Интеграл по комплексной переменной - конспект - Математика, Конспект из Математика
petr_j
petr_j13 June 2013

Интеграл по комплексной переменной - конспект - Математика, Конспект из Математика

PDF (148.8 KB)
20 страница
399количество посещений
Описание
Kazan State Finance and Economics Institute. Лекция конспект по математике. О ограниченности интеграла ТЕОРЕМА КОШИ
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 20
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
???????? ?? ??????????? ??????????

Интеграл по комплексной переменной. Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно

изменяющуюся касательную. Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из

конечного числа гладких дуг. Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана

кусочно-гладкая кривая С длиной �, используя параметрическое задание кривой С зададим ��t��и�� (t), где ��и���являются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть �<= t<=���причем ��и ��могут быть бесконечными числами .�

�Пусть�� и ��удовлетворяют условию : [�‘(t)]2 + [�‘(t)]2 � 0. Очевидно, что задание координат � =��t��и���� (t), равносильно заданию комплексной функции � (t)= ��(t) ��i�(t).

Пусть в каждой точке � (t) кривой С определена некоторая функция f (� ). Разобьем кривую С на n – частичных дуг точками деления �0 , �1 , �2 , …, ��n-1 соответствующие возрастающим значениям параметра t, т.е. t0, t1, …, t i+1 > t i.

�� i =� i – � i-1. Составим интегрируемую функцию S = �f (�*)�� i . (1) где �*– производная точки этой дуги.

Если при стремлении max |�� i |� 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек � i , то этот предел называется интегралом от функции f (� ) по кривой С.

(2)

f (�i* ) = u (Pi*) + iv (Pi*) (3) где �� i = ���(t) ��i��(t) (��(t) и��(t) - действительные числа) Подставив (3) в (1) получим :

(4)

Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при �� и �� ��0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем :

(5)

Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f (� ).

Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства :

О ограниченности интеграла.

При этом z = � (� ).

7.) Пусть Cp – окружность радиуса �, с центром в точке Z0. Обход вокруг

контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp : � = Z0 + ��ei�, 0 � � 2�,

d� = i��ei� d .

Кусочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру – контурным интегралом.

ТЕОРЕМА КОШИ. В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором

внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения :

Для действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:

( 8 )

ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю.

Доказательство : из формулы (5) следует:

Т.к. f(� ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов:

Аналогично :

По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :

ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f(�) является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю.

TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) : Пусть f (�) является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, .. ,Сn (см. рис.). Пусть f (�) непрерывна в замкнутой области G, тогда :

, где С – полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, .. , Сn. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.

Неопределенный интеграл. Следствием формулы Коши является следующее положение : пусть f(Z)

аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z0 и обозначим: интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0

и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство : Ф� (Z) = f( Z).

Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство :

( 9)

Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.

Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.

Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными

значениями этой функции. Пусть функция f(Z) – аналитическая функция в односвязной области G,

ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z0 и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию (Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z0. Проведем контур � с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и �. Согласно теореме

Коши имеем :

По свойствам интегралов :

(2 ) Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то

и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве � окружность �� с радиусом � . Тогда:

(3)

Уравнение окружности �� : � = Z0 + �ei��������� (4) Подставив (4) в (3) получим :

( 5 )

( 6 )

(7)

Устремим ��� 0, т.е. �� 0. Тогда т.к. функция f(�) аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех �>0

существует �>0, что для всех � из �–окрестности точки Z0 выполняется | f(�) – f(Z0) | < �.

(8)

Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :

Подставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :

(9)

Это интеграл Коши. Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f(�) в некоторой точке Z0 через ее

значение на произвольном контуре � , лежащем в области аналитичности функции f(�) и содержащем точку Z0 внутри.

Очевидно, что если бы функция f(�) была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы � в формуле (9) можно было использовать контур С.

Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.

Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :

При Z0 � Г указанный интеграл не существует.

Интегралы, зависящие от параметра.

Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования � и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0.

Пусть задана функция двух комплексных переменных � (Z, � ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. �= �+ i�� � С. (С - граница G).

Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция � (Z, � ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений ���� С является аналитической в области G. 2) Функция � (Z, � ) и ее производная ����� являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и � при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :

Интеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула :

(2)

Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.

ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула :

(3)

С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.

ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.

Разложение функции комплексного переменного в ряды.

Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :

Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:

(2) – разложение в ряд Тейлора.

Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 |<R, где R – радиус сходимости ряда (2).

Функция f (z), которая может быть представлена в виде ряда (2) является аналитической функцией. Неаналитическая функция в ряд Тейлора не раскладывается.

(3)

(4)

(5)

Причем | Z | < R, R ���� .

Формулы ЭЙЛЕРА. Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;

(6) Аналогично взяв Z = - ix получим :

(7) Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера :

(8)

В общем случае : (9)

Известно, что :

(10)

Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами:

Ряд ЛОРАНА. Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге

радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем. ТЕОРЕМА 1.

Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0.

Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.

Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку ��, тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе. Выполняется условие для существования интеграла Коши :

(13)

(11)

Поскольку

, то выражение можно представить как сумму

бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , т.е. :

(12)

Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на 1/(2�i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл (13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов :

Обозначая , получим : (14)

Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с рядом

(2) находим, что

(15)

ТЕОРЕМА 2. Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в

точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0 |, то она представляется рядом :

(16) где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь

угодно большое число). Если обозначить (17) , получим :

(18)

ТЕОРЕМА 3. Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z0 |<R, где 0�

Z<R<� , то она раскладывается в сходящийся степенной ряд :

(19)

f1 и f2 можно представить в виде двух рядов :

(20)

(21)

Ряд (19) – ряд Лорана, при этом ряд (20) сходится в круге радиуса R, ряд (21) сходится вне круга радиуса R функции f2(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между r и R.

f1(Z) – правильная часть. f2(Z) – главная часть ряда Лорана. Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части.

Классификация изолированных особых точек. Вычеты.

Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z0 � G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается. Рабочая точка Z=Z0 функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0|<R называется изолированной, если функция f(Z) в каждой точке этого круга аналитична, кроме самой точки Z=Z0. В зависимости от поведения функции f(Z) в окрестности изолированных особых точек последние классифицируются на :

1) Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует , где А – конечное число.

2) Если для особой точки существует предел , то такая

особая точка называется полюсом. 3) Если не существует, то точка Z=Z0 называется существенной

особой точкой. Если С-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка.

Пусть f(Z0)=C0 и C-n для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n � m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет являться полюсом порядка m.

При m>1 такой полюс будет называться простым.

, если m ��� , то в этом случае в точке

Z=Z0 имеем существенную особенность. Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z0|<R, ограничивающем

изолированную особую точку Z=Z0 называется интеграл : , где L

– ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге радиуса R, содержащем Z0. Вычет существует только для изолированных особых точек. Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Z0 равен первому коэффициенту ряда главной части Лорана :

Если полюс имеет кратность m � 1, то для определения вычетов используется формула :

(3)

при m=1 :

Основная теорема о вычетах. Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a1,

a2, …, ak. � –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя

эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интеграл равен

сумме вычетов относительно a1, a2, …, ak и т.д. умноженный на 2�i :

(5)

Пример :

Найти вычет

Особые точки : Z1=1, Z2= - 3. Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка. Используем формулу (3) :

Интегральные преобразования.

Операционное исчисление и некоторые его приложения.

Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :

1)

2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).

3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0�0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me S0t

Рассмотрим функцию f(t)�e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b). (1)

Применим к этому соотношению формулу Эйлера :

Проинтегрировав это равенство получим :

(2)

Оценим левую часть равенства (2) :

А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t

В случае если a>S0 имеем :

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).

Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :

(3)

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.

f(t) � F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.

- это оператор Лапласа.

Смысл введения интегральных преобразований. Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения

удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.

Теорема единственности: если две функции �� t���и���t� имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.

Изображение функций �0(t), sin (t), cos (t).

Определение: называется единичной функцией.

Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :

Изображение единичной функции

Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :

интегрируя по частям получим :

т.е.

Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области

преобразований. Откуда :

Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.

где а – константа.

Таким образом :

и

Свойства линейности изображения. Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные

равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.

Если , то , где

Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(�+p) является изображением функции e-�t f(t) (4)

Доказательство : Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)

Что и требовалось доказать.

Таблица основных изображений: F(p) f(t) F(p) f(p)

1

Изображение производных. Теорема. Если , то справедливо выражение :

(1) Доказательство :

(2)

(3) Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции

Лапласа имеем :

Что и требовалось доказать.

Пример: Решить дифференциальное уравнение :

Если x(0)=0 и x’(0)=0

Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений.

Изображающее уравнение :

Теорема о интегрировании оригинала. Пусть находится в области

оригиналов, , тогда также оригинал, а его изображение .

Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.

Теорема о интегрировании изображений : Пусть – функция оригинал,

которая имеет изображение и также оригинал, а - является

сходящимся интегралом, тогда .

Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до � в области изображений.

Понятие о свертке функций. Теорема о свертке. Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям

существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :

(1)

Свертка обозначается следующим образом : (1’)

Равенства (1) и (1’) идентичны. Свертка функции подчиняется переместительному закону. Доказательство:

Теорема о умножении изображений. Пусть и ,

тогда произведение изображений представляется сверткой оригиналов

. Доказательство : Пусть изображение свертки

(1)

Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и � . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и � входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.

Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).

Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.

Теорема Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что

, тогда .

В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда

(2)

Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.

Обратное преобразование Лапласа.

- Это прямое преобразование Лапласа.

Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :

, где s – некоторая константа.

Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.

Теоремы разложения. Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму

элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения. Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции,

тогда эта функция представляется в виде , k – постоянная, может быть сколь

угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство

оригиналов с помощью формулы : .

Вторая теорема разложения. Если изображение представляется

дробно-рациональной функцией . Степень числа s меньше степени

знаменателя n, знаменатель имеет корни �1, �2, …, � n соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :

(3)

Например :

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа. Преобразование Лапласа имеет вид :

(1)

На f(t) наложены условия : 1) f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-� ; � ) 2) f(t)�� 0 , t � (- � ;0) 3) При M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me S0t

Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :

(2)

Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа. Пусть в (1) и (2) p =a + in, где a и n – действительные числа. Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.

(4)

(5)

(4) и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.

Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :

1) Должна быть определена на промежутке (-� ; � ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

2) Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.

3) Функция абсолютно интегрируема : , это условие

выполняется, если |f(t)|<Me S0t

Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t) = C

Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :

т.к.

Если f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.

Если f(t) � 0, t<0

(6)

Обозначим

Очевидно, что (6’) Функция (6) называется спектральной плотностью

В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :

1) Вычисление интеграла (5) 2) Использование преобразования Лапласа или Фурье.

Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.

Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной

(7) |F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, � (u) – фазовый угол. В алгебраической форме : F(iu) = a(u) +ib(u)

(8)

(9)

Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол � (u).

Пример.

Найти спектральную плотность импульса :

откуда , далее

Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.

Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.

Прямое преобразование Фурье необходимо : 1) Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных

уравнений. 2) Для исследования амплитудной и частотной характеристик

спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси. Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно

интегрируемых функций: Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по

Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu.

Спектральной плотностью F1(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iu�) абсолютно интегрируемой функции.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome