Задачи - упражнение - Теория вероятностей и математическая статистика (1), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи - упражнение - Теория вероятностей и математическая статистика (1), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (112.1 KB)
11 страница
422количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету математика. Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Часть 1.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 11
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи, вариант 1 - задачи - Теория вероятностей и математическая статистика

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Серпуховское представительство

Контрольная работа

По дисциплине:

«Теория вероятности и математическая статистика»

Тема:

«Задачи, вариант 1»

Серпухов, 2008

2

№-1

Задача:

Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок

попадает в цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,7, а третий

- с вероятностью 0,75. Найти вероятность хотя бы одного попадания в

цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение:

Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6 (событие А1),

второй – с вероятностью 0,7 (событие А2), а третий - с вероятностью 0,75

(событиеА3). События независимые, равновозможные, исход испытаний не

меняется.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из событий nААА ....21 ,

независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением

вероятностей противоположных событий _

2

_

1

_

.... nААА :

ngggАР ....1)( 21−=

По условию задачи 6,01 =Р , 7,02 =Р , 75,03 =Р

321 _

3

_

2

_

1 )( gggАААР = ,

где 321 ggg - вероятность событий, противоположных 321 ААА ,

тогда 25,075,011

3,07,011

4,06,011

33

22

11

=−=−= =−=−= =−=−=

Pg

Pg

Pg

следовательно, 97,003,01)25,0*3,0*4,0(1)( =−=−=AP

Ответ: вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый

стрелок сделает по одному выстрелу, равна 0,97.

3

№-2

Задача:

Ожидается прибытие трех судов с фруктами. Статистика показывает, что

1% судов привозят товар, не пригодный к употреблению.

Найти вероятность того, что

а) хотя бы два судна привезут качественный товар;

б) ни одно судно не привезет качественный товар.

Решение:

предположим что –

событие A – когда судно привезет качественный товар

и событие B - когда судно не привезет качественный товар.

Вероятность события B равна 1%, т.е. 01,0)( =BP

Тогда вероятность события A равна 99%, т.е. 99,0)( =AP

Условие, что хотя бы два судна привезут качественный товар:

а) СВАА =21 - событие, состоящее в том, что два судна из трех привезут

качественный товар;

СААА =321 - событие, состоящее в том, что все три судна привезут

качественный товар.

98,0970299,0009801,099,0)01,0*99,0*99,0()()()( 332121 ≈+=+=+= АААРВААРСР

Условие, что ни одно судно не привезет качественный товар:

б) DВВВ =321 - событие, состоящее в том, что все три судна не привезут

качественный товар.

000001,010)01,0()()( 63321 ==== −BBBPDР

Ответ: а) вероятность того, что хотя бы два судна привезут качественный

товар - равна 0,98;

б) вероятность того, что ни одно судно не привезет качественный товар –

равна 0,000001 (достаточно мала).

4

№-3

В среднем 5% студентов финансово-кредитного факультета сдают

экзамен по высшей математике на «отлично». Найти вероятность того,

что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут

экзамен по математике на «отлично»:

а) два студента;

б) не менее пяти студентов.

Решение:

а) Дано: 2

100

05,0

= = =

m

n

p

Найти nmP , -?

Событие А – состоит в том,что 2студента из 100 сдадут экзамен на отлично. По

теореме Пуассона - если вероятностьр наступления события А в

каждом испытании стремится к нулю ( )0( →р при неограниченном

увеличении числа п испытаний )( ∞→п , причем произведение пр

стремиться к постоянному числу )( λλ →пр , то вероятность nmP , того,

что событие А появится т раз в п независимых испытаниях,

удовлетворяет предельному равенству

! )(,lim m

e PP

m

mnm n

λλλ −

∞→ ==

В данной задаче вероятность р - постоянна и мала, число испытаний п -

велико и числопр=λ - незначительно, следовательно, из предельного

равенства вытекает приближенная формула Пуассона:

)( !,

λλ λ

т

m

nm Рm

e P =≈

- функция Пуассона.

505,0*100 ==пр , так как 105 <=λ а 2=т - то для решения задачи

применима таблица значения функции Пуассона, где при данных

значениях 0842,0)( =λтР , т.е вероятность того, что из 100 наудачу

выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» два

5

студента равна - 0,0842.

б) Дано: 5

100

05,0

≥ = =

m

n

p

Найти nmP , -?

Событие А – что 5 или больше студентов сдадут экзамен на отлично.

Вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут

экзамен по математике на «отлично» не менее пяти студентов равна:

100,100100,7100,6100,5 .....)( РРРРАР ++++=

Указанную вероятность найти проще, если рассмотреть решение задачи

через противоположное событие, т.е. из 100 выбранных студентов 4

студента сдадут экзамен по математике на оценку ниже чем «отлично».

)(1)(1)( 100,4100,3100,2100,1100,0 РРРРРАРВР ++++−=−=

По таблице значений функции Пуассона при 105 <=λ и m от 0 до 4,

находим nmP , :

т 0 1 2 3 4

птР , 0,0067 0,0337 0,0842 0,1404 0,1755

Тогда,

56,05595,04405,01)1755,01404,00842,00337,00067,0(1)5(100 ≈=−=++++−=≥тР т.е.

вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен

по математике на «отлично» не менее пяти студентов, равна – 0,5595.

Ответ:

а) вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут

экзамен по математике на «отлично» два студента равна - 0,0842.

б) вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут

экзамен по математике на «отлично» не менее пяти студентов, равна –

0,5595.

6

№-4

Законы распределения случайных величин Х и Υ заданы таблицами:

Х :

0 1 ip ? 0,4

Υ :

iy -1 2 3

ip 0,3 ? 0,5

Найти:

а) вероятности )0( =ХР и )2( =ΥР ;

б) закон распределения случайной величины Υ−Χ=Ζ ;

в) дисперсию )(ΖD .

Решение:

а) Учитывая, что сумма всех вероятностей для каждого распределения

случайных величин равна 1-

∑ ∑ = =

===Χ n

i

n

i ii pхР

1 1

1)(

Находим вероятности )0( =ХР и )2( =ΥР

6,04,01)1(1)0( =−==−==Χ iхpР

2,0)5,03,0(1))3()1((1)2( =+−==+−=−==Υ ii ypypР

Соответственно:

Х :

0 1 ip 0,6 0,4 Υ :

iy -1 2 3

ip 0,3 0,2 0,5

б) Для удобства нахождения всех значений разности Υ−Χ=Ζ и их

вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке

7

которой поместим в левом углу значения разности Υ−Χ=Ζ , а в правом

углу - вероятности этих значений, полученные в результате перемножения

вероятностей соответствующих значений случайных величин Х иΥ :

-1 2 3

jp 0,3 0,2 0,5

ix ip 1 -2 -3

0 0,6 0,18 0,12 0,3 2 -1 -2

1 0,4 0,12 0,08 0,2

Разностью Z случайных величин X-Y называется случайная величина,

которая принимает все возможные значения вида ix - , где

mjni ....2,1;....2,1 == с вероятностями ijP .

Если случайные величины Х иΥ независимы, т.е. независимы любые

события Х = ix и Υ = то по теореме умножения вероятностей для

независимых событий ijP = jiji PPyYPxXP === )(*)(

Так как среди шести значений Z имеются два повторяющихся, то

соответствующие их вероятности складываются по теореме сложения

вероятностей 32.02,012,0)2( =+=−=ZP

В результате получим распределение :Z

kZ -3 -2 -1 1 2

kP 0,3 0,32 0,08 0,18 0,12

Убеждаемся в том, что условие ∑ =

= 5

1

1 k

kP выполнимо -

0,3+0,32+0,08+0,18+0,12=1

в) Для нахождения дисперсии ∑ =

= 5

1

)( i

kk ZPZM , ∑ =

= 5

1

22 )( i

kk ZPZM

8

Вероятность суммы конечного числа независимых событий равна сумме

вероятностей этих событий: )(....)()().....( KPBPAPKBAP ++=++ ,

следовательно, сумма вероятностей событий, образующих полную группу

равна: 1)(....)()( =++ KPBPAP .

Составим таблицу:

kP 0,3 0,32 0,08 0,18 0,12

kZ -3 -2 -1 1 2

kZ * kP -0,9 -0,64 -0,08 0,18 0,24

2 kZ 9 4 1 1 4

2 kZ * kP 2,7 1,28 0,08 0,18 0,48

=)(ZM -0,9-0,64-0,08+0,18+0,24= -1,2

=)(ZM -1,2

=2))(( ZM 1,44

=)( 2ZM 2,7+1,28+0,08+0,18+0,48 = 4,72

=)( 2ZM 4,72

=)(ZD 4,72 – 1,44 = 3,28

=)(ZD 3,28

Дисперсия случайной величины Υ−Χ=Ζ =)(ZD 3,28.

Ответ: Вероятность )0( =ХР =0,6; вероятность )2( =ΥР =0,2;

Υ−Χ=Ζ =)(ZD 3,28

9

№-5

Объем продаж в течение месяца – это случайная величина,

подчиненная нормальному закону распределения с параметрами 500=a и

120=σ . Найти вероятность того, что объем товара в данном месяце

заключен в границах от 480 до 600.

Решение:

Дано: 500=a

120=σ

4801 =x

6002 =x

Найти: )( 21 хХхР ≤≤

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон

распределения (закон Гаусса) с параметрами a и 2σ , если её плотность

вероятности имеет вид:

. 2

1 )(

2

2

2

)(

σ

πσ ϕ

ax

N ex

− =

Математическое ожидание случайной величины X , распределенной по

нормальному закону, равно параметру a этого закона, т.е. aXM =)( , а её

дисперсия – параметру 2σ , т.е. 2)( σ=XD

Вероятность попадания случайной величины X , распределенной по

нормальному закону, в интервал [ ]21 , хх , равна

][ )()( 2

1 )( 1221 ttхХхР Φ−Φ=≤≤ ,

где σ

ax t

−= 11 , σ ax

t −= 22 .

тогда, 167,0 120

500480 1 −≈

−=t 833,0 120

500600 2 ≈

−=t

2

1 )600480( =≤≤ ХР ][ =−Φ−Φ 167,0()833,0(

2

1 ][ 17,0()83,0( Φ+Φ

Значения функции Лапласа определяем по таблице II приложения и

подставляем в формулу:

10

2

1 )600480( =≤≤ ХР ][ =−Φ−Φ 17,0()83,0(

2

1 ][ 1350,05935,0 +

3643,0)600480( ≈≤≤ ХР

Ответ:вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в

границах от 480 до 600, равна 0,3643.

11

Список литература

1Кремер Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».

Учебник для вузов. Москва: изд-во ЮНИТИ, 2003.

2Карасёв А.И. «Теория вероятностей и математическая статистика».

Учебник для вузов. Москва: изд-во Статистика 1979.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome