Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты  - упражнение - Эконометрика (2), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament
wklev85
wklev8525 March 2013

Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты - упражнение - Эконометрика (2), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament

PDF (298.8 KB)
34 страница
386количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Эконометрика. Тема Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Лабораторная работа. Разные варианты. Вариант 2.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 34
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, вариант 2 - контрольная работа - Эконометрика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

Контрольная работа

по дисциплине

«ЭКОНОМЕТРИКА»

Тема:

«Зависимость объема выпуска продукции от объема

капиталовложений, вариант 2»

Калуга 2008

2

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена

информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции

(Y , млн. руб.) от объема капиталовложений ( X , млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать

экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов;

оценить дисперсию остатков 2Sε ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров

уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента ).05,0( =α

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить

значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера

)05,0( =α , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.

Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения

показателя Y при уровне значимости 0,1α = , если прогнозное

значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные

значения ,Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;

• показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты

детерминации, коэффициенты эластичности и средние

3

относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим

характеристикам и сделать вывод.

X 72 52 73 74 76 79 54 68 73 64 Y 121 84 119 117 129 128 102 111 112 98

РЕШЕНИЕ:

1). Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать

экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Таблица 1

Наблюдение

Объем капиталовложений,

млн. руб.(X)

Объем выпуска

продукции, млн. руб. (Y)

1 72 121 8,9 3,5 12,25 31,15 8712 5184

2 52 84 -28,1 -16,5 272,25 463,65 4368 2704

3 73 119 6,9 4,5 20,25 31,05 8687 5329

4 74 117 4,9 5,5 30,25 26,95 8658 5476

5 76 129 16,9 7,5 56,25 126,75 9804 5776

6 79 128 15,9 10,5 110,25 166,95 10112 6241

7 54 102 -10,1 -14,5 210,25 146,45 5508 2916

8 68 111 -1,1 -0,5 0,25 0,55 7548 4624

9 73 112 -0,1 4,5 20,25 -0,45 8176 5329

10 64 98 -14,1 -4,5 20,25 63,45 6272 4096

Сумма 685 1121 0,0 0,0 752,5 1 056,5 77845,0 47675,0

Среднее 68,5 112,1 7 784,5 4 767,5

Для вычисления параметров модели следует воспользоваться

формулами и расчетными данными из таблицы 1.

( )yyi − ( )xxi − ( )2xxi − ( )

( )xx yy

i

i

−×

×− yx 2x

( )( ) ( )

404,1 5,752

5,1056

1

2

1 == −

−− = ∑

=

= n

i i

n

i ii

xx

xxyy b

xbya ⋅−=

926,155,68404,11,112 =×−=a

4

Модель зависимости объема выпуска продукции от объема

капиталовложений имеет вид

Рис. 1

Объем капиталовложений, млн. руб.(X) График подбора

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Объем капиталовложений, млн. руб.(X)

О б ъ е м

в ы п у с к а

п р о д у к ц и и

, м л н

. р у б

. (Y

)

Объем выпуска продукции, млн. руб. (Y)

Предсказанное

Объем выпуска продукции, млн. руб. (Y)

С увеличением объемов капиталовложений на 1 млн. руб. объем

выпускаемой продукции увеличится в среднем на 1,404 млн. руб.

iii xbxay 404,1926,15ˆ +=+=

5

2). Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить

дисперсию остатков 2Sε ; построить график остатков.

и т.д.

Таблица 2

ВЫВОД ОСТАТКОВ

Наблюдение X Y Предсказанное,

Остатки,

1 72 121 117,01 3,99 15,92 2 52 84 88,93 -4,93 24,30 3 73 119 118,42 0,58 0,34 4 74 117 119,82 -2,82 7,95 5 76 129 122,63 6,37 40,58 6 79 128 126,84 1,16 1,35 7 54 102 91,74 10,26 105,27 8 68 111 111,40 -0,40 0,16 9 73 112 118,42 -6,42 41,22 10 64 98 105,78 -7,78 60,53

ИТОГО 685 1121 1120,99 0 297,61 Дисперсия остатков равна

iii xbxay 404,1926,15ˆ +=+=

01,11772404,1926,15ˆ1 =×+=y

93,8852404,1926,15ˆ2 =×+=y

42,11873404,1926,15ˆ3 =×+=y

82,11974404,1926,15ˆ4 =×+=y

63,12276404,1926,15ˆ5 =×+=y

84,12679404,1926,15ˆ6 =×+=y

74,9154404,1926,15ˆ7 =×+=y

40,11168404,1926,15ˆ8 =×+=y

42,11873404,1926,15ˆ9 =×+=y

78,10564404,1926,15ˆ10 =×+=y

ii yy ˆ−=ε 99,301,1171211 =−=ε

iŷ iε 2

iε

20,37 210 61,297

2 1

2

2 = −

= −

= ∑

=

N S

N

i iε

ε

099,6= ε

S

6

Рис. 2

Объем капиталовложений, млн. руб.(X) График остатков

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80 100

Объем капиталовложений, млн. руб.(X)

О с т а т к и

7

3). Проверить выполнение предпосылок МНК.

Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе

анализа остаточной компоненты.

Оценим адекватность построенной модели, используя свойства

независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия

нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия

взять табулированные границы 2,7—3,7).

Модель является адекватной, если математическое ожидание

значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены

нормальному закону распределения.1

3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с

помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:

( ) ( )[ ]

( )∑

=

= −−

= n

t t

n

t tt

d

1

2

2

2 1

ε

εε

Используем данные табл. 3

Таблица 3

Наблюдение ( )tε ( ) 2 tε ( ) ( )1−− tt εε ( ) ( )[ ]21−− tt εε

1 3,99 15,92 - - 2 -4,93 24,30 -8,92 79,57 3 0,58 0,34 5,51 30,36 4 -2,82 7,95 -3,4 11,56 5 6,37 40,58 9,19 84,46 6 1,16 1,35 -5,21 27,14 7 10,26 105,27 9,1 82,81 8 -0,40 0,16 -10,66 113,64 9 -6,42 41,22 -6,02 36,24

10 -7,78 60,53 -1,36 1,85 Сумма 0 297,61 467,62

1 Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004.

8

61,297 62,467=d , 5712,1=d

Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от d2 до 2 (рис. 4.7).

Свойство независимости выполняется. Следовательно, модель по этому

критерию адекватна.

Анализ независимости с помощью критерия Дарбина – Уотсона

Рис. 3

1) 2) 3) 4) d1 d2 2 4

свойство не выполняется

применять другой критерий

свойство выполняется

преобразовать dn=4-d

0 d1 d2 2 4 1,08 1,36 1,5712 |r(1)|<0,36

3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на

основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 – (16n-29)/90]

Количество поворотных точек равно 6 (рис. 4).

Рис. 4

График остатков

3,99

-4,93

0,58

-2,82

6,37

1,16

10,26

-0,4

-6,42 -7,78

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

наблюдения

зн а ч е н и я

9

Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство

случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону

распределения определим при помощи RS – критерия:

[ ] ε

εε S

RS minmax −=

, где

maxε - максимальный уровень ряда остатков, 26,10max =ε

minε - минимальный уровень ряда остатков, 78,7min −=ε

eS - среднеквадратическое отклонение,

( )

1

2

− = ∑

n S te

ε , 099,620,37

8

61,297 ===eS

[ ] 96,2

099,6 )78,7(26,10 ≈−−=RS

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно,

выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому

критерию адекватна.

3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней

ряда остатков.

В нашем случае 0=ε , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

3.5. Обнаружение гетероскедастичности.

Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Гольфельда-

Квандта, необходимо упорядочить имеющиеся наблюдения по мере

возрастания, разделить совокупности на две группы, определить уравнения

регрессии (с помощью Excel), определить остаточные суммы квадратов

10

для регрессии, вычислить отношение между ними и сравнить с F-

критерием.

х1 У1 ŷ1 ε²1 х2 У2 ŷ2 ε²2 52 84 95,71 137,11 73 119 116,23 7,67 54 102 97,68 18,70 73 112 116,23 17,90 64 98 107,51 90,41 74 117 118,62 2,61 68 111 111,44 0,19 76 129 123,38 31,53 72 121 115,37 31,65 79 128 130,54 6,44

сумма 278,06 сумма 66,15

Используя надстройки Excel, найдем F – критерий равный 6,389.

Наблюдаемое F = 4,203 меньше критического, что означает, что

модель гомоскедастична.

В таблице 4 собраны данные анализа ряда остатков.

Анализ ряда остатков Таблица 4

Проверяемое свойство

Используемые статистики

Граница Вывод

наименование значение нижняя верхняя Независимость d – критерий

Дарбина- Уотсона

57,1=d

1,36 2 адекватна

Случайность Критерий пиков (поворотных точек)

6 > 2 2 адекватна

Нормальность RS – критерий 2,96 2,7 3,7 адекватна Среднее = 0 ? t – статистика

Стьюдента 0,000 -2,179 2,179 адекватна

Вывод: модель статистически адекватна

11 9832,058,44ˆ xy ×+= 22 3846,28462,57ˆ xy ×+−=

203,4 15,66

06,278

ˆ1

ˆ2 == y

y

S

S

( ) 389,64;4;05,0 21 ==== kkкрF α

11

4). Осуществить проверку значимости параметров уравнения

регрессии с помощью t-критерия Стьюдента ).05,0( =α

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с

определением расчетных значений t – критерия (t – статистики) для

соответствующих коэффициентов регрессии:

; 0

0

a р S

a t = .

1

1

a р S

a t =

Где

Расчетная таблица

Таблица 5

КоэффициентыСтандартная

ошибка t-статистика

Y-пересечение а0 15,927 15,352 1,037 Объем капиталовложений, млн. руб.(X) а1 1,404 0,222 6,315

Сравнивая расчетное значение с табличным значением (при n-2 и

степеней свободы 0,05 табличное равно 2,306004). Делаем вывод о том, что

фактор а0 следует исключить из модели, так как расчетное значение t

меньше табличного (при этом качество модели не ухудшится).

( ) ;

1

2

2

1

∑ =

− = n

i i

a

xx

S S ε

( ) .

1

2

1

22

0

=

=

−×

× =

n

i i

n

i i

a

xxn

xS S

ε

222,0 50,752

20,37 1

==aS 315,6222,0 404,1 ≈=pt

352,15 5,75210

0,4767520,37 0

= × ×=aS 037,1352,15

927,15 ≈=pt

12

5). Вычислить коэффициент детерминации, проверить

значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера

)05,0( =α , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.

Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции),

возведенный в квадрат (R2), называется коэффициентом детерминации.

Таблица 6

Расчет коэффициента детерминации

Наблюдение ( ) 2 tε

1 15,92 8,9 79,21 2 24,30 -28,1 789,61 3 0,34 6,9 47,61 4 7,95 4,9 24,01 5 40,58 16,9 285,61 6 1,35 15,9 252,81 7 105,27 -10,1 102,01 8 0,16 -1,1 1,21 9 41,22 -0,1 0,01

10 60,53 -14,1 198,81 Сумма 297,61 0,0 1780,9

Чем ближе R2 к 1, тем качество модели лучше.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,29 %

объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

( ) ( )

( ) ( )∑

− =

− −=

2

2

2

2

2 ˆ

1 yy

yy

yy

t R

t

t

tt

ε

( )yyi − ( )2yyi

8329,0 9,1780

61,297 12 ≈−=R

13

Для проверки значимости модели регрессии используется F –

критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного

ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное

значение больше табличного при заданном уровне значимости, то модель

считается значимой.

, где k – количество

факторов, включенных в модель.

F > Fтаб. =5, 32 для a = 0, 05; k1 = 1, k2 = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически

значимое, т.к. F > Fтаб.

Оценим точность модели на основе использования средней

относительной ошибки аппроксимации.

Для оценки точности полученной модели будем использовать

показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется

по формуле:

%100 ˆ1

1

× −

= ∑ n

t

tt отн y

yy

n E

, где ttt yy ε=− ˆ

( ) ( )11 2 2

−−− =

knR k

R F

( ) 8755,39210 8329,01

8329,0 ≈−× −

=F

14

Таблица 7 Расчет относительной ошибки аппроксимации

Наблюдение Y Предсказанное

Y ( )tε tt yε 1 121 117,01 3,99 0,03 2 84 88,93 -4,93 0,06 3 119 118,42 0,58 0,005 4 117 119,82 -2,82 0,02 5 129 122,63 6,37 0,05 6 128 126,84 1,16 0,01 7 102 91,74 10,26 0,10 8 111 111,40 -0,40 0,00 9 112 118,42 -6,42 0,06 10 98 105,78 -7,78 0,08

Сумма 1121 1120,99 0 0,41

13,4%10041,0 10

1 ≈××=отнE

В среднем расчетные значения предсказанного у для линейной

модели отличаются от фактических значений на 4,13 %.

Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%,

точность модели считается приемлемой.

15

6). Осуществить прогнозирование среднего значения показателя

Y при уровне значимости 0,1α = , если прогнозное значения фактора

Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение Х = 79*80 % = 63,2

Прогнозируемое значение переменной у получается при подстановке

в уравнение регрессии

ожидаемой величины фактора х.

Используя данные таблицы 2, найдем величину отклонения от линии

регрессии.

Коэффициент Стьюдента для m = 8 степеней свободы (m = n-2)

и уровня значимости 0,1α = равен 3,3554.

( ) ( ) ( )∑

=

− ++⋅=

n

i i

прогн

Y

xx

xx

n tSkU

1

2

2

ˆ

1 1α

( ) ( )

8246,21 5,752

5,682,63

10

1 13554,3099,6

2

01,0;10;2,63 = −++××==== αnxU

Таким образом, прогнозное значение будет

находиться между верхней границей, равной 104,6588 + 21,8246 = 126,4834

и нижней границей, равной 104,6588 - 21,8246 = 82,8342.

Эластичность линейной модели равна

На 85,79% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении

фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.

прогнпрогн xbay ×+= ˆˆˆ

6588,1042,63404,1926,15ˆ =×+=прогнy

099,6ˆ =yS

αt

6588,104ˆ =прогнy

8579,0 5,68404,1926,15

5,68404,1 = ⋅+

⋅= +

= xba

xb Э

16

Преобразуем график подбора (рис. 1), дополнив его данными

прогноза.

Рис. 5

Объем капиталовложений, млн. руб.(X) График подбора

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Объем капиталовложений, млн. руб.(X)

О б ъ е м

в ы п у с к а

п р о д у к ц и и

, м л н

. р у б

. (Y

) Объем выпуска продукции, млн. руб. (Y)

Предсказанное

Объем выпуска продукции, млн. руб. (Y) прогноз

верхняя граница

нижняя граница

8). Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;

• показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

8.1. Составить уравнения нелинейной регрессии гиперболической.

Уравнение гиперболической функции

Произведем линеаризацию модели путем замены В результате

получим линейное уравнение

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 8.

xbay +=

.1 xX = .ˆ Xbay ⋅+=

Таблица 8

Гиперболическая модель

Наблюдение x y X yX

X^2

|ε/y|*100%

1 72 121 0,0139 1,6806 0,0001929 8,9 79,21 117,551 3,449 11,899 2,851 2 52 84 0,0192 1,6154 0,0003698 -28,1 789,61 87,861 -3,861 14,911 4,597 3 73 119 0,0137 1,6301 0,0001877 6,9 47,61 118,608 0,392 0,154 0,329 4 74 117 0,0135 1,5811 0,0001826 4,9 24,01 119,637 -2,637 6,953 2,254 5 76 129 0,0132 1,6974 0,0001731 16,9 285,61 121,613 7,387 54,564 5,726 6 79 128 0,0127 1,6203 0,0001602 15,9 252,81 124,390 3,610 13,030 2,820 7 54 102 0,0185 1,8889 0,0003429 -10,1 102,01 91,820 10,180 103,632 9,980 8 68 111 0,0147 1,6324 0,0002163 -1,1 1,21 113,010 -2,010 4,040 1,811 9 73 112 0,0137 1,5342 0,0001877 -0,1 0,01 118,608 -6,608 43,665 5,900 10 64 98 0,0156 1,5313 0,0002441 -14,1 198,81 107,902 -9,902 98,042 10,104

Сумма 685 1121 0,1487 16,412 0,0022573 1 780,9 1121,0 0,00 350,888 46,373 Среднее 68,5 112,1 0,01487 1,6412 0,0002257 4,637

Получим следующее уравнение

гиперболической модели:

( )yyŷ( )2yyiε ( )2ŷy−

Xbay ⋅+=ˆ 7951,5557

01487,001487,00002257,0

01487,01,1126412,1 22

−≈ ⋅−

⋅−= −

⋅−⋅= XX

XyXy b

742,19401487,0)7951,5557(1,112 =⋅−−=⋅−= Xbya xy 7951,5557742,194ˆ −=

18

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 80,30% объясняется вариацией фактора X

(объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

F > Fтаб. =5, 32 для a = 0, 05; k1 = 1, k2 = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > Fтаб.

Средняя относительная ошибка

64,4%100373,4610

1 ≈××=отнE

В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на

4,64%.

( ) ( ) 8961,09,1780

888,350 1

ˆ 1

2

2

≈−= −

− −= ∑

yy

yy YXρ

8030,08961,0 222 === YXR ρ

( ) ( ) 61,32210 8030,01

8030,0 2

1 2

2

=−× −

=−× −

= n R

R F

Эластичность гиперболической модели равна

На 71,42% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении

фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.

Рис. 6

Гиперболическая модель

x График подбора

0

20

40

60

80

100

120

140

0 50 100x

y

y

Предсказан

ное y гипербола

7142,0 795,55575,68742,194

795,5557 = −⋅

= +

−= bxa

b Э

20

8.2. Составить уравнения нелинейной регрессии степенной.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию

переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей

уравнения:

Таблица 9

Логарифмирование

Наблюдение y lg(y) x lg(x) 1 121 2,0828 72 1,8573 2 84 1,9243 52 1,7160 3 119 2,0755 73 1,8633 4 117 2,0682 74 1,8692 5 129 2,1106 76 1,8808 6 128 2,1072 79 1,8976 7 102 2,0086 54 1,7324 8 111 2,0453 68 1,8325 9 112 2,0492 73 1,8633

10 98 1,9912 64 1,8062 Сумма 1121 20,4630 685 18,3187 Среднее 112,1 2,0463 68,5 1,8319

Обозначим

Тогда уравнение примет вид: линейное уравнение

регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 10.

bxay ×=ˆ

xbay lglgˆlg +=

.lg,lg,ˆlg aAxXyY === bXAY +=

Таблица 10

Степенная модель

Наблюдение y Y x X Y X

X^2

|ε/y|*100%

1 121 2,0828 72 1,8573 3,86842 3,4497 116,862 4,138 3,420 17,122 2 84 1,9243 52 1,7160 3,30207 2,9447 88,874 -4,874 5,802 23,754 3 119 2,0755 73 1,8633 3,86741 3,4720 118,226 0,774 0,650 0,599 4 117 2,0682 74 1,8692 3,86592 3,4940 119,587 -2,587 2,211 6,694 5 129 2,1106 76 1,8808 3,96963 3,5375 122,301 6,699 5,193 44,882 6 128 2,1072 79 1,8976 3,99870 3,6010 126,350 1,650 1,289 2,724 7 102 2,0086 54 1,7324 3,47969 3,0012 91,741 10,259 10,058 105,250 8 111 2,0453 68 1,8325 3,74807 3,3581 111,376 -0,376 0,338 0,141 9 112 2,0492 73 1,8633 3,81835 3,4720 118,226 -6,226 5,559 38,765 10 98 1,9912 64 1,8062 3,59651 3,2623 105,837 -7,837 7,997 61,425

Сумма 1121 20,4630 685 18,3187 37,5148 33,5923 1,621 42,52 301,355 Среднее 112,1 2,0463 68,5 1,8319 3,7515 3,3592

Перейдем к исходным переменным x и y:

Получим уравнение степенной модели регрессии:

2 iEiE

84,0 8319,18319,13592,3

8319,10463,27515,3 22

≈ ⋅− ⋅−=

⋅−⋅= XX

XYXY b

5051,08319,184,00463,2 =⋅−=⋅−= XbYA

XY ⋅+= 84,05051,0

84,05051,010ˆ xy ×=

84,01996,3ˆ xy ×=

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно

сильной.

Коэффициент детерминации равен 0,8308:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,08%

объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

F > Fтаб. =5, 32 для a = 0,05; k1 = 1, k2 = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически

значимое, т.к. F > Fтаб.

Средняя относительная ошибка

25,4%10052,4210

1 ≈××=отнE

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются

от фактических значений на 4,25%.

Эластичность степенной модели равна

На 84,0% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении

фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.

( ) ( ) 9115,08308,09,1780

355,301 1

ˆ 1

2

2

==−= −

− −= ∑

yy

yy YXρ

8308,09115,0 222 === YXR ρ

( ) ( ) 29,39210 8308,01

8308,0 2

1 2

2

=−× −

=−× −

= n R

R F

84,0==

23

Рис. 7

Степенная модель

x График подбора

0

20

40

60

80

100

120

140

0 50 100x

y

y

Предсказан ное y степенная модель

24

8.3. Составить уравнения нелинейной регрессии показательной.

Уравнение показательной кривой:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию

переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей

уравнения:

Обозначим

Получим линейное уравнение регрессии:

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 11.

Перейдем к исходным переменным, выполнив потенцирование

данного уравнения:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной.

Коэффициент детерминации равен 0,7708.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 77,08%

объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

F > Fтаб. =5, 32 для a = 0,05; k1 = 1, k2 = 8.

xbay ×=ˆ

bxay ⋅+= lglgˆlg

.lg,lg,ˆlg aAbByY === BxAY +=

0058,0 5,685,685,4767

5,680463,2604,140 22

≈ ⋅−

⋅−= −

⋅−⋅= xx

xYxY B

013,15,680058,00463,2 =⋅−=⋅−= xBYA

xY ⋅−= 0058,065,1 xy )10(10ˆ 0058,065,1 ×=

xy 013,1566,44ˆ ×=

( ) ( ) 8779,090,1780

26,408 1

ˆ 1

2

2

=−= −

− −= ∑

yy

yy YXρ

( ) ( ) 90,26210 7708,01

7708,0 2

1 2

2

=−× −

=−× −

= n R

R F

7708,08779,0 222 === YXR ρ

25

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически

значимое, т.к. F > Fтаб.

Средняя относительная ошибка

82,4%10020,4810

1 ≈××=отнE

В среднем расчетные значения для показательной модели

отличаются от фактических значений на 4,82%.

Рис. 8

Показательная модель

x График подбора

0

20

40

60

80

100

120

140

0 50 100

x

y

y

Предсказанное y

показательная модель

Таблица 11

Показательная модель

Наблюдение y У x Ух x^2

|ε/y|*100%

1 121 2,0828 72 149,96 5184 0,0365 0,0013 3,5 12,25 112,95 64,81 8,051 6,653

2 84

1,9243 52

100,06 2704 -

0,1220 0,0149 -16,5 272,25 87,24 10,47 -3,236 3,852 3 119 2,0755 73 151,51 5329 0,0293 0,0009 4,5 20,25 114,42 21,00 4,582 3,851 4 117 2,0682 74 153,05 5476 0,0219 0,0005 5,5 30,25 115,91 1,20 1,095 0,936 5 129 2,1106 76 160,40 5776 0,0643 0,0041 7,5 56,25 118,94 101,24 10,062 7,800 6 128 2,1072 79 166,47 6241 0,0609 0,0037 10,5 110,25 123,64 19,03 4,363 3,408

7 102

2,0086 54

108,46 2916 -

0,0377 0,0014 -14,5 210,25 89,52 155,78 12,481 12,237

8 111

2,0453 68

139,08 4624 -

0,0010 0,0000 -0,5 0,25 107,26 13,97 3,738 3,368 9 112 2,0492 73 149,59 5329 0,0029 0,0000 4,5 20,25 114,42 5,85 -2,418 2,159

10 98

1,9912 64

127,44 4096 -

0,0551 0,0030 -4,5 20,25 101,86 14,91 -3,861 3,940 Сумма 1121 20,4630 685 1406,04 47 675 0,0299 752,50 408,26 34,857 48,20 Среднее 112,1 2,0463 68,5 140,604 4 767,5 40,826 4,82

ŷ iEYY− ( )2YY− ( )xx− ( )2xx− ( )2ŷy−

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов

(табл. 12).

Таблица 12

параметры/модель Коэффициент детерминации

R^2

F - критерий Фишера

Индекс корреляции

рxy

Средняя относительная

ошибка

Линейная 0,8329 39,88 0,9126 4,13 Гиперболическая 0,8030 32,61 0,8961 4,64 Степенная 0,8308 39,29 0,9115 4,25 Показательная 0,7708 26,9 0,8779 4,82

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но

большее значение F – критерия Фишера и большее значение коэффициента

R2 имеет линейная модель. Её можно взять в качестве лучшей для

построения прогноза.

28

Задача 2

Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Номер уравнения

А Б переменные переменные

у1 у2 у3 х1 х2 х3 х4 у1 у2 у3 х1 х2 х3 х4 1 -1 0 b13 а11 a12 а13 0 -1 b12 0 а11 a12 а13 0 2 b21 -1 b23 0 0 а23 a24 0 -1 b23 а21 0 а23 a24 3 0 b32 -1 а31 0 a33 а34 0 b32 -1 а31 0 a33 а34

Решение

А) Составим структурную модель:

y1 = b13y3 + a11x1 + a12x2 + a13x3

y2 = b21y1 + b23y3 + a23x3 + a24x4

y3 = b32у2 + a31x1 + a33x3 + а34х4

Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и

достаточного условия идентификации.

В первом уравнении две эндогенные переменные: у1 и у3 (Н = 2). В

нем отсутствует экзогенная переменная х4 (D = 1). Необходимое условие

идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из

коэффициентов при переменных у2 и х4.

Таблица 1

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у2 и х4

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

у2 x4 2 -1 a24 3 b32 а34

В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты взяты из

уравнений 2 и 3 системы.

29

Определитель представленной в табл. 1 матрицы не равен нулю, а

ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и первое

уравнение идентифицируемо.

Во втором уравнении три эндогенные переменные: у1, у2 и у3 (Н = 3).

В нем отсутствуют экзогенные переменные х1 и х2 (D = 2). Необходимое

условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из

коэффициентов при переменных х1 и x2, которые отсутствуют во втором

уравнении (табл. 2).

Таблица 2

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных х1 и х2

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

х1 x2 1 а11 a12 3 а31 0

Определитель представленной в табл. 2 матрицы не равен нулю, а

ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе

уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении две эндогенные переменные: у2 и у3 (Н = 2). В

нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D = 1). Необходимое условие

идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из

коэффициентов при переменных у1 и х2, которые отсутствуют в третьем

уравнении (табл. 3).

Таблица 3

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у1 и х2 Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные у1 x2

1 -1 a12 2 b21 0

Определитель представленной в табл. 3 матрицы не равен нулю, а

ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и третье

30

уравнение идентифицируемо.

СФМ идентифицируема так как каждое ее уравнение

идентифицируемо.

Б) Составим структурную модель:

y1 = b12y2 + a11x1 + a12x2 + а13х3

y2 = b23y3 + а21х1 + a23x3 + a24x4

y3 = b32y2 + а31x1 + a33x3 + a34x4

Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого

и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении две эндогенные переменные: у1, и у2 (Н = 2). В

нем отсутствует экзогенная переменная х4 (D = 1). Необходимое условие

идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из

коэффициентов при переменных у3 и х4.

Таблица 4

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у3 и х4

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

у3 x4 2 b23 a24 3 -1 а34

В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты взяты из

уравнений 2 и 3 системы.

Определитель представленной в табл. 4 матрицы не равен нулю,

достаточное условие выполнено, и первое уравнение идентифицируемо.

Во втором уравнении две эндогенные переменные: у2 и у3 (Н = 2). В

нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D = 1). Необходимое условие

идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из

коэффициентов при переменных у1 и x2, которые отсутствуют во втором

уравнении (табл. 5).

31 Таблица 5

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у1 и х2

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

у1 x2 1 -1 a12 3 0 0

Определитель представленной в табл. 5 матрицы равен нулю (так как

вторая строка равна нулю), а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное

условие не выполнено, и второе уравнение неидентифицируемо.

В третьем уравнении две эндогенные переменные: у2 и у3 (Н = 2). В

нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D = 1). Необходимое условие

идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из

коэффициентов при переменных у1 и х2, которые отсутствуют в третьем

уравнении (табл. 6).

Таблица 6

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у1 и х2

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

у1 x2 1 -1 a12 2 0 0

Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель

матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и третье

уравнение нельзя считать идентифицируемым.

СФМ неидентифицируема так как не все ее уравнение

идентифицируемы.

В) По данным таблицы, используя косвенный метод наименьших

квадратов, построить структурную форму модели вида:

y1 = а01 + b12y2 + a11x1 + ε1

y2 = а02 + b21y1 + a22x2 + ε2

32

n y1 y2 x1 x2 1 28,3 51,7 7 12 2 4,4 11,5 1 1 3 33,1 64,6 10 14 4 14,6 38,4 9 4 5 35,9 64,1 7 17 6 39,5 55,0 1 20

Решение

Для построения модели мы располагаем информацией,

представленной в табл. 7.

Таблица 7

Фактические данные для построения модели n y1 y2 x1 x2 1 28,3 51,7 7 12 2 4,4 11,5 1 1 3 33,1 64,6 10 14 4 14,6 38,4 9 4 5 35,9 64,1 7 17 6 39,5 55 1 20

Сумма 155,8 285,3 35 68 Средн. знач. 26,0 47,6 5,8 11,3

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели:

y1 = d11x1 + d12x2 + u1

y2 = d21x1 + d22x2 + u2

где u1 и u2 — случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете

коэффициентов d можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних

уровней у = у - уср и х = х - хср (уср и хср — средние значения).

Преобразованные таким образом данные табл. 7 сведены в табл. 8. Здесь

же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения

коэффициентов dlk. Переменные, означающие отклонение от средних

33

значений, изображаются далее жирным шрифтом и курсивом.

Для нахождения коэффициентов d1k первого приведенного уравнения

можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

2112 2 11111∑ ∑ ∑+= xxdxdху

∑ ∑ ∑+= 2 212211121 xdxxdху

Таблица 8

Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

n y1 y2 x1 x2 y1* x1 1 2х x1* x2 y1* x2 y2* x1 y2* x2

2 2х

1 2,3 4,2 1,2 0,7 2,72 1,36 0,78 1,56 4,84 2,77 0,44

2 -21,6 -36,1 -4,8 -10,3 104,2

4 23,36 49,94

222,8 6

174,2 4

372,5 2

106,7 8

3 7,1 17,1 4,2 2,7 29,72 17,36 11,11 19,02 71,04 45,47 7,11

4 -11,4 -9,1 3,2 -7,3 -35,99 10,03 -23,22 83,36 -28,98 67,10 53,78

5 9,9 16,6 1,2 5,7 11,59 1,36 6,61 56,29 19,31 93,78 32,11

6 13,5 7,5 -4,8 8,7 -65,41 23,36 -41,89 117,2

9 -36,01 64,57 75,11

Сумм а

0,00 0,00 0,00 0,00 46,87 76,83 3,33 500,3

7 204,4

5 646,2

0 275,3

3

Подставляя рассчитанные в табл. 8 значения сумм, получим:

46,87 = 76,83d11 + 3,33d12;

500,37 = 3,33d11 + 275,33d12.

Решение этих уравнений дает значения d11 = 0,53 и d12 = 1,81.

Первое уравнение приведенной формы модели примет вид:

У1 = 0,53x1 + 1,81х2+ u1.

Для нахождения коэффициентов d2k второго приведенного уравнения

можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

2122 2 12112∑ ∑ ∑+= xxdxdху

∑ ∑ ∑+= 2 222212122 xdxxdху

Подставляя рассчитанные в табл. 8 значения сумм, получим:

204,45 = 76,83d21 + 3,33d22;

646,20 = 3,33d21 + 275,33d22.

34

Решение этих уравнений дает значения d21 = 2,56 и d22= 2,32.

Второе уравнение приведенной формы модели примет вид:

у2 = 2,56x1 + 2,32x2 + u2.

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели

найдем х2 из второго уравнения приведенной формы модели:

x2 = (у2 – 2,56х1) / 2,32.

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели,

найдем структурное уравнение:

y1 = 0,53x1 + 1,81(y2 – 2,56x1) / 2,32 = 0,53x1 + 0,78у2 – 2,00x1 =

= 0,78у2 – 1,47x1.

Таким образом, b12 = 0,78; а11 = -1,47.

Найдем x1 из первого уравнения приведенной формы модели:

х1 = (у1 – 1,81x2 ) / 0,53.

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели,

найдем структурное уравнение:

у2 = 2,32x2 + 2,56 (у1 – 1,81x2) / 0,53 = 2,32x2 + 4,82y1 – 8,73x2 =

= 4,82y1 — 6,41x2.

Таким образом, b21 = 4,82; а22 = -6,41.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений:

A01 = y1,cp – b12y2,cp – a11x1,cp = 26,0 – 0,78 • 47,6 – 1,47 • 5,8 = -2,637;

A02 = y2,cp – b21y1,cp – a22x2,cp = 47,6 – 4,82 • 26,0 – 6,41 • 11,3 = -4,926.

Окончательный вид структурной модели:

y1 = a01 + b12y2 + a11x1 + ε1 = -2,637 + 0,782y2 — 1,47x1 + ε1

y2 = a02 + b21y1 + a22x2 + ε2 = -4,926 + 4,818y1 — 6,41x2 + ε2

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome