 45,23 46,24 47,14 48,05 48,95 49,86 50,76 51,67

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения

экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.

Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может

служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала

первого года, равное )1(/)1( pYY , и такое же отношение для I квартала второго

года (т.е. за V квартал t=5) )5(/)5( pYY . Для окончательной, более точной,

4

оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее

арифметическое значение этих двух величин.

[ ] [ ] 8591,0=2/95,48/42+33,45/39=2/)5(/)5(+)1(/)1(=)3(- pYYpYYF

Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV

кварталов:

[ ] [ ] 0822,1=2/76,50/54+24,46/50=2/)6(/)6(+)2(/)2(=)2-( pYYpYYF [ ] [ ] 2759,1=2/76,50/66+14,47/59=2/)7(/)7(+)3(/)3(=)1-( pYYpYYF

[ ] [ ] 7825,0=2/67,51/40+05,48/38=2/)8(/)8(+)4(/)4(=)0( pYYpYYF Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса

(табл. 1.4) используя следующие формулы:

[ ] )()()()( LktFtbktaktYp −+××+=+ [ ])1()1()11()(/)(1)( −+−×−+−×= tbtaLtFtYta αα

[ ] )1()31()1()(3)( −×−+−−×= tbtatatb αα )()21()(/)(2)( LtFtatYtF −×−+×= αα

Таблица 1.4 Модель Хольта-Уинтерса

t Y(t) a(t) b(t) F(t) Y р (t) Абс. погр.,

E(t) Отн. погр.,

в % 1 2 3 4 5 6 7 8 0 - 44,43 0,90 0,7825 - - 1 39 45,35 0,91 0,8596 38,94 0,06 0,14 2 50 46,24 0,90 1,0817 50,06 -0,06 0,12 3 59 46,87 0,82 1,2656 60,14 -1,14 1,94 4 38 47,95 0,90 0,7885 37,32 0,68 1,79 5 42 48,85 0,90 0,8597 41,99 0,01 0,01 6 54 49,80 0,91 1,0832 53,82 0,18 0,34 7 66 51,15 1,04 1,2805 64,19 1,81 2,75 8 40 51,75 0,91 0,7791 41,15 -1,15 2,88 9 45 52,57 0,88 0,8575 45,27 -0,27 0,61

10 58 53,48 0,89 1,0840 57,90 0,10 0,17 11 69 54,22 0,85 1,2757 69,62 -0,62 0,90 12 42 54,72 0,74 0,7722 42,91 -0,91 2,17 13 50 53,32 1,00 0,8757 47,56 2,44 4,88 14 52 57,28 0,99 1,0831 62,13 -0,13 0,21 15 74 58,19 0,96 1,2733 74,33 -0,33 0,45

5

16 46 59,28 1,00 0,7745 45,68 0,32 0,70 20,07

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда

E(t) (разности )()( tYtY p− между фактическими и расчетными значениями

экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям

(точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим

таблицу 1.5.

Таблица 1.5 Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t E(t) Точка поворота E(t)2 [E(t)-E(t-1)]2 E(t)xE(t-1)

1 0,06 ххх 0,00 - - 2 -0,06 0 0,00 0,01 0,00 3 -1,15 1 1,33 1,19 0,07 4 0,67 1 0,45 3,32 -0,77 5 -0,02 1 0,00 0,48 -0,01 6 0,16 0 0,03 0,03 0,00 7 1,80 1 3,24 2,68 0,30 8 -1,15 1 1,33 8,73 -2,08 9 -0,29 0 0,08 0,76 0,33

10 0,09 1 0,01 0,14 -0,03 11 -0,62 0 0,39 0,51 -0,06 12 -0,91 1 0,83 0,08 0,57 13 2,44 1 5,93 11,18 -2,21 14 -0,14 0 0,02 6,61 -0,33 15 -0,33 1 0,11 0,04 0,04 16 0,32 ххх 0,11 0,43 -0,11

Сумма 0,88 9,00 13,85 36,20 -4,30

Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная

погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на

фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в

среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных

6

погрешностей (см. гр. 8 табл. 1.4) составляет 20,07, что дает среднюю

величину 20,07/16 = 1,25%, что не превышает 5%.

Следовательно, условие точности выполнено.

Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд

остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости

последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней

остаточной компоненты (гр. 2 табл. 1.5) проводим на основе критерия

поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е ( )t сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка

считается поворотной и в гр. 3 табл. 1.5 для этой строки ставится 1, в

противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3

табл. 1.5 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух

соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=9.

Рассчитаем значение q :

( ) ( )[ ]90/291623/22int −−−= NNq Функция int означает, что от полученного значения берется только

целая часть. При N = 16.

( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] 616,6int18,333,9int90/22723/28int90/29161623/2162int ==−=−=−×−−=q

Так как количество поворотных точек р=9 больше q=6, то условие

случайности уровней ряда остатков выполнено. Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия

автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни

d1=1,10 и d2=1,37):

7

( ) 61,2=

85,13

20,36 =

2)(

2 ∑ )1-(-)(

= tE

tEtE d

Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:

1,39=2,61-4=/d

1,37<1,39<12 – следовательно, уровни ряда E(t) независимы.

2) по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

[ ] 31,0-=

85,13

30,4- =

2)(

∑ )1-(×)( =)1(

tE

tEtE r

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента

автокорреляции меньше критического значения )1(r < rтабл., то уровни ряда

остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32.

Имеем: )1(r =0,31 < rтабл. = 0,32 – значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному

распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

( ) SEERS /minmax −= ,

где maxE - максимальное значение уровней ряда остатков ( )tE ;

minE - минимальное значение уровней ряда остатков ( )tE ( )5.1 . 2. таблгр ; S – среднее квадратическое отклонение.

( ) 59,3=15,1--44,2=min-max ,15,1-=min ,44,2=max EEEE ;

96,0 15

89,13

1

)( 2 ==

− = ∑

N

tE S

73,3=96,0/59,3=RS

Так как 3,00<3,73<4,21, полученное значение RS попало в заданный

интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному

распределению.

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

8

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по

t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны

коэффициенты ( )ta и ( )tb определяется количеством исходных данных и

равно 16. Рассчитав значения ( )16a и ( )16b (см. табл. 1.4) по формуле:

( ) ( ) ( )[ ] ( )LktFtbktaktYp −+××+=+ ,

где k – период упреждения;

( )tYp - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

( ) ( ) ( )tFtbta и , - коэффициенты модели;

( )LktF −+ - значение коэффициента сезонности того периода, для

которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для:

t = 17, 18, 19 и 20.

[ ] [ ] 79,52=8757,0×00,1×1+28,59=)13(×)16(×1+)16(=)17( FbaYp [ ] [ ] 37,66=0831,1×00,1×2+28,59=)14(×)16(×2+)16(=)18( FbaYp

[ ] [ ] 31,79=2733,1×00,1×3+28,59=)15(×)16(×3+)16(=)19( FbaYp [ ] [ ] 01,49=7745,0×00,1×4+28,59=)16(×)16(×4+)16(=)20( FbaYp

На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических

и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на

год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с

фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

9

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Ряд1 Ряд2

Рис. 1. Сопоставление расчетных (ряд 1) и фактических (ряд 2) данных

10

Задание 2

В таблице 2.1 даны цены (открытия, максимальная, минимальная и

закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент;

скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R, % К, % D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно

выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 2.1

Дни Цены

макс. мин. закр.

1 595 580 585 2 579 568 570 3 583 571 578 4 587 577 585 5 586 578 582 6 594 585 587 7 585 563 565 8 579 541 579 9 599 565 599

10 625 591 618

Решение

Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся

формулой:

1)1( −×−+×= ttt EMAkCkEMA ,

где k = 2 / (n + 1),

tC - цена закрытия t-го дня;

tEMA - значение EMA текущего дня t.

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня tC и

цены n дней тому назад ntC − :

nttt CCMOM −−=

где tC - цена закрытия t-го дня.

tMOM - значение МОМ текущего дня t.

11

Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены

текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

%100×= −nt

t t C

C ROC ,

где tC - цена закрытия t-го дня.

tROC - значение ROC текущего дня t.

Результаты расчетов представим в таблице (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Дни Цены

ЕМАt МОМt ROCt макс. мин. закр. 1 595 580 585 - - - 2 579 568 570 - - - 3 583 571 578 - - - 4 587 577 585 - - - 5 586 578 582 580 -3 99,487 6 594 585 587 582 17 100 7 585 563 565 577 -13 99 8 579 541 579 577 -6 100 9 599 565 599 585 17 102

10 625 591 618 596 31 106

Для расчета индекса относительной силы используем формулу:

ADAU RSI

/1

100 100

+ −= ,

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Расчеты представим в таблице 2.3.

12

Таблица 2.3

Дни Цены закрытия Изменение (+/-) RSI

1 585 - - 2 570 -15 - 3 578 8 - 4 585 7 - 5 582 -3 - 6 587 5 53 7 565 -22 44 8 579 14 51 9 599 20 61

10 618 19 73

Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:

)/()(100% 555 LHCHR tt −−×= ,

где tR% - значение индекса текущего дня t;

tC - цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 – минимальная и максимальные цены за n предшествующих

дней, включая текущие.

)/()(100% 555 LHLCK tt −−×= ,

где % - значение индекса текущего дня t;

tC - цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих

дней, включая текущие.

Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь

разницей, что при его построении величины )( 5LCt − и )( 55 LH − сглаживают,

беря их трехдневную сумму.

13

100 )(

)( %

2 55

2 5

× −

− = ∑

−=

−= t

ti

t

ti t

t

LH

LC D

Результаты расчетов представим в таблице 2.4.

Таблица 2.4

Дни Цены

%Кt %Rt %Dt макс. мин. закр.

1 595 580 585 - 2 579 568 570 - - 3 583 571 578 - - 4 587 577 585 - - 5 586 578 582 52 48 6 594 585 587 73 27 7 585 563 565 6 94 42 8 579 541 579 72 28 54 9 599 565 599 100 0 69

10 625 591 618 92 8 89

14

Задание 3

3.1. Банк выдал ссуду, размером 4000000 руб. Дата выдачи ссуды

10.01.02, возврата 20.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день.

Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 45% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

3.1.1) К = 365, t = 71, I = 4000000 * 0,45 * 71 / 365 = 350136,99 руб.

3.1.2) К = 360, t = 71, I = 4000000 * 0,45 * 71 / 360 = 355000,00 руб.

3.1.3) К = 360, t = 72, I = 4000000 * 0,45 * 72 / 360 = 360000,00 руб.

3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатил

4000000 руб. Кредит выдан под 45% годовых (проценты обыкновенные).

Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение

P = S / (1 + ni) = 4000000 / (1 + 0,45 * 90 / 360) = 3595505,61 руб.

D = SP = 4000000 – 3595505,61 = 404494,39 руб.

3.3. Через 90 предприятие должно получить по векселю 4000000 руб.

Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной

ставке 45% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную

предприятием сумму и дисконт.

Решение

D = Snd = 4000000 * 0,45 * 90 / 360 = 450000,00 руб.

P = SD = 4000000 – 450000 = 3550000,00 руб.

15

3.4. В кредитном договоре на сумму 4000000 руб. и сроком на 5 лет,

зафиксирована ставка сложных процентов, равная 45% годовых. Определить

наращенную сумму.

Решение

S = P * (1+i)n = 4000000* (1 + 0,45)5 =25638936,25 руб.

3.5. Сумма размером 4000000 руб. представлена на 5 лет. Проценты

сложные, ставка 45% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году.

Вычислить наращенную сумму.

Решение

N = 5 * 4 = 20

S = P * (1+j / m)N = 4000000 * (1 + 0,45 / 4)20 = 33733420,84 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет

проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 45% годовых.

Решение

= (1 + j / m) m - 1 = (1 + 0,45 / 4)4 – 1 = 0,5318, т.е. 53%.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при

начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку

45% годовых.

Решение

j = m * [(1 + ) 1/m - 1] = 4 * [(1 + 0,45)(1/4) – 1] = 0,38936, т.е. 38,936%.

16

3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 4000000 руб.

Определить ее современную стоимость при условии, что применяется

сложная процентная ставка 45% годовых.

Решение

95,220769123=)5-()45,0+1(× 4000000== )+1(

1 = nSv

ni SP

руб.

3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма

4000000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 45% годовых. Определить

дисконт.

Решение

P = S (1 – dсл) n = 4000000 * (1 – 0,45)5 = 201313,75 руб.

D = SP = 4000000 – 201313,75 = 3798686,25 руб.

3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает

по 4000000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной

годовой ставке 45%. Определить сумму на расчетном счете к концу

указанного срока.

Решение

70,56075471= 1-4)4/45,0+1(

1-)5×4()4/45,0+1( ×4000000=

1-)/+1(

1-)/+1( ×=

mmj

mnmj RS

руб.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ