Задачи по матанализу, вариант №4 - конспект - Математический анализ, Упражнения из . Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics
Ivan_Bunin
Ivan_Bunin1 March 2013

Задачи по матанализу, вариант №4 - конспект - Математический анализ, Упражнения из . Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics

PDF (81.5 KB)
14 страница
828количество посещений
Описание
Задачи по матанализу, вариант №4. конспект. Математический анализ. Упражнения и задачи по матанализу Задачи и упражнения
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 14
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по матанализу, вариант №4 - контрольная работа - Математический анализ

Всероссийский заочный финансово – экономический институт.

Контрольная работа

Дисциплина: Математический анализ и линейная алгебра

Тема: Задачи по матанализу, вариант №4

3

1) Найти неопределённый интеграл:

х²dx

∫ √x³+1 .

Решение:

Пусть х³+1 = t; dt = d(x³+1) = (x³+1)'dx = 2x²dx; x²dx = ½dt

х²dx dt t6 1 + ־ √t

∫ √x³ + 1 = ½ ∫ * √t = ½ * -1/6 + 1 = 10 + c = 3/5 √t

произведём обратную замену, в результате получим: 3/5 * √(x³ + 1) + c х²dx

Ответ: ∫ √x³+1 = 3/5 * √(х³ + 1) + с. 2) Найти определённые интегралы:

ln 3 e dx

∫ e² - 1 . ln 2

Решение:

Воспользуемся заменой переменной:

4

dt Пусть e = t x = ln t и dx = t ;

Найдём пределы интегрирования:

если x = ln 2, то t = 2;

если x = ln 3, то t = 3.

Получим:

3 t dt 3 (t – 1) + 1 * dt 3 1 3 dt

∫ t² - 1 = ∫ (t – 1) * (t + 1) = ∫ t + 1 + ∫ t² - 1 ; 2 2 2 2 3 3 t – 1 arctg √t +½ ln t + 1 = arctg √3 – arctg √2 + ½ (ln ½ - ln 1/3 ) =

2 2

= arctg √3 - arctg√2 + ½ (-0,69 – 1,1) = arctg √3 – arctg √2 – 0,9 = 0,03 – 0,02 –

- 0,9 ≈ - 0,89 Ответ: ln 3 e dx

∫ e² - 1 ≈ - 0,89. ln 2

e ln x * dx

3) ∫ √x . 1

5

Решение:

e

∫ = ln x * x¯ dx; 1

Произведём замену:

x¯ dx = dv (1)

lnx = u; du = 1/x * dx;

из (1) v;

v = ∫ dv = ∫ x¯ dx = 5/4 x ; Применяя формулу интегрирования по частям получим:

e e e e ln x * dx e

∫ udv = uv | - ∫ vdu ∫ √x = ln x * 5/4 √x | - 1 1 1 1 1 e e

- 5/4 ∫ √x * 1/х * dx = 5/4 * (ln ℮ * √℮ - ln 1 * √1 ) – 5/4 * 5/4 x | = 1 1 = 5/4 * ( √℮ - 5/4 * ( √℮ - 1) ) = 5/4 * (2,23 – 5/4 * (2,23 – 1) ) ≈ 0,87.

6

Ответ:

e ln x * dx

∫ √x ≈ 0,87. 1

4) Решить дифференциальное уравнение:

xdy – ydx = √y² - 9x²dx.

Решение:

Делим обе части на dx:

y xy' – y = dx - 9x² /x

y y y' - x - xdx = -9x (1)

Пусть y = uv, т.е. y' = uv' + u'v, тогда уравнение (1) примет вид:

u'v + uv' – uv * (1/x + 1/xdx) = -9x (2)

Преобразуем:

u'v + u * (v' – v * (1/x + 1/xdx)) = -9x (3)

Положим:

dv v' – v * (1/x + 1/xdx) = 0 или dx = v * (1/x + 1/xdx);

dv v = dx * 1/x + 1/x;

7

Интегрируем:

dv dx ∫ v = ∫ x + ∫ 1/x * dx = ln |x| + ln |x|; dt

Пусть x = t, тогда dt = d(x)' = 1 1/x = t и

dt

∫ t = ln |t| ∫ 1/x = ln |x| или ln |v| = ln x²;

Найдём какое-либо решение полученного уравнения, например, при С = 0

ln |v| = ln x² или v = x²

du -9x

при v = x² b(3) x² * u' = -9x dx = x² = -9/x;

du = -9/x * dx;

dx

∫du = -9 ∫ x ; u = -9 ln |x| + C;

y = uv = (-9 ln |x| + C) * x² = -9 ln |x| * x² + x²C;

y = x² ln x¯ + x²C = x² ln |1/x | + x²C.

Ответ: y = x² ln |1/x | + x²C.

5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = 3 + 2x - x², y = x + 1, х = 0.

8

Решение:

Координаты вершины параболы:

-2

x0 = - B/2a = 2*(-1) = 1;

4AC - B² 4 * (-1) * 3 - 4

y0 = 4A = 4 * (-1) = 4;

Строим графики заданных функций.

Координаты точек для y = x + 1

x

2

-1

y 3

0

9

2 2 2 2 2 2 2

SABC = ∫ (3 + 2x - x²)dx - ∫ (x – 1)dx = 2x | + ½ x² | = 2x | + ½ x² | - 1/3 x³ | = -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

= 2 * (-1 – 2 ) + ½ * (1 – 4) – 1/3 * (1 – 8) = 31/6 ≈ 5,12.

Ответ: SABC = 5,12.

6) Опытные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице:

xi 7 8 9 10 11 yi 2,5 2,2 2,0 1,8 1,7

В результате их выравнивания дробнолинейной функцией получено

х + 3

уравнение у = х – 3 . Используя метод наименьших квадратов,

аппроксимировать эти данные линейной зависимостью у = ax + b (найти

параметры a и b). Установить, какая из двух линий лучше (в смысле метода

наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать

чертёж.

10

Решение:

хi yi xi yi x²i

7 2,5 17,5 49

8 2,2 17,6 64

9 2 18 81

10 1,8 18 100

11 1,7 18,7 121

∑ 45 10,2 89.8 415

5 5 5

∑ (x²i)a + ∑ (xi)b = ∑ xi yi ; i=1 i=1 i=1

5 5 ∑ (xi)a + 5b = ∑ yi; i=1 i=1

415a + 45b = 89,8

10,2 – 5b

45a + 5b = 10,2 a = 45 ;

415 * (10,2 – 5b) + 45b = 89,8;

45

11

4233 – 2075b + 2025b = 4041;

- 50b = - 192;

b = 3,84;

10,2 – 5 * 3,84

a = 45 = -0,2.

y = - 0,2x + 3,84

12

х + 3

Для функции y = - 0,2х + 3.84: Для функции у = х – 3 :

если х = 7, то у = 2,44; если х = 7, то у = 2,5;

если х = 8, то у = 2,24; если х = 8, то у = 2,2;

если х = 9, то у = 2,04; если х = 9, то у = 2;

если х = 10, то у = 1,84; если х = 10, то у = 1,86;

если х = 11, то у = 1,64. если х = 11, то у = 1,75.

∑ δ¹i = 2,5 – 2,44 + 2,24 – 2,2 + 2,04 – 2 + 1,84 – 1,8 + 1,7 – 1,64 = 0,24; (у= -0,2х+3,84)

∑ δ²i = 2,5 – 2,5 + 2,2 – 2,2 + 2 – 2 + 1,86 – 1,8 + 1,75 – 1,7 = 0,11; х+3 (у= х-3 )

х + 3

∑δ¹i = 0,24 › ∑δ²i = 0,11 функция у = х – 3 лучше выравнивает

экспериментальные данные.

х + 3

Ответ: функция у = х – 3 лучше выравнивает экспериментальные данные.

7) Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд: n ∞ (-1) * (n + 1) ∑ n n=1 2 * (n – 1) .

Решение:

Предел общего члена ряда:

13

(-1) (n + 1) (-1) 2

lim un = lim 2 * (n – 1) = lim 2 (1 + n + 1) = 0, так как n→∞ n→∞

(-1)

lim 2 = 0 по признаку Лейбница ряд сходится, так как члены n→∞

ряда убывают. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного

ряда

n ∞ (-1) * (n + 1) ∑ n n=1 2 * (n – 1) , убывает. 2 + 1 3 + 1 5 n + 1 2² * (2 – 1) › 2³ * (3 – 1) › 2 * 4 › …. 2 (n - 1) ›…. n + 1

0,75 › 0,25 › 0,078 › …. 2 (n – 1) ›…. ряд сходится.

Ответ: ряд абсолютно сходящийся.

14

Список литературы.

Основная

1) Высшая математика для экономистов. / Под редакцией Н.Ш. Кремера, М.:

Банки и биржи, 1998, 2000, 2001, 2002.

2) Практикум по высшей математике для экономистов. / Под редакцией Н.Ш.

Кремера, М.: ЮНИТИ (в печати).

Дополнительная

3) Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики

для экономических вузов, ч.1, М.: Высшая школа, 1982.

4) Карасев А.И., Калихман И.Л., Кремер Н.Ш. Матричная алгебра, М.:

ВЗФЭИ, 1987.

5) Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу

высшей математики. / Под редакцией А.И. Карасева, Н.Ш. Кремера, М.:

ВЗФЭИ, 1989.

6) Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики, М.:

Наука, 1985.

Содержание. Задание №1………………………………………………………………….3

Задание №2………………………………………………………………….3

Задание №3………………………………………………………………….4

Задание №4………………………………………………………………….6

Задание №5………………………………………………………………….7

Задание №6………………………………………………………………….9

Задание №7…………………………………………………………………12

Список литературы………………………………………………………...14

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome