Задачи по Финансовой математике, варианты  - упражнение -  Финансовая математика (8), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по Финансовой математике, варианты - упражнение - Финансовая математика (8), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (213.0 KB)
17 страница
415количество посещений
Описание
Задачи по Финансовой математике. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Вариант 8.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 17
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по Финансовой математике, вариант 7 - контрольная работа - Финансовая математика

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Финансовая математика

тема:

«Задачи по Финансовой математике, вариант 7»

Волгоград, 2008

2

СОДЕРЖАНИЕ

ЗАДАНИЕ 1 ............................................................................................................ 3

ЗАДАНИЕ 2 .......................................................................................................... 10

ЗАДАНИЕ 3 .......................................................................................................... 15

3

ЗАДАНИЕ 1

В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от

коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов)

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Y(t) 43 54 64 41 45 58 71 43 49 62 74 45 54 66 79 48

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-

Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 =

0,3; α2 = 0,6; α3 = 0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней

ошибки аппроксимации;

3) Оценить адекватность построенной модели на основе

исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве

критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому

коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32;

• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-

критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные

данные.

Решение

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную

модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

( ) tbatYp ×+= )0()0(

4

Для вычисления данного уравнения строем график для первых 8

наблюдений, на котором с помощью линии тренда выводим линейное

уравнение.

y = 0,8452x + 48,571

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5 6 7 8

Ряд1

Линейный (Ряд1)

Получим линейное уравнение вида: ( ) ttYp 85,057,48 += Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной

модели значений составим таблицу.

Таблица 1

Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели

Находим значения a(t) и b(t) по формуле:

a1=α1* Y1/ F0+(1- α1 )*( a0+ b0)

b1= α3*( a1- a0)+(1- α3)* b0

Для этого находим значения F-3, F-2, F-1, F0 по формуле:

F-3 = 0,5*(Y(1)/ Yp(1)+ Y(5)/ Yp(5))

t Y(t) Yp(t) 1 43 49,42 2 54 50,26 3 64 51,11 4 41 51,95 5 45 52,80 6 58 53,64 7 71 54,49 8 43 55,33

5

Аналогично находятся остальные значения.

Находим параметры модели F(t) по формуле:

F(t)= α2* Y(t)/ a t +(1- α2 ) *F(0)

Построим модель Хольта-Уинтерса.

Таблица 2

Модель Хольта-Уинтерса

Tаблица 2. Построение модели Хольта-Уинтерса t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t) Абс.погр. Отн.погр. E(t) в %

0 48,58 0,845 0,861 1 43,0 49,58 0,891 0,865 42,56 0,44 1,02 2 54,0 50,36 0,859 1,074 54,39 -0,39 0,72 3 64,0 50,89 0,758 1,266 65,43 -1,43 2,23 4 41,0 51,86 0,823 0,788 40,44 0,56 1,37 5 45,0 52,49 0,765 0,860 45,56 -0,56 1,24 6 58,0 53,47 0,830 1,081 57,21 0,79 1,36 7 71,0 54,84 0,992 1,283 68,72 2,28 3,21 8 43,0 55,46 0,881 0,780 43,97 -0,97 2,26 9 49,0 56,53 0,936 0,864 48,47 0,53 1,08

10 62,0 57,44 0,928 1,080 62,09 -0,09 0,15 11 74,0 58,16 0,866 1,277 74,88 -0,88 1,19 12 45,0 58,62 0,745 0,773 46,05 -1,05 2,33 13 54,0 60,30 1,025 0,883 51,31 2,69 4,98 14 66,0 61,26 1,007 1,078 66,23 -0,23 0,35

15 79,0 62,15 0,972 1,273 79,50 -0,50 0,63 16 48,0 62,83 0,881 0,767 48,78 -0,78 1,63

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда

E(t) (разности )()( tYtY p− между фактическими и расчетными значениями

экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям

(точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим

таблицу 3.

6

Таблица 3

Таблица 3 Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t Факт Отклон Точки E(t-1) E(t)-E(t-1) графа 7 в E(t)*E(t- 1) |E(t)|/Y(t)

Y(t) E(t) поворота квадрате %

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 43,0 0,44 хххх 0,19 - - - - 1,02 2 54,0 -0,39 0 0,15 0,44 -0,83 0,69 -0,17 0,72 3 64,0 -1,43 1 2,04 -0,39 -1,04 1,08 0,56 2,23 4 41,0 0,56 1 0,31 -1,43 1,99 3,96 -0,80 1,37 5 45,0 -0,56 1 0,31 0,56 -1,12 1,25 -0,31 1,24 6 58,0 0,79 0 0,62 -0,56 1,35 1,82 -0,44 1,36 7 71,0 2,28 1 5,20 0,79 1,49 2,22 1,80 3,21 8 43,0 -0,97 1 0,94 2,28 -3,25 10,56 -2,21 2,26 9 49,0 0,53 1 0,28 -0,97 1,50 2,25 -0,51 1,08

10 62,0 -0,09 0 0,01 0,53 -0,62 0,38 -0,05 0,15 11 74,0 -0,88 0 0,77 -0,09 -0,79 0,62 0,08 1,19 12 45,0 -1,05 1 1,10 -0,88 -0,17 0,03 0,92 2,33 13 54,0 2,69 1 7,24 -1,05 3,74 13,99 -2,82 4,98 14 66,0 -0,23 0 0,05 2,69 -2,92 8,53 -0,62 0,35

15 79,0 -0,50 0 0,25 -0,23 -0,27 0,07 0,12 0,63

16 48,0 -0,78 хххх 0,61 -0,50 -0,28 0,08 0,39 1,63

136 896 0 8 20,07 47,53 -4,06 25,75

Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная

погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на

фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в

среднем не превышает 5%.

25,75/16=1,61

Так как E(отн)=1,61 < 5% , то модель признается точной.

Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд

остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости

последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней

остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек.

Для этого каждый уровень ряда Е ( )t сравниваем с двумя соседними. Если он

== ∑ %100*)( )(

* 1

tY

tE

N Eоот

7

больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается

поворотной и в гр. 3 табл. 3 для этой строки ставится 1, в противном случае в

гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3 табл. 3 ставится прочерк

или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=8.

Рассчитаем значение q :

( ) ( )[ ]90/291623/22int −−−= NNq Функция int означает, что от полученного значения берется только

целая часть. При N = 16.

( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] 616,6int18,333,9int90/22723/28int90/29161623/2162int ==−=−=−×−−=q

Так как количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие

случайности уровней ряда остатков выполнено. Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия

автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни

d1=1,10 и d2=1,37):

( ) 37,2

09,20

57,47

)(

)1()( 2

2

== −−

= ∑

tE

tEtE d

Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:

63,137,24/ =−=d

Условие выполнено (1,37<1,63<2), следовательно, уровни ряда Е(t)

являются независимыми.

2) по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

[ ] 20,0

09,20

09,4

)(

)1()( )1(

2 −=−=

−× =

∑ ∑

tE

tEtE r

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента

автокорреляции меньше критического значения )1(r < rтабл., то уровни ряда

остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32.

Имеем: )1(r =0,20 < rтабл. = 0,32 – значит уровни независимы.

8

Проверка соответствия ряда остатков нормальному

распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

( ) SEERS /minmax −= ,

где maxE - максимальное значение уровней ряда остатков ( )tE ;

minE - минимальное значение уровней ряда остатков ( )tE ;

S – среднее квадратическое отклонение.

EmaxEmin = 2,69 – (-1,43) = 4,13

16,1 15

09,20

1

)( 2 ==

− = ∑

N

tE S

57,316,1/13,4/)( minmax ==−= SEERS

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к.

полученное значение RS (3,57)попадает в заданный интервал

(3,00<3,57<4,21).

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены.

Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и

возможности проведения прогноза показателя Yp(t) на год.

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по

t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны

коэффициенты ( )ta и ( )tb определяется количеством исходных данных и

равно 16. Рассчитав значения ( )16a и ( )16b по формуле:

( ) ( ) ( )[ ] ( )LktFtbktaktYp −+××+=+ ,

где k – период упреждения;

( )tYp - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

( ) ( ) ( )tFtbta и , - коэффициенты модели;

( )LktF −+ - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности.

9

Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для:

t = 17, 18, 19 и 20.

[ ] [ ] 25,568832,088,0181,62)13()16(1)16()17( =××+=××+= FbaYp [ ] [ ] 65,690785,188,0281,62)14()16(2)16()18( =××+=××+= FbaYp

[ ] [ ] 36,832735,188,0381,62)15()16(3)16()19( =××+=××+= FbaYp [ ] [ ] 92,507676,088,0481,62)16()16(4)16()20( =××+=××+= FbaYp

На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических

и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на

год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с

фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Сопоставление расчетных и фактических данных

y = 0,8452x + 48,571

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

квартала

с у м м а

к р е д и т а

Ряд1

Y(t)

Yp(t)

Линейный (Ряд1)

Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных

10

ЗАДАНИЕ 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10

дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Дни Цены

макс. мин. закр. 1 858 785 804 2 849 781 849 3 870 801 806 4 805 755 760 5 785 742 763 6 795 755 795 7 812 781 800 8 854 791 853 9 875 819 820

10 820 745 756 Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент;

скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R, % К, % D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно

выполнить на основании имеющихся данных.

Решение

Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся

формулой:

1)1( −×−+×= ttt EMAkCkEMA ,

где k = 2 / (n + 1),

tC - цена закрытия t-го дня;

tEMA - значение EMA текущего дня t.

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня tC и

цены n дней тому назад ntC − :

nttt CCMOM −−=

где tC - цена закрытия t-го дня.

tMOM - значение МОМ текущего дня t.

Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены

текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

11

%100×= −nt

t t C

C ROC ,

где tC - цена закрытия t-го дня.

tROC - значение ROC текущего дня t.

Для расчета индекса относительной силы используем формулу:

ADAU RSI

/1

100 100

+ −= ,

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Таблица 1

Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней, момента, скорости изменения цен

Исходные данные Экс.ск.ср.

Расчет индексов MOM, ROC, RSI (осцилляторы)

t H(t) L(t) C(t) EMA(t) MOM(t) ROC(t) изменен. повышен. понижен. AU(t,5) AD(t,5) RSI(t) 1 858 785 804 2 849 781 849 45 45 0 3 870 801 806 -43 0 43 4 805 755 760 -46 0 46 5 785 742 763 796,4 3 3 0 6 795 755 795 795,93 -9 99 32 32 0 80 89 47 7 812 781 800 797,29 -49 94 5 5 0 40 89 31 8 854 791 853 815,86 47 106 53 53 0 93 46 67 9 875 819 820 817,24 60 108 -33 0 33 93 33 74

10 820 745 756 796,83 -7 99 -64 0 64 90 97 48

Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:

)/()(100% 555 LHCHR tt −−×= ,

где tR% - значение индекса текущего дня t;

tC - цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 – минимальная и максимальные цены за n предшествующих

дней, включая текущие.

12

)/()(100% 555 LHLCK tt −−×= ,

где % - значение индекса текущего дня t;

tC - цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих

дней, включая текущие.

Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь

разницей, что при его построении величины )( 5LC t − и )( 55 LH − сглаживают,

беря их трехдневную сумму.

100 )(

)( %

2 55

2 5

× −

− = ∑

−=

−= t

ti

t

ti t

t

LH

LC D

Таблица 2

Результаты расчетов %R, %К, %D

Расчет индексов %K, %R, %D (стохастические линии)

t H(t,5) L(t,5) C(t)-L(t,5) H(t,5)-C(t) H(t,5)-L(t,5) %K %R sum(C-

L) sum(H-

L) %D 1 2 3 4 5 870 742 21 107 128 16 84 6 870 742 53 75 128 41 59 7 870 742 58 70 128 45 55 132 384 34 8 854 742 111 1 112 99 1 222 368 60 9 875 742 78 55 133 59 41 247 373 66

10 875 745 11 119 130 8 92 200 375 53

Представим полученные данные в графическом виде

Биржевая диаграмма исходных данных

13

650

700

750

800

850

900

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

H(t)

L(t)

C(t)

График исходных данных C(t) и экспоненциальной скользящей средней

ЕМА(t)

740

760

780

800

820

840

860

0 2 4 6 8 10 12

исходные данные

ЕМА

График момента MOM(t)

График момента MOM(t)

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 2 4 6 8 10 12

График момента MOM(t)

14

График индекса относительной силы RSI(t)

График индекса относительной силы RSI(t)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12

График индекса относительной силы RSI(t)

График скорости изменения цен ROC(t)

График скорости изменения цен ROC(t)

50

60

70

80

90

100

110

120

0 2 4 6 8 10 12

График скорости изменения цен ROC(t)

Стохастические линии %R, %K, %D

Стохастические линии

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

%Kt

%Rt

%Dt

Сt/10

15

ЗАДАНИЕ 3

3.1. Банк выдал ссуду, размером 5 000 000 руб. Дата выдачи ссуды

08.01.02, возврата 22.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день.

Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 55% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

3.1.1) К = 365, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73 / 365 = 550 000,00 руб.

3.1.2) К = 360, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73 / 360 = 557 638,89 руб.

3.1.3) К = 360, t = 74, I = 5 000 000 х 0,55 х 74 / 360 = 565 277,78 руб.

3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 5 000

000 руб. Кредит выдан под 55% годовых (проценты обыкновенные). Какова

первоначальная сумма и дисконт?

Решение

P = S / (1 + ni) = 5 000 000 / (1 + 0,55 х 90 / 360) = 4 395 604,40 руб.

D = SP = 5 000 000 – 3 395 604,40 = 604 395,60руб.

3.3. Через 90 предприятие должно получить по векселю 5 000 000 руб.

Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной

ставке 55% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную

предприятием сумму и дисконт.

Решение

D = Snd = 5 000 000 x 0,55 х 90 / 360 = 687 500,00 руб.

P = SD = 5 000 000 – 687 500,00= 4 312 500,00 руб.

16

3.4. В кредитном договоре на сумму 5 000 000 руб. и сроком на 5 лет,

зафиксирована ставка сложных процентов, равная 55% годовых. Определить

наращенную сумму.

Решение

S = P x (1+i)n = 5 000 000 х (1+0,55)5 = 44 733 048,44 руб.

3.5. Сумма размером 5 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты

сложные, ставка 55% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году.

Вычислить наращенную сумму.

Решение

N = 5 x 4 = 20

S = P x (1+j / m)N = 5 000 000 х (1 + 0,55 / 4)20 = 65 765 497,67 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет

проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 55% годовых.

Решение

= (1 + j / m) m - 1 = (1 + 0,55 / 4)4 – 1 = 0,6742, т.е. 67,42%.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при

начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку

55% годовых.

Решение

j = m x [(1 + ) 1/m - 1] = 4 x [(1 + 0,55)(1/4) – 1] = 0,46316, т.е. 46,316%.

3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 5 000 000 руб.

Определить ее современную стоимость при условии, что применяется

сложная процентная ставка 55% годовых.

Решение

,558870)55,01( 000 000 5 )1(

1 )5( =+×== +

= −n n

Sv i

SP руб.

17

3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 5 000 000

руб. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых. Определить дисконт.

Решение

P = S (1 – dсл) n = 5 000 000 x (1 – 0,55)5 = 92 264,06 руб.

D = SP = 5 000 000 – 92 264,06 = 4907735,94 руб.

3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года

поступает по 5 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты

по сложной годовой ставке 55%. Определить сумму на расчетном счете к

концу указанного срока.

Решение

48,90130664 1)4/55,01(

1)4/55,01( 000 000 5

1)/1(

1)/1( 4

)45(

= −+

−+×= −+ −+×=

×

m

mn

mj

mj RS руб.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome