Задачи по Финансовой математике, варианты  - упражнение -  Финансовая математика (3), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по Финансовой математике, варианты - упражнение - Финансовая математика (3), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (157.4 KB)
17 страница
351количество посещений
Описание
Задачи по Финансовой математике. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Вариант 3.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 17
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по Финансовой математике, вариант 2 - контрольная работа - Финансовая математика

Всероссийский заочный финансово-экономический институт Кафедра «ЭММ и ПМ»

Москва 2004

Контрольная работа

По дисциплине

«Финансовая математика»

Тема:

«Задачи по Финансовой математике, вариант 2»

2

Задание №1

Ниже приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

Таблица 1.

квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Кредит от коммерческого банка на жилищное строительство

30 38 45 30 32 42 51 31 36 46 55 34 41 50 60 37

Требуется: 1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-

Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3;α2=0,6; α3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков; - независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32; - нормальности распределения остаточной компоненты по R/S- критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. 5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные

данные.

3

Решение: 1. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным

ростом имеет следующий вид:

Yp(t+k)=[a(t) + k*b(t)] * F( t+k-L),

коэффициенты модели a(t), b(t) и F(t) рассчитываются по формулам: a(t)= α1 *Y(t) / F(t-L) + (1- α1 )*[a(t-1)+b(t-1)]; b(t)= α3 * [a(t)-a(t-1)]+(1- α3)*b(t-1); F(t)= α2 * Y(t)/a(t) + (1- α2)*F(t-L).

Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих

коэффициентов для предыдущего периода времени. Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл.1. Линейная модель имеет вид:

Yp(t)=a(0) + b(0)*t.

Таблица 2

Промежуточные расчеты для вычисления коэффициентов

t Y(t) Y(t)-Ycp t-tcp (Y(t)-

Ycp*(t- tcp))

(t-tcp)2 Yp(t)

1 30 -7,375 -3,5 25,8125 12,25 34,67 2 38 0,625 -2,5 -1,5625 6,25 35,44 3 45 7,625 -1,5 -11,4375 2,25 36,21 4 30 -7,375 -0,5 3,6875 0,25 36,99 5 32 -5,375 0,5 -2,6875 0,25 37,76 6 42 4,625 1,5 6,9375 2,25 38,54 7 51 13,625 2,5 34,0625 6,25 39,31 8 31 -6,375 3,5 -22,3125 12,25 40,08

Сумма 299 32,5 42 Среднее 4,5 37,375

774.0 42

5.36

)(

)())(( )0(

2 ==

−×− =

∑ ∑

ср

срср

tt

ttYtY b

a(0) = Yср – b(0)*tср = 37,375 - 0,774*4,5=33,89 Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Yp(t)= 33,89+0,774t Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем

их с фактическими значениями (табл.3)

4

Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной

модели значений Yp(t) t 1 2 3 4 5 6 7 8 Y(t) 30 38 45 30 32 42 51 31 Yp(t) 34,67 35,44 36,21 36,99 37,76 38,54 39,31 40,08

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV

кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл.1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

8564.0 2

)5(

)5(

)1(

)1(

)3( = +

=− pp Y

Y

Y

Y

F ;

081.1 2

)6(

)6(

)2(

)2(

)2( = +

=− pp Y

Y

Y

Y

F ;

27.1 2

)7(

)7(

)3(

)3(

)1( = +

=− pp Y

Y

Y

Y

F ;

792.0 2

)8(

)8(

)4(

)4(

)0( =  

  

 +

= pp Y

Y

Y

Y

F .

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно

перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта- Уинтерса.

Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1. Полагая, что t=0, k=1, находим Yp(1): Yp(0+1)=Yp(1)=[a(0)+1*(b)]*F(0+1-4)=29,69 Полагая что t=1, находим :

5

a(1)= α1*Y(1)/F(-3)+(1-α1)*[a(0)+b(0)]=34,78 b(1)= α3*[a(1)-a(0)]+(1-α3)*b(0)=0,806 F(1)= α2*Y(1)/a(1)+(1- α2)*F(-3)=0,860

Аналогично рассчитаем для t=1 Yp(2)=38,47 a(2)= 35,45 b(2)= 0,77 F(2)=1,07 Для t=2: Yp(3)=46,00 a(3)=35,98 b(3)= 0,696 F(3)= 1,258 Для t=3: Yp(4)=29,06 a(4)=37,04 b(4)= 0,803 F(4)= 0,802 Для t=4:

Yp(5)=32,55 a(5)= 37,65 b(5)=0,746

F(5)=0,854 Для t=5: Yp(6)=41,29 a(6)=38,59 b(6)=0,805 F(6)=1,083 Для t=6: Yp(7)=49,57 a(7)=39,74 b(7)=0,907 F(7)=1,273 Для t=7: Yp(8)=32,63 a(8)=40,03 b(8)=0,724

6

F(8)=0,785 Для t=8: Yp(9)=34,81 a(9)=41,18 b(9)=0,849 F(9)=0,866 Для t=9: Yp(10)=45,52 a(10)=42,16 b(10)=0,889 F(10)=1,09 Для t=10 Yp(11)=54,82 a(11)=43,09 b(11)=0,902 F(11)=1,275 Для t=11: Yp(12)=34,56 a(12)=43,77 b(12)= 0,837 F(12)=0,780 Для t=12: Yp(13)=38,64 a(13)=45,42 b(13)=1,082 F(13)=0,887 Для t=13: Yp(14)=50,60 a(14)=46,34 b(14)=1,032 F(14)=1,082 Для t=14: Yp(15)=60,42 a(15)=47,28 b(15)=1,002 F(15)=1,271

Для t=15:

7

Yp(16)=37,68 a(16)=48,02 b(16)=0,924 F(16)= 0,774

Таблица 4

Модель Хольта-Уинтерса

t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t) E(t) в % -3 0,8564 -2 1,081059 -1 1,27 0 33,89286 0,77381 0,79223 1 30 34,77578 0,806543 0,860162 29,69 0,31 1,038251 2 38 35,45284 0,767698 1,075532 38,47 -0,47 1,227 3 45 35,9843 0,696827 1,258327 46,00 -1,00 2,222 4 30 37,03712 0,803626 0,802891 29,06 0,94 3,133668 5 32 37,64922 0,746167 0,854035 32,55 -0,55 1,716 6 42 38,59191 0,805123 1,083199 41,30 0,70 1,677503 7 51 39,73692 0,907091 1,273395 49,57 1,43 2,795397 8 31 40,03395 0,724072 0,785762 32,63 -1,63 5,266 9 36 41,17646 0,849604 0,866186 34,81 1,19 3,308907 10 46 42,15828 0,889269 1,087955 45,52 0,48 1,037815 11 55 43,09077 0,902234 1,275183 54,82 0,18 0,333526 12 34 43,77613 0,837173 0,780312 34,57 -0,57 1,67 13 41 45,4295 1,082032 0,887973 38,64 2,36 5,74779 14 50 46,3454 1,032193 1,082495 50,60 -0,60 1,204 15 60 47,27993 1,002894 1,271496 60,42 -0,42 0,691 16 37 48,02306 0,924962 0,774403 37,68 -0,68 1,826

2. Проверка точности модели

Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см.табл.4) составляет 34,89, что дает среднюю величину 34,89/16=2,18%.

Следовательно, условие точности выполнено.

3. Проверка условия адекватности.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. (табл.5)

8

Таблица 5

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t E(t) точки поворотаE(t)2 E(t)-E(t-1) (Et-Et-1)2 E(t)*E(t-1) 1 0,31 0,09702 2 -0,47 0 0,2177 -0,78 0,61 -0,145 3 -1,00 1 1,0001 -0,53 0,28 0,467 4 0,94 1 0,8838 1,94 3,76 -0,940 5 -0,55 1 0,3016 -1,49 2,22 -0,516 6 0,70 0 0,4964 1,25 1,57 -0,387 7 1,43 1 2,0325 0,72 0,52 1,004 8 -1,63 1 2,6657 -3,06 9,35 -2,328 9 1,19 1 1,4190 2,82 7,97 -1,945

10 0,48 0 0,2279 -0,71 0,51 0,569 11 0,18 1 0,0336 -0,29 0,09 0,088 12 -0,57 1 0,3227 -0,75 0,56 -0,104 13 2,36 1 5,5535 2,92 8,55 -1,339 14 -0,60 1 0,3630 -2,96 8,76 -1,420 15 -0,42 1 0,1723 0,19 0,04 0,250 16 -0,68 0,4565 -0,26 0,07 0,280

сумма 11 16,243 44,87 -6,466 Общее число поворотных точек в нашем примере равно p=11 Рассчитаем значение q:

( )[ ] [ ] 690/2916*16(23/)216(2int90/)2916(23/22int =−−−=−−−= NNq Если количество поворотных точек p больше q, то условие

случайности уровней выполнено. В нашем случае p=11, q=6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков. а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

[ ] 76.2

24.16

87.44

)(

)1()(

1

2

2

2

== −−

= ∑

N

N

tE

tEtE d

В нашем случае имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4.

23.176.244/ =−=−= dd

9

d1<1.23 <d2, Критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков.

б) по первому коэффициенту автокорреляции

[ ] 39.0

24.16

466.6

)(

)1()(

1

2

2 1 −=−=

−× =

N

N

tE

tEtE r

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента

автокорреляции меньше критического значения r(1) < r табл , то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче /r(1)/=0,39>rтаб=0,32 – условие независимости не выполняется

Проверка соответствия ряда остатков нормальному

распределению определяем по RS –критерию. Рассчитаем значение RS:

RS=(Emax – Emin)/S,

04.1 1

)( 2 =

− = ∑

N

tE S

RS= (2,36-(-1.43))/1,04=3,83 Так как 3,00<3,83<4,21, полученное значение RS попало в заданный

интервал, то уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

4. Построение точечного прогноза Для t=17 имеем: Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+b(16)]*F(16+1-4)= (48.02+0.924)*0.887=43.41 Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20): Yp(18)=Yp(16+2)=(48.02+2*0.924)*1.082=53.96 Yp(19)=( 48.02+3*0.924)*1.271=64.56 Yp(20)=( 48.02+4*0.924)*0.774=40.02

10

5. Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25

Ряд1 Ряд2

11

Задание № 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10

дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать: - экспоненциальную скользящую среднюю; - момент; - скорость изменения цен; - индекс относительной силы; - %R, %K, %D. Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно

выполнить на основании имеющихся данных.

дни Макс. Мин. Закр. 1 765 685 750 2 792 703 733 3 740 706 733 4 718 641 666 5 680 600 640 6 693 638 676 7 655 500 654 8 695 630 655 9 700 640 693 10 755 686 750

12

Решение:

Результаты расчетов см. в таблице 6 и 7. 1. Экспоненциальная скользящая средняя.

EMAt=k*Ct+(1-k)*EMAt-1, где k=2/(n+1) Ct – цена закрытия t-го дня

2. Момент

MOMt=Ct – Ct-n Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном

росте цен, отрицательные – о снижении

3. Скорость изменения цен

%100×= −nt

t t C

C ROC

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения.

4. Индекс относительной силы

ADAU RSI

/1

100 100

+ −= ,

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней; AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

5. Стохастические линии %Kt=100*(Ct – L5)/(H5 – L5); %Rt=100*(H5 – Ct)/(H5 – L5);

100 )(

)( %

2 55

2 5

× −

− = ∑

−=

−= t

ti

t

ti t

LH

LC D ;

где Ct – цена закрытия текущего дня. L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней,

включая текущий.

13

Таблица 6.

Расчет ROC,MOM и RSI

цена закры

тия

проста

я скольз

ящая

экспонен

циальная скользя

щая средняя MOM ROC

повыш

ение цены

пони

жени

е цены

сумма повы

шений

сумм

а пони

жений RSI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 750 733 17 733 0 666 67 640 3522 704,4 704,4 -110 85,33 26 676 3448 689,6 694,93 -57 92,22 36 36 110 25 654 3369 673,8 681,2889 -79 89,22 22 36 115 24 655 3291 658,2 672,5259 -11 98,35 1 37 115 24 693 3318 663,6 679,35 53 108,3 38 75 48 61 750 3428 685,6 702,9004 74 110,9 57 132 22 86

Алгоритм расчета: 1. выберем интервал сглаживания n(в нашем случае n=5) 2. вычислим коэффициент К(К=2/(n+1)=2/6=1/3 3. вычислим MA для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5

дней(графа 2). Сумму разделим на 5 и запишем в графы 3 и 4 за 5-й день. 4. перейдем на одну строку вниз по графе 4. Умножим на К данные по конечной

цене, которую берем из графы 1 текущей строки.(Для 6-го дня это будет 676*1/3=225.33).

5. данные по ЕМА за предыдущий день берем из предыдущей строки графы 4 и умножаем на (1 - К).(Для 6-го дня это будет 704.4*2/3=469.60)

6. сложим результаты, полученные на предыдущих двух шагах (для 6-го дня это будет 225.33+469.60=694.93.Полученное значение записываем в графу 4 текущей строки.

7. повторяем шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы.

14

RSI рассчитывается следующим образом: 1. начиная со 2-го дня до конца таблицы вычитают из конечной цены текущего дня

конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записывают в графу 7. Иначе абсолютное значение разности записывают в графу 8.

2. с 6-го дня и до конца таблицы заполняют графы 9 и 10. для этого складывают значения из графы 7 за последние n дней(включая текущий) и полученную сумму записывают в графу 9(величина AU). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по данным графы 8 и записывают в графу 10. (величина AD).

3. зная AU и AD, рассчитывают значение RSI и записывают в графу 11.

15

Задание №3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные,

приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Таблица 8. вариант

сумма Дата начальная

Дата конечная

Время в днях

Время в годах

ставка Число начислений

S Тн Тк Тдн Тлет i m 4 1 000

000 18.01.02 12.03.02 180 4 15 2

1. Банк выдал ссуду, размером 1 000 000 руб. Дата выдачи ссуды

18.01.02, возврата – 12.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 15 % годовых. Найти:

1.1 точные проценты с точным числом дней ссуды; 1.2 обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; 1.3 обыкновенные проценты с приближенным числом дней

ссуды. Решение: 1.1 По формулам: S=P+I, где I=Pni n=t/K K=365, t=53, I= 1000000*0.15*53/365=21780.82руб. 1.2. К=360, t=53, I=1000000*0.15*53/360=22083.33руб 1.3. K=360, t=55, I= 1000000*0.15*55/360=22916.67руб.

2. Через Тдн после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i % годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение: Используем формулы:

ni SP

+ =

1

1 , i-ставка простых процентов, n – период

D=S – P P=1000000/(1+0.15*180/360)=930232.56руб. D=1000000 – 930232.56=69767.44руб.

3. Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по

16

учетной ставке i % годовых (год равен 360 дням). Определить полученную сумму предприятием и дисконт.

Решение: Используем формулы: D=Snd, откуда P=S – D=S – Snd=S(1 - nd) D=Snd=1000000*0.15*180/360=75000 руб. P=1000 000 – 75 000=925 000 руб.

4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение: По формуле: S=P(1+i)n = 1000 000 *(1+0.15)4=1749006.3руб. 5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные,

ставка – i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение: S=1000 000*(1+0.15/2)8=1783477.83руб. 6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет

проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

Решение: iэ=(1+j/m)

m – 1 = (1+0.15/2)2 – 1=0,155 т.е. 15.5% 7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при

начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

Решение: j=m[(1+iэ)

1/m – 1] = 2[(1+0.15)1/2 – 1]=0,14т.е. 14% 8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить

ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

Решение:

.25.571753)15.01(*1000000 )1(

1 4 руб i

SP n

=+= +

= −

17

9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

Решение: P=S(1 – dсл)

n=1000000*(1 – 0.15)4=522006.25 руб. D=S – P=1000000 – 522006.25=477993.75. 10. В течение Тлет на расчетный счет в конце каждого года поступает по

S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение: S=1000000*[(1+0.15/2)(4*2) – 1]/[(1+0.15/2)2 – 1]=5034395.67руб.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome