Задачи, варианты - упражнение - Финансовая математика (3), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи, варианты - упражнение - Финансовая математика (3), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (111.0 KB)
10 страница
901количество посещений
Описание
Задачи. Упражнения по предмету финансовая математика. Задачи с решениями. Упражнения с ответами. Разные варианты. Вариант 3.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 10
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по финмат, вариант 2 - контрольная работа - Финансовая математика

2

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

Контрольная работа

По дисциплине

Финансовая математика

Тема:

«Задачи по финмат, вариант 2»

3

Задание 1

В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от

коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов)

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Y(t) 30 38 45 30 32 42 51 31 36 46 55 34 41 50 60 37

Требуется:

Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с

учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 =

0,6; α3 = 0,3.

Оценить точность построенной модели с использованием средней

ошибки аппроксимации;

Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве

критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому

коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32;

• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-

критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с

учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 =

0,6; α3 = 0,3.

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную

модель к первым 8 значениям Y(t).

4

Таблица 1

t Y(t) t-tср (t-tср)2 Y-Yср (Y-Yср)х(t-tср) 1 30 -3,5 12,25 -7,4 25,8 2 38 -2,5 6,25 0,6 -1,6 3 45 -1,5 2,25 7,6 -11,4 4 30 -0,5 0,25 -7,4 3,7 5 32 0,5 0,25 -5,4 -2,7 6 42 1,5 2,25 4,6 6,9 7 51 2,5 6,25 13,6 34,1 8 31 3,5 12,25 -6,4 -22,3

36 299 0 42,0 0,0 32,50

38,37299 8

1 )(

1 =×=×= ∑ tY N

Yср

5,436 8

11 =×=×= ∑N N

tср

77,0 42

5,32

)(

)())(( )0(

2 ==

− −×−

= ∑

ср

срср

tt

ttYtY b

89,335,477,038,37)0()0( =×−=×−= срср tbYa

Получим линейное уравнение вида ( ) ttYp 77,089,33 += Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной

модели значений составим таблицу.

Таблица 2

Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели

t Y(t) Yp(t) 1 30 34,67 2 38 35,44 3 45 36,21 4 30 36,99 5 32 37,76 6 42 38,54 7 51 39,31 8 31 40,08

Оценки коэффициентов сезонности для I – IV кварталов:

[ ] 8564,02/76,37/3267,34/30)3( =+=−F [ ] 0811,12/54,38/4244,35/38)2( =+=−F [ ] 2700,12/31,39/5121,36/45)1( =+=−F

[ ] 7922,02/08,40/3199,36/30)0( =+=F

5

Таблица 3

Модель Хольта-Уинтерса

t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t) Абс. погр.,

E(t) Отн. погр.,

в % 0 33,89 0,77 0,8564 - - 1 30 34,78 0,81 0,8602 29,69 0,31 1,04 2 38 35,45 0,77 1,0755 38,47 -0,47 1,23 3 45 35,98 0,70 1,2583 46,00 -1,00 2,22 4 30 37,04 0,80 0,8029 29,06 0,94 3,13 5 32 37,65 0,75 0,8540 32,55 -0,55 1,72 6 42 38,59 0,81 1,0832 41,30 0,70 1,68 7 51 39,74 0,91 1,2734 49,57 1,43 2,80 8 31 40,03 0,72 0,7858 32,63 -1,63 5,27 9 36 41,18 0,85 0,8662 34,81 1,19 3,31

10 46 42,16 0,89 1,0880 45,52 0,48 1,04 11 55 43,09 0,90 1,2752 54,82 0,18 0,33 12 34 43,78 0,84 0,7803 34,57 -0,57 1,67 13 41 45,43 1,08 0,8880 38,64 2,36 5,75 14 50 46,35 1,03 1,0825 50,60 -0,60 1,20 15 60 47,28 1,00 1,2715 60,42 -0,42 0,69 16 37 48,02 0,92 0,7744 37,68 -0,68 1,83

34,90

Проверка точности модели.

Таблица 4

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t E(t) Точка

поворота E(t)2 [E(t)-E(t-1)]2 E(t)xE(t-1)

1 0,31 ххх 0,097 - - 2 -0,47 0 0,22 0,61 -0,15 3 -1,00 1 1,00 0,28 0,47 4 0,94 1 0,88 3,76 -0,94 5 -0,55 1 0,30 2,22 -0,52 6 0,70 0 0,50 1,57 -0,39 7 1,43 1 2,03 0,52 1,00 8 -1,63 1 2,67 9,35 -2,33 9 1,19 1 1,42 7,97 -1,94

10 0,48 0 0,23 0,51 0,57 11 0,18 0 0,03 0,09 0,09 12 -0,57 1 0,32 0,56 -0,10 13 2,36 1 5,55 8,55 -1,34 14 -0,60 1 0,36 8,76 -1,42 15 -0,42 1 0,17 0,04 0,25 16 -0,68 ххх 0,46 0,07 0,28

Сумма 1,68 10,00 16,24 44,87 -6,47

6

Суммарное значение относительных погрешностей составляет 34,9

Средняя величина: 34,9 / 16=2,18%, значит, условие точности выполнено, т.к.

средняя величина относительных погрешностей не превышает 5%.

Проверка условия адекватности на основе исследования:

а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

Условие случайности уровней ряда остатков выполнено, т.к.

количество поворотных точек р = 10 > q = 6.

б) независимости уровней ряда остатков:

• по d- критерию Критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни

d1=1,10 и d2=1,37):

( ) 76,2

24,16

87,44

)(

)1()( 2

2

== −−

= ∑

tE

tEtE d

24,176,24/ =−=d

Так как 1,10<1,24<1,37, следовательно, уровни ряда Е(t)

автокоррелированы, т. е. являются зависимыми.

• по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

[ ] 4,0

24,16

47,6

)(

)1()( )1(

2 −=−=

−× =

∑ ∑

tE

tEtE r

Уровни зависимы, т.к. критический уровень rтабл. = 0,32, а 4,0)1( =r >

rтабл. = 0,32.

в) нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-

критерию:

EmaxEmin = 2,36 – (-1,63) = 3,99

04,1 15

24,16

1

)( 2 ==

− = ∑

N

tE S

83,304,1/99,3/)( minmax ==−= SEERS

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к.

полученное значение RS (3,83)попадает в заданный интервал

(3,00<3,83<4,21).

7

Произведем точечный прогноз на 4 шага вперед: Определим

прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.

[ ] [ ] 46,438880,092,0102,48)13()16(1)16()17( =××+=××+= FbaYp

[ ] [ ] 99,530825,192,0202,48)14()16(2)16()18( =××+=××+= FbaYp [ ] [ ] 59,642715,192,0302,48)15()16(3)16()19( =××+=××+= FbaYp

[ ] [ ] 05,407744,092,0402,48)16()16(4)16()20( =××+=××+= FbaYp

Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные

(рис. 1).

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Факт Ряд2

Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10

дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Дни Цены

макс. мин. закр. 1 765 685 750 2 792 703 733 3 740 706 733 4 718 641 666 5 680 600 640 6 693 638 676 7 655 500 654 8 695 630 655 9 700 640 693

10 755 686 750

8

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент;

скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R, % К, % D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно

выполнить на основании имеющихся данных.

Решение

Экспоненциальную скользящую среднюю рассчитаем по формуле:

1)1( −×−+×= ttt EMAkCkEMA , где k = 2 / (n + 1).

Момент:

nttt CCMOM −−=

Скорость изменения цен:

%100×= −nt

t t C

C ROC

Таблица 1

Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней, момента, скорости изменения цен

Дни Цены закр ЕМАt МОМt ROCt 1 750 750,0 - - 2 733 744,3 - - 3 733 740,6 - - 4 666 715,7 - - 5 640 690,5 - - 6 676 685,6 -74,0 90,1 7 654 675,1 -79,0 89,2 8 655 668,4 -78,0 89,4 9 693 676,6 27,0 104,1

10 750 701,1 110,0 117,2

Индекс относительной силы рассчитаем по формуле:

ADAU RSI

/1

100 100

+ −=

Таблица 2

Результаты расчета индекса относительной силы

Дни Цены закрытия Изменение (+/-) RSI 1 750 - - 2 733 -17 - 3 733 0 - 4 666 -67 -

9

5 640 -26 - 6 676 36 24,7 7 654 -22 23,8 8 655 1 24,3 9 693 38 61,0

10 750 57 85,7

%R рассчитаем по формуле:

)/()(100% 555 LHCHR tt −−×=

%К рассчитаем по формуле:

)/()(100% 555 LHLCK tt −−×=

%D рассчитаем по формуле:

100 )(

)( %

2 55

2 5

× −

− = ∑

−=

−= t

ti

t

ti t

t

LH

LC D

Таблица 3

Результаты расчетов %R, %К, %D

Дни Цены

% Kt % Rt %Dt макс мин закр 1 765 685 750 - - 2 792 703 733 - - - 3 740 706 733 - - - 4 718 641 666 - - - 5 680 600 640 20,8 79,2 - 6 693 638 676 39,6 60,4 - 7 655 500 654 64,2 35,8 43,3 8 695 630 655 71,1 28,9 59,2 9 700 640 693 96,5 3,5 76,3

10 755 686 750 98,0 2,0 88,9

Задание 3

3.1. Банк выдал ссуду, размером 1 000 000 руб. Дата выдачи ссуды

18.01.02, возврата 12.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день.

Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 15% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

10

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

3.1.1) К = 365, t = 53, I = 1 000 000 х 0,15 х 53 / 365 = 2 1780,82 руб.

3.1.2) К = 360, t = 53, I = 1 000 000 х 0,15 х 53 / 360 = 2 2083,33 руб.

3.1.3) К = 360, t = 54, I = 1 000 000 х 0,15 х 54 / 360 = 2 2500,00 руб.

3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатил 1 000

000 руб. Кредит выдан под 15% годовых (проценты обыкновенные). Какова

первоначальная сумма и дисконт?

Решение

P = S / (1 + ni) = 1 000 000 / (1 + 0,15 х 180 / 360) = 930 232,56 руб.

D = SP = 1 000 000 – 930 232,56 = 69 767,44 руб.

3.3. Через 180 предприятие должно получить по векселю 1 000 000 руб.

Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной

ставке 15% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную

предприятием сумму и дисконт.

Решение

D = Snd = 1 000 000 x 0,15 х 180 / 360 = 75 000,00 руб.

P = SD = 1 000 000 – 75 000,00= 925 000,00 руб.

3.4. В кредитном договоре на сумму 1 000 000 руб. и сроком на 4 года,

зафиксирована ставка сложных процентов, равная 15% годовых. Определить

наращенную сумму.

Решение

S = P x (1+i)n = 1 000 000 х (1+0,15)4 = 1 749 006,25 руб.

3.5. Сумма размером 1 000 000 руб. представлена на 4 года. Проценты

сложные, ставка 15% годовых. Проценты начисляются 2 раза в году.

Вычислить наращенную сумму.

Решение

N = 4 x 2 = 8

11

S = P x (1+j / m)N = 1 000 000 х (1 + 0,15 / 2)8 = 1 783 477,83 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет

проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 15% годовых.

Решение

= (1 + j / m) m - 1 = (1 + 0,15 / 2)2 – 1 = 0,1556, т.е. 15,5625%.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при

начислении процентов 2 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку

15% годовых.

Решение

j = m x [(1 + ) 1/m - 1] = 2 x [(1 + 0,15)(1/2) – 1] = 0,14476 т.е. 14,476%.

3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 1 000 000 руб.

Определить ее современную стоимость при условии, что применяется

сложная процентная ставка 15% годовых.

Решение

25,753 571)15,01( 000 000 1 )1(

1 )4( =+×== +

= −n n

Sv i

SP руб.

3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 1 000 000

руб. Банк учел вексель по учетной ставке 15% годовых. Определить дисконт.

Решение

P = S (1 – dсл) n = 1 000 000 x (1 – 0,15)4 = 522 006,25 руб.

D = SP = 1 000 000 – 522 006,25 = 477 993,75 руб.

3.10. В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает

по 1 000 000 руб., на которые 2 раза в году начисляются проценты по

сложной годовой ставке 15%. Определить сумму на расчетном счете к концу

указанного срока.

Решение

67,395 034 5 1)2/15,01(

1)2/15,01( 000 000 1

1)/1(

1)/1( 2

)24(

= −+

−+×= −+ −+×=

×

m

mn

mj

mj RS руб.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome