Задачи, варианты - упражнение - Финансовая математика (10), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи, варианты - упражнение - Финансовая математика (10), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (466.1 KB)
17 страница
1000+количество посещений
Описание
Задачи. Упражнения по предмету финансовая математика. Задачи с решениями. Упражнения с ответами. Разные варианты. Вариант 10.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 17
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по финмат, вариант 9 - контрольная работа - Финансовая математика

Министерство образования Российской Федерации

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Кафедра математики и информатики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Финансовая математика

тема:

«Задачи по финмат, вариант 9»

Уфа – 2007 г.

Задания к контрольной работе.

Задание 1.

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от

коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года

(всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с

учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1 =0,3; α2=0,6;

α3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней

относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические

значения d1, = l,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при

критическом значении r1 =0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по

R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Таблица №1 - Исходные данные.

Квартал Вариант 1

1 41

2 52

3 62

4 40

5 44

6 56

7 68

8 41

9 47

10 60

11 71

12 44

13 52

14 64

15 77

16 47

Решение:

Исходные данные: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Y(t) 41 52 62 40 44 56 68 41 47 60 71 44 52 64 77 47 1. Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса

Линейная модель имеет вид: Yp = a(0) + b(0)*t

Согласно методу наименьших квадратов:

∑ ∑

− −×−

= 2)tcpt(

)tcpt()Ycp)t(Y( )0(b ; tcp)0(bYcp)0(a ×−= ;

N

N tcp ∑=

Все расчеты произведем в таблице

Уравнение с учетом найденных коэффициентов имеет вид: Yp = 49,6 +

0,4*t. Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их

с фактическими значениями:

Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения

коэффициентов сезонности кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) Эти значения

необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2),

F(3), F(4) и других параметров модели Хольта –Уинтерса.

Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t), F(T) для t=1 значения параметров

сглаживания α1=0,3, α2=0,6, α3=0,3.

2. Проверка качества модели

Промежуточные значения для оценки адекватности модели

2) Проверка точности модели

%100 y

E

n

1 E

t

t OTH ×= ∑ ,

Еотн<5% - модель значима с высокой степенью точности

3. Проверка адекватности модели

а) проверка случайности уровней:

Гипотеза подтверждается, если qP > , где  

  

 −−−= 90

29n16 2)2n(

3

2 intq .

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть.

Тогда рассчитав, получим q= int (2/3*(16-2) -2* 90

2916*16 − ) = 6.

Из таблицы Р = 10, т.е. можно заключить, что гипотеза выполнена.

б) проверка независимостей уровня ряда остатков (отсутствия

автокорреляции)

- по критерию Дарбина - Уотсона: табличные значения d1 = 1,08, d2 =

1,36. [ ]

2

t

2

)1t(t

E

EE d

∑ ∑ −−=

неоднозначный ответ

- по первому коэффициенту корреляции: ∑

∑ −×= 2)t(E

)1t(E)t(E )1(r

Критический уровень для N<15 (табличное значение) rкр = 0,32,

т.к. |r(1)| ≤ rкр – сильная автокорреляция

в) Расчет нормальности распределения остаточной компоненты по RS-

критерию с критическими уровнями 3 - 4,21

S

EE RS minmax

−= , где 1n

E S

2 t

− = ∑

т.е. можно заключить, что распределение нормальное.

г) Значимость коэффициентов регрессии аj оценим с помощью t-критерия

Стьюдента: S

xxb t

i∑ −= 2)(||

Табличное значение t для вероятности 95% и v1=n-k-1=14: tтабл=2,15

Т.к. tрасч>tтабл, то параметр b статистически значим

4. Построение точечного прогноза

5.Отразим на графике расчетные, фактические и прогнозные данные.

Сопоставление фактических Y(t) и расчетных Yp(t) данных

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Y(t) Yp(t)

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.

Интервал сглаживания принят равным пяти дням. Рассчитать:

- экспонциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить

на основании имеющихся данных.

Таблица № 2 - Исходные данные.

Вариант 1

Дни

Цены

макс. мин. закр.

1 998 970 982

2 970 922 922

3 950 884 902

4 880 823 846

5 920 842 856

6 889 840 881

7 930 865 870

8 890 847 852

9 866 800 802

10 815 680 699

Решение:

Введем исходные данные в ячейки В2:Е13.

Расчет проведем в таблице.

Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА) определяется по формуле: EMAt = Ct*K + EMAt-1*(1- K) ,

где Ct - цена закрытия i-го дня ( i = (t –n +1),…,t); n - интервал сглаживания (n = 5) K = 2/(n+1) = 2/(5+1)= 0,33, запишем это значение в ячейку D$19. ЕМА5 = (С1+С2+С3+С4+С5)/n, в ячейку С33 введем формулу:

==СУММ(B29:B33)/5. ЕМА6 =С6*K+EMA5*(1-K), в ячейку С34 введем формулу:

=B34*D$19+C33*(1-D$19), аналогично заполним ячейки С35:С38 формулами.

Момент (МОМ): МОМt = Ct - Ct-n

Положительное значение МОМ свидетельствует о росте цен.

Momentum. Результат расчета

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Движение графика вверх (7-9 день) в зону положительных значений

является относительным сигналом к покупке, а движение графика вниз (9 - 10 день) в зону отрицательных значений является относительным сигналом к продаже.

Скорость изменения цен (ROC): ROCt = Ct/Ct-n *100%

Индекс скорости изменений цен ROC

95

100

105

110

115

120

125

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ROC является отражением скорости изменения цены , а также указывает

направление этого изменения. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Нахождения индекса выше линии 100 и положительная динамика в 7-9 дни говорит о сигнале к покупке. На 7-8 день скорость изменения цен была максимальной.

Индекс относительной силы (RSI): RSI = 100 - 100/(1+AU/AD),

где AU - сумма приростов конечных цен за n дней; AD - сумма убыли конечных цен за n дней.

Рассчитаем сумму повышений:

Рассчитаем сумма понижений:

Индекс силы рассчитаем в ячейках J34:J38. В ячейку J34 введем формулу

=100-100/(1+H34/I34), в остальных проделаем те же операции.

Индексотносительной силы RSI

80

82

84

86

88

90

92

94

96

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25-20, а

перекупленности - выше 75-80. Сигналом служит разворот RSI в указанных зонах и выход из нее. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вошел в зону, ограниченной линией 80%, на 6-10 день. Это значит, что цены поднялись слишком высоко, надо ждать их падения и подготовится к продаже. Сигналом к продаже послужит момент выхода графика из зоны перепроданности.

Стохастические линии Смысл индексов %К и %R состоит в том, что при росте цен цена закрытия

бывает ближе к максимальной цена ,а при падении цен, наоборот, ближе к минимальной. Индексы %R и %К проверяют куда больше тяготеет цена закрытия.

Значение индекса текущего дня: %Кt =100(Ct - L5)/(H5-L5)

%R = (Ct-L5)/ (H5-L5)*100%

100 )LH(

)LC( D% t

2ti 55

t

2ti 5i

⋅ −

− = ∑

−=

−= %

L5, H5 - соответственно минимальная и максимальная цены за предшествующие 5 дней;

Ct – цена закрытия текущего дня.

Критические значения %К практически во все дни анализа (зона

перекупленности) свидетелствует о том, что можно ожидать скорого разворота

тренда, т.е. падения цен. Как видно из графика и из таблицы если цена

закрытия ближе к максимальной цене, то наблюдается рост цен , в противном

случае,падение.

Ценовой график в виде японских свеч

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Задание 3.

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные,

приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в

виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях,

Тлет - время в годах, i - ставку в процентах и т.д. По именам переменных из

таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения

параметров и выполнить расчеты.

3.1 Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - Тн, возврата - Тк.

День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются

по простой процентной ставке i% годовых.

Найти:

1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

3.2 Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб.

Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова

первоначальная сумма и дисконт?

3.3 Через Tдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк

приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i%

годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием

сумму и дисконт.

3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет, зафиксирована

ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную

сумму.

3.5 Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные,

ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить

наращенную сумму.

3.6 Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет

проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов

т раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i % годовых.

Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее

современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная

ставка i% годовых.

Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель

по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

3.10. В течение Тлет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S

руб., на которые т раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке

i %. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

ЗАДАНИЕ 3 Сумма, S 4 500 000 руб. Дата начальная, Тн 09.01.2002 Дата конечная, Тк 21.03.2002 Время в днях, Тдн 90 Время в годах, Тлет 5 Ставка, i 50 % Число начислений, m 4 Решение:

1 Используя формулы: I = P*n*i и n = t/K получим: I = S*i*t/K, где I - сумма процентов, S - наращенная сумма, i - ставка - срок ссуды в днях, K - число дней в году (временная база).

1.1 Точный процент с точным числом дней ссуды

К =365 - количество дней в году, точное количество дней за данный срок: t = 71

I = S*i*t/K =4500000*0,5*72/365= 437 671,23 руб. 1.2. Обыкновенный процент с точным числом дней ссуды

Берем год условно состоящий из 12 месяцев по 30 дней, т.е. К =360 и точное количество дней за данный срок: t = 71

I = S*i*t/K =4500000*0,5*72/360= 443 750,00 руб. 1.3. Обыкновенный процент с приближенным числом дней ссуды

К =360, так как берется приближенное число дней ссуды (30 дней в месяце), то t = 72

I = S*i*t/K =4500000*0,5*73/360= 450 000,00 руб.

Т.о., с точки зрения кредитора выгоднее вести расчеты точными процентами с точным числом дней ссуды, так как начисляются прценты.

С точки же зрения банка предпочтителен расчет обыкновенными процентами с приближенным числом дней ссуды

2. Произведем расчет по следующим формулам: P= S / (1+ n*i), где P - первоначальная сумма, S - наращенная сумма процентов, n - продолжительность периода начисления

D = S - P, где D - дисконт

Первоначальная сумма: P= S / (1+ n*i)

=4500000/(1+0,5*90/360)= Дисконт: D = S - P = Т.е. первоначальная сумма должника 90 дней назад составляла а величина дисконта за этот период составила 500 000,00 руб. 3. Дисконт расчитывается по формуле:D = S*n*d, где где n - cсрок ссуды, n= Tдн/K, Тдн - число дней в году D = S*n*d =4500000*0,5*90/360= 562 500,00 руб. где Полученная сумма составит: P = S - D = 3 937 500,00 руб.

Т.о., предприятие получит 3 937 500,00 рублей, и величина дисконта,

с которым банк приобрел вексель составил 562 500,00 руб.

4. Воспользуемся формулой S =P (1 + i)n , где S - наращенная сумма,(1 + i)n- множитель наращения , i- годовая ставка n - срок ссуды

S =4500000*(1+0,5)5= 34 171 875,00 руб. где Через 5 лет на кредит в размере 4 500 000,00 рублей буде наращена сумма

5. Используем формулу: S =P * (1 + j / m)N, где j / m - стака, по которой каждый раз начиляются проценты, j - номинальная периодов начислений

S =4500000*(1+0,5/4)20= 47 452 922,29 руб. где 5*4=20

За 5 лет наращенная сумма при таком начислении составит 47 452 922,29 руб

6. Воспользуемся формулой расчета эффективной ставки процента: iэф =(1 + j/m)m - 1 , где m - количество раз начислений году

iэф =(1 + 0,5/4)4 -1= 0,602 или 60,2% Если банк начисляет проценты 4 раз в году, исходя из номинальной ставки эффективная ставка процента составит 60,2% 7. Определим номинальную ставку по формуле: j = m*((1 + iэф)1/m - 1) , гд все составляющие формулы описаны выше j = 4*((1+0,5)1/4 - 1)= 0,427 или 42,7% Если проценты начисляются 4 раза в год номинальная ставка должна быть чтобы обеспечить эффективную ставку в размере 50 % годовых 8. Современная стоимость определяется по формуле: P= S/(1+i)n P= S/(1+i)n = 4500000/(1+0,5)5= 592 592,59 руб. где

Современная стоимость предприятия при данных условиях составит 592 592,59 рублей что меньше суммы, которая будет выплачена в будущем. 9. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле P= S*(1-dсл)n , где dсл - сложная годовая

P= 4500000*(1-0,5)5= 140 625,00 руб. где Дисконт составит D = S - P = 4 359 375,00 руб. Дискон по учтенному банком векселю составит 4 359 375,00 руб.

10. Наращенная сумма расчитывается по формуле S = R*((1 +j/m)mn - 1)/((1 +j/m)m - 1) где R =

S =4500000*((1+0,50/4)20-1)/((1+0,50/4)4 -1)= 71 373 294,00 руб. Сумма на расчетном счете к концу указанного срока составит 71 373 294 руб

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome