Задачи по матанализу, вариант №9 - конспект - Математический анализ, Упражнения из . Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics
Ivan_Bunin
Ivan_Bunin1 March 2013

Задачи по матанализу, вариант №9 - конспект - Математический анализ, Упражнения из . Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics

PDF (96.3 KB)
7 страница
662количество посещений
Описание
Упражнения и задачи по матанализу Задачи и ответы
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 7
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по матанализу, вариант №9 - контрольная работа - Математический анализ

1

Всероссийский заочный финансово – экономический институт. Орловское представительство

Факультет: финансово – кредитный Кафедра: Высшей математики

Контрольная работа № 1

Дисциплина: Математический анализ и линейная алгебра Тема: Задачи по матанализу, вариант №9

2

Задание №1 Найти неопределенные интегралы:

1) ( )∫ + xx dx

32

2) ( ) dxex x22 −∫ − Решение:

Для нахождения интеграла ( )∫ + xx dx

32 применяем метод замены

переменной. Получим xt = тогда 2tx = dttdx *2= найденные значения подставляем в интеграл

( ) ( ) ( ) Ct

t

td

t

dt

tt

dtt y ++=

+ +=

+ =

+ = ∫∫∫ 32ln3

2

32

32

3

2

32 2

32

*2 возвращаемся к х

( ) Cty ++= 32ln 3

2

Ответ: ( ) Ct ++ 32ln 3

2 .

Задание №2 Найти неопределенные интегралы:

( ) dxex x22 −∫ − Решение: Для нахождения интеграла ( ) dxex x22 −∫ − воспользуемся методом интегрирования по частям. Получим u=(2-x) dv= dxe x *2− находим du=-dx

Cedxeduv xx +−=== −−∫ ∫ 22

2

1 .

По формуле интегрирования по частям ∫ ∫== vduudvy получаем

( ) ( ) ( )

( ) ( )

CCxexCC

exCexCexCCeCexdxC

xdexCexCedxCeCexy

x

xxxxx

xxxxx

++=++

++−++−=+++ 

  

 +−−=−−

−−+−++−=− 

  

 +−− 

  

 +−−=

−−−−−

−−−−−

∫∫

1 2

1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2

2 2

1

4

1

2

1 2

4

1

4

1

2

1 2

2 2

1

2

1

2

1 2

2

1 2

2

1

2

1 2

Ответ: искомый интеграл равен CCxe x ++− 12 22 1 .

Задание №3 Вычислить определенные интегралы:

dx x

x ∫ +

9

4 1

Решение:

3

Для вычисления интеграла y= dx x

x ∫ +

9

4 1 применим замену переменной.

Примем ( ) 222 ;; txtxxt === и dx=2t*dt. Если х=4, то t=2, если х=9, то t=3. После замены переменной получаем ∫ +

= 3

2 1

*2*

t

dttt y

dt tt

t dt

t

t

t

dtt y ∫∫∫ 

  

+ +

+ −=

+ +−=

+ =

3

2

23

2

23

2

2

1

1

1

1 2

1

11 2

1 2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12ln213ln212131ln21 2

1 2

1

1 2112

1 212

1

1

1

11 2

22 3

2

3

2

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

+−++−−−=++−

= + ++−−=

+ +−=

  

+ +

+ −+=

∫∫

∫∫∫ ∫∫

tt

t

td tdt

t

dt dttdt

tt

tt y

3

4 ln233ln24ln23 +=−+=y

Ответ: dx x

x ∫ +

9

4 1 =

3

4 ln23 +

Задание №4 Вычислить определенные интегралы:

dx x

x ∫ −

−3

2

3

1

3

Решение: 32 −x представим ( )( ) 21121 23 −++−=−− xxxx тогда

( )( )

1

2 1

1

2

1

11

1

3 2 23

− −++=

− −

− ++−=

− −

x xx

xx

xxx

x

x

( ) ( ) ∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫∫ −−++=−−−++= 



− −++=

3

2

3

2

3

2

2 3

2

3 3

2

3

2

3

2

3

2

2 3

2

2 1ln2 2

1

3

1 1

1

2 *

1

2 1 xxxxxd

x dxdxxdxxdx

x xxy

2ln2 6

59 2ln2

6

11 82ln2

2

9

3

8 8

2ln212 2

9

3

8 9

1ln213ln2234 2

1 9

2

1 8

3

1 27

3

1

−=−+=−+−=

−+−+−=

+−−−+−+−=

y

y

y

Ответ: dx x

x ∫ −

−3

2

3

1

3 = 2ln2 6

59 − .

Задание №5 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями:

0,4, 22 =−== yxxyxy . Решение:

4

Для схематического построения фигуры ограниченной указанными линиями проведем анализ графиков 22 4, xxyxy −== . Кривая 21 xy = является параболой с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ординат.

2 2 4 xxy −= - так же парабола координату х вершины кривой 2y найдем из

уравнения ( ) 04 '22' =−= xxy , 4-2х=0, 2' =x . Ордината вершины определяется из ( ) 2'''2 4 xxxy −= , 422*4 2/ =−=y , 4/ =y координаты вершины А(2;4). Точки пересечения кривой ( )xy1 с осью х определяется из о=4х- ( )xxx −= 42 . Две точки х=0 и х=4 то есть О(0;0) и B(4;0). Общие точки пересечения кривых определяется из совместного решения уравнений 2xy = , 21 4 xxy −= ,

( ) 20

02

02

4

21

2

22

== =− =−

−=

иxx

xx

xx

xxx

Таким образом, пересечение линий 2xy = и 21 4 xxy −= происходит в начале координат и в вершине параболы 24 xxy −= в точке А(2;4). Из построенного графика определяем, что объем тела образуется вращением плоской фигуры вокруг оси Oy ограниченной с низу осью х справа кривой

2y от точек А до В , слева линией 1y от точки А до точки О то есть плоской фигуры ОАВ.

5

Задание №6 Пользуясь разложением подынтегральной функции в ряд Маклорена,

вычислить интеграл ( )dxx∫ + 5,0

0

1ln с точностью до 0,001. Вычислить этот же

интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Сравнить полученные результаты. Решение: Ряд Маклорена представлен формулой:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.... !

0

!6

0

!5

0

!4

0

!3

0

!2

0 00 6

6 5

5 4

4 3

''' 2

'' ' ++++++++= n

n

x n

f x

f x

f x

f x

f x

f xffxf

В данном случае f(x)=ln(1+x). При x=0 функция f(0)=ln(1+0), f(0)=ln1, а ln1=0 получаем f(0)=0. Находим производные от функции f(x)=ln(1+x) и определяем их значения при x=0,

( ) ( ) ( ) 1 01

1 0

1

1 1ln 111 =

+ ==−−

+ =+= fxпри

x xxf ,

( ) ( ) 01 1

1

1 2 1

11 =−− +

−= 

  

+ = xпри

xx xf ( ) 1011 −=f ,

( ) ( )

( )( ) ( )( ) 1212 1

2

111 121 1

1 −−− +−−=+−= 

   

+ −= xx

x xf ,

( ) ( ) 012 3111 =−−+= − xприxxf ( ) 2 1

2 1*20

3

3111 === −f ,

( ) ( )( ) ( )( ) 4134 13212 −− +−=== xxxf при х=0,

( ) ( )( ) 6132 44 −=+−= −xxf , ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) .1200

01524124

,240

014616

6

6156

5

5145

=

=−−+−=+=

= =−−+−−=+−=

−−

−−

f

xприxxxf

f

xприxxxf

Для ясности выпишем значения производных при х=0 значение f(0)^ ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .1200

,240

,60

,20

,10

,10

,00

6

5

4

111

11

1

−=

=

−= =

−=

=

=

f

f

f

f

f

f

f

Эти значения подставим в формулу ряда Маклорена:

6

( ) ( )

( ) ... 6*5*4*3*2*1

120

5*4*3*2*1

24

4*3*2*1

6

3*2*1

2

2*1 1ln

.... !6

120

!5

24

!4

6

!3

2

!2

1 *101ln

65432

65432

+−+−+−=+

+−++−++−++=+=

xxxxx xx

xxxxxxxxf

Окончательно получаем разложение функции ln(1+x) так как остальные члены разложения от n и далее n+1 отброшены:

( ) ... 65432

1ln 65432

+−+−+−≈= xxxxxxx

Вычисляем интеграл:

( )

. 65

432 *

65432 1ln

5.0

0

5.0

0

65

5.0

0

45.0

0

35.0

0

5.0

0

25.0

0

654325.0

0

dx x

dx x

dx x

dx x

dx x

dxxdx xxxxx

xdxx

∫ ∫

∫∫∫ ∫∫∫

−+

+−+−= 

  

 −+−+−=+

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

.000186011.00 42

5.0

6*76

,00052083.00 30

5.0

5*65

,0015625.00 20

5.0

4*54

,0052083.00 12

5.0

3*43

,02083.00 6

5.0

2*32

,125.00 2

5.0

2 *

5.0

0

775.0

0

6

5.0

0

665.0

0

5

5.0

0

555.0

0

4

5.0

0

445.0

0

3

5.0

0

335.0

0

2

5.0

0

25.0

0

2

−=+−=−=−

=−==

−=+−=−=−

=−==

−=+−=−=−

=−==

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

x dx

x

x dx

x

x dx

x

x dx

x

x dx

x

x dxx

Заменим результаты вычисления вряд:

( ) .00018611.000052083.00015625.00052083.002083.0125.01ln 5,0

0

−+−+−=+∫ dxx

По условию задачи погрешность задана 001.0=nr .

Для достижения заданной погрешности последние члены суммы ряда можно отбросить и первый отброшенный член ряда с которого отбрасываются все последующие остальные, будет пятый (ибо погрешность не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена). 0,00052083<0.001 Окончательно

( ) 1078.01078158.00015625.00052083.002083.0125.01ln 5,0

0

≈=−+−≈+∫ dxx ,

а) ( ) 1078.01ln 5,0

0

≈+∫ dxx .

7

Вычисляем этот же интеграл другим способом без разложения вряд по формуле Ньютона-Лейбница.

Дано ( )dxx∫ + 5,0

0

1ln .

Решение: Применяем интегрирования по частям.

Пусть ( ) dxdvdxxu =+= ;1ln тогда 11+

= dxdu v=x.

Применим формулу по частям получаем

( ) ( ) dx x

x xxdxx ∫ ∫∫ +

−+=+ 5.0

0

5.0

0

5,0

0 1 1ln*1ln .

Для нахождения интеграла ∫ + 5.0

0 1 dx

x

x делаем подстановку 1+x=t тогда dx=dt,

x=t-1 . Находим новые пределы интегрирования: если х=0, то t=1; если х=0,5, то t=1.5

( ) 5.1ln5.01ln5.1ln15.1ln111 5.1

1

5.1

1

5.1

1

5.1

1

5,1

1

5.1

1

−=−−−=−=−= 

  

 −=− ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ttt dt

dtdt t

dt t

t .

Вычислим ( )∫ =−=+ 5.0

0

5.1ln5.005.1ln5.01ln xx определяем значение интеграла

( ) ( ) 5.05.1ln5.15.1ln5.05.1ln5.05.1ln5.05.1ln5.01ln 5.0

0

−=−−=−−=+∫ dxx

( ) 1081975.05.06081275.05.05.1ln5.11ln 5.0

0

=−≈−=+∫ dxx

б) ( ) 1082.01ln 5.0

0

≈+∫ dxx с заданной погрешностью сравнивая результаты

вычислений интегралов а и б получим 0,1082-0,1078=0,0004.

Ответ: При вычислении интеграла ( )dxx∫ + 5,0

0

1ln методом приближенных

вычислений получаем результат с данной точностью: y=0,1078. При вычислении интеграла по формуле Ньютона-Лейбница получаем результат y=0,1082. Расхождения составляет 0004,0=∧ .

Точный без погрешностей результат ( ) 5.05.1ln5.11ln 5.0

0

−=+∫ dxx .

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome