Задачи по Финансовой математике  - упражнение -  Финансовая математика (8), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по Финансовой математике - упражнение - Финансовая математика (8), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (187.7 KB)
22 страница
316количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Финансовая математика. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Часть 8.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 22
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по Финансовой математике, 7 вариант - контрольная работа - Финансовая математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ

ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Контрольная работа

По дисциплине

Финансовая математика

Тема:

«Задачи по Финансовой математике, 7 вариант»

Задание 1.

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-

Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания

α1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием

средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе

исследования:

• Случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• Независимости уровней ряда остатков по d-критерию

(критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту

автокорреляции при критическом значении r1=0,32.

• Нормальности распределения ряда остатков по критерию RS c

критическими значениями от 3 до 4,21

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год

5) Построить график, на котором должны быть отражены

фактические, расчетные и прогнозные значения.

Исходные данные

Кв

артал

Y

(t)

1 3

8

2 4

8

3 5

7

4 3

7

5 4

0

6 5

2

7 6

3

8 3

8

9 4

4

10 5

6

11 6

7

12 4

1

13 4

9

14 6

0

15 7

2

16 4

4

8

06

В первую очередь необходимо определить значения коэффициентов а(0)

и b(0).

срср

N

t ср

N

t срср

tbYa

tt

ttYtY b

*)0()0(

)(

)(*))(( )0(

1

2

1

−=

−− =

=

=

=

=

N

ср

N

ср

N N

t

tY N

Y

1

1

* 1

)(* 1

63,46373* 8

1 ==срY

5,436* 8

1 ==срt

Находим:

1) срYYt

2) срtt

3) (Y(t)-Yср)*(t-tср)

Квар

тал Y(t) Y(t)-Yср t-tср

(Y(t)-

Yср)*(t-

tср)

(t-tср)2 Y(t)рег

1 2 3 4 5 6 7

1 38 -8,63 -3,50 30,19 12,25 44,00 2 48 1,38 -2,50 -3,44 6,25 44,75 3 57 10,38 -1,50 -15,56 2,25 45,50 4 37 -9,63 -0,50 4,81 0,25 46,25 5 40 -6,63 0,50 -3,31 0,25 47,00 6 52 5,38 1,50 8,06 2,25 47,75

7 63 16,38 2,50 40,94 6,25 48,50 8 38 -8,63 3,50 -30,19 12,25 49,25 373 31,50 42,00

75,0 00,42

50,31 )0( ==b

25,435,4*75,063,46)0( =−=a

tbatYрег *)0()0()( += (в таблице)

Далее нужно рассчитать значения сезонного коэффициента F(-3), F(-2),

F(-1) и F(0).

2/)]8(/)8()4(/)4([)0(

2/)]7(/)7()3(/)3([)1(

2/)]6(/)6()2(/)2([)2(

2/)]5(/)5()1(/)1([)3(

регрег

регрег

регрег

регрег

YYYYF

YYYYF

YYYYF

YYYYF

+=

+=−

+=−

+=−

Ква

ртал

F

(t)

-3 0

,86

-2 1

,08

-1 1

,28

0 0

,79

79,02/]25,49/3825,46/37[)0(

28.12/]5,48/6350,45/57[)1(

08,12/]75,47/5275,44/48[)2(

86,02/]47/4000,44/38[)3(

=+= =+=−

=+=− =+=−

F

F

F

F

Находим коэффициент Yp(1), при t=0, k=1, L=4

)(*)](*)([)( LktFtbktaktYp −++=+

72,3786,0*]75,0*125,43[)1( =+=pY

Находим коэффициента a(1), b(1).

)0(*)1()]0()1([*)(

)]0()0([*)1()41(/)1(*)(

33

11

baatb

baFYta

αα

αα

−+−=

+−+−=

а(1) = 0,3*38/0,86+0,7*44= 44,10

b(1) =0,3(44,10-43,25)+0,7*0,75= 0,78

при t=1

)41(*)1()1(/)1(*)( 22 −−+= FaYtF αα

F(1) = 0,6*38 / 44,10+ 0,4* 0,86 = 22,8 / 44,44 = 0,86

Пологая, что t=1, k=1, найдем Yp(2)

Yp(2) = [44,10+1*0,78]*1,08= 48,50

)]1()1([*)1()42(/)2(*)( 11 baFYta +−+−= αα

а(2) = 0,3*48/1,08+0,7*44,88= 44,74

)1(*)1()]1()2([*)( 33 baatb αα −+−=

b(1) =0,3(44,74-44,10)+0,7*0,78 = 0,74

F(2) = 0,6*48 / 44,74+ 0,4* 1,08 = 1,08

Проверка точности модели.

Перед тем, как строить прогноз построенной модели, нужно проверить

на точность и адекватность.

Для проверки модели на качество, в первую очередь рассчитывают

остатки.

Е(t) =Y(t)-Yp(t) = 38-38,79 = -0,79

Для того, чтобы условие в точности выполнялось, средняя

относительная ошибка по модели не должно превышать 5%

%5%100* )(

)( 1

≤ ∑ =

N

tY

tEn t

Проверка адекватности модели

Проверку случайности уровней ряда остатков Е(t) проводят по

критерию поворотных точек, каждое следующее значение ряда остатков Е(t)

сравнивают с двумя соседними

Если оно больше (или меньше) обоих соседних значений, то точка

считается поворотной и обозначается цифрой 1. Общее число поворотных

точек Р=5

Далее находим величину q

]90/)29*16(*23/)2(*2int[ −−−= NNq

q= 2*14 / 3-2*√((16*16-29)/90) = 9,0

Так как p=10>q=6, то значит условие случайности уровней ряда

остатков выполнено

Вывод: так как число р=6 меньше критического значения q=6,16, то

условие случайности ряда остатков не выполняется.

Проверка независимости уровней ряда (проверка на отсутствие

автокорреляции)

По d-критерию Дарбина-Уотсона

∑ −− = N

N

tE

tEtE d

1

2

2

2

)(

)]1()([

Значения взяты с таблицы

d = 60.66/38.2 = 1.59

Если значение d>2 это означает, что имеет место отрицательная

автокорреляция и значение d уточняется.

Если по d- критерию нельзя сделать вывод о независимости ряда

остатков, то проводят проверку по первому коэффициенту автокорреляции.

∑ − = N

N

tE

tEtE r

1

2

2

)(

)]1(*)([ )1( = 7,34/38,2 = 0,19

Проверка уровней ряда остатков на нормальность распределения

проводится по RS-критерию.

1

)(

/)(

2

minmax

− =

−=

N

tE S

SEERS

S= √(38,2/15) = 1,60

RS = (2.69-(-1.5))/1.6 = 2.63

Величина RS сравнивается с критическими табличными значениями

RS1 и RS2.

-1.5<2.63<2.69

Вывод: ряд остатков подчиняется нормальному распределению.

Все проверки выполнены, можно приступать к построению прогноза.

Начиная строить прогноз, делаем t=1…..16, k меняется по шагова.

При расчете значений Yp(17)- Yp(20) коэффициент k увеличивается на

каждом шаге. Для расчета Yp(17)- Yp(20) используем последние значения

коэффициентов а(16) и b(16).

)(*)](*)([)( LktFtbktaktYp −++=+

Yp(17)= (62,15+1*0,99)*0,81 = 51,36

Yp(18)= (62,15+2*0,99)*1 = 63,84

Yp(19)= (62,15+3*0,99)*1,17 = 76,51

Yp(20)= (62,15+4*0,99)*0,71 = 47,06

Фактич

еские

значения

Расче

тные

значения

Прогно

зные

значения

38 38,61 0,00

48 49,18 0,00

57 58,38 0,00

37 36,04 0,00

40 38,14 0,00

52 49,47 0,00

63 60,60 0,00

38 39,50 0,00

44 41,72 0,00

56 54,73 0,00

67 66,59 0,00

41 41,72 44,83

49 46,31 51,36

60 60,34 63,84

72 72,44 76,51

44 44,83 47,06

Модель Хольта-Уинтерса

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Расчетные значения Фактические значения Прогнозные значения

Квар Y(t) Y(t)-Yср t-tср (Y(t)-

Yср)*(t- tср)

(t-tср)2 Y(t)рег a(t) b(t) F(t) Yp(t) E(t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -3 0,77 -2 0,98 -1 1,17 0 50,13 0,25 0,73 1

38 -

12,38 0,00 0,00 0,00 50,38 50,14 0,17 0,76 38,61 -0,61 2 48 -2,38 1,00 -2,38 1,00 50,63 49,95 0,06 0,97 49,18 -1,18 3 57 6,62 2,00 13,24 4,00 50,88 49,66 -0,04 1,16 58,38 -1,38 4

37 -

13,38 3,00 -40,14 9,00 51,13 50,01 0,08 0,73 36,04 0,96 5

40 -

10,38 4,00 -41,52 16,00 51,38 50,83 0,30 0,78 38,14 1,86 6 52 1,62 5,00 8,10 25,00 51,63 51,91 0,53 0,99 49,47 2,53 7 63 12,62 6,00 75,72 36,00 51,88 53,06 0,72 1,17 60,60 2,40 8

38 -

12,38 7,00 -86,66 49,00 52,13 53,17 0,54 0,72 39,50 -1,50 9 44 -6,38 8,00 -51,04 64,00 52,38 54,59 0,80 0,79 41,72 2,28

10 56 5,62 9,00 50,58 81,00 52,63 55,78 0,92 1,00 54,73 1,27 11 67 16,62 10,00 166,20 100,00 52,88 56,80 0,95 1,18 66,59 0,41 12

41 -9,38 11,00 -

103,18 121,00 53,13 57,44 0,86 0,72 41,72 -0,72 13 49 -1,38 12,00 -16,56 144,00 53,38 59,32 1,16 0,81 46,31 2,69 14 60 9,62 13,00 125,06 169,00 53,63 60,38 1,13 1,00 60,34 -0,34 15 72 21,62 14,00 302,68 196,00 53,88 61,40 1,10 1,17 72,44 -0,44 16 44 -6,38 15,00 -95,70 225,00 54,13 62,15 0,99 0,71 44,83 -0,83 17 51,36 18 63,84 19 76,51 20 47,06

Суммы 806,00 304,40 1240,00 836,08

Таблица 2. Вспомогательные данные

N 16,0000 Проверка качества модели L 4,0000 tср 1,0000

Yср 50,38 Точность модели OK

Альфа1 0,3000 Проверка случайности ряда остатков E(t) OK

Альфа2 0,6000 Проверка независимости уровней ряда E(t) OK

Альфа3 0,3000 по критерию Дарбина-Уотсона OK

k 1,0000 первый коэффициент автокорреляции OK

d1 1,1000 Проверка нормальности распределения ряда E(t) OK

d2 1,3700

r1 0,3200

RS1 -1,4987

RS2 2,6914 q 6,1570 p 6,0000 d 1,5879 r(1) 0,1922 S 1,5959 RS 2,6256

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за

10дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

1) экпоненциальную скользящую среднюю(ЕМА);

2) момент;

3) скорость изменения цен;

4) индекс относительной силы;

5) % R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно

выполнить на основании имеющих данных.

Вариант 7.

Д

ни

Цены

М

акс.

М

ин.

З

акр.

1 6

63

6

05

6

10

2 6

14

5

77

6

14

3 6

39

5

80

6

25

4 6

25

5

72

5

74

5 6

00

5

53

5

63

6 5

95

5

63

5

90

7 6 5 5

08 90 98

8 6

10

5

73

5

80

9 5

95

5

75

5

95

1

0

6

00

5

80

5

80

n=5

)1/(2 += nk

k= 0.33

1) Так как известен интервал сглаживания и цена закрытия найдем

простую скользящую среднюю величину по формуле:

n

CCC MA tntntt

+++= +−+− ...21

МА(5)= (610+614+625+574+563)/5 = 2986/5 = 597,2

Затем находим взвешенную скользящую среднюю величину WMAt

n

CnCC WMA tntntt +++

+++= +−+− ...21

*...*2*1 21

WMA(5) = (1*610+2*614+3*625+4*574+5*563)/15 = 8824/15 = 588.27

Экспоненциальная скользящая средняя

1*)1(* −−+= ttt EMAkCkEMA

Для n=5, первое значение ЕМА, которую нельзя рассчитать, будет равна

МА5 = 597,2, далее ЕМА считается по формуле

ЕМА6= 1/3*590+(1-1/3)*597,2 = 594,8

ЕМА7 = 1/3*598+(1-1,3)*594,8 = 595,87

2) Для определения момента купли или продажи ориентируются на

взаимное расположение двух скользящих средних с различными

интервалами сглаживания.

nttt CCMOM −−=

МОМ(6) = С6-С(6-5) = С6-С1= 590-610 = -20

МОМ(7) = С7-С2= 598-614 = -16

3)Рассчитываем скорость изменение цен.

%100* nt

t t C

C ROC

=

ROC(6) = C6/C1*100% = 590/610*100% = 96.72%

ROC(7) = C7/C2*100% = 598/614*100% = 97.39%

4)Индекс относительной силы

днейnзаубылисуммаAD

днейnзаприростовсуммаAU ADAU

RSI

____

____ /1

100 100

− −

+ −=

Находим повышение и понижение цен, путем Сt-Ct-1

C

(t)

Повыш

ение цены

Пониж

ение цены

4 11 12

6

10

6

14 4,00

6

25 11,00

5

74 51,00

5

63 11,00

5

90 27,00

5 8,00

98

5

80 18,00

5

95 15,00

5

80 15,00

AU – повышение цен за 5 дней

AD – понижение цен за 5 дней (в таблице)

RSI(6) = 100-(100/(1+42/62)) = 40,38

RSI(7) = 100-(100/(1+46/62)) = 42,59

RSI(8) = 100-(100/(1+35/80)) = 30,43

И т. д., введены в таблице

5) % R, %K, %D.

Найдем maх(Н5) и min(L5) значения цен за n (5) дней

H5 L5

663,00 553,00

639,00 553,00

639,00 553,00

625,00 553,00

610,00 553,00

610,00 563,00

)/()(*100% nnnt LHLCK −−= = 10/110*100% = 9,09%

)/()(*100% nntn LHCHR −−= = 100/110*100% = 90,91%

100* )(

)( %

2

2

−=

−=

− = t

ti nn

t

ti nt

LH

LC D

Для удобства расчета найдем Сумма C(t)-L5 за 3 дня и Сумма H5-L5 за

3 дня (с 5 по 7;с 6 по 8 и т.д.).

%D = 92/282*100% = 32.62%

Цена

Цена открытия

max min C(t) MA(t) WMA(t) EMA(t) MOM(t) ROC(t) Повышение

Дни (t) 1 2 3 4 5 7 8 9 10

1 663 605 610 2 614 577 614 3 639 580 625 4 625 572 574 5 600 553 563 597,20 588,27 597,20 6 591 595 563 590 593,20 585,87 594,80 -20,00 96,72 7 594 608 590 598 590,00 587,47 595,87 -16,00 97,39 8 577 610 573 580 581,00 584,13 590,58 -45,00 92,80 9 592 595 575 595 585,20 588,80 592,05 21,00 103,66

10 0 600 580 580 588,60 587,07 588,03 17,00 103,02 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Интервал сглаживания n= 5,00 Сумма от 1 до n 15,00

Коэфф. K для EMA 0,33

Задание 3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные,

приведенные в таблице.

S = 3 500 000 (сумма средств в рублях)

Т лет = 5 (время в годах)

i=40 (ставка в процентах)

m=4 (число начислений)

Тн = 11.01.02. (дата начальная)

Тк = 19.03.02 (дата конечная)

Тдн = 90 (время в днях)

3.1 Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды – Тн,

возврата- Тк, День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты

рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды (I);

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (I);

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (I).

Дано:

S = 3 500 000

Тн = 11.01.02

Тк = 19.03.02

i = 40

Решение:

3.1.1)

к=366

t= 20+28+19 = 67

I= 3 500 000 * 0,40*67/366 = 256 284,15

3.1.2)

к = 360

t = 67

I = 3 500 000 * 0,40*67/360 = 260 555, 56

3.1.3)

к=360

t = 19+30+19=68

I = 3 500 000* 0.40*68/360 = 264 444,44

Ответ: 3.1.1) 256 284,15; 3.1.2) 260 555, 56; 3.1.3) 272 222,22

3.2 Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб.

Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова

первоначальная сумма и дисконт?

Дано:

S = 3 500 000

Тдн = 90

i = 40

Решение:

S= P(1+ni)

P= S/(1+ni)

P= 3 500 000/(1+90/360*0.4) = 3 181 818,18

D= S –P = 3 500 000 - 3 181 818,18 = 318 181 .82

3.3 Через Tдн предприятие должно получить по векселю S рублей. Банк

приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i %

годовых (в году 360 дней). Определить полученную предприятием сумму и

дисконт.

Дано:

n= 90/360

S = 3 500 000

i = 40%

Решение:

D= 3 500 000*0.4*90/360 = 350 000

P=S-D = 3 500 000 – 350 000 = 3 150 000

3.4 В кредитном договоре на сумму S рублей и сроком на Tлет лет,

зафиксирована ставка сложных процентов i% годовых. Определить

наращенную сумму.

Дано:

S = 3 500 000 руб.

Тлет = 5 лет

i = 40%

Решение:

S = 3 500 000*(1+0,4)^5 = 18 823 840,00

3.5 Ссуда размером S рублей предоставлена на Tлет. Проценты

сложные, ставка – i% годовых. Проценты начисляются m раз в году.

Вычислить наращенную сумму(S).

Дано:

S = 3 500 000 руб.

Тлет = 5 лет

i = 40%

m=4

Решение:

S = 3 500 000* (1+0.4/4) ^5*4 = 8 252 816,92

3.6 Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет

проценты m раз в году исходя из номинальной ставки i% годовых.

Дано:

i = 40%

m=4

Решение:

Iэ = [(1+0,4/4) ^4 – 1]*100% = 46,41%

Ответ: 46,41%

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при

начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку

i% годовых.

Дано:

i = 40%

m=4

Решение:

I = 4[(1+0,4)^-4 -1] = 4[1/3,84 -1] = 35,10%

3.8 Через Tлет предприятию будет выплачена сумма S рублей.

Определить ее современную стоимость при условии, что применяется

сложная процентная ставка i% годовых.

Дано:

S = 3 500 000 руб.

Тлет = 5 лет

i = 40%

Решение

S = 3 500 000/(1+0.4)^5 = 650 770.51

3.9 Через Tлет по векселю должна быть выплачена сумма S рублей. Банк

учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

Дано:

S = 3 500 000 руб.

Тлет = 5 лет

i = 40%

Решение

D = S[1-(1-i)^5] = 3 500 000(1-(1-0,4)^5) = 3 227 840

3.10 В течение Tлет на расчетный счет в конце каждого года поступает

по S руб., на которые m раз в год начисляются проценты по сложной годовой

ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Дано:

R = 3 500 000 руб.

Тлет = 5 лет

i = 40%

m=4

Решение:

S= R*((1+0.40/4)^20-1)/((1+0.4/4) ^4-1)= 3 500 000*((1.1)^20-1)/((1.1)^4-

1)= 43 193 815,61

Сумма

Дата

началь

ная

Дата

коне

чная

Врем

я в

днях

Врем

я в

годах

Ставка

Число

начисл

ений

Точн

ое

числ

о

дней

сделк

и

Прибл

иженн

ое

число

дней

сделки

S Tн Tк Tдн Tлет i m

3500000 11.01.0

2

19.03.

02 90 5 40,00% 4

67

7

0

1.

1.1 Точные с точным

числом дней 256284,15

1.2 Обыкновенные с точным

числом дней 260555,56

1.3 Обыкновенные с

приближенным числом дней 272222,22

2. Первоначальная сумма P 3181818,18

Дискнот D 350000

3. Полученная сумма P 3150000

Дисконт D 350000

4. Наращенная сумма S 18823840,0

5. Наращенная сумма при

начислении m раз в год 5636785

6. Эффективная ставка

процента iэ 46,41

7. Номинальная ставка

процента jном 4,12

8. Современная стоимость при

сложной ставке P 650770,51

9. Дисконт D 3227840

10. Сумма на расчетном счету 10240932,8

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome