Задачи, варианты - упражнение - Финансовая математика (2), Упражнения и задачи из Финансовая и актуарная математика

Скачай Задачи, варианты - упражнение - Финансовая математика (2) и еще Упражнения и задачи в формате PDF Финансовая и актуарная математика только на Docsity! Всероссийский заочный финансово-экономический институт Кафедра «ЭММ и ПМ» Москва 2004 Контрольная работа По дисциплине Финансовая математика Тема: «Задачи по финмат, вариант 1» 2 Задание №1 Ниже приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов). Таблица 1. квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Кредит от коммерческого банка на жилищное строительство 28 36 43 28 31 40 49 30 34 44 52 33 39 48 58 36 Требуется: 1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта- Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3;α2=0,6; α3=0,3. 2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации. 3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования: - случайности остаточной компоненты по критерию пиков; - независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32; - нормальности распределения остаточной компоненты по R/S- критерию с критическими значениями от 3 до 4,21. 4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. 5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные. 5 a(1)= α1*Y(1)/F(-3)+(1-α1)*[a(0)+b(0)]=32.58 b(1)= α3*[a(1)-a(0)]+(1-α3)*b(0)=0.867 F(1)= α2*Y(1)/a(1)+(1- α2)*F(-3)=0.859 Аналогично рассчитаем для t=1: Yp(2)=36.11 a(2)= 33.42 b(2)= 0.858 F(2)=1.078 Для t=2: Yp(3)=43.69 a(3)=34.11 b(3)= 0.809 F(3)= 1.266 Для t=3: Yp(4)=27.44 a(4)=35.14 b(4)= 0.873 F(4)= 0.792 Для t=4: Yp(5)=30.95 a(5)= 36.03 b(5)=0.879 F(5)=0.860 Для t=5: Yp(6)=39.79 a(6)=36.96 b(6)=0.896 F(6)=1.080 Для t=6: Yp(7)=47.94 a(7)=38.11 b(7)=0.971 F(7)=1.277 Для t=7: Yp(8)=30.97 a(8)=38.72 b(8)=0.861 6 F(8)=0.781 Для t=8: Yp(9)=34.04 a(9)=39.56 b(9)=0.857 F(9)=0.859 Для t=9: Yp(10)=43.68 a(10)=40.51 b(10)=0.884 F(10)=1.083 Для t=10 Yp(11)=52.90 a(11)=41.18 b(11)=0.821 F(11)=1.269 Для t=11: Yp(12)=32.84 a(12)=42.07 b(12)= 0.839 F(12)=0.783 Для t=12: Yp(13)=36.88 a(13)=43.64 b(13)=1.060 F(13)=0.880 Для t=13: Yp(14)=48.45 a(14)=44.57 b(14)=1.022 F(14)=1.079 Для t=14: Yp(15)=57.85 a(15)=45.64 b(15)=1.033 F(15)=1.270 7 Для t=15: Yp(16)=36.56 a(16)=46.45 b(16)=0.968 F(16)= 0.778 Таблица 4 Модель Хольта-Уинтерса t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t) E(t) в % -3 0,859496 -2 1,079657 -1 1,274626 0 31,71616 0,868631 0,785778 1 28 32,58253 0,867952 0,859412 28,01 -0,01 0,02316 2 36 33,41851 0,858362 1,078211 36,12 -0,12 0,3196 3 43 34,11443 0,809628 1,266129 43,69 -0,69 1,60513 4 28 35,13688 0,873474 0,792441 27,44 0,56 1,990849 5 31 36,0286 0,878948 0,860021 30,95 0,05 0,168615 6 40 36,96483 0,896133 1,08055 39,79 0,21 0,514692 7 49 38,11287 0,971705 1,277845 47,94 1,06 2,169686 8 30 38,71651 0,861285 0,781895 30,97 -0,97 3,24078 9 34 39,56463 0,857335 0,859621 34,04 -0,04 0,11102 10 44 40,51137 0,884158 1,083889 43,68 0,32 0,731916 11 52 41,18493 0,820978 1,268696 52,90 -0,90 1,7251 12 33 42,06569 0,838913 0,78345 32,84 0,16 0,472155 13 39 43,64388 1,060695 0,880006 36,88 2,12 5,431587 14 48 44,57869 1,022932 1,079604 48,45 -0,45 0,9475 15 58 45,636 1,033245 1,270034 57,85462 0,145379 0,250653 16 36 46,45365 0,968566 0,77836 36,56303 -0,563031 1,56398 2. Проверка точности модели Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см.табл.4) составляет 21.27, что дает среднюю величину 21.27/16=1.33%. Следовательно, условие точности выполнено. 3. Проверка условия адекватности. Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. (табл.5) 10 5. Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных 0 10 20 30 40 50 60 70 0 5 10 15 20 25 Ряд1 Ряд2 11 Задание № 2. Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать: - экспоненциальную скользящую среднюю; - момент; - скорость изменения цен; - индекс относительной силы; - %R, %K, %D. Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных. дни Макс. Мин. Закр. 1 998 970 982 2 970 922 922 3 950 884 902 4 880 823 846 5 920 842 856 6 889 840 881 7 930 865 870 8 890 847 852 9 866 800 802 10 815 680 699 12 Решение: Результаты расчетов см. в таблице 6 и 7. 1. Экспоненциальная скользящая средняя. EMAt=k*Ct+(1-k)*EMAt-1, где k=2/(n+1) Ct – цена закрытия t-го дня 2. Момент MOMt=Ct – Ct-n Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении 3. Скорость изменения цен %100×= −nt t t C C ROC ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. 4. Индекс относительной силы ADAU RSI /1 100 100 + −= , где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней; AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней. 5. Стохастические линии %Kt=100*(Ct – L5)/(H5 – L5); %Rt=100*(H5 – Ct)/(H5 – L5); 100 )( )( % 2 55 2 5 × − − = ∑ ∑ −= −= t ti t ti t LH LC D ; где Ct – цена закрытия текущего дня. L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий. 15 Задание №3 Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты. Таблица 8. вариант сумма Дата начальная Дата конечная Время в днях Время в годах ставка Число начислений S Тн Тк Тдн Тлет i m 4 500 000 21.01.02 11.03.02 180 4 10 2 1. Банк выдал ссуду, размером 500 000 руб. Дата выдачи ссуды 21.01.02, возврата – 11.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 30 % годовых. Найти: 1.1 точные проценты с точным числом дней ссуды; 1.2 обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; 1.3 обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Решение: 1.1 По формулам: S=P+I, где I=Pni n=t/K K=365, t=49, I= 500000*0.1*49/365=6712.33руб. 1.2. К=360, t=49, I=500000*0.1*49/360=6805.56 руб 1.3. K=360, t=50, I=500000*0.1*50/360=6944.44 руб. 2. Через Тдн после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i % годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт? Решение: Используем формулы: ni SP + = 1 1 , i-ставка простых процентов, n – период D=S – P P=500000/(1+0.1*180/360)=476190.47руб. D=500000 – 476190.47 =23809.53руб. 16 3. Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i % годовых (год равен 360 дням). Определить полученную сумму предприятием и дисконт. Решение: Используем формулы: D=Snd, откуда P=S – D=S – Snd=S(1 - nd) D=Snd=500000*0.1*180/360=25000 руб. P=500000 – 25000=475000 руб. 4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму. Решение: По формуле: S=P(1+i)n = 500 000 *(1+0.1)4=732050руб. 5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка – i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму. Решение: S= 500 000*(1+0.1/2)8=738 727.7руб. 6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых. Решение: iэ=(1+j/m) m – 1 = (1+0.1/2)2 – 1=0.1025 т.е. 10.25 % 7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых. Решение: j=m[(1+iэ) 1/m – 1] = 2[(1+0.1)1/2 – 1]=0,097 т.е. 9.7 % 8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых. Решение: .7.341506)1.01(*500000 )1( 1 4 руб i SP n =+= + = − 17 9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт. Решение: P=S(1 – dсл) n=500000*(1 – 0.1)4=328050руб. D=S – P=500000 – 328050=171950руб. 10. В течение Тлет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока. Решение: S=500000*[(1+0.1/2)(4*2) – 1]/[(1+0.1/2)2 – 1]=2 329 051руб.