Министерство образования и науки Российской Федерации, Дипломная из Cae-системы. Университет не определена
Epic.Pants
Epic.Pants8 November 2015

Министерство образования и науки Российской Федерации, Дипломная из Cae-системы. Университет не определена

DOCX (24.7 KB)
4 страница
458количество посещений
Описание
Информатика
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 4
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ

Оглавление

1. Вычисление интегралов 1.1 Теория численного решения интегралов 1.2 Постановка задач 1.3 Решение 2.Решение нелинейных уравнений 2.1 Теория 2.2Постановка задачи 2.3Решение 3.Литература

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.

2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, f(x)=exp(−x2).

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Одномерный определённый интеграл как площадькриволинейной трапеции под графиком

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

I≈∑i=1nwif(xi), где n — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки xi называются узлами метода, числа wi — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Частным случаем является метод построения интегральных квадратурных формул для равномерных сеток, известный как формулы Котеса. Метод назван в честьРоджера Котса. Основной идеей метода является замена подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом. После взятия интеграла можно написать

abf(x)dx=∑i=0nHif(xi)+rn(f), где числа Hi называются коэффициентами Котеса и вычисляются как интегралы от соответствующих многочленов, стоящих в исходном интерполяционном многочлене для подынтегральной функции при значении функции в узле xi=a+ih (h=(ba)/n — шаг сетки; n — число узлов сетки, а индекс узлов i=0…n). Слагаемое rn(f) — погрешность метода, которая может быть найдена разными способами. Для нечетных n⩾1 погрешность может быть найдена интегрированием погрешности интерполяционного полинома подынтегральной функции. Частными случаями формул Котеса являются: формулы прямоугольников (n=0), формулы трапеций (n=1), формула Симпсона (n=2), формула Ньютона (n=3) и т. д.

Метод прямоугольников Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке [a,b]. Этот отрезок делится точками x0,x1,…,xn−1,xn на n равных отрезков длиной Δx=ban. Обозначим через y0,y1,…,yn −1,yn значение функции f(x) в точках x0,x1,…,xn−1,xn. Далее составляем суммы yx+yx+…+yn −1Δx. Каждая из сумм — интегральная сумма для f(x) на [a,b] и поэтому приближённо выражает интеграл

abf(x)dxban(y0+y1+…+yn−1).

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

abf(x)dxban(y1+y2+…+yn) выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок [a,b], тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

0 3 0 1Очевидно, стоит рассчитывать на большую точность если брать в качестве опорной точки для

нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

abf(x)dxhi=1nf(xi−1+h2)=hi=1nf(xih2), где h=ban

0 3 0 1Учитывая априорно большую точность последней формулы при том же объёме и характере

вычислений её называют формулой прямоугольников

Метод трапеций Метод трапецийЕсли функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций. Площадь трапеции на каждом отрезке:

Iif(xi−1)+f(xi)2(xixi−1)

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

|Ri|⩽(ba)312n2M2,i, где M2,i=maxx2[xi−1,xi]∣∣f′′(x)∣∣ Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h: Ih(f(x0)+f(xn)2+∑i=1n−1f(xi)), где h=ban

Погрешность формулы трапеций:

|R|⩽(ba)312n2M2, где M2=max[x2[a,b]∣∣f′′(x)∣∣. Метод парабол (метод Симпсона) Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

Увеличение точности Приближение функции одним полиномом на всемотрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге. Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (0 — методы правых и левых прямоугольников, 1 — методы средних

прямоугольников и трапеций, 3 — метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции f(x), то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не второго, а третьего порядка точности:

I≈b−a2(f(a+b2−b−a23√)+f(a+b2+b−a23√)). В общем случае, используя n точек, по формуле I≈∑ni=1aif(xi) можно получить метод с порядком точности 2n−1, т.е. получаются точные значения для полиномов степени не выше 2n −1. Значения узлов xi метода Гаусса по n точкам являются корнями полинома Лежандра степени n. Значения весов вычисляются по формуле ai=2(1−x2i)[P ′n(x i)]2, где P′n - первая производная полинома Лежандра. Для n=3 узлы и веса имеют следующие значения : x1,3=±0.6−− −√,x2=0, веса : a1,3=59,a2=89. (Полином определен на отрезке [−1,1]). Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

Метод Гаусса — Кронрода Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в несколько раз при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

I≈∑i=1naif(xi)+∑i=1n+1bif(yi), где xi — узлы метода Гаусса по n точкам, а 3n+2 параметров ai, bi, yi подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен 3n+1.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome