Задачи по Финансовой математике, варианты  - упражнение -  Финансовая математика (1), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по Финансовой математике, варианты - упражнение - Финансовая математика (1), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (161.5 KB)
16 страница
503количество посещений
Описание
Задачи по Финансовой математике. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Вариант 1.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 16
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по Финансовой математике, вариант 10 - контрольная работа - Финансовая математика

Всероссийский Заочный Финансово-Экономический Институт

Филиал в г. Калуге

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Финансовая математика

Тема:

«Задачи по Финансовой математике, вариант 10»

Калуга – 2006 г.

2

СОДЕРЖАНИЕ

ЗАДАНИЕ 1 ............................................................................................................ 3

ЗАДАНИЕ 2 .......................................................................................................... 11

ЗАДАНИЕ 3 .......................................................................................................... 14

3

ЗАДАНИЕ 1

В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от

коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов)

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Y(t) 43 54 64 41 45 58 71 43 49 62 74 45 54 66 79 48

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-

Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 =

0,3; α2 = 0,6; α3 = 0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней

ошибки аппроксимации;

3) Оценить адекватность построенной модели на основе

исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве

критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому

коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32;

• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-

критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные

данные.

Решение

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную

модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

( ) tbatYp ×+= )0()0(

4

Метод наименьших квадратов дает возможность определить

коэффициенты линейного уравнения по формулам:

85,0 42

36

)(

)())(( )0(

2 ==

− −×−

= ∑

ср

срср

tt

ttYtY b

57,485,485,038,52)0()0( =×−=×−= срср tbYa

Таблица 1

t Y(t) t-tср (t-tср)2 Y-Yср (Y-Yср)х(t-tср) 1 43 -4 12 -9 33 2 54 -3 6 2 -4 3 64 -2 2 12 -17 4 41 -1 0 -11 6 5 45 1 0 -7 -4 6 58 2 2 6 8 7 71 3 6 19 47 8 43 4 12 -9 -33

36 419 0 42 0 36

Произведем расчет:

38,52419 8

1 )(

1 =×=×= ∑ tY N

Yср

5,436 8

11 =×=×= ∑N N

tср

Получим линейное уравнение вида: ( ) ttYp 85,057,48 +=

Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной

модели значений составим таблицу.

Таблица 2

Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения

экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.

t Y(t) Yp(t) 1 43 49,42 2 54 50,26 3 64 51,11 4 41 51,95 5 45 52,80 6 58 53,64 7 71 54,49 8 43 55,33

5

Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может

служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала

первого года, равное )1(/)1( pYY , и такое же отношение для I квартала второго

года (т.е. за V квартал t=5) )5(/)5( pYY . Для окончательной, более точной,

оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее

арифметическое значение этих двух величин.

[ ] [ ] 8612,02/8,52/4542,49/432/)5(/)5()1(/)1()3( =+=+=− pp YYYYF Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV

кварталов:

[ ] 0778,12/64,53/5826,50/54)2( =+=−F [ ] 2777,12/49,54/7111,51/64)1( =+=−F

[ ] 7831,02/33,55/4395,51/41)0( =+=F Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса

(табл. 3) используя следующие формулы:

[ ] )()()()( LktFtbktaktYp −+××+=+ [ ])1()1()11()(/)(1)( −+−×−+−×= tbtaLtFtYta αα

[ ] )1()31()1()(3)( −×−+−−×= tbtatatb αα )()21()(/)(2)( LtFtatYtF −×−+×= αα

Таблица 3

Модель Хольта-Уинтерса

t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t) Абс. погр.,

E(t) Отн. погр.,

в % 1 2 3 4 5 6 7 8 0 48,57 0,85 0,8612 - - 1 43 49,57 0,89 0,8650 42,56 0,44 1,03 2 54 50,35 0,86 1,0746 54,39 -0,39 0,72 3 64 50,88 0,76 1,2658 65,43 -1,43 2,24 4 41 51,85 0,82 0,7877 40,44 0,56 1,37 5 45 52,48 0,76 0,8605 45,56 -0,56 1,24 6 58 53,46 0,83 1,0807 57,21 0,79 1,36 7 71 54,83 0,99 1,2833 68,73 2,27 3,20 8 43 55,45 0,88 0,7803 43,97 -0,97 2,26 9 49 56,52 0,94 0,8644 48,47 0,53 1,07

10 62 57,43 0,93 1,0801 62,09 -0,09 0,15 11 74 58,15 0,87 1,2769 74,89 -0,89 1,20 12 45 58,61 0,74 0,7728 46,05 -1,05 2,34 13 54 60,29 1,03 0,8832 51,31 2,69 4,99

6

14 66 61,25 1,01 1,0785 66,23 -0,23 0,34 15 79 62,14 0,97 1,2735 79,50 -0,50 0,63 16 48 62,81 0,88 0,7676 48,77 -0,77 1,61

25,75

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда

E(t) (разности )()( tYtY p− между фактическими и расчетными значениями

экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям

(точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим

таблицу 4.

Таблица 4

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t E(t) Точка

поворота E(t)2 [E(t)-E(t-1)]2 E(t)xE(t-1)

1 0,44 - 0,194 - - 2 -0,39 0 0,150 0,69 -0,17 3 -1,43 1 2,05 1,09 0,55 4 0,56 1 0,32 3,98 -0,81 5 -0,56 1 0,31 1,26 -0,32 6 0,79 0 0,62 1,81 -0,44 7 2,27 1 5,17 2,21 1,79 8 -0,97 1 0,95 10,54 -2,21 9 0,53 1 0,28 2,24 -0,51

10 -0,09 0 0,01 0,38 -0,05 11 -0,89 0 0,78 0,63 0,08 12 -1,05 1 1,11 0,03 0,93 13 2,69 1 7,26 14,03 -2,83 14 -0,23 0 0,05 8,52 -0,61 15 -0,50 0 0,25 0,07 0,11 16 -0,77 - 0,60 0,08 0,38

Сумма 0,41 8,00 20,09 47,57 -4,09

Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная

погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на

фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в

среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных

погрешностей составляет 25,75. Средняя величина: 25,75/16=1,61%, значит,

условие точности выполнено.

7

Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд

остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости

последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней

остаточной компоненты (гр. 2 табл. 4) проводим на основе критерия

поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е ( )t сравниваем с двумя

соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка

считается поворотной и в гр. 3 табл. 4 для этой строки ставится 1, в

противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3

табл. 4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух

соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=8.

Рассчитаем значение q :

( ) ( )[ ]90/291623/22int −−−= NNq Функция int означает, что от полученного значения берется только

целая часть. При N = 16.

( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] 616,6int18,333,9int90/22723/28int90/29161623/2162int ==−=−=−×−−=q

Так как количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие

случайности уровней ряда остатков выполнено. Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия

автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни

d1=1,10 и d2=1,37):

( ) 37,2

09,20

57,47

)(

)1()( 2

2

== −−

= ∑

tE

tEtE d

Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:

63,137,24/ =−=d

8

Условие выполнено (1,37<1,63<2), следовательно, уровни ряда Е(t)

являются независимыми.

2) по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

[ ] 20,0

09,20

09,4

)(

)1()( )1(

2 −=−=

−× =

∑ ∑

tE

tEtE r

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента

автокорреляции меньше критического значения )1(r < rтабл., то уровни ряда

остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32.

Имеем: )1(r =0,20 < rтабл. = 0,32 – значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному

распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

( ) SEERS /minmax −= ,

где maxE - максимальное значение уровней ряда остатков ( )tE ;

minE - минимальное значение уровней ряда остатков ( )tE ( )5.1 . 2. таблгр ;

S – среднее квадратическое отклонение.

EmaxEmin = 2,69 – (-1,43) = 4,13

16,1 15

09,20

1

)( 2 ==

− = ∑

N

tE S

57,316,1/13,4/)( minmax ==−= SEERS

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к.

полученное значение RS (3,57)попадает в заданный интервал

(3,00<3,57<4,21).

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены.

Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и

возможности проведения прогноза показателя Yp(t) на год.

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по

t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны

9

коэффициенты ( )ta и ( )tb определяется количеством исходных данных и

равно 16. Рассчитав значения ( )16a и ( )16b (см. табл. 1.4) по формуле:

( ) ( ) ( )[ ] ( )LktFtbktaktYp −+××+=+ ,

где k – период упреждения;

( )tYp - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

( ) ( ) ( )tFtbta и , - коэффициенты модели;

( )LktF −+ - значение коэффициента сезонности того периода, для

которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для:

t = 17, 18, 19 и 20.

[ ] [ ] 25,568832,088,0181,62)13()16(1)16()17( =××+=××+= FbaYp [ ] [ ] 65,690785,188,0281,62)14()16(2)16()18( =××+=××+= FbaYp

[ ] [ ] 36,832735,188,0381,62)15()16(3)16()19( =××+=××+= FbaYp [ ] [ ] 92,507676,088,0481,62)16()16(4)16()20( =××+=××+= FbaYp

На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических

и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на

год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с

фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

10

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Расчет Факт

Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных

11

ЗАДАНИЕ 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10

дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Дни Цены

макс. мин. закр. 1 858 785 804 2 849 781 849 3 870 801 806 4 805 755 760 5 785 742 763 6 795 755 795 7 812 781 800 8 854 791 853 9 875 819 820

10 820 745 756 Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент;

скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R, % К, % D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно

выполнить на основании имеющихся данных.

Решение

Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся

формулой:

1)1( −×−+×= ttt EMAkCkEMA ,

где k = 2 / (n + 1),

tC - цена закрытия t-го дня;

tEMA - значение EMA текущего дня t.

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня tC и

цены n дней тому назад ntC − :

nttt CCMOM −−=

где tC - цена закрытия t-го дня.

tMOM - значение МОМ текущего дня t.

Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены

текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

12

%100×= −nt

t t C

C ROC ,

где tC - цена закрытия t-го дня.

tROC - значение ROC текущего дня t.

Таблица 1

Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней, момента, скорости изменения цен

Дни Цены закр ЕМАt МОМt ROCt 1 804 804,00 - - 2 849 819,00 - - 3 806 814,67 - - 4 760 796,44 - - 5 763 785,30 - - 6 795 788,53 -9,0 98,88 7 800 792,35 -49,0 94,23 8 853 812,57 47,0 105,83 9 820 815,05 60,0 107,89

10 756 795,36 -7,0 99,08

Для расчета индекса относительной силы используем формулу:

ADAU RSI

/1

100 100

+ −= ,

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Таблица 2

Результаты расчета индекса относительной силы

Дни Цены закрытия Изменение (+/-) RSI

1 804 45 - 2 849 -43 - 3 806 -46 - 4 760 3 - 5 763 32 - 6 795 5 47,3 7 800 53 31,0 8 853 -33 66,9 9 820 -64 73,8

10 756 45 48,1

Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:

13

)/()(100% 555 LHCHR tt −−×= ,

где tR% - значение индекса текущего дня t;

tC - цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 – минимальная и максимальные цены за n предшествующих

дней, включая текущие.

)/()(100% 555 LHLCK tt −−×= ,

где % - значение индекса текущего дня t;

tC - цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих

дней, включая текущие.

Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь

разницей, что при его построении величины )( 5LC t − и )( 55 LH − сглаживают,

беря их трехдневную сумму.

100 )(

)( %

2 55

2 5

× −

− = ∑

−=

−= t

ti

t

ti t

t

LH

LC D

Таблица 3

Результаты расчетов %R, %К, %D

Дни Цены

% Kt % Rt %Dt макс мин закр

1 858 785 804 - - 2 849 781 849 - - - 3 870 801 806 - - - 4 805 755 760 - - - 5 785 742 763 16,41 83,59 - 6 795 755 795 41,41 58,59 - 7 812 781 800 45,31 54,69 34,38 8 854 791 853 99,11 0,89 60,33 9 875 819 820 58,65 41,35 66,22

10 820 745 756 8,46 91,54 53,33

14

ЗАДАНИЕ 3

3.1. Банк выдал ссуду, размером 5 000 000 руб. Дата выдачи ссуды

08.01.02, возврата 22.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день.

Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 55% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

3.1.1) К = 365, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73 / 365 = 550 000,00 руб.

3.1.2) К = 360, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73 / 360 = 557 638,89 руб.

3.1.3) К = 360, t = 74, I = 5 000 000 х 0,55 х 74 / 360 = 565 277,78 руб.

3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 5 000

000 руб. Кредит выдан под 55% годовых (проценты обыкновенные). Какова

первоначальная сумма и дисконт?

Решение

P = S / (1 + ni) = 5 000 000 / (1 + 0,55 х 90 / 360) = 4 395 604,40 руб.

D = SP = 5 000 000 – 3 395 604,40 = 604 395,60руб.

3.3. Через 90 предприятие должно получить по векселю 5 000 000 руб.

Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной

ставке 55% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную

предприятием сумму и дисконт.

Решение

D = Snd = 5 000 000 x 0,55 х 90 / 360 = 687 500,00 руб.

P = SD = 5 000 000 – 687 500,00= 4 312 500,00 руб.

15

3.4. В кредитном договоре на сумму 5 000 000 руб. и сроком на 5 лет,

зафиксирована ставка сложных процентов, равная 55% годовых. Определить

наращенную сумму.

Решение

S = P x (1+i)n = 5 000 000 х (1+0,55)5 = 44 733 048,44 руб.

3.5. Сумма размером 5 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты

сложные, ставка 55% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году.

Вычислить наращенную сумму.

Решение

N = 5 x 4 = 20

S = P x (1+j / m)N = 5 000 000 х (1 + 0,55 / 4)20 = 65 765 497,67 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет

проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 55% годовых.

Решение

= (1 + j / m) m - 1 = (1 + 0,55 / 4)4 – 1 = 0,6742, т.е. 67,42%.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при

начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку

55% годовых.

Решение

j = m x [(1 + ) 1/m - 1] = 4 x [(1 + 0,55)(1/4) – 1] = 0,46316, т.е. 46,316%.

3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 5 000 000 руб.

Определить ее современную стоимость при условии, что применяется

сложная процентная ставка 55% годовых.

Решение

,558870)55,01( 000 000 5 )1(

1 )5( =+×== +

= −n n

Sv i

SP руб.

16

3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 5 000 000

руб. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых. Определить дисконт.

Решение

P = S (1 – dсл) n = 5 000 000 x (1 – 0,55)5 = 92 264,06 руб.

D = SP = 5 000 000 – 92 264,06 = 4907735,94 руб.

3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года

поступает по 5 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты

по сложной годовой ставке 55%. Определить сумму на расчетном счете к

концу указанного срока.

Решение

48,90130664 1)4/55,01(

1)4/55,01( 000 000 5

1)/1(

1)/1( 4

)45(

= −+

−+×= −+ −+×=

×

m

mn

mj

mj RS руб.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome