Задачи по финмат - упражнение - Финансовая математика (4), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по финмат - упражнение - Финансовая математика (4), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (259.4 KB)
19 страница
474количество посещений
Описание
Задачи по финмат. Упражнения. Контрольная работа. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. 4.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 19
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по финмат, 4 вариант - контрольная работа - Финансовая математика

Федеральное агентство по образованию

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Финансовая математика

Тема:

«Задачи по финмат, 4 вариант»

Орел, 2009

2

Задание 1

В табл. 1.1 представлены поквартальные данные о кредитах от

коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).

Таблица 1.1

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Y(t) 31 40 47 31 34 44 54 33 37 48 57 35 42 52 62 39

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с

учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 =

0,6; α3 = 0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней

ошибки аппроксимации;

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве

критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому

коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1

= 0,32;

• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с

критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к

первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

( ) tbatYp ×+= )0()0(

Метод наименьших квадратов дает возможность определить

коэффициенты линейного уравнения по формулам:

3

93,0 42

39

)(

)())(( )0(

2 ==

− −×−

= ∑

ñð

ñðñð

tt

ttYtY b

07,3550,493,025,39)0()0( =×−=×−= ñðñð tbYa

Таблица 1.2 t Y(t) t-t ср (t-t ср )

2 Y-Y ср (Y-Y ср )×(t-t ср )

1 31 -3,5 12,25 -8,3 28,9 2 40 -2,5 6,25 0,8 -1,9 3 47 -1,5 2,25 7,8 -11,6 4 31 -0,5 0,25 -8,3 4,1 5 34 0,5 0,25 -5,3 -2,6 6 44 1,5 2,25 4,8 7,1 7 54 2,5 6,25 14,8 36,9 8 33 3,5 12,25 -6,3 -21,9

36 314 0 42 0 39 Рассчитаем:

25,39314 8

1 )(

1 =×=×= ∑ tYN Yср

50,436 8

11 =×=×= ∑N N

tср

Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

( ) ttYp 93,007,35 +=

Для сопоставления фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной

модели значений Yp(t) составим таблицу (табл. 1.3).

Таблица 1.3 t 1 2 3 4 5 6 7 8

Y(t) 31 40 47 31 34 44 54 33

Yp(t) 36,00 36,93 37,86 38,79 39,72 40,65 41,58 42,51

4

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения

экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.

Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может

служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого

года, равное )1(/)1( pYY , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за

V квартал t=5) )5(/)5( pYY . Для окончательной, более точной, оценки этого

коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое

значение этих двух величин.

[ ] [ ] 8586,02/72,39/3400,36/312/)5(/)5()1(/)1()3( =+=+=− pp YYYYF

Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV

кварталов:

[ ] [ ] 0829,12/65,40/4493,36/402/)6(/)6()2(/)2()2( =+=+=− pp YYYYF

[ ] [ ] 2702,12/58,41/5486,37/472/)7(/)7()3(/)3()1( =+=+=− pp YYYYF [ ] [ ] 7879,02/51,42/3379,38/312/)8(/)8()4(/)4()0( =+=+= pp YYYYF

Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса

(табл. 1.4) используя следующие формулы:

[ ] )()()()( LktFtbktaktYp −+××+=+

[ ])1()1()11()(/)(1)( −+−×−+−×= tbtaLtFtYta αα

[ ] )1()31()1()(3)( −×−+−−×= tbtatatb αα

)()21()(/)(2)( LtFtatYtF −×−+×= αα

5

Таблица 1.4

Модель Хольта-Уинтерса

t Y(t) a(t) b(t) F(t) Y р (t) Абс. погр.,

E(t)

Отн. погр., в %

1 2 3 4 5 6 7 8 0 - 35,07 0,93 0,7879 - - 1 31 36,03 0,94 0,8597 30,91 0,09 0,29 2 40 36,96 0,94 1,0825 40,03 -0,03 0,08 3 47 37,63 0,85 1,2576 48,14 -1,14 2,42 4 31 38,74 0,93 0,7953 30,32 0,68 2,20 5 34 39,64 0,92 0,8585 34,11 -0,11 0,31 6 44 40,58 0,93 1,0835 43,90 0,10 0,22 7 54 41,94 1,06 1,2755 52,21 1,79 3,32 8 33 42,55 0,92 0,7835 34,20 -1,20 3,62 9 37 43,36 0,89 0,8554 37,32 -0,32 0,87

10 48 44,26 0,89 1,0840 47,94 0,06 0,12 11 57 45,02 0,85 1,2699 57,60 -0,60 1,05 12 35 45,51 0,74 0,7748 35,94 -0,94 2,67 13 42 47,11 1,00 0,8771 39,57 2,43 5,79 14 52 48,07 0,99 1,0827 52,15 -0,15 0,29 15 62 48,98 0,97 1,2674 62,29 -0,29 0,47 16 39 50,07 1,00 0,7773 38,70 0,30 0,76

24,50

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t)

(разности )()( tYtY p− между фактическими и расчетными значениями

экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям

(точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим

таблицу 1.5.

6

Таблица 1.5

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t E(t) Точка поворота E(t)

2 [E(t)-E(t-1)]2 E(t)xE(t-1)

1 0,09 - 0,008 - -

2 -0,03 0 0,00 0,02 0,00

3 -1,14 1 1,29 1,22 0,04 4 0,68 1 0,46 3,30 -0,77 5 -0,11 1 0,01 0,62 -0,07 6 0,10 0 0,01 0,04 -0,01 7 1,79 1 3,22 2,88 0,17 8 -1,20 1 1,43 8,94 -2,14 9 -0,32 1 0,10 0,76 0,38 10 0,06 1 0,00 0,14 -0,02 11 -0,60 0 0,36 0,43 -0,03 12 -0,94 0 0,87 0,11 0,56 13 2,43 1 5,92 11,35 -2,28 14 -0,15 1 0,02 6,68 -0,37 15 -0,29 1 0,09 0,02 0,04 16 0,30 - 0,09 0,35 -0,09

Сумма 0,68 10,00 13,89 36,86 -4,59

Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная

погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на

фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в

среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей

(см. гр. 8 табл. 1.4) составляет 24,50, что дает среднюю величину 24,50/16 =

1,53%, что не превышает 5%.

Следовательно, условие точности выполнено.

Проверка условия адекватности.

7

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд

остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости

последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней

остаточной компоненты (гр. 2 табл. 1.5) проводим на основе критерия

поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е ( )t сравниваем с двумя

соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка

считается поворотной и в гр. 3 табл. 1.5 для этой строки ставится 1, в

противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3 табл.

1.5 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних

уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=10.

Рассчитаем значение q :

( ) ( )[ ]90/291623/22int −−−= NNq Функция int означает, что от полученного значения берется только целая

часть. При N = 16.

( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] 616,6int18,333,9int90/22723/28int90/29161623/2162int ==−=−=−×−−=q

Так как количество поворотных точек р=10 больше q=6, то условие

случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия

автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни

d1=1,10 и d2=1,37):

( ) 65,2

89,13

86,36

)(

)1()( 2

2

== −−

= ∑

tE

tEtE d

8

Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:

1,352,654/ =−=d

1,10<1,35<1,37 – критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о

независимости уровней ряда. В этом случае проверим независимость уровней

по первому коэффициенту автокорреляции.

2) по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

[ ] 33,0

89,13

59,4

)(

)1()( )1(

2 −=−=

−× =

tE

tEtE r

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента

автокорреляции меньше критического значения )1(r < rтабл., то уровни ряда

остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32.

Имеем: )1(r =0,33 > rтабл. = 0,32 – значит уровни зависимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению

определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

( ) SEERS /minmax −= ,

где maxE - максимальное значение уровней ряда остатков ( )tE ;

minE - минимальное значение уровней ряда остатков ( )tE ( )5.1 . 2. таблгр ;

S – среднее квадратическое отклонение.

( ) 63,320,143,2 ,20,1 ,43,2 minmaxminmax =−−=−−== EEEE ;

96,0 15

89,13

1

)( 2 ==

− = ∑

N

tE S

77,396,0/63,3 ==RS

Так как 3,00<3,77<4,21, полученное значение RS попало в заданный

интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному

распределению.

9

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по

t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны

коэффициенты ( )ta и ( )tb определяется количеством исходных данных и равно

16. Рассчитав значения ( )16a и ( )16b (см. табл. 1.4) по формуле:

( ) ( ) ( )[ ] ( )LktFtbktaktYp −+××+=+ ,

где k – период упреждения;

( )tYp - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

( ) ( ) ( )tFtbta и , - коэффициенты модели;

( )LktF −+ - значение коэффициента сезонности того периода, для

которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t =

17, 18, 19 и 20.

[ ] [ ] 79,448771,000,1107,50)13()16(1)16()17( =××+=××+= FbaYp

[ ] [ ] 38,560827,100,1207,50)14()16(2)16()18( =××+=××+= FbaYp

[ ] [ ] 26,672674,100,1307,50)15()16(3)16()19( =××+=××+= FbaYp

[ ] [ ] 03,427773,000,1407,50)16()16(4)16()20( =××+=××+= FbaYp

На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и

расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год

вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с

фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

10

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Ряд1 Ряд2

Рис. 1. Сопоставление расчетных (ряд 1) и фактических (ряд 2) данных

11

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10

дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

-индекс относительной силы;

- % R, %K, % D

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно

выполнить на основании имеющихся данных.

дни

цены

макс. мин. закр.

1 735 701 715 2 750 715 738 3 745 715 720 4 725 707 712 5 738 702 723 6 747 716 744 7 835 755 835 8 875 812 827 9 853 821 838

10 820 760 767

1) Экспоненциальная скользящая средняя (EMA) определяется

рекуррентной формулой

ЕМАt=k*Ct+(1-k)*EMAt-1

Здесь k=2/ n+1 – коэффициент сглаживания;

Ct – цена закрытия текущего дня t;

EMAt-значение ЕМА текущего дня t;

EMA t-1 - значение EMA вчерашнего дня t-1.

12

Значения EMAt рассчитывают по указанной рекуррентной формуле для

1nt +≥ .

В качестве начального значения ЕМАn берут значение простой

скользящей средней MAn.

Для определения начального значения ЕМА, используем формулу

простой скользящей средней.

ЕМА 5 = МА5= 1/5 *(715+738+720+712+723)=720,01

Дальнейшие расчеты выполним по формуле экспоненциальной

скользящей средней при k=2/5+1=1/3. Получим

ЕМА6=1/3*744+2/3*728,01=733,34

ЕМА7=1/3*835+2/3*763,67=783,3

ЕМА8=1/3*827+2/3*784,78=798,89

ЕМА9=1/3*838+2/3*802,52=814,3

ЕМА10=1/3*767+2/3*790,68=782,82

t Ct EMA(t)

1 715 2 738 3 720 4 712 5 723 6 744 728,01 7 835 763,67 8 827 784,78 9 838 802,52 10 767 790,68

Покажем исходные цены закрытия и найденную экспоненциальную

среднюю на графике, проведем анализ

13

С 5-го по 6-й день при восходящем тренде скользящая средняя находится

под графиком цен – следует покупать;

2) Момент

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены

n дней тому назад:

MOMt=Ct-Ct-n

Значения МОМt, рассчитывается t>=n+1

МОМ(6)=744-715=29 МОМ(7)=835-738= 97 МОМ(8)=827-720=107 МОМ(9)=838-712= 126 МОМ(10)=767-723= 44

t Ct МОМ(t)

1 715 2 738 3 720 4 712 5 723 6 744 29 7 835 97 8 827 107 9 838 126 10 767 44

Положительные значения момента говорят об относительном росте цен;

Поэтому при анализе графика MOMt следует обратить внимание на его

расположение по отношению к горизонтальной линии нулевого уровня.

В 9-й день рекомендуется покупка финансового инструмента;

14

В 10 день рекомендуется продажа финансового инструмента;

3) Скорость изменения цен;

Скорость изменения цен ROC, рассчитывается как отношение конечной

цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

ROCt=Ct/Ct-n*100%

ROC6=744/715*100%=104,06

ROC7=835/738*100%=113,14

ROC8=827/720*100%=114,86

ROC9=838/712*100%=117,70

ROC10=767/723*100%=106,09

t Ct ROC(t)

1 715 2 738 3 720 4 712 5 723 6 744 104,06 7 835 113,14 8 827 114,86 9 838 117,70 10 767 106,09

15

В 6-й 7-ой и 8-й день если график скорости изменения цен расположен

выше уровня 100%, рекомендуется покупка финансового инструмента;

С9-го по 10 дни рекомендуется продажа финансового инструмента;

4) Индекс относительной силы

Значения RSI изменяются от 0 до 100. Этот индикатор может подавать

сигналы либо одновременно с разворотом цен, либо с опережением, что

является его важным достоинством.

RSI= 100-100/1+AU/AD,

где, AU - сумма приростов конечных цен за n дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n дней;

Расчеты приведены в таблице

Дни Цены закрытия Изменение

(+/-) RSI

1 715 - - 2 738 23 - 3 720 -18 - 4 712 -8 - 5 723 11 - 6 744 21 95,2 7 835 91 -49,0 8 827 -8 -21,3 9 838 11 -62,5

10 767 -71 600,0

16

Рассмотрим график RSI

5) %R, %K, %D

Стохастические линии строятся на основе – данных о ценах закрытия Ct,

минимальных Lt и максимальных Ht ценах.

Чаще всего используются кривые %K; %R; %D.

Расчеты представлены в таблице

Дни Цены %Кt %Rt %Dt

макс. мин. закр. 1 735 701 715 - 2 750 715 738 - - 3 745 715 720 - - 4 725 707 712 - - 5 738 702 723 34,78 65,22 6 747 716 744 90,32 9,68 7 835 755 835 383,87 -283,87 169,66 8 875 812 827 358,06 -258,06 277,42 9 853 821 838 393,55 -293,55 378,49 10 820 760 767 164,52 -64,52 305,38

Рассмотрим стохастические линии %R, %K, %D на графике

17

График %R

В 7,8,9 – дни рекомендуется прекратить финансовые операции (график

находится в критической зоне «перепроданности»);

График %К

Является зеркальным отражением графика %R. Для него верхняя

критическая зона является зоной «перекупленности», а нижняя – зоной

«перепроданности». Таким образом, выводы по графику %К совпадают с

выводами по графику %R.

18

Задание 3

3.1. Банк выдал ссуду, размером 1500000 руб. Дата выдачи ссуды

17.01.02, возврата 13.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день.

Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 20% годовых. Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

3.1.1) К = 365, t = 57, I = 1500000 * 0,20 * 55 / 365 = 45205,48 руб.

3.1.2) К = 360, t = 57, I = 1500000 * 0,20 * 55 / 360 = 45833,33 руб.

3.1.3) К = 360, t = 58, I = 1500000 * 0,20 * 56 / 360 = 46666,67 руб.

3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатил 1500000

руб. Кредит выдан под 20% годовых (проценты обыкновенные). Какова

первоначальная сумма и дисконт?

Решение

P = S / (1 + ni) = 1500000 / (1 + 0,20 * 180 / 360) = 1363636,36 руб.

D = SP = 1500000 – 1363636,36 = 136363,64 руб.

3.3. Через 180 предприятие должно получить по векселю 1500000 руб.

Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке

20% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием

сумму и дисконт.

Решение

D = Snd = 1500000 * 0,20 * 180 / 360 = 150000,00 руб.

P = SD = 1500000 – 150000 = 1350000,00 руб.

3.4. В кредитном договоре на сумму 1500000 руб. и сроком на 4 года,

зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20% годовых. Определить

наращенную сумму.

Решение:

S = P * (1+i)n = 1500000 * (1 + 0,20)4 = 3110400,00 руб.

19

3.5. Сумма размером 1500000 руб. представлена на 4 года. Проценты

сложные, ставка 20% годовых. Проценты начисляются 2 раза в году.

Вычислить наращенную сумму.

Решение:

N = 4 * 2 = 8

S = P * (1+j / m)N = 1500000 * (1 + 0,20 / 2)8 = 3215383,22 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет

проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 20% годовых.

Решение:

= (1 + j / m) m - 1 = (1 + 0,20 / 2)2 – 1 = 0,2100, т.е. 21%.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении

процентов 2 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 20% годовых.

Решение:

j = m * [(1 + ) 1/m - 1] = 2 * [(1 + 0,20)(1/2) – 1] = 0,19089, т.е. 19,089%.

3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 1500000 руб.

Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная

процентная ставка 20% годовых.

Решение: 63,723379)20,01( 1500000 )1(

1 )4( =+×== +

= −n n

Sv i

SP руб.

3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 1500000

руб. Банк учел вексель по учетной ставке 20% годовых. Определить дисконт.

Решение:

P = S (1 – dсл) n = 1500000 * (1 – 0,20)4 = 614400,00 руб.

D = SP = 1500000 – 614400,00 = 885600,00 руб.

3.10. В течение 4 года на расчетный счет в конце каждого года поступает

по 1500000 руб., на которые 2 раза в году начисляются проценты по сложной

годовой ставке 20%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного

срока.

Решение:

50,8168491 1)2/20,01(

1)2/20,01( 1500000

1)/1(

1)/1( 2

)24(

= −+

−+×= −+ −+×=

×

m

mn

mj

mj RS руб.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome