Математика и проблема адекватного описания реальности - конспект - Математика, Конспект из Математика
petr_j
petr_j13 June 2013

Математика и проблема адекватного описания реальности - конспект - Математика, Конспект из Математика

PDF (138.1 KB)
13 страница
251количество посещений
Описание
Kazan State Finance and Economics Institute. Лекция конспект по математике. Над всем нашим теоретическим мышлением господствует с абсолютной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены од...
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 13
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
?????????? ? ???????? ??????????? ???????? ??????????

Математика и проблема адекватного описания реальности В. Я. Фридман

Над всем нашим теоретическим мышлением господствует с абсолютной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законам и что поэтому и они не могут противоречить друг другу в своих результатах, а должны согласоваться между собой. [1]

Ф. Энгельс

Должны ли мысли о вещах быть столь непохожими на то, что происходит с вещами, должны ли они сами по себе идти другим путем, совершенно в стороне от действительности? [2]

Д. Гильберт

Размышления над проблемами, нарастающими трудностями и все более усложняющимся языком современной теоретической физики неминуемо приводят к подозрению, что не все благополучно в самом фундаменте современного "точного" естествознания. А таким фундаментом, безусловно, является сложившийся веками математический формализм, служащий для описания реальности. Для теоретической физики он является той аксиоматической базой, с которой должны сообразовываться все ее построения, но которая сама, как супруга Цезаря, "выше подозрений".

На фоне грандиозных успехов, достигнутых за последние полтора столетия "точным" естествознанием на основе сложившегося до него и надстраивавшегося параллельно с ним математического аппарата, из рассмотрения совершенно выпал вопрос о том, насколько язык традиционной математики на самом деле, в своих принципиальных основах, адекватен структуре мира, которую он призван и берется описывать.

Но, прежде всего, правомерна ли сама постановка вопроса? Не развивается ли математика по своим собственным, автономным, имманентным законам?

Если математика является "чистым порождением ума" (своеобразной "игрой в бисер"), то непонятно, почему мир обязан с ней сообразовываться. Если же она является формой абстрагирования в "аминокислотном" человеческом сознании присущих миру (или возможных в нем при отсутствии запрещающих ограничений) структур и отношений, то возникает вопрос об "адекватности", "изоморфности" математических структур структурам реальности.

"Основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического" - справедливо замечает Н. Бурбаки [3]. Любопытно сопоставить две крайние точки зрения по этому вопросу:

Ш. Эрмит: "Я верю, что числа и функции анализа не являются произвольными созданиями нашего разума: я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики и зоологи" [4].

Г. Кантор: "Математика совершенно независима в своем развитии и ее понятия связаны только требованиями быть непротиворечивыми и соответствовать понятиям, введенным ранее посредством точных определений" [5].

Н. Бурбаки стремится сохранить нейтралитет в этом споре, оставляя вопрос открытым: "То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, - это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого..." ([3], с. 258). И далее: "В своей аксиоматической форме

математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур, и... оказывается (хотя и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм" ([3], с. 258 - 259). Это перекликается со взглядами Е. Вигнера, согласно которым "непостижимая эффективность математики в естественных науках" есть "нечто загадочное, не поддающееся рациональному объяснению" ([6], с. 183; другой перевод см. [7]).

Между тем, при более пристальном рассмотрении неадекватность на первый взгляд столь совершенного математического языка, при всей его "непостижимой эффективности", выступает достаточно отчетливо. Поэтому, прежде чем пытаться строить "новую физику", о чем уже почти четверть века идут непрекращающиеся разговоры (и споры), возможно, надо навести порядок в ее математическом фундаменте, а далее "дело пойдет само собой" (а споры также "сами собой" утихнут).

Но речь идет не только о физике, "старой" или "новой". Речь идет об устранении некоторых "неадекватностей" в самой математике, которая, как ни кощунственно звучит такое заявление, несмотря на свою "невероятную эффективность" оказывается построенной на некоторых ложных предпосылках. Как показано в настоящей работе, переформулирование некоторых ее фундаментальных исходных положений "с лицом, обращенным к реальности", приводит к логически безупречной схеме, сразу ставящей "все на свои места", объясняющей многие загадки (в том числе и упомянутую выше) и открывающей новые перспективы развития не только перед теоретической физикой, но и перед "чистой" математикой.

Здесь нельзя не отметить, что по различным поводам неоднократно высказывались сомнения в том, насколько традиционная математика, несмотря на всю свою "непостижимую эффективность", адекватно описывает реальность. "Неясно, в какой мере объект исследования в математике адекватно соответствует реальности" - прямо, без обиняков, заявляют А. Колмогоров и А. Драгалин ([8], с. 114). А, касаясь некоторых трудностей теоретико-множественного формализма, они высказываются еще более определенно: "...Такого рода следствия вызывают подозрение, что ряд фактов, полученных в рамках определенной математической теории, даже непротиворечивой, просто не имеет никакого отношения к физической реальности и является результатом слишком далеко зашедшей экстраполяции!" ([8], с. 112).

Так возникает кажущаяся поначалу безнадежной задача "адекватизации" математики, решению которой и посвящен наш труд (см. сноску на с. 61); естественно, что для этого потребовалось, отрешившись от устоявшихся догм, взглянуть на давно известные вещи свежим и непредубежденным взглядом.

Предлагаемая теория, ведущая к пересмотру некоторых устоявшихся и казавшихся доселе незыблемыми представлений в математике и теоретической физике, естественно, не может не опираться на некоторые общеметодологические, философские соображения, тем более, что, как правильно заметил В. Вернадский, "граница между философией и наукой - по объектам их исследования - исчезает, когда дело идет об общих вопросах естествознания" [9]. Постараемся сформулировать их в - насколько это в человеческих силах - краткой, но вместе с тем достаточно отчетливой форме, не ставя себе при этом, впрочем, задачу строгого определения используемых понятий, а полагаясь на подразумеваемую общность основных интуитивных представлений у всех, размышляющих об "устройстве" мира и способах его описания. Итак, "о гипотезах, лежащих в основании...".

1. Онтологический аспект

"Мир" - на чрезвычайно высоком уровне абстракции - мыслится как некая система, существующая, вообще говоря, вне и независимо от отражающего ее "сознания", которое само образует лишь одну из подсистем Мира (специфическую аминокислотную подсистему,

способную как часть отражать целое). При этом система "Мир" предполагается наделенной некой структурой, обладающей следующими фундаментальными свойствами.

а) Имеет смысл говорить о состояниях системы как о различных возможных реализациях ее структуры. По отношению к "интенсивным" структурным характеристикам системы ее "состояния" выступают в некотором смысле как "экстенсивные", или "фазовые", характеристики системы и ее элементов.

б) При всех возможных состояниях системы и переходах между ними сохраняется свойство консервативности Мира в смысле сохранения основных структурообразующих отношений, обеспечивающих, что Мир остается Миром, а не превращается в нечто другое, принципиально по-иному организованное (концепция "Невзрывающегося мира") [10].

в) Это предполагает наличие определенных ограничений, наложенных самой структурой Мира на его возможные состояния. (Можно предположить, что эти ограничения должны иметь весьма общий, скорее всего, теоретико-групповой характер и быть связаны с абстрактными условиями симметрии и т.п.) В Мире не все возможно, а существуют правила "внутреннего распорядка", которые и принято называть Законами Природы. С другой стороны, это приводит к существованию в Мире (и его подсистемах) неких инвариантов, которые и гарантируют сохранение Мира как Мира при всех его возможных внутрисистемных преобразованиях ("автоморфизмах" Мира).

г) Консервативность Мира означает консервативность его структуры, а не состояний. В пределах упомянутых ограничений "элементы Мира" (что бы под этим ни подразумевалось!), а, стало быть, и различные его подсистемы и Мир в целом, способны принимать чрезвычайно богатый спектр различных состояний.

Иначе говоря, в Мире что-то может происходить и происходит (Мир как "нежесткая", динамическая система со "степенями свободы", "Незамороженный мир"), в нем возможны и осуществляются различные преобразования, сохраняющие, однако, нерушимым Мир как целое. Все эти преобразования сводятся к изменению состояний его элементов (под воздействием других элементов системы или "спонтанных", природа которых в значительной степени неясна), и этим исчерпывается спектр существующих в системе возможностей. При этом, по-видимому, действует принцип: "Все, что возможно (т.е. совместимо с наложенными ограничениями), где-нибудь и когда-нибудь происходит" [11 - 13].

д) Законы природы, обусловленные структурными ограничениями системы, носят, таким образом, по существу, не предписывающий, а, скорее, лишь запрещающий характер, чем и объясняется наблюдаемое в различных подсистемах Мира многообразие форм.

"Субатомный зоопарк" [14] насчитывает к настоящему времени (включая "резонансы") свыше 200 "элементарных" (в кавычках, разумеется) частиц [14, 15], а таблица Менделеева - 105 "элементов" (при бесчисленном количестве изотопов). Число биологических видов на нашей планете, по оценкам [16], превышает 2 o 106 (не считая бесчисленных подвидов) и даже число "естественных" языков в пределах вида Homo Sapiens превышает 2000 [ 17], а по некоторым данным достигает 5000 [18] (не считая бесчисленных диалектов). Все это, видимо, различные реализации возможных состояний, совместимые с наложенными ограничениями.

е) Миру как системе присущи свойства замкнутости и полноты: все возможные и реализуемые в нем состояния и преобразования подчиняются структурным ограничениям системы и не выводят элементы Мира за ее пределы; иначе говоря, в "естественном" мире нет места для "сверхъестественных" явлений.

2. Эпистемологический аспект

Поскольку в Мире как системе, вообще говоря, "все связано со всем", всякая задача описания состояний Мира и их преобразований, т.е. перехода его элементов из одних допустимых состояний в другие по существу и принципиально является задачей многих (в принципе, бесконечно большого числа) "тел" - задачей всеобщего взаимодействия. Однако при мысленном вычленении (и "фиксировании" в сознании) какого-то "элемента" (или подсистемы) Мира и сосредоточении на нем "внимания", т.е. при "рассмотрении" какого-то "элемента", мы можем свести задачу к "проблеме двух тел", производя дихотомию Мира на "рассматриваемый элемент" (вычлененный фрагмент Мира) и "весь остальной мир". Тогда любое "преобразование" рассматриваемого элемента (т.е. изменение его состояния) может быть описано уже не как следствие всеобщего взаимодействия, а как результат воздействия остального мира на данный элемент. (Что при этом происходит с "остальным миром" - нас в рамках такого рассмотрения не интересует!) По условиям задачи рассмотрения (и с учетом "порядков малости" входящих в рассмотрение величин) часто можно пренебречь воздействием всех элементов, кроме одного, и тогда "остальной мир" (в рамках данного "рассмотрения"!) редуцируется до одного элемента и мы говорим о воздействии одного элемента на другой.

Особую проблему составляет вопрос о возможности и причинах спонтанных, т.е. не обусловленных воздействием "остального мира", изменений элементов Мира. По сути дела, это "вечная" проблема "детерминизм - индетерминизм". Здесь укажем лишь, что на современном уровне знаний мы в состоянии формально описывать такие изменения при помощи вероятностных операторов, опираясь, по существу, на "Принцип Мэрфи" и на лейбницевский "Закон достаточного основания". Симметричность возможностей по отношению к некоторой данной ситуации должна, по-видимому, приводить к "равновероятности" их осуществления, а численное значение "вероятности" неравновероятных событий должно быть как-то связано с мерой асимметрии возможностей. Первичным, видимо, является не понятие "вероятности", а понятие "равновероятности", как некой симметрии, мерой отклонения от которой и служит "вероятность."

Другим камнем преткновения является вопрос о происхождении необратимостей. Здесь укажем лишь на правдоподобность гипотезы, что необратимости являются существенно "макро"-феноменом. На каком-то элементарном (фундаментальном) "микро"-уровне все преобразования, по-видимому, должны быть обратимы, и таковы должны быть и описывающие их элементарные операции. Необратимость же, по-видимому, является характеристикой коллективных процессов, которые вместе с тем в каком-то смысле локальны. На самом высоком "мега"-уровне, по-видимому, снова царствует обратимость, обеспечивающая неизменность ("консервативность") не подверженных преобразованиям (и "эволюции") самых общих "Законов природы".

Впрочем, вся эта проблематика в значительной степени неясна и, вероятно, превышает возможности сколько-нибудь четкого осмысления на современном уровне знаний.

Однако, если верна общая высказанная выше концепция, она сразу приводит к ряду фундаментальных следствий:

а) Само выделение "элементов'" в системе - а, стало быть, и структурирование Мира в нашем сознании - является функцией рассмотрения, т.е. зависит не только от свойств рассматриваемого фрагмента Мира, но и от свойств рассматривающей его "аминокислотной подсистемы", именуемой "человеческим сознанием".

В самом деле. Тот же фрагмент Мира, который для нас при "обычных" условиях представляется состоянием, скажем, из совокупности нескольких "тел", для существ иных размеров и конструкции, да и для нас при рассмотрении с иных расстояний и т.п. может оказаться "одним телом" или даже "невообразимым множеством тел". А между тем, фрагмент - один и тот же (если принять за аксиому, что Мир существует вне нас и

независимо от нашего - или чьего-то еще - сознания)! Там, где мы видим (и "ощущаем") дискретную границу тела, другое существо (да и мы при помощи приборов, изменяющих пороги чувствительности наших органов восприятия), возможно, увидело бы (и "ощутило") непрерывный переход от "тела" к "не-телу". То, что для нас является "непроницаемым", для существ (и объектов) иных размеров и конструкции может оказаться "проницаемым", и наоборот. Зрительно мы воспринимаем мир только в узком интервале "видимого" диапазона электромагнитных волн. Другие существа с другими характеристиками (и органами) "зрения" видели бы (и "видят"! - хотя бы пчелы, змеи, дельфины, летучие мыши и т.д.) совсем другой мир, состоящий из совершенно иных "объектов" или "элементов" (т.е. иначе "структурированный") и так далее.

Не только выделение "элементов", но и сами понятия "дискретности" и "непрерывности" имеют, по-видимому, лишь условный, относительный смысл, зависящий не только (а, может быть, и не столько) от свойств Мира, но и от свойств "рассматривающего" Мир "субъекта", а также от условий и задач такого "рассмотрения". Это категории, присущие не Миру, а его описанию.

К такому выводу прямо подводят и проблемы квантовомеханического описания Мира, философский аспект которых интенсивно обсуждается в связи с возобновившейся дискуссией по поводу парадокса Эйнштейна - Подольского - Розена [19-22]. Автор последней из упомянутых работ говорит о необходимости "осознания относительности представления о мире как о множестве каких-то "тел" (или других "элементов" в любых пространствах реального физического опыта)" ([22], с. 50) и приходит к выводу, что "природа в конечном счете неразложима на множества каких-либо элементов и существует как нечто единое целое" (там же).

б) Уже на "эмпирическом" (или "прагматическом") уровне мы сталкиваемся с наличием непосредственно не наблюдаемых, чувственно не воспринимаемых объектов (хотя бы "инфра"- и "ультра"-излучения, радиоактивность, магнитное поле и т.д.) Для нашей аминокислотной системы не все наблюдаемо!

Можно возразить, что то, что ненаблюдаемо для человека, наблюдаемо для приборов (т.е. опять-таки для нас через посредство тех или иных перекодирующих устройств). Но и приборы, как ни грустно, являются лишь частными и ограниченными подсистемами Мира. Какими приборами можно зарегистрировать квантово-механическую функцию состояния *Р? Или релятивистский "интервал"? Если они не являются произвольными конструкциями ума, а обладают каким-то статусом реальности, то следует признать, что эти "реалии" в нашей аминокислотной системе восприятия, равно как и в системе восприятия наших приборов, принципиально ненаблюдаемы.

Итак, в Мире не все наблюдаемо, и удивительным (даже в какой-то степени загадочным) свойством "сознания" является его способность экстраполировать за пределы "наблюдаемого", способность вычленять "ненаблюдаемые" элементы Мира, разумно (непротиворечиво и с предсказательной силой!) оперировать ими и заключать от ненаблюдаемого к наблюдаемому и наоборот, связывая все в единую картину мира.

Так естественным образом возникает уже давно независимо вскрытая квантовой механикой (и математикой - мнимые числа!) проблема существования и описания "ненаблюдаемых".

в) Но, более того. Раз всякое описание состояний и преобразований тех или иных элементов и подсистем зависит не только от того, что описывается, но и от того, кто, когда, где,

из какой точки, под каким углом зрения (физическим и ментальным), в каких условиях и т.д. их описывает, естественным образом возникает общеметодологическая проблема

"наблюдателя", "систем отсчета", "относительности". Великая эйнштейновская концепция релятивизма, ведущая через эпистемологически Относительное к онтологически Абсолютному, имеет, насколько можно судить, не только физическое, но именно общеметодологическое, гносеологическое значение.

г) Со всем этим тесно связана проблема языка описания. Мы, подобно вычислительной машине, по существу способны непосредственно воспринимать и описывать Мир лишь на языке нашего "аминокислотного" кода, т.е. на языке подмножеств множества возможных состояний нашей нервной системы. Другим языком мы "не владеем". Конечно, можно пользоваться и промежуточными "языками-ретрансляторами", но в конечном счете все они перекодируются в наш, единственно понятный нам, "аминокислотный язык". Мы как бы накладываем на Мир наш "априорный аминокислотный растр" и сквозь него наблюдаем и описываем Мир. Так приобретает рациональный смысл гениальная догадка Канта об "априорных формах созерцания".

д) Но если все многообразие Мира в целом непосредственно не дано нам в восприятии, а мы "видим" лишь то, что появляется на нашем "перцептивном экране" (стена пещеры у Платона или, в более близких нам образах, что-то вроде экрана радиолокатора), т.е. воспринимаем лишь какую-то проекцию Мира на нашу аминокислотную перцептивную систему, то нетрудно впасть в "птолемеев грех", оперируя вместо планетных орбит с "эпициклами" и "дифферентами" и сообразно с этим "структурируя" Мир. Ведь эпициклы Птолемея тоже были языком описания и по-своему неплохо служили делу познания мира, что долгое время создавало иллюзию их адекватности. Однако их слабая степень изоморфности онтологии Мира обнаруживалась, в частности, в том, что системе Птолемея недоставало общности (единства), простоты и ... красоты.

е) Эвристическая ценность принципов "единства", "симметрии", "простоты" и "красоты" при описании Природы становится все более очевидной. "Чем проще наша картина внешнего мира и чем больше фактов она охватывает, тем сильнее отражает она в наших умах гармонию Вселенной", - полагал А. Эйнштейн ([23], т. 4, с. 493).

О различных аспектах эвристических принципов "простоты" и "красоты" существует уже обширная литература ([24 - 28] и обзор литературы в работе [29]). Не последнюю роль оба эти принципа сыграли, между прочим, при установлении структуры молекулы "наследственного вещества" - ДНК, как о том свидетельствует один из авторов этого выдающегося открытия [30]. Единство, симметрия, простота, красота, как проявления гармонии природы, - на этом сходятся и "физики", и "лирики".

"В одном мгновенье видеть вечность: огромный мир - в зерне песка, в единой гор