Метод простой итерации для решения алгебраических и трансцендентных уравнений - конспект - Математика, Конспект из Математика
petr_j
petr_j13 June 2013

Метод простой итерации для решения алгебраических и трансцендентных уравнений - конспект - Математика, Конспект из Математика

PDF (81.3 KB)
2 страница
868количество посещений
Описание
Kazan State Finance and Economics Institute. Лекция конспект по математике. ТЕОРЕМА 1. (Принцип Банаха сжимающихся отображений). Пусть R – полное метрическое пространство. Если сжатие, то для него существует в R единст...
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
§12

§12. Метод простой итерации для решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

ТЕОРЕМА 1. (Принцип Банаха сжимающихся отображений). Пусть R – полное метрическое пространство. Если сжатие, то для него существует в R единственная неподвижная точка, к которой сходится итерационный процесс.

, где - произвольный.

План доказательства. 1. – фундаментальная

(*)

q – коэффициент сжатия .

2. Т.к. R – полное метрическое пространство, то в нем всякая фундаментальная последовательность сходится.

– сходится, , причем , т.е. – неподвижная

точка. 3. – единственна. ЧТД.

- последовательность приближения к решению уравнения

Метод – метод простой итерации.

Если в (*) зафиксировать, а , то

– оценка погрешности, оценка скорости сходимости.

со скоростью геометрической прогрессии.

– линейная скорость сходимости. Метод простой итерации имеет линейную скорость сходимости. Пусть (2), – вещественная функция. Необходимо привести к виду .

, - знакопостоянная непрерывная функция.

Условие сходимости для данного метода: ТЕОРЕМА 2. Пусть выполняются условия: 1. Функция – определена и непрерывна на отрезке и на этом

отрезке удовлетворяет условию Липшица: ;

2. Для начального приближения выполняется условие ;

3. Числа связаны условием .

Тогда уравнение имеет единственное решение в области

, к которому сходится итерационный процесс со скоростью

сходимости .

Теорема доказывается аналогично теореме Банаха с точностью до обозначений. Замечание. Условие Липшица применять трудно, вместо него применяют другое условие:

на отрезке

.

Метод итерация дает бесконечную последовательность приближений, поэтому используют следующие правила остановки: 1. по соседним приближениям

задается уровень останова и момент останова n задается формулой

2. по невязке задается уровень и момент останова n итерационной процедуры задается неравенствами

Метод простой итерации удобен в использовании, так как он легко программируется на ЭВМ. Недостаток: невысокая скорость сходимости, т.е. линейная.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome