Задачи, варианты - упражнение - Финансовая математика (2), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи, варианты - упражнение - Финансовая математика (2), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (161.0 KB)
17 страница
763количество посещений
Описание
Задачи. Упражнения по предмету финансовая математика. Задачи с решениями. Упражнения с ответами. Разные варианты. Вариант 2.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 17
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по финмат, вариант 1 - контрольная работа - Финансовая математика

Всероссийский заочный финансово-экономический институт Кафедра «ЭММ и ПМ»

Москва 2004

Контрольная работа

По дисциплине

Финансовая математика

Тема:

«Задачи по финмат, вариант 1»

2

Задание №1

Ниже приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого

банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

Таблица 1.

квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Кредит от коммерческого банка на жилищное строительство

28 36 43 28 31 40 49 30 34 44 52 33 39 48 58 36

Требуется: 1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-

Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3;α2=0,6; α3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков; - независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32; - нормальности распределения остаточной компоненты по R/S- критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. 5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные

данные.

3

Решение: 1. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным

ростом имеет следующий вид:

Yp(t+k)=[a(t) + k*b(t)] * F( t+k-L),

коэффициенты модели a(t), b(t) и F(t) рассчитываются по формулам: a(t)= α1 *Y(t) / F(t-L) + (1- α1 )*[a(t-1)+b(t-1)]; b(t)= α3 * [a(t)-a(t-1)]+(1- α3)*b(t-1); F(t)= α2 * Y(t)/a(t) + (1- α2)*F(t-L).

Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих

коэффициентов для предыдущего периода времени. Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл.1. Линейная модель имеет вид:

Yp(t)=a(0) + b(0)*t.

Таблица 2

Промежуточные расчеты для вычисления коэффициентов

t Y(t) Y(t)-Ycp t-tcp (Y(t)-

Ycp*(t- tcp))

(t-tcp)2 Yp(t)

1 28 -7,625 -3,5 26,6875 12,25 32,58 2 36 0,37 -2,5 -0,925 6,25 33,45 3 43 7,37 -1,5 -11,055 2,25 34,32 4 28 -7,63 -0,5 3,815 0,25 35,19 5 31 -4,63 0,5 -2,315 0,25 36,06 6 40 4,37 1,5 6,555 2,25 36,93 7 49 13,37 2,5 33,425 6,25 37,80 8 30 -5,63 3,5 -19,705 12,25 38,67

Сумма 285 36,4825 42 Среднее 4,5 35,625

869.0 42

4825.36

)(

)())(( )0(

2 ==

−×− =

∑ ∑

ср

срср

tt

ttYtY b

a(0) = Yср – b(0)*tср = 35.625 - 0,869*4,5=31.72 Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Yp(t)= 31.72+0.869t Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем

их с фактическими значениями (табл.3)

4

Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной

модели значений Yp(t) t 1 2 3 4 5 6 7 8 Y(t) 28 36 43 28 31 40 49 30 Yp(t) 32,58 33,45 34,32 35,19 36,06 36,93 37,80 38,67

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV

кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл.1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

859.0 2

)5(

)5(

)1(

)1(

)3( = +

=− pp Y

Y

Y

Y

F

079.1 2

)6(

)6(

)2(

)2(

)2( = +

=− pp Y

Y

Y

Y

F ;

275.1 2

)7(

)7(

)3(

)3(

)1( = +

=− pp Y

Y

Y

Y

F ;

786.0 2

)8(

)8(

)4(

)4(

)0( =  

  

 +

= pp Y

Y

Y

Y

F .

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно

перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта- Уинтерса.

Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1. Полагая, что t=0, k=1, находим Yp(1): Yp(0+1)=Yp(1)=[a(0)+1*(b)]*F(0+1-4)=28.006 Полагая что t=1, находим :

5

a(1)= α1*Y(1)/F(-3)+(1-α1)*[a(0)+b(0)]=32.58 b(1)= α3*[a(1)-a(0)]+(1-α3)*b(0)=0.867 F(1)= α2*Y(1)/a(1)+(1- α2)*F(-3)=0.859

Аналогично рассчитаем для t=1: Yp(2)=36.11 a(2)= 33.42 b(2)= 0.858 F(2)=1.078 Для t=2: Yp(3)=43.69 a(3)=34.11 b(3)= 0.809 F(3)= 1.266 Для t=3: Yp(4)=27.44 a(4)=35.14 b(4)= 0.873 F(4)= 0.792 Для t=4: Yp(5)=30.95 a(5)= 36.03 b(5)=0.879

F(5)=0.860 Для t=5: Yp(6)=39.79 a(6)=36.96 b(6)=0.896 F(6)=1.080 Для t=6: Yp(7)=47.94 a(7)=38.11 b(7)=0.971 F(7)=1.277 Для t=7: Yp(8)=30.97 a(8)=38.72 b(8)=0.861

6

F(8)=0.781 Для t=8: Yp(9)=34.04 a(9)=39.56 b(9)=0.857 F(9)=0.859 Для t=9: Yp(10)=43.68 a(10)=40.51 b(10)=0.884 F(10)=1.083 Для t=10 Yp(11)=52.90 a(11)=41.18 b(11)=0.821 F(11)=1.269 Для t=11: Yp(12)=32.84 a(12)=42.07 b(12)= 0.839 F(12)=0.783 Для t=12: Yp(13)=36.88 a(13)=43.64 b(13)=1.060 F(13)=0.880 Для t=13: Yp(14)=48.45 a(14)=44.57 b(14)=1.022 F(14)=1.079 Для t=14: Yp(15)=57.85 a(15)=45.64 b(15)=1.033 F(15)=1.270

7

Для t=15: Yp(16)=36.56 a(16)=46.45 b(16)=0.968 F(16)= 0.778

Таблица 4

Модель Хольта-Уинтерса

t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t) E(t) в % -3 0,859496 -2 1,079657 -1 1,274626 0 31,71616 0,868631 0,785778 1 28 32,58253 0,867952 0,859412 28,01 -0,01 0,02316 2 36 33,41851 0,858362 1,078211 36,12 -0,12 0,3196 3 43 34,11443 0,809628 1,266129 43,69 -0,69 1,60513 4 28 35,13688 0,873474 0,792441 27,44 0,56 1,990849 5 31 36,0286 0,878948 0,860021 30,95 0,05 0,168615 6 40 36,96483 0,896133 1,08055 39,79 0,21 0,514692 7 49 38,11287 0,971705 1,277845 47,94 1,06 2,169686 8 30 38,71651 0,861285 0,781895 30,97 -0,97 3,24078 9 34 39,56463 0,857335 0,859621 34,04 -0,04 0,11102 10 44 40,51137 0,884158 1,083889 43,68 0,32 0,731916 11 52 41,18493 0,820978 1,268696 52,90 -0,90 1,7251 12 33 42,06569 0,838913 0,78345 32,84 0,16 0,472155 13 39 43,64388 1,060695 0,880006 36,88 2,12 5,431587 14 48 44,57869 1,022932 1,079604 48,45 -0,45 0,9475 15 58 45,636 1,033245 1,270034 57,85462 0,145379 0,250653 16 36 46,45365 0,968566 0,77836 36,56303 -0,563031 1,56398

2. Проверка точности модели

Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см.табл.4) составляет 21.27, что дает среднюю величину 21.27/16=1.33%.

Следовательно, условие точности выполнено.

3. Проверка условия адекватности.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. (табл.5)

8

Таблица 5

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t E(t) точки поворотаE(t)2 E(t)-E(t-1) (Et-Et-1)2 E(t)*E(t-1) 1 -0,01 0,00 2 -0,12 0 0,01 -0,11 0,01 0,001 3 -0,69 1 0,48 -0,58 0,33 0,079 4 0,56 1 0,31 1,25 1,56 -0,385 5 0,05 0 0,00 -0,51 0,26 0,029 6 0,21 0 0,04 0,15 0,02 0,011 7 1,06 1 1,13 0,86 0,73 0,219 8 -0,97 1 0,95 -2,04 4,14 -1,034 9 -0,04 0 0,00 0,93 0,87 0,037

10 0,32 1 0,10 0,36 0,13 -0,012 11 -0,90 1 0,80 -1,22 1,49 -0,289 12 0,16 0 0,02 1,05 1,11 -0,140 13 2,12 1 4,49 1,96 3,85 0,330 14 -0,45 1 0,21 -2,57 6,62 -0,963 15 0,15 1 0,02 0,60 0,36 -0,066 16 -0,56 0,32 -0,71 0,50 -0,082

сумма 0,88 9 8,89 21,99 -2,265 Общее число поворотных точек в нашем примере равно p=9 Рассчитаем значение q:

( )[ ] [ ] 690/2916*16(23/)216(2int90/)2916(23/22int =−−−=−−−= NNq Если количество поворотных точек p больше q, то условие

случайности уровней выполнено. В нашем случае p=9, q=6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков. а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

[ ] 47.2

89.8

99.21

)(

)1()(

1

2

2

2

== −−

= ∑

N

N

tE

tEtE d

В нашем случае имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4.

53.147.244/ =−=−= dd

d2<1.53<2, уровни ряда остатков независимы.

9

б) по первому коэффициенту автокорреляции

[ ] 254.0

89.8

265.2

)(

)1()(

1

2

2 1 −=−=

−× =

N

N

tE

tEtE r

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента

автокорреляции меньше критического значения r(1) < r табл , то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче /r(1)/=0,25<rтаб=0,32 – уровни независимы

Проверка соответствия ряда остатков нормальному

распределению определяем по RS –критерию. Рассчитаем значение RS:

RS=(Emax – Emin)/S,

769.0 1

)( 2 =

− = ∑

N

tE S

RS= (2.12-(-0.97))/0.769=4.02 Так как 3,00<4.02<4,21, полученное значение RS попало в заданный

интервал, то уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза на 4 квартала вперед.

4. Построение точечного прогноза Для t=17 имеем: Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+b(16)]*F(16+1-4)= (46.45+0.969)*0.880=41.73 Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20): Yp(18)=Yp(16+2)=(46.45+2*0.969)*1.079=52.21 Yp(19)=(46.45+3*0.969)*1.270=62.68 Yp(20)=(46.45+4*0.969)*0.778=39.15

10

5. Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25

Ряд1 Ряд2

11

Задание № 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10

дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать: - экспоненциальную скользящую среднюю; - момент; - скорость изменения цен; - индекс относительной силы; - %R, %K, %D. Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно

выполнить на основании имеющихся данных.

дни Макс. Мин. Закр. 1 998 970 982 2 970 922 922 3 950 884 902 4 880 823 846 5 920 842 856 6 889 840 881 7 930 865 870 8 890 847 852 9 866 800 802 10 815 680 699

12

Решение:

Результаты расчетов см. в таблице 6 и 7. 1. Экспоненциальная скользящая средняя.

EMAt=k*Ct+(1-k)*EMAt-1, где k=2/(n+1) Ct – цена закрытия t-го дня

2. Момент

MOMt=Ct – Ct-n Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном

росте цен, отрицательные – о снижении

3. Скорость изменения цен

%100×= −nt

t t C

C ROC

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения.

4. Индекс относительной силы

ADAU RSI

/1

100 100

+ −= ,

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней; AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

5. Стохастические линии %Kt=100*(Ct – L5)/(H5 – L5); %Rt=100*(H5 – Ct)/(H5 – L5);

100 )(

)( %

2 55

2 5

× −

− = ∑

−=

−= t

ti

t

ti t

LH

LC D ;

где Ct – цена закрытия текущего дня. L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней,

включая текущий.

13

Таблица 6. Расчет ROC,MOM и RSI

цена закры

тия

проста

я скольз

ящая

экспонен

циальная скользя

щая средняя MOM ROC

повыш

ение цены

пони

жени

е цены

сумма повы

шений

сумм

а пони

жений RSI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 982 922 60 902 20 846 56 856 4508 901,6 901,6 -126 87,17 10 881 4407 881,4 894,73 -41 95,55 25 35 136 20 870 4355 871 886,49 -32 96,45 11 35 87 29 852 4305 861 874,99 6 100,7 18 35 85 29 802 4261 852,2 850,66 -54 93,69 50 35 79 31 699 4104 820,8 800,11 -182 79,34 103 25 182 12

Алгоритм расчета: 1. выберем интервал сглаживания n(в нашем случае n=5) 2. вычислим коэффициент К(К=2/(n+1)=2/6=1/3 3. вычислим MA для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5

дней(графа 2). Сумму разделим на 5 и запишем в графы 3 и 4 за 5-й день. 4. перейдем на одну строку вниз по графе 4. Умножим на К данные по конечной

цене, которую берем из графы 1 текущей строки.(Для 6-го дня это будет 881*1/3=293.67).

5. данные по ЕМА за предыдущий день берем из предыдущей строки графы 4 и умножаем на (1 - К).(Для 6-го дня это будет 901.6*2/3=601.07)

6. сложим результаты, полученные на предыдущих двух шагах (для 6-го дня это будет 293.67+601.07=894.73.Полученное значение записываем в графу 4 текущей строки.

7. повторяем шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы.

14

RSI рассчитывается следующим образом: 1. начиная со 2-го дня до конца таблицы вычитают из конечной цены текущего дня

конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записывают в графу 7. Иначе абсолютное значение разности записывают в графу 8.

2. с 6-го дня и до конца таблицы заполняют графы 9 и 10. для этого складывают значения из графы 7 за последние n дней(включая текущий) и полученную сумму записывают в графу 9(величина AU). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по данным графы 8 и записывают в графу 10. (величина AD).

3. зная AU и AD, рассчитывают значение RSI и записывают в графу 11.

15

Задание №3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные,

приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Таблица 8. вариант

сумма Дата начальная

Дата конечная

Время в днях

Время в годах

ставка Число начислений

S Тн Тк Тдн Тлет i m 4 500 000 21.01.02 11.03.02 180 4 10 2

1. Банк выдал ссуду, размером 500 000 руб. Дата выдачи ссуды

21.01.02, возврата – 11.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 30 % годовых. Найти:

1.1 точные проценты с точным числом дней ссуды; 1.2 обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; 1.3 обыкновенные проценты с приближенным числом дней

ссуды. Решение: 1.1 По формулам: S=P+I, где I=Pni n=t/K K=365, t=49, I= 500000*0.1*49/365=6712.33руб. 1.2. К=360, t=49, I=500000*0.1*49/360=6805.56 руб 1.3. K=360, t=50, I=500000*0.1*50/360=6944.44 руб.

2. Через Тдн после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i % годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение: Используем формулы:

ni SP

+ =

1

1 , i-ставка простых процентов, n – период

D=S – P P=500000/(1+0.1*180/360)=476190.47руб. D=500000 – 476190.47 =23809.53руб.

16

3. Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i % годовых (год равен 360 дням). Определить полученную сумму предприятием и дисконт.

Решение: Используем формулы: D=Snd, откуда P=S – D=S – Snd=S(1 - nd) D=Snd=500000*0.1*180/360=25000 руб. P=500000 – 25000=475000 руб.

4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение: По формуле: S=P(1+i)n = 500 000 *(1+0.1)4=732050руб. 5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные,

ставка – i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение: S= 500 000*(1+0.1/2)8=738 727.7руб. 6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет

проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

Решение: iэ=(1+j/m)

m – 1 = (1+0.1/2)2 – 1=0.1025 т.е. 10.25 % 7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при

начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

Решение: j=m[(1+iэ)

1/m – 1] = 2[(1+0.1)1/2 – 1]=0,097 т.е. 9.7 % 8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить

ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

Решение:

.7.341506)1.01(*500000 )1(

1 4 руб i

SP n

=+= +

= −

17

9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

Решение: P=S(1 – dсл)

n=500000*(1 – 0.1)4=328050руб. D=S – P=500000 – 328050=171950руб. 10. В течение Тлет на расчетный счет в конце каждого года поступает по

S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение: S=500000*[(1+0.1/2)(4*2) – 1]/[(1+0.1/2)2 – 1]=2 329 051руб.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome