Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения - конспект - Математика, Конспект из Математика
petr_j
petr_j13 June 2013

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения - конспект - Математика, Конспект из Математика

PDF (421.7 KB)
5 страница
731количество посещений
Описание
Kazan State Finance and Economics Institute. Лекция конспект по математике. Теорема существования и единственности решения уравнения
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 5
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
???????? ??????

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Курсовая работа Выполнил студент 2 курса 1222 группы Труфанов Александр Николаевич

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный университет»

Механико-математический факультет Кафедра дифференциальных уравнений и теории управления

Самара 2004 Теорема существования и единственности решения уравнения

Пусть дано уравнение

с начальным условием

Пусть в замкнутой области R функции и

непрерывны). Тогда на некотором отрезке существует

единственное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Последовательные приближения определяются формулами:

k = 1,2....

Задание №9

Перейти от уравнения

к системе нормального вида и при начальных условиях

, ,

построить два последовательных приближения к решению.

Произведем замену переменных

;

и перейдем к системе нормального вида:

Построим последовательные приближения

Задание №10

Построить три последовательных приближения к решению задачи

,

Построим последовательные приближения

Задание №11

а) Задачу

,

свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения

б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.

Сведем данное уравнение к интегральному :

Докажем равномерную сходимость последовательных приближений

С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность

непрерывных функций, определенных на некотором отрезке , который

содержит внутри себя точку . Каждая функция последовательности определяется через

предыдущую при помощи равенства

i = 0, 1, 2 …

Если график функции проходит в области Г, то функция определена этим

равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция , нужно,

чтобы и график функции проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок

достаточно коротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка ,

можно достичь того, чтобы для последовательности выполнялись

неравенства:

, i = 1, 2, …,

где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

, i = 1, 2, …,

Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим , например,

на . На этом промежутке все последовательные приближения являются

непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:

что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется , что также

совершенно очевидно. А так как последовательность сходится, то

последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.

Список литературы Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное

издательство физико-математической литературы, 1961

А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998

О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999

А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome