Задачи по Финансовой математике  - упражнение -  Финансовая математика (5), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по Финансовой математике - упражнение - Финансовая математика (5), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (180.1 KB)
15 страница
435количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Финансовая математика. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Часть 5.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 15
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по Финансовой математике, 4 вариант - контрольная работа - Финансовая математика

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Факультет Менеджмента и маркетинга

Кафедра «Экономико-математические методы и модели»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине

Финансовая математика

Тема:

«Задачи по Финансовой математике, 4 вариант»

Калуга, 2008

2

ЗАДАНИЕ 1 Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого

банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего

16 кварталов).

Требуется:

1 Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-

Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглажи-

вания .3,0;6,0;3,0 321 === ααα

2 Оценить точность построенной модели с использованием средней

относительной ошибки аппроксимации.

3 Оценить адекватность построенной модели на основе исследова-

ния:

− Случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

− Независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические

значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции

при критическом значении r1=0,32;

− Нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-

критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4 Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е . на 1 год.

5 Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные дан-

ные.

3

Решение: 1.

Таблица 1

1 Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом

имеет следующий вид:

k = 1, L = 4 Уточнение коэффициентов модели производится с помощью формул:

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к

первым 8 значениям Y(t) из таблицы 1. а(0) находится с помощью функ-

ции НАКЛОН, b(0) с помощью функции ОТРЕЗОК в MS Excel.

а(0) = 0,81, b(0) = 37,61. Линейная модель примет вид: Y(t) = (0,81

+37,61)*t

Из этого уравнения находим расчетные значения Yр(t) и сопоставляем

их с фактическими значениями. Такое сопоставление позволяет оценить

приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3),

( ) ( ) ( )[ ] ( )LktFtbktaktYp −+⋅⋅+=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]111 11 −+−×−+−×= tbtaLtFtYta αα ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )111 33 −×−+−−×= tbtatatb αα

( ) ( ) ( ) ( ) ( )LtFtatYtF −×−+×= 22 1 αα

4

F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующему первому году по которому

имеются данные в таблице 1. Эти значения находим для расчета коэффи-

циентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3) и F(4) и других пара-

метров модели Хольта-Уинтерса .

Таблица 2

F(-3) = [Y (1)/ Yр(1) + Y (5)/ Yр(5)]/2 = 0,8616; F(-2) = [Y (2)/ Yр(2) + Y (6)/ Yр(6)]/2 = 1,0770; F(-1) = [Y (3)/ Yр(3) + Y (7)/ Yр(7)]/2 = 1,2715; F(0) = [Y (4)/ Yр(4) + Y (8)/ Yр(8)]/2 = 0,7896. Оценив значения а(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно

перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-

Уинтерса. ( .3,0;6,0;3,0 321 === ααα )

5

Таблица 3

2. Условие точности выполняется, если относительная погрешность

∆ Y (абсолютное значение отклонения abs{ ∆ Y}, поделенное на фак-

тическое значение Y(t) и выраженное в процентах

100% × abs{ ∆ Y}/Y(t)) в среднем не превышает 5%.

Таблица 4

Из таблицы 4 видим, что это значение равно 1,57%. Следовательно,

условие точности выполнено.

6

3. Оценка адекватности построенной модели на основе случайности

остаточной компоненты по критерию пиков:

Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр.1 табл.4)

проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уро-

вень ряда сравниваем с двумя соседними. Если он больше (или меньше)

обоих соседних уровней, то точка считается поворотной (1), в противном

случае ставится 0.

Таблица 5

Общее число поворотных точек р=10.

Рассчитаем значение q:

q = int ( ) ( )[ ].90/291623/22 −−− NN q = int ( ) ( )[ ] 690/29161623/2162 =−×−− . Если количество поворотных точек р больше q, то условие случайности

уровней выполнено. В нашем случае р=10, q=6, значит условие случай-

ности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков по d-критерию

(критические значения d1=1,10 и d2=1,37).

7

( ) ( )[ ]

( ) .58,201,13/54,33

1

1

2

2

2

== −−

= ∑

N

N

tE

tEtE d

Т.к d больше 2, значит имеет место отрицательная автокорреляция. В

этом случае величину d уточняют , вычитая полученное значение из 4.

получаем d = 1,42. Сравниваем его с табличными значениями d1 и d2.

Если d2 <d<2, то уровни ряда остатков независимы. В нашем случае

это условие выполнено, так как 1,37<1,42<2.

Проверка независимости уровней ряда остатков по первому ко-

эффициенту автокорреляции r(1)=0,32:

( ) ( )[ ]

( ) .31,001,13/02,4

1 )1(

1

2

2 −=−= −×

= ∑

N

N

tE

tEtE r

Таблица 6

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента авто-

корреляции меньше критического, то уровни ряда остатков независимы.

Имеем: 32,031,0)1( =<= таблrr - значит уровни ряда независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределе-

нию по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

8

RS =(Emax-Emin)/S,

где Emax – максимальное значение уровней ряда остатков;

Emin – минимальное значение ряда остатков;

S – среднее квадратическое отклонение.

Emax = 2,3; Emin = -1,8, Emax- Emin = 2,3 – (-1,8) = 4,1;

;93,0 15

01,13

1

)( 2 ==

− = ∑

N

tE S

RS = 4,1/0,93 = 4,39.

Так как 3<4,39>4,21, уровни ряда остатков не подчиняются нормаль-

ному распределению.

4. Рассчитав значения а(16) и b(16) (см.табл.2), можно определить

прогнозные значения показателя Yр(t). Для t = 17 имеем:

Yр(17) = [ ] [ ] 71,468851,096,0182,51)13()16(1)16( =××+=××+ Fbа . Аналогично находим Yр(18), Yр(19) и Yр(20):

Yр(18) = [ ] [ ] 15,580821,196,0282,51)14()16(2)16( =××+=××+ Fbа ; Yр(19) = [ ] [ ] ;52,692710,196,0382,51)15()16(3)16( =××+=××+ Fbа . Yр(20) = [ ] [ ] .17,437758,096,0482,51)16()16(4)16( =××+=××+ Fbа

5.

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

0 5 10 15 20 25

данные о кредите

Модель

9

ЗАДАНИЕ 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10

дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

− Экспоненциальную скользящую среднюю;

− Момент;

− Скорость изменения цен;

− Индекс относительной силы;

− %R, %K и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно

выполнить на основании имеющихся данных.

Решение:

Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА).

Рассчитывается по формуле:

EMA t = k C t + (1-k) EMA t -1 ,

где k = 2/(n+1);

Ct - цена закрытия t-го дня;

EMAt – значение EMA текущего дня t.

k = 2/(5+1) = 0,333

EMA1 = 709

EMA2 = 0,333*709 + (1-0,333)*709 = 709

EMA3 = 0,333*738 + (1-0,333)*709 = 718,66;

EMA4 = 0,333*735 + (1-0,333)*718,66 = 724,11;

10

EMA5 = 0,333*751 + (1-0,333)*724,11 = 733,07;

EMA6 = 0,333*755 + (1-0,333)*733,07 = 740,38;

EMA7 = 0,333*761 + (1-0,333)*740,38 = 747,26;

EMA8 = 0,333*720 + (1-0,333)*747,26 = 738,18;

EMA9 = 0,333*739 + (1-0,333)*738,18 = 738,45;

EMA10 = 0,333*740 + (1-0,333)*738,45 = 738,96.

Момент (МОМ)

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня C t

и цены n дней тому назад C t -n

MOM t = C t - C t -n ,

MOM6 = 761 – 709 = 52;

MOM7 = 720 – 738 = -18;

MOM8 = 739 – 735 = 4;

MOM9 = 740 – 751 = -11;

MOM10 = 678 – 755 = -77.

Положительные значения MOM свидетельствуют об относительном

росте цен, отрицательные – о снижении.

Скорость изменения цен (ROC). Рассчитывается как отношение ко-

нечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в про-

центах.

%100×= −nt

t t C

C ROC

ROC6 = 761/709*100 = 107,33%;

ROC7 = 720/738*100 = 97,56%;

ROC8 = 739/735*100 = 100,54%;

ROC9 = 740/751*100 = 98,54%;

ROC10 = 678/755*100 = 89,8%.

Индекс относительной силы (RSI). Для расчета применяют форму-

лу:

11

, /1

100 100

ADAU RSI

+ −=

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

AU = (761-755) + (739-720) + (740 – 739) = 26

AD = ([720-761]) + ([678 – 740]) = 103

15,20 103/261

100 100 =

+ −=RSI - зона перепроданности

Стохастические линии: %К, %D, %R.

( ) ( )555 /100% LHLСК ее −−×= , где

еК% - значение индекса текущего дня t;

Ct – цена закрытия текущего дня t;

L5 и Н5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней,

включая текущий .

%К5 = 100*(755-709)/(755-709) = 100;

%К6 = 100*(761-735)/(761-735) = 100;

%К7 = 100*(720-720)/(761-720) = 0

%К8 = 100*(739-720)/(761-720) = 46,34;

%К9 = 100*(740-720)/(761-720) = 48,78;

%К10 = 100*(678-678)/(761-678) = 0.

Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К , с той лишь разни-

цей, что при его построении величины (C t – L5) и (H5 – C5) сглаживают,

беря их трехдневную сумму.

%D t = 100 )(

)(

2 55

2 5

× −

−=

−= t

ti

t

ti t

LH

LC

12

%D7 = 72,63100 )720761()735761()709755(

)720720()735761()709755( =× −+−+− −+−+− ;

%D8 = ;67,41100 )720761()720761()735761(

)720739()720720()735761( =× −+−+− −+−+−

%D9 = ;71,31100 )720761()720761()720761(

)720740()720739()720720( =× −+−+− −+−+−

%D10 = 64,23100 )678761()720761()720761(

)678678()720740()720739( =× −+−+− −+−+− .

%R t = 100*(H5-C t)/(H5-L5), где

%R t – значение индекса текущего дня t;

C t – цена закрытия текущего дня t;

L5 и Н5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней,

включая текущий .

%R5 = 100*(755-755)/(755-709) = 0;

%R6 = 100*(761-761)/(761-735) = 0;

%R7 = 100*(761-720)/(761-720) = 100;

%R8 = 100*(761-739)/(761-720) = 53,66;

%R9 = 100*(761-740)/(761-720) = 51,22;

%R10 = 100*(761-678)/(761-678) = 100.

13

ЗАДАНИЕ 3 Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные,

приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведе-

ны в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в

рублях, Тлет – время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам пе-

ременных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные

значения параметров и выполнить расчеты.

Вари- ант

Сумма Дата началь

ная

Дата конеч- ная

Время в днях

Время в годах

Ставка Число начис- лений

Тн Тк Тдн Тлет i m 4 2000000 16.01.02 14.03.02 180 4 25 2

3.1 Банк, выдал ссуду, размером 2000000 руб. Дата выдачи ссуду -

16.01.02, возврата – 14.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1

день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 25% го-

довых. Найти:

3.1.1. точные проценты с точным числом дней ссуды:

к = 365; t = 57; i = 25%.

I = 2000000*0,25* руб19,78082 365

57 = .

3.1.2. обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

к = 360; t = 57; i = 25%.

I = 2000000*0,25* руб67,79166 360

57 =

3.1.3. обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

к = 360; t = 58; i = 25%.

I = 2000000*0,25* руб56,80555 360

58 =

3.2 Через 180 дней после подписания договора должник уплатит

2000 000 руб. Кредит выдан под 25% годовых (проценты обыкновенные).

Какова первоначальная сумма и дисконт?

S = 200000 руб, i = 0,25; t = 180; к = 360

14

P = S/(1+ni) =

360

180 25,01

2000000

×+ = 1777777,78 руб.

D = 2000000 – 1777777,78 = 222222,22 руб .

3.3 Через 180 дней предприятие должно получить по векселю

2000000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель

по учетной ставке 25% годовых (год равен 360 дням) Определить полу-

ченную предприятием сумму и дисконт.

S = 200000 руб, i = 0,25; t = 180; к = 360

D = Snd = 2000000*0,25* руб250000 360

180 =

Р = S – D = 2000000 – 250000 = 1750000 руб.

3.4 В кредитном договоре на сумму 2000000 руб. и сроком на 4 года,

зафиксирована ставка сложных процентов, равная 25% годовых. Опреде-

лить наращенную сумму.

Р = 2000000 руб.; i = 0,25; n=4

S = ( )niР +1

S = ( ) .5,48828125,012000000 4 руб=+× 3.5 Ссуда , размером 2000000 руб. предоставлена на 4 года. Проценты

сложные, ставка 25% годовых. Проценты начисляются 2 раза в год. Вы-

числить наращенную сумму.

S = ( )NmjР /1+×

S = 2000000 ( ) .03,51315692/25,01 8 руб=+×

3.6 Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет

проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 25% годовых.

j = 0,25; m = 2

jэ = ( ) 1/1 −+ mmj

jэ = ( ) %56,26..,2656,012/25,01 2 ет=−+

3.7 Определить какой должна быть номинальная ставка при начисле-

нии процентов 2 раза в год, чтобы обеспечить эффективную ставку 25%

годовых.

jэ = 25%; m = 2

15

j = m ( )[ ]11 /1 −+ mjэ j = 2* ( )[ ] %61,23..,2361,0125,01 2/1 ет=−+

3.8 Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 2000000 руб .

Определить ее современную стоимость при условии , что применяется

сложная процентная ставка 25% годовых.

S = 2000000 руб.; i = =25%; n = 4

P = S ( )ni+1 1

P = 2000000* ( ) .1,81920325,01 1

4 руб=+

3.9 Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 2000000

руб . Банк учел вексель по сложной учетной ставке 25% годовых. Опреде-

лить дисконт.

S = 2000000; dсл = 25%

Р = S ( )ndсс−× 1

D = S - P

P = 2000000 ( ) .5,63281225,01 4 руб=−×

D = 2000000 – 632812,5 = 1367187,5 руб.

3.10 В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года посту-

пает по 2000000 руб ., на которые 2 раза в год начисляются проценты по

сложной годовой ставке 25%. определить сумму на р/с к концу указанно-

го срока.

R = 2000000; n = 4; i = 25%

S = ( )( ) 11 11

−+ −+

i

i R

n

S = 2000000 ( )( ) .11531250125,01 125,01 4

руб= −+ −+×

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome