Задачи по финмат - упражнение - Финансовая математика (6), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по финмат - упражнение - Финансовая математика (6), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (200.6 KB)
18 страница
407количество посещений
Описание
Задачи по финмат. Упражнения. Контрольная работа. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. 6.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 18
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по финмат, 6 вариант - контрольная работа - Финансовая математика

Федеральное агентство по образованию

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Финансовая математика

Тема:

«Задачи по финмат, 6 вариант»

Москва, 2008

2

Задача 1

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется.

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания

6,0 ;3,0 ;3,0 Fba =α=α=α . 2. Оценить точность построенной модели с использованием средней

относительной ошибки аппроксимации. 3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков; - независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические

значения 10,1d1 = и 37,1d2 = ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении 32,0rkp = ;

- нормального распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на один год. 5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

3

Решение. 1. Построение модели. Покажем исходные данные на графике (мастер диаграмм / график).

Y(t)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20

Y(t)

Выполним предварительный расчет.

Для проведения вычислений по формулам Хольта необходимо найти

начальные оценки ( ) ( )0b ,0a коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности ( ) ( ) ( ) ( )0F ,1-F ,2-F ,3F − за весь предыдущий год.

Зарезервируем для этих величин дополнительно 4 уровня

( )0 1,- 2,- ,3t −= в расчетной таблице и выполним предварительный расчет. С помощью метода наименьших квадратов построим вспомогательную

линейную модель ( ) tbatY~ ⋅+= . Коэффициенты этой модели 07,41a ;85,0 ==b можно получить с помощью «сервис/ анализ данных/

РЕГРЕССИЯ». Уравнение вспомогательной линейной модели запишется в виде

( ) ttY ⋅+= 85,007,41~ . Примем ( ) 07,410 == aa , ( ) 85,00 == bb , занесем эти значения в нулевой

уровень соответствующих столбцов основной расчетной таблицы. Для оценки коэффициентов сезонности ( ) ( ) ( ) ( )0F ,1-F ,2-F ,3F − найдем с

помощью вспомогательной модели расчетные значения ( )tY~ для 81t ÷= и сопоставим их с фактическими:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 ( )tY 36 46 55 35 39 50 61 37

4

( )tY~ 41,92 42,76 43,61 44,45 45,3 46,14 46,99 47,83

Для первого квартала это ( )( )1Y~ 1Y в первом году и ( )( )5Y~

5Y во втором году.

В качестве окончательной (более точной) оценки коэффициента сезонности ( )3F − первого квартала предыдущего года возьмем среднее арифметическое значение

( ) ( )( ) ( ) ( ) 861,05~ 5

1 ~

1

2

1 3 =

  

 +⋅=−

Y

Y

Y

Y F .

Аналогично найдем

( ) ( )( ) ( ) ( ) 079,16~ 6

2 ~

2

2

1 2 =

  

 +⋅=−

Y

Y

Y

Y F ,

( ) ( )( ) ( ) ( ) 278,17~ 7

3 ~

3

2

1 1 =

  

 +⋅=−

Y

Y

Y

Y F ,

( ) ( )( ) ( ) ( ) 778,08~ 8

4 ~

4

2

1 0 =

  

 +⋅=

Y

Y

Y

Y F .

Полученные значения занесем в соответствующие уровни столбца «F» основной расчетной таблицы.

Перейдем к построению модели Хольта. t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t)

-3 0,861 -2 1,079 -1 1,278 0 41,07 0,85 0,778 1 36 41,88 0,84 0,860 36,09 2 46 42,69 0,83 1,078 46,10 3 55 43,38 0,78 1,272 55,62 4 35 44,41 0,86 0,784 34,36 5 39 45,29 0,87 0,861 38,93 6 50 46,22 0,89 1,080 49,76 7 61 47,36 0,96 1,282 59,92 8 37 47,98 0,86 0,776 37,89 9 42 48,83 0,86 0,860 42,04

10 54 49,78 0,88 1,083 53,67 11 64 50,44 0,82 1,274 64,92 12 40 51,34 0,84 0,778 39,79 13 47 52,92 1,06 0,877 44,90 14 58 53,85 1,02 1,079 58,46 15 70 54,90 1,03 1,275 69,90 16 43 55,73 0,97 0,774 43,51

5

Согласно условию задачи коэффициенты сглаживания 6,0 ;3,0 ;3,0 Fba =α=α=α ; период сезонности 4L = .

По основной формуле модели Хольта-Уинтерса, приняв 1k ,0t == ,

рассчитаем начальное значение ( )1Yp ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 09,36300110 =−⋅+==+ FbaYY pp .

Теперь перейдем к 1t = и уточним коэффициенты модели

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 88,410013 1

1 =+⋅−+ −

⋅= ba F

Y a aa αα ;

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 84,001011 =⋅−+−⋅= baab bb αα ; ( ) ( )( ) ( ) ( ) 860,0311

1 1 =−⋅−+⋅= F

a

Y F FF αα .

По основной формуле модели Хольта-Уинтерса при 1k ,1t == получим

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 10,46211211 =−⋅+==+ FbaYY pp .

Перейдем к 2t = и уточним коэффициенты модели

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 69,421112 2

2 =+⋅−+ −

⋅= ba F

Y a aa αα ;

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 83,011122 =⋅−+−⋅= baab bb αα ; ( ) ( )( ) ( ) ( ) 078,1212

2 2 =−⋅−+⋅= F

a

Y F FF αα .

По основной формуле модели Хольта при 1k ,1t == получим ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 38,43122312 =−⋅+==+ FbaYY pp

и т.д. для 16 ... 4, ,3t = . Максимальное значение t, для которого могут

быть рассчитаны коэффициенты ( ) ( ) ( )tF ,tb ,ta , определяется количеством исходных данных и равно 16.

Результаты вычислений приведены в основной расчетной таблице. Таким образом, модель Хольта-Уинтерса построена.

2. Оценим точность построенной модели.

Предварительно для каждого уровня исходных данных вычислим остатки

( ) ( ) ( )tYtYtE p−= и относительные погрешности ( ) ( ) ( ) 100tY tE

tE отн ⋅= ; затем

определить среднюю относительную ошибку аппроксимации

( )∑⋅= tE n

1 E отнотн .

Для этого дополним расчетную таблицу столбцами ( )tE и ( )tEотн :

6

t ( )tY ( )tYp ( )tE ( )tEотн 1 36 36,09 -0,09 0,25 2 46 46,10 -0,10 0,21 3 55 55,62 -0,62 1,13 4 35 34,36 0,64 1,84 5 39 38,93 0,07 0,17 6 50 49,76 0,24 0,48 7 61 59,92 1,08 1,77 8 37 37,89 -0,89 2,41 9 42 42,04 -0,04 0,10 10 54 53,67 0,33 0,61 11 64 64,92 -0,92 1,44 12 40 39,79 0,21 0,52 13 47 44,90 2,10 4,48 14 58 58,46 -0,46 0,79 15 70 69,90 0,10 0,14 16 43 43,51 -0,51 1,19

сумма 0,07 17,51

Средняя относительная погрешность аппроксимации составит

09,1 16

51,17 ==отнЕ (%) .

%5%09,1 < . Следовательно, модель точная.

3. Оценим адекватность построенной модели.

- Для проверки свойства случайности используем критерий поворотных точек.

Построим график остатков E(t).

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0 5 10 15 20

E(t)

7

Выделим на нем поворотные точки и подсчитаем их количество 10=p .

Вычислим при 16n = [ ] 622,6 10

291616 96,1

3

142 pкр ==

  

 −⋅⋅−⋅= .

Сравним 10=p > 6pкр = , следовательно, свойство случайности для

ряда остатков выполняется.

Для проверки независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона.

С помощью функций «СУММКВ» и «СУММКВРАЗН» найдем

( ) 75,8 16

1

2 =∑ =t

tE , ( ) ( )( ) 36,211 216

2

=−−∑ =t

tEtE .

( )tE ( )tE2 ( ) ( )( )21tEtE −− ( ) ( )1tEtE −⋅ -0,09 0,01 -0,10 0,01 0,0035 0,01 -0,62 0,39 0,1595 0,06 0,64 0,41 0,0018 -0,40 0,07 0,00 0,0003 0,04 0,24 0,06 0,0682 0,02 1,08 1,16 0,9235 0,26 -0,89 0,79 0,0013 -0,96 -0,04 0,00 0,0002 0,04 0,33 0,11 0,0911 -0,01 -0,92 0,85 0,0363 -0,30 0,21 0,04 0,1890 -0,19 2,10 4,43 0,9351 0,43 -0,46 0,21 0,0019 -0,97 0,10 0,01 0,0024 -0,04 -0,51 0,26 0,0013 -0,05 сумма 8,75

Таким образом, ( ) ( )( )

( )∑

=

=

−− = n

1t

2

n

2t

2

tE

1tEtE d 44,2

75,8

36,21 ==d .

При 16n = критические значения d – статистик 37,1d ,10,1d 21 == . Сравнение величин показывает, что 37,144.210,1 21 =>=<= ddd , то

дополнительные условия d' = 4 - 2,44 =1,56. d2<d<2 - условие выполняется, уровни ряда остатков являются независимыми.

8

Для дополнительной проверки свойства независимости вычислим первый коэффициент автокорреляции.

Найдем сумму «СУММПРОИЗВ» ( ) ( ) 068,21 16

2

−=−⋅∑ =t

tEtE .

Тогда ( ) 24,0 75,8

068,2 1 −=−=r .

Критическое значение для коэффициента автокорреляции составляет 32,0rкр = .

Сравнение с критическим значением показывает, что ( ) ∑

=

= −⋅

= n

1t

2 t

n

2t 1tt

E

EE 1r

( ) 32,024,01 =<= крrr . Таким образом, свойство независимости остаточной компоненты выполняется

Для проверкисвойства нормального распределения остаточной компоненты используем R/S-критерий.

Вычислим ( )ES EE

SR minmax/ −= ; ( ) 44.2

2.10

83.1001.14 / =−−=SR .

Критический интервал ( )4,21 ;3 , дан в условиях. ( )4,21 ;344.2 ∉ , значит, для построенной модели свойство нормального

распределения остаточной компоненты не выполняется.

4. Составим с помощью построенной модели прогноз цен на акции на один год вперед.

В целом построенная модель адекватной не является, т.к. одно из условий не выполняется. Использовать такую модель для прогнозирования нецелесообразно. Поэтому расчет прогнозных оценок проведем лишь в учебных целях.

Для первого квартала будущего пятого года положим в основной

формуле модели Хольта-Уинтерса 1k ,16t == и найдем ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 73,49131611617116 =⋅⋅+==+ FbaYY pp .

Для второго квартала будущего пятого года при 2k ,16t == найдем

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 26,62141621618216 =⋅⋅+==+ FbaYY pp .

Для третьего квартала будущего пятого года при 3k ,16t == найдем ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 75,74151631619316 =⋅⋅+==+ FbaYY pp .

Для четвертого квартала будущего пятого года при 4k ,16t == найдем

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 15,46161641620416 =⋅⋅+==+ FbaYY pp .

9

На графике отражены фактические, расчетные и прогнозные

данные.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25

Данные

Модель

Прогноз

10

Задача 2

Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.

Требуется рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю; - момент; - скорость изменения цен; - индекс относительной силы; - %R, %K, %D.

Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Результаты расчетов отобразить на графиках. Сделать соответствующие выводы.

Вариант 6 цены дни макс. мин. закр.

1 600 550 555 2 560 530 530 3 536 501 524 4 545 521 539 5 583 540 569 6 587 562 581 7 582 561 562 8 573 556 573 9 610 579 592

10 645 585 645

11

Решение: t C(t) EMA(t) 1 555 2 530 3 524 4 539 5 569 543,4 6 581 555,92 7 562 557,95 8 573 562,96 9 592 572,63

10 645 596,73 Расчет возможен для 5t ≥ . Для определения начального значения ЕМА5 используем формулу простой скользящей средней

( ) 4,543569539524530555 5

1 55 =++++⋅== MAEMA

Дальнейшие расчеты выполним по формуле экспоненциальной скользящей

средней при 3

1

15

2 k =

+ = . Получим

92,5554,543 3

2 581

3

1 6 =⋅+⋅=EMA ;

95,55792,555 3

2 562

3

1 7 =⋅+⋅=EMA

и т.д. Результаты вычислений округлены до 2-х знаков после запятой и приведены в столбце EMA(t).

Покажем исходные цены закрытия и найденную экспоненциальную среднюю на графике, проведем анализ.

EMA

0

100

200

300

400

500

600

700

0 2 4 6 8 10 12

дни

ц е н а Дневные

Сглаженные

12

В 3 день кривые сблизились, причем дневная сверху нужно приготовиться к продаже - Проведем расчет по указанным формулам. Момент: nttt CCMOM −−=

117362MOM6 −=−= ; 217756MOM7 −=−=

и т.д. Скорость изменения цен:

100 C

C ROC

nt

t t ⋅=

93,84100 73

62 ROC6 =⋅= ;

73,72100 77

56 ROC7 =⋅= и т.д

Результаты вычислений занесем в соответствующие столбцы расчетной таблицы и покажем на графиках.

t C(t) MOM(t) ROC(t) 1 555 2 530 3 524 4 539 5 569 6 581 26 104,68 7 562 32 106,04 8 573 49 109,35 9 592 53 109,83 10 645 76 113,36

Рассмотрим график момента:

МОМ

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 5 10 15

дни

з н а ч е н и е п о к а з .

МОМ

13

Все значения положительные- рост цен, нужно покупка

Рассмотрим график скорости изменения цен:

ROC

104

106

108

110

112

114

0 2 4 6 8 10 12

дни

з н а ч

-е п о к а за те л я

, %

ROC

Все значения выше 100 - повышение цен, предпочтительнее покупка.

Для использования формулы расчета индикатора RSI предварительно найдем изменения цен закрытия 1ttt CCC −−=∆ для всех дней 2t ≥ .

Из значений tC∆ выберем положительные, характеризующие повышение цен, и отрицательные, показывающие понижение цен.

Для всех 6t ≥ рассчитаем суммы приростов и суммы убыли цен закрытия за 5 дней до дня t ( 5n = задано по условию).

Теперь несложно найти величины RSIt . Расчет удобно проводить в таблице.

t tC tC∆ повышен. понижен. n,tAU n,tAD tRSI 1 555 2 530 -25 0 25 3 524 -6 0 6 4 539 15 15 0 5 569 30 30 0 6 581 12 12 0 57 50 53,27 7 562 -19 0 19 68 25 73,12 8 573 11 11 0 87 19 82,08 9 592 19 19 0 125 19 86,81 10 645 53 53 0 95 19 83,33

27,53

50

57 1

100 1006 =

+ −=RSI ;

14

12,73

25

68 1

100 1007 =

+ −=RSI и т.д.

Рассмотрим график RSI:

RSI

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10 12

дни

R S

I

RSI

10-й показатель вышел из зоны перекупленности- нужно продавать.

Рассчитать индикаторы %K, %R, %D, приняв интервал сглаживания 5n = . Решение. Расчет возможен для 5t ≥ . Проведем его в таблице, занося в

соответствующие столбцы результаты промежуточных вычислений.

t n,tH n,tL 5,tt LC − t5,t CH − 5,t5,t LH − tK% tR% ( )∑ − 5,tt LC ( )∑ − t5,t CH tD% 5 600,00501,00 99,00 68,00 68,6931,00 31,31 600,00 501,00

6 587,00501,00 86,00 80,00 93,02 6,00 6,98 587,00 501,00

7 587,00501,00 86,00 61,00 70,9325,00 29,07 70,93 587,00 501,00

8 587,00521,00 66,00 52,00 78,7914,00 21,21 78,79 587,00 521,00

9 610,00540,00 70,00 52,00 74,2918,00 25,71 74,29 610,00 540,00

10 645,00556,00 89,00 89,00 100,00 0,00 0,00 100,00 645,00 556,00

15

Рассмотрим стохастические линии %K, %R и %D:

Коэффициенты

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15

дни

к о э ф

. %K

%R

%D

График %K - в 10-й день показатель вышел из зоны перекупленности,

нужно продавать. График %R – в 10-й день показатель подошел сверху к критическому значению 0 – можно расценивать как сигнал к продаже. График %D – в 10-й день показатель подошел снизу к критическому значению 100% - можно расценивать как сигнал к продаже.

16

Задача 3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условиях задач значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Tлет – время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие значения параметров и выполнить расчеты.

Вариант Сумма Начальная

дата Конечная дата

Время в

днях

Время в

годах Ставка Кол-во

начислений № S Tн Тк Тдн Тлет i m

6 3 000 000 14,01,02 18,03,02 90 5 0,35 4

1. Банк выдал ссуду размером S руб. Дата выдачи ссуды – Тн, дата возврата – Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти: а. Точные % с точным числом дней ссуды найдем по формуле: Решение: I=S*n*I=S*i*t/K K=365, t=63, I=181232,8767 руб. б. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды найдем по формуле: Решение: I=S*n*I=S*i*t/K K=360, t=63, I=183750 руб. в. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды найдем по формуле: Решение: I=S*n*I=S*i*t/K K=360, t=64, I=186666,6667 руб. 2. Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт? Решение:

17

Первоначальную. сумму и дисконт найдем по формуле: P=S/(1+ni)=S/(1+i*t/K) Дисконт= S- P K=360, t=90, I=2824267,78 руб. Дисконт= 175732,22 руб. 3. Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом: учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт. Решение: Полученная предприятием сумма и дисконт найдем по формуле:K=360, t=90 d=i Дисконт= S*n*d=S*(t/K)*d P=S-Дисконт P=273750 руб. Дисконт=262500 руб. 4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму. Решение: Наращенную сумму найдем по формуле: P= S/(1+i) n=5 P=13452100,31 руб. 5. Ссуда размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму. Решение: Наращенную сумму найдем по формуле:n=5, m=4 P=S*((1+i/m)^(m*n)) P=16058558,84 руб. 6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году исходя из номинальной ставки i% годовых. Решение: Эффективную ставку процента найдем по формуле:iэ=(1+i/m)-1 iэ=0,3987=39,87% 7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых. Решение:

18

Номинальную ставку найдем по формуле: iн=m*((1+iэ)-1) iн=0,3116=31,16% 8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых. Решение: Современная стоимость при сложной процентной ставке найдем по формуле: P=S/(1+i) P=669040,506 руб. 9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт. Решение: Дисконт найдем по формуле: Дисконт=S*(1-(1-i)) P=S*(1-i) Дисконт=2651912,813 руб. P=348087,1875 руб. 10. В течение Тлет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока. Решение: Сумма на расчетном счете можно определить по формуле: S = R[(1 + i)n - 1] / i. S = 32754831,5 руб.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome