Задачи по матанализу, вариант №10 - конспект - Математический анализ, Упражнения из . Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics
Ivan_Bunin
Ivan_Bunin1 March 2013

Задачи по матанализу, вариант №10 - конспект - Математический анализ, Упражнения из . Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics

PDF (234.6 KB)
8 страница
867количество посещений
Описание
Задачи по матанализу, вариант №10. конспект. Математический анализ. Упражнения и задачи по матанализу Контрольная работа
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 8
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по матанализу, вариант №10 - контрольная работа - Математический анализ

Всероссийский заочный финансово – экономический институт.

Кафедра Высшей математики и информатики

Контрольная работа № 1

Дисциплина: Математический анализ и линейная алгебра

Тема: Задачи по матанализу, вариант №10

Барнаул 2007 г.

1. Вычислить определитель матрицы С = А2 + 3А – Е разложением по второй

строке, где А = Е – единичная матрица. Являются ли столбцы

матрицы С линейно независимыми?

Решение: Вычислим матрицу С.

1) А2 = А*А Произведением матриц А*В называется такая матрица С, каждый элемент mxk kxn mxn которой Cij равен сумме произведений элементов i – й строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В. k Сij = ∑ ais * bsj, i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n. s = 1

A2 = * =

= .

Произведением матрицы А на число λ называется матрица В = λ*А, элементы которой bij = λaij для i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n.

3*A = 3 = .

E = – единичная матрица.

Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С = А+В, элементы которой Сij = aij+bij для i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n.

С + – = =

= .

Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А называется Aij = (-1)

i+j * Mij. Mij – минор элемента аij – это определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Вычислим определитель матрицы С разложением по второй строке матрицы.

∆с =| = 10 * (-1)2+1 * + 3 * (-1)2+2 * – 2 *(-1)2+3 * =

-10* (-1+25) + 3*(0+85) + 2*(0+17) = -240 + 255 + 34 = 39.

Выясним являются ли столбцы матрицы С = линейно

независимыми. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличимых от нуля миноров этой матрицы. Для квадратной матрицы n – го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная. ∆с = 39 ≠ 0. Значит, С – невырожденная матрица. Её ран равен 3. И по теореме: ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы) r(C) = 3. Значит и число линейно независимых столбцов равно 3. Значит, все столбцы матрицы С – линейно независимыми. Ответ: Определитель матрицы С ∆с = 39. Все столбцы С линейно независимы.

2. Найти предел. 1-2х

Решение: у = - непрерывная функция. Под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

1-2х = 1-2х) Если предел = a; то

Найдем 1-2х = [1∞] = )1-2х = )1-2х = )1-2х =

= [обозначим =t; 4+3x=-3t; 3x = -3t-4; x = ] = )1-2/3 (-3t-4) =

)2t+11/3 =

при х→+∞ t→-∞ )t)2 * ( )11/3) = [по второму замечательному пределу )t = e] =

e2*1=e2.

Тогда 1-2х = 1-2х = 2

Ответ: 1-2х ≈ 2,896

3. Найти производную функции у = 3*2-хℓn3(2+2х);

Решение:

Применяемые формулы: (u · v)' = u' · v + u · v'; (k · u)' = k · u', k – const; (uα)' = α · uα-1 · u'; (k)' = 0, k – const; (2x)' = 2x ℓn2; 2u = (2u · ℓn2) · u'; (ℓn u)' = .

y' = (3·2-x(-1)·ℓn2) ℓn3 (2+2x) + 3·2-x · 3ℓn2 (2+2x) · x · (0+2xℓn2) =

= -3·2-xℓn2·ℓn3(2+2x)+9·ℓn2(2+2x) · = 3·ℓn2(2+2x)·ℓn2(-2-x·ℓn(2+2x) + );

Ответ: у' = 3·ℓn2(2+2x)·ℓn2( ).

4.Площадь, занимаемая печатным текстом составляет на странице книги 432

см 2. Ширина полей вверху и внизу страницы составляет 2 см, а ширина

боковых полей по 1,5 см. Каковы должны быть ширина и высота страницы, чтобы количество израсходованной бумаги было наименьшим.

Решение:

Обозначим х – ширина страницы (см); у – высота страницы (см). Площадь страницы, S = x · y должна быть минимальной.

Ширина текста х-3 (см),

Высота текста у – 4 (см).

у

х

Площадь текста: = (х-3) · (у-4); 432 = (х-3) · (у-4). Отсюда: у – 4 = ; у = 4 +

; у = ; у = . Тогда S = х · ; или S = ; По условию

задачи х > 3. Исследуем функцию S = ; х є (3,+∞) на наибольшее и наименьшее значения.

1. Находим критические точки S' = 4 · = = .

2. Находим критические точки S' = 0 => = 0 => х2 – 6х – 315 = 0; х1,2 = 3 ± = 3 ± = 3 ± 18. х1 =

-15¢ (3, +∞) (не рассматриваем) х2 = 21 є (3, +∞). 3. Находим значение S (21);

S (21) = = 588 (см2)

4. Исследуем концы промежутка. = [ ] = +∞

= [ , правило Лопиталя] = = +∞

5. Вывод: наименьшее значение, равно 588 функция достигает при х=21. Ширина страницы 21 см.

Высота страницы: у = 4+ = 4+24 = 28 (см)

Ответ: наименьшее количество бумаги будет израсходовано, если ширина страницы 21 см, высота страницы 28 см.

2

1,5 1,5

2

432

см 2

5. Составить уравнения касательных к графику функции у = х3 – х, перпендикулярных прямой, пересекающейся с осью Ох в точке х=6 и с осью Оу в точке у=3. Сделать чертёж

Решение: Исходя из геометрического смысла производной, уравнение касательной к графику функции, проведенной в точке (х0,у0), имеет вид: у – у0 = f ' (x0)(x-x0). (1) Найдем f ' (х) = (х3 – х)' = 3х2 – 1; касательная перпендикулярна прямой, отсекающей на оси Ох отрезок, равный 3. Уравнение прямой в отрезках на осях имеет вид: + =

1. Тогда + = 1 или х+2у = 6 Или: у = - х + 3. Угловой коэффициент этой прямой

= - ; Условие перпендикулярности прямых k1 · k2 = -1. Угловой коэффициент

касательной = 2. М1 (+1;0); у – 0 = 2 (х-1); 2х – у – 2 = 0. М2 (-1;0); у – 0 = 2 (х-(-1)); у – 0 = 2х + 2; 2х – у + 2 = 0; Выполним построения. 2х – у – 2 = 0 2х – у + 2 = 0 у = х3 – х, - кубическая парабола

у ' = 3х2 – 1; у ' = 0 при х = - , х = ≈ 0,6.

+ - + знак у ' - х

max min y

2x-y+2=0

3 2x-y-2=0

M2 0 M1 6 x

x + 2y = 6

y=x3-x

Ответ: Касательные к кривой у = х2-х, перпендикулярные прямой х+2у = 6 1. 2х – у + 2 = 0; 2. 2х – у – 2 = 0.

х 1 0 у 0 -2

х 0 -1 у 0 -2

х 0 1 -1 ≈ - 0,6 ≈ 0,6 у 0 0 0 ≈ 0,4 ≈ - 0,4

6.Исследовать функцию у = · и схематично построить её график.

Решение: 1. Область определения: х є (-∞,+∞), т.к. х2 и определены при любых значениях х.

2. Непрерывность. у1 = х

2 непрерывна как квадратичная функция (х є (-∞,+∞)) у2 = непрерывна как сложная показательная функция: у2 = е

u , u = 1-x2 при х є (-

∞,+∞). Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная. Значит, у = · непрерывна при всех х є (-∞,+∞).

3. Четность, нечетность f (-х) = (-х)2 · = · = f(х).

Данная функция – четная. Её график симметричен относительно оси Оу. 4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва II рода. Невертикальные асимптоты имеют вид у = k·x +b, где k = ; b = ( f (x) – kx).

Найдем k = = = x = [∞·0 - неопределенность] = =

[ ,правило Лопиталя] = = [ ].

b = = [∞·0] = = [ ] = = = = [ ] = 0

y = 0 – правая невертикальная асимптота. Т.к. график четной функции симметричен относительно оси Оу, то у = 0 является и левой невертикальной асимптотой. Т.Е. у = 0 – асимптота.

5. Монотонность. Экстремум. Находим у '; у ' = 2х + · (-2х); у ' = 2х · (1 - ); у ' = 0 => x = 0, x = 1, x = -1 – это

критические точки, найденные по необходимому условию экстремума ( В точках экстремума производная дифференцируемой функции равно нулю). + - + - знак у' х Критические точки разбивают область определения на -1 0 1 промежутки: (-∞,-1), (-1,0), (0,1), (1,+∞). Определяем знак у' на каждом промежутке. х є (-∞,-1); Возьмем х = -2; у'(-2) = - 4 · · (1-4) = 12 е-3 >0; -2 є (-∞, -1) значит при х є (-∞, -1),

у' > 0. По достаточному условию возрастания функция возрастает на этом промежутке.

х є (-1,0); х = - є (-1,0); у' (- ) = 2· (- ) · (1 - ) < 0

Значит, при х є (-1,0) функция убывает (по достаточному условию убывания дифференцируемой функции)

х є (0;1); є (0;1); у' ( ) = 2 · · (1- ) > 0 При х є (0;1); у ' > 0 => функция

возрастает х є (1; +∞); 2 є (1; +∞); у '(2) = 2·2·е1-4·(1-4) < 0 => функция убывает. При переходе через точку х = -1 производная меняет знак с «+» на «-». По первому достаточному признаку экстремума в этой точке максимум уmax = у (-1) = (-1)

2 · е1-1 = 1 М1 (-1;1) – точка максимума. При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «-» на «+». По первому достаточному условию экстремума в этой точке минимум. уmin = у (0) = 0·е

1-0 = 0 М2 (0;0) – точка минимума. При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с «+» на «-». В этой точке максимум. уmax = у (1) = 1· е

1-1 = 1 М3 (1;1) – точка максимума.

Построим схематично график этой функции. у

1

х -1 0 1

Литература:

Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов /Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002г.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome