Векторы. Действия над векторами - конспект - Математика, Конспект из Математика
petr_j
petr_j13 June 2013

Векторы. Действия над векторами - конспект - Математика, Конспект из Математика

PDF (214.3 KB)
3 страница
248количество посещений
Описание
Kazan State Finance and Economics Institute. Лекция конспект по математике. Векторное произведение 2х векторов. Смешанное произведение векторов и его свойства.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ è ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç.

1. Векторы. Действия над векторами. Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну. 1.умножение на число: произведение вектора А на число  наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) >0, то АВ, <0, то АВ. в)>1, то А<В, )<1, то А>В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4.

Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис. Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.

Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в

пространстве.

ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе

4. Действия над векторами. а=х1i+y1j+z1k; b=х2i+y2j+z2k *a=(х1i+y1j+z1k)= (х1)i+ (y1)j+(z1)k ab=(x1x2)i+(y1y2)j+(z1z2)k ab=x1x2i i+y1x2 i j+x2z1k i+x1y2 i j+y1y2 j j+ z1y2kj+x1z1ik+y1z2jk+z1z2kk=x1x2+y1y2+z1z2 ii=1; ij=0; и т.д. скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. аа=x2+y2+z2=|a|2 a{x,y,z}, aa=|a|*|a|, то a2=|a|2

ab=|a|*|b|*cos

а)ав=0,<=>ав, x1x2+y1y2+z1z2=0 б)а||в - коллинеарны, если , x1/x2=y1/y2=z1/z2

5. Скалярное произведение векторов и его свойства. -(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а,в)- скалярное произведение. а*в=|а|*|в|*cos, =/2, cos/2=0, ab=>ab=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).

6. Векторное произведение 2х векторов.

левая ----- правая Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sin. 2. ca и cb. 3. тройка а,в,с-правая.

7. Смешанное произведение векторов и его свойства. Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где a={ax,ay,az} b={bx,by,bz} c={cx,cy,cz} С в - в а : 1. При перестановке 2х сомножителей: a*b*c=-b*c*a 2. не меняется при перестановке циклических сомножителей: a*b*c=c*a*b=b*c*a 3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0 б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах если a*b*c>0, то тройка a,b,c - правая если a*b*c<0, то тройка a,b,c - левая

8. Уравнение линии и поверхности. 1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром.

O(a,b,c) |OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c}

r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- уравнение сферы. x2+y2+z2=r2- ур-е сферы с центром точке(0,0). F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащей на поверхности. 2. Уравнение окружности

|OM|=r, OM={x-a,y-b)

r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- ур-е окружности а=b=0, то x2+y2=r2 F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости.

9. Плоскость в пространстве. Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.

N-вектор нормали M0M{x-x0,y-y0,z-z0}

Для того, чтобы точка MP, необходимо и достаточно чтобы вектора NM0M(т.е. N*M0M=0) A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку вектору.

10. Общее уравнение плоскости. Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0 -Ax0-By0-Сz0=D, где D=Ax+By+Сz Ax+By+Сz+D=0 Частный случай: Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0) Если A=0, то By+Сz+D=0 Если B=0, то Ax +Сz+D=0 Если C=0, то Ax+By+D=0 Если A=B=0, то Сz+D=0 Если A=C=0, то By+D=0 Если A=D=0, то By+Сz=0 Если B=D=0, то Ay+Сz=0

11. Взаимное расположение плоскостей.

N1,N2-нормальные векторы плоскости. P:A1x+B1y+C1z+D1=0 Q:A2x+B2y+C2z+D2=0 PQ{A1,B1,C1} QN2{A2,B2,C2}

1)Пусть PQ<=>N1N2 A1A2+B1B2+C1C2=0 условие перпендикулярности PQ. 2) Пусть PQ<=> N1N2

A1/A2=B1/B2=C1/C2- Условие параллельности 2х плоскостей. A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2- Условие совпадения 2х плоскостей.

12. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

M0M{x-x0,y-y0,z-z0}

Чтобы точка Мпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M0M||S

13. Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.

l m n S{x2-x1,y2-y1,z2-z1}

14. прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой.

P:A1x+B1y+C1z+D1=0 Q:A2x+B2y+C2z+D2=0

Общее ур-е прямой в пространстве. Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор: 1. Найдем начальную точку: Z=0

M0(x0,y0,0), т.к. Z=0 2. Найдем направляющий вектор S-? PN1{A1,B1,C1} QN1{A2,B2,C2} S=N1*N2

16. Взаимное расположение прямой на плоскости. P:A1x+B1y+C1z+D1=0N1{A1,B1} Q:A2x+B2y+C2z+D2=0N2{A2,B2} а)

то

б)

pq<=> N1||N2, то A1/A2=B1/B2 в)

p||q<=> N1N2, то A1A2+B1B2=0

17. Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи. Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку  заданному вектору. M0(x0,y0)

M0M{x-x0,y-y0} n*M0M=0 A(x-x0)+B(y-y0)=0 Ax+By-Ax0-By0=0 -Ax0-By0=C Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости.

18.19. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом.

y-y1=k1(x-x1) y=k1x-k1x1+y1 y1-k1x1=b y=k1x+b ур-е прямой с угловым коэффициентом k.

Пусть даны 2 точки M1(x1,y1), M2(x2,y2) и x1x2, y1y2. Для составления уравнения прямой М1М2 запишем

уравнения пучка прямых, проходящих через точку М1: y-y1=k(x-x1). Т.к. М2лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка,

подставим координаты точки М2 в уравнение пучка М1: y-y1=k(x-x1) и найдем k:

Теперь вид искомой прямой имеет вид: или:

- Ур-е прямой, проходящей ч/з 2

20,21. Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия || и. а)

S1{l1,m1} S2{l2,m2},

или p:y=k1x+b1, k1=tg1 q:y=k2x+b2, k2=tg2 =>tg=tg(2-1)= = ( t g  2 - t g  1 ) / ( 1 + tg1tg2)=

=(k2-k1)/(1+k1k2). б) p||q, tg=0, k1=k2 в ) p  q , т о

22. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве. 1. Ax+By+C=0, M0(x0,y0)

2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0

23. Кривые линии 2-го порядка. Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса - Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x2+b2=a2 - ур-е окружности. б) Ур-е гиперболы: x2/a2-y2/b2=1

в) ур-е параболы: y2=2px или y=ax2 г) ур-е сферы: x2+y2+z2=а2 (r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2) д) ур-е эллипса: x2/a2-y2/b2+z2/c2=1

24. Парабола и ее свойства. Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2, где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид y2=2px-симметрично отн. оси ОХ х2=2pу-симметрично отн. оси

ОУ Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса. Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2 Св-ва: 1. парабола предст. собой  точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax2.

25.Эллипс и его св-ва: Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки Аx2+Cy2= ур.-е

наз. канонич. ур.-ем эллипса, где

При а=в представляет собой ур-е окружности х2+y2=а2

Точки F1(-c,0) и F2(c,0) - наз. фокусами эллипса а. Отношение =с/а наз. его

эксцентриситетом (0<=<=1) Точки A1,A2,B1,B2 -вершины эллипса. С в - в о : Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

26. Гипербола и ее св-ва. Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax2+Cy2=, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0 б) Если >0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x2/a2-y2/b2=1, F1(c,o) и F2(-c,0) - фокусы ее, >0, =c/a - эксцентриситет. С в - в о : для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если =0, ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0, получаем 2 перекрестные прямые х/ау/b=0 в) если <0, то x2/a2-y2/b2=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.

27. Понятие о поверхностях 2го порядка. Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+y+F=0, где A,B,C,D,,F - действительные числа Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка.

28. Функции. Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции. Функция - это зависимость одной величины от другой. Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x). Определение способа задания: -аналитически (y=kx+b) -графический (график) -таблично

x 1 2 3 y 4 5 8

-алгоритмически (с помощью ЭВМ) Классификация функций: Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции: 1. y=xn - степенная 2. y=ax - показательная 3. y=logax - логарифмическая 4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические. Сложные: Y=f(U), где U=(x), Y=f[(x)] Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[(x)] называется сложным заданием х.

29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной. а) Предел последовательности: y=f(Un), где U1,U2,...Un, а Un=n/(n2+1) Предел: число а называется пределом переменной xn, если для каждого “+” как угодно малого числа (эпсилон) существует такой номер N, что при n > N р а з н о с т ь |xn-a|< limxn=a n -<Xn-a< a-<Xn<a+ б) Предел ф-ции: y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a|0, |x-a|< Число А называется пределом ф-ции f(x) при ха, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа . ->0, найдется такое как угодно малое на период заданного >0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|<, то |f(x)-A|< Основные св-ва: 1.Если величина имеет предел, то только 1. 2. limC=C, где С- постоянная величина 3. Если -б.м.в., то lim=0 4. предела б.б.в. не существует 5. если limy=a, то y=a+, где -б.м.в.

30. Основные теоремы о пределах. 1. Предел суммы = суммы пределов: limx=a, limy=b, тогда x=a+, y=b+, где  и  - б.м.в. x+y=(a+)+(b+)=(a+b)+(+), где +=- б.м.в. xy=(ab)+, то lim(xy)=ab=limx+limy. 2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и

произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей. limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва x=a+ y=b+, где  и  - б.м.в. x*y=(a+)*(b+)=a*b+(b+a+), то

сумма б.м.в. = (дельта) xy=ab+ xyab, limxy=ab=limx*limy 3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела. limCx=limC*limx=C*limx 4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0 limx/y=limx/limy, т.к. limx=a, limy=b x=a+, y=b+ x/y=(a+)/(b+)

31. 1й, 2й замечательный пределы. 1й: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x0

j lim((Sin)/)=1 x0 SOAC<SсектораOAC<SOCB SOAC=1/2*OC*AD,

OA=OC=1, то SOAC=1/2*OC*OA*Sin=1/2*Sin SсектораOAC=1/2*OA*OC*=1/2*(т.к. OA=OC) SOCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tg=1/2*tg 1/2*Sin<1/2*<1/2tg //*2 sin<<tg//:sin 1</sin<1/cos, =>cos<sin/<1, limCos<lim((Sin)/)<lim1, по признаку 0 0 существования предела ф-ции lim((Sin)/)=1

0 2ой: lim(1+1/n)n=e2.7183 n Зная, что 1/n= - б.м.в., то n=1/ и x 0 lim(1+1/n)1/=e 0

32. Основные приемы нахождения пределов. 1. Подстановка: при хх0 и х0области определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х0 limf(x)=f(x0) xx0 2. Сокращение: при х и хх0 f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0. 3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число). 4.деление на наивысшую степень х: при х и хх0 f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень. 5. сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1 x lim(1+1/n)x=e x 33. Непрерывность ф-ции в точке и на

интервале. x=x0+x, x=x-x0 y=f(x0+x)-f(x0) Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x0, если она

определена в окрестности этой точки, а limy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции). limy=lim[f(x)-f(x0)]=limf(x)-limf(x0)=0, то limf(x)=limf(x0) xx0 Ф-ция непрерывна в точке х0, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х0 Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

34. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности.

а) если все значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции (x) и g(x), которые имеют 1 предел при ха, то и limf(x)=A (x)<=f(x)<=g(x), где lim(x)=А, limg(x)=А, то limf(x)=A. ха б) Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел. Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (xn+1>xn) Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что xn<=M.

35. Бесконечно малые величины и их св-ва: величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.(=m/V, если V, то 0) Св-ва б.м.в.: -сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в. ( и -б.м.в., то =б.м.в.) -произведение б.м.в. на величину ограниченную есть б.м.в. (U<=M, то *U=б.м.в.) -произведение б.м.величин=б.м.в. -произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в

36. Бесконечно большие величины и их св-ва. б.б.в - величина для которой |Xn| (при xn=1/n, n0, то xn) Св-ва: -величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/=0; 1/0=) -сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в. -произведение 2х б.м.величин=б.м.в. -частное от деления 2х б.б.в = неопределенность

38. Св-ва непрерывных ф-ций:в в отрезке: 1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши.

2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке. 3. Если ф-ция y=f(x)

непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке min m и max M (теорема Вейерштрасса). в точке: 1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х0, то их сумма, произведение, частное (при (х0)0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х0 2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х0, и f(x0)>0, то существует окрестность х0, в которой f(x)>0 3. если y=f(U) непрерывна в U0, а U=(x) непрерывна в U0=(x0), то сложная ф-ция y=f[(x)] непрерывна в х0.

39. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной и ее геометрический смысл. 1. cp.=S/t, =lim(S/t), где t0 2. pcp.=m/l, pT=lim(m/l), где l0 y=f(x+x)-f(x), y=f(x) lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x) x0 x0 Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента. y=f(x+x)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента: lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)=dy/dx x0 x0 Вычисление производной: lim(y/x)=y` x0 1) если y=x, y=x, y`=x=lim(y/x)=1. 2) если y=x2, y=(x+x)2-x2=x2+2xx+x2-x2=x(2x-x), (x2)`=lim((x(2x+x))/x)=lim(2x+x)=2x x0 x0 Геометрический смысл производной.

KN=y, MK=x MNK/tg2=y/x вычислим предел левой и правой части: limtg=lim(y/x) x0 tg0=y` 0

При x0 секущая MNзанять положение касательной в точке M(tg0=y`, 0) Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x0.

40. Основные правила дифференцирования. Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции: Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x). Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

41. Дифференцирование сложных ф-ций: Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной. y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx Например:

42. Дифференцирование обратной ф-ции. y=f(x), то x=(y) - обратная ф-ция. Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. xy`=1/yx`. y/x=1/(y/x) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов: lim(y/x)=1/(lim(y/x), т.е. yx`=1/xy или f`(x)=1/`(x) Например:

43. Производные степенных и тригонометрических функций. Основные формулы:

44. Производные обратных тригонометрических функций. Основные формулы:

Для сложных функций:

45. Производные показательных и логарифмических функций. Основные формулы:

Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции. y=ax - показательная ф-ция, y=xn - степенная, y=xx - показательно-степенная. y=[f(x)](x) - показательно-степенная ф-ция. lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х. (1/y)*y`=(lny) (x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1 y`=y*(lnx+1)=xx(lnx+1) Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование. Степенная ф-ция: 1.y=xn, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)-1 y`=y*n*(x-1)=n*xn*x-1=n*xn-1 2.y=eU, где U=sinx U`=cosx, y`=(eU)`=eU*U`=esinx*cosx.

47. Производная высших порядков ф-ции 1й переменной. y=f(x) y``=(y`)`=lim((f`(x+x)-f`(x))/x) x0

y```=(y``)`= lim((f``(x+x)-f``(x))/x) f(n)(x)=[f(n-1)(x)]`

48. Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций. Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной. y=f(x), y=x2-1 - явные F(x,y)=0, a2=x2+y2 - неявные ф-ции. 1)a2=x2+y2 - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х. y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная y*y`=-x, y`=-x/y 2) x3-3xy+y3=0 3x3-3(xy)`+3y2*y`=0 //:3 x2-(x`y+y`x)+y2*y`=0 y`y2-xy`=y-x2 y`=(y-x2)/(y2-x)

49. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала. limy=A, y=A+ limy/x=y`, y/x=y`+, y=y`x+x x0 y=y`x+, где -б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем x(), и ее можно отбросить. dy=y`x Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента х и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем х. Если y=x, то dy=dx=x`x=x, dx=x Если yx, то dy=y`dx, y`=dy,dx Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину x

С в - в а : 1. (UV)`=U`V`, то (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV) 2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV 3.d(c)=c`dx=0*dx=0 4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.

50.Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

51. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест. т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=10.

52. Теорема Коши. Если f(x), g(x) удовл. трем условиям: 1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b] 2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b) 3). g’(x)0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

g(b)g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a,b] 2). F(x) – деффиренцирована на (a,b) 3). F(a)=0 ; F(b)=0 по теореме Ролля сущ. с(a,b); F’(с)=0

53. Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции: Если x2>x1, f(x2)>f(x1), то ф-ция монотонно возрастает Если x2>x1, f(x2)<f(x1), то ф-ция монотонно убывает Монотонность - постоянство Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0) 2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0) 3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0) Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале. 2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале. 3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале. x1<a<x2, x2-x1>0, x2>x1 1. если f`(a)>0, то f(x2)>f(x1) 2. если f`(a)<0, то f(x2)<f(x1) 3. если f`(a)=0, то f(x2)=f(x1)

54. Экстремумы ф-ций. Признаки существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной. Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в

этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности. 1- локальный max 2- локальный min 3- глобальный max 4- глобальный min

если tg>0, то f`(x)>0 если tg<0, то f`(x)<0

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

(В них можно построить  касательных). Достаточный признак: точка х0 является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак: - если с “+” на “-”, то х0- т. max - если с “-” на “+”, то х0- т. min

55. Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба. Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках. Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке. Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого. Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0 Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0.

56. Асимптота графика ф-ции. Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает. 1) прямая х=х0 назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при хх0 |f(x)|+ (вида x=b) 2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+(б.м.в.) по св-ву x пределов. разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х f(x)/x=k+b/x+/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(/x) x , то k=lim(f(x)/x) b=lim[f(x)-kx] Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y 3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.

57. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных. Величина U наз-ся ф-цией переменных (x1,x2...xn), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U. Пусть f(M)=M0(x10, x20,... xn0), M(x1, x2,... xn) Ф-ция f(M)=f(x1, x2,... xn) имеет предел А при М0М, если каждому значению как угодно малого числа (дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число >0, если |M0M|=, то |f(M)-A|< Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М0, если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции. limf(x10, x20,... xn0)=limf(x1, x2,... xn) x10 x1 x20 x2

xn0 xn

58. а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы. а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных x=f(x,y), точка A(x0,y0) z=f(x0+x, y0+y)-f(x0,y0) - полное приращение. Частное приращение по х (по у): xZ=f(x0+x, y)-f(x0, y0) yZ=f(y0+y, x)-f(x0, y0) Частная производная ф-ция:

б

) dxZ=Zx`*x=Z/x*dx; dxZ=Zy`*y=Z/y*dy Полный дифференциал dZ=dxZ+dyZ=Z`xdx +Z`ydy dZ=Z/x*dx+=Z/y*dy Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.

59. Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной: Z``XX=(Z`x)`x ; Z``yy=(Z`y)`y Z``Xy=(Z`x)`y=(Z`y)`x

60. Экстремумы ф-ции нескольких переменных. Необходимые и достаточные признаки экстремума ф-ции 2х переменных. Z=f(x,y), M0(x0,y0), M(x,y) Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x0,y0), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0 Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x0,y0), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0 Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:

Если Z=f(x1,x2,...xn), то Z/xi=0, i=1,2,...n - необходимое условие. Достаточный признак:

где A= Z``XX(x0,y0), C= Z``yy(x0,y0), B= Z``yx (x0,y0), 1) если >0, то М0 - точка экстремума; если А<0 или С<0, то М0 - точка max;

если А>0 или С>0, то М0 - точка min. 2) если <0, то экстремума нет

3) если =0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.

61. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика. Н а й т и : -обл. определения ф-ции -точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной -поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты -т. пересечения графика с осями координат -симметрия графика (чет./нечет): f(-x)=x симметрична относительно осей f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0) -периодичность -интервалы монотонности -точки экстремума -наибольшее и наименьшее значение -выпуклость, вогнутость -точки перегиба -поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты -нанесение на график.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome