Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты  - упражнение - Эконометрика (10), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament
wklev85
wklev8525 March 2013

Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты - упражнение - Эконометрика (10), Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament

PDF (168.9 KB)
17 страница
295количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Эконометрика. Тема Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Лабораторная работа. Разные варианты. Вариант 10.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 17
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, вариант 10 - контрольная работа - Эконометрика

2

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

Контрольная работа

По курсу:

«Эконометрика»

Тема:

«Зависимость объема выпуска продукции от объема

капиталовложений, вариант 10»

Уфа 2008 г

3

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена

информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y,

млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.)

Х 12 4 18 27 26 29 1 13 26 5

Y 21 10 26 33 34 37 9 21 32 14

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую

интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить

дисперсию остатков 2eS ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с

помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость

уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти

среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о

качестве.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при

уровне значимости α=0,01 при Х=80% от его максимального значения.

7. Представить графически фактических и модельных значений Y, точки

прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• Гиперболической; • Степенной; • Показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации,

коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки

аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам. Сделать

вывод.

4

Решение

1. Параметры уравнения линейной регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ =a+b x.

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя

данные таблицы 1.

= 22 xx

xyyx

− ⋅−

= 97,0

1,161,360

1,16*7,232,479 2

= −

а̂ = xby − = 23,7-0,97*16,1=8,12. ŷ =8,12*0,97 x.

Таким образом, с увеличением объема капиталовложений на 1 млн.руб.

объем выпуска продукции увеличится на 970 тыс.руб.

2. Вычисление остатков, остаточной суммы квадратов, оценка

дисперсии остатков, построение графика остатков.

Расчеты представим в таблице 1

Остаточная дисперсия, показатель адекватности модели, для

однофакторного уравнения рассчитывается по формуле: 2

)ˆ( 1

2

2

− −

= ∑ = n

yy n

i iiσ .

Используем данные табл. 1 получим: =2σ 76,97/8=9,62.

Чем меньше значение остаточной дисперсии, тем лучше регрессионное

уравнение.

График остатков построим с помощью инструмента Excel Регрессия.

Переменная X 1 График остатков

-4

-2

0

2

0 10 20 30 40

Переменная X 1

О с т а тк и

Рис.1 График остатков

5

3. Проверка выполнения предпосылок МНК.

Основными предположениями классической модели линейной

регрессии являются следующие:

1) М(εi)=0,

2) M(εi 2)=δ2 – дисперсия случайной компоненты – константа,

3) COV(εi, εj)=0.

Нарушение тех или иных предпосылок проверяется на основе

выдвижения соответствующих гипотез относительно ε. Оценочными

значениями εi являются величины yi- i= ε̂ i. Все критерии относительно ε

основываются на этих оценочных значениях.

Для проверки второго условия МНК, то есть условия постоянства

дисперсии случайно компоненты ε используем F-статистику, основанную на

том, что величина F

( ε̂ 1 2+ ε̂ 2

2+ … .+ ε̂ n/2 2)

F= ______________________ ( ε̂ n/2+1

2+ ε̂ n/2+2 2+…+ ε̂ n

2) подчиняется F-распределению со степенями свободы n/2-1 и n/2-1.

Если проверяется гипотеза о росте дисперсии Fрасч. должно быть меньше

Fтабл., если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, Fрасч. должно

быть больше Fтабл.. Выполнение второго условия называется

гомоскедастичностью, а нарушение его – гетероскедастичностью.

F = = ++++

++++ 08,164,109,001,067,0

52,056,121,096,361,1 25,2 49,3

86,7 = .

Табличное значение F- распределения при заданной вероятности 0,95 и

степенях свободы (n/2-1) равно F(0,05; 4;4) =6,39. Fрасч.< Fтабл. Второе условие

МНК (гомоскедастичность) с вероятностью 95% нарушено, принимается

гипотеза о росте дисперсии .

Наиболее часто нарушаемым является третье условие. Показатель

ковариации (cov) устанавливает наличие зависимости между случайными

переменными. Поэтому нарушение третьего условия МНК свидетельствует о

зависимости случайных компонент для наблюдений с различными номерами

6

(i и j). Выполнение этого условия, как правило, проверяется на основе

критерия Дарбина-Уотсона:

D-W= ∑ =

n

i 2

( ε̂ i- ε̂ i-1) 2 / ∑

=

n

i 1

ε̂ i 2 где

ε̂ i 2 — остатки, получаемые при оценивании линейной модели наблюдений,

и подчиняется распределению Дарбина-Уотсона, для которого

имеются таблицы квантилей. Сравнивая значения D-Wрасч. и D-Wтабл. можно

проверить гипотезу о нарушении условия 3). Нарушение условия 3)

называется автокорреляцией. При проверке наличия автокорреляции

используются табличные данные. При количестве наблюдений более 10

d1=0,95; d2=1,23.

1) D-W≤d1 – гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;

2) d2≤ D-W≤4-d2 – гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;

3) D-W≥4-d1 – принимается гипотеза о наличии отрицательной

автокорреляции.

Случаи, когда d1≤D-W≤d2 и 4-d2≤D-W≤4-d1, являются

неопределенными, когда гипотеза не принимается и не отвергается. В этих

случаях обращаются к другим критериям.

Расчет статистики Дарбина-Уотсона проведем, используя данные табл.1.

D-W = 32,29/11,35=2,85.

Критические значения по таблице распределения статистики Дарбина-

Уотсона при n=10 составили d 1 = 0,95 и d2=1,23.

4) Расчетный показатель попал в область D-W≥4-d1 – принимается

гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции.

4. Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-

критерия Стьюдента (α=0,05).

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с

определением расчетных значений критерия Стьюдента для

соответствующих коэффициентов регрессии : tрасч = b/ mb и tрасч = а/ mа.

m b – стандартная ошибка коэффициента b

7

ma – стандартная ошибка коэффициента а

m b = ∑

∑ −

−− 2

2

)(

)2/()ˆ(

xx

nyy x = ∑ −

2

2

)( xx

S ma= ∑ ∑

−⋅ ∗

2

2 2

)( xxn

x S

S2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Затем расчетные значения сравниваются с табличными. Критические

значения t-статистики определяется при (n-2) степенях свободы и

соответствующем уровне значимости.

Если tрасч не входит в заданный интервал, то выдвинутая гипотеза о

том, что х не влияет на у, не принимается, т.е. если | tрасч| > t табл

коэффициент регрессии считается значимым.

m b = ∑

∑ −

−− 2

2

)(

)2/()ˆ(

xx

nyy x = 9,1008

8/35,11 = 0,037.

tb = 0,97/0,037=25,81. Расчетный показатель больше t табл.=2,306 с

заданной вероятностью 95% и не входит в заданный интервал.

m а = ∑ ∑

−⋅ ∗

2

2 2

)( xxn

x S =

9,1008*10

3601*8/35,11 =0,71

tа = 8,12/0,71=11,41 . Расчетный показатель больше t табл. с заданной

вероятностью 95% и степенями свободы (n-2) = 2,306.

Гипотеза о том, что х влияет на у не существенно отклоняется,

коэффициенты уравнения регрессии значимые.

5. Вычисление коэффициента детерминации, проверка значимости

уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), относительная

ошибка аппроксимации. Вывод о качестве модели.

Величина RXY 2 называется коэффициентом детерминации и

показывает долю изменения (вариации) результативного признака под

8

действием факторного признака. Чем ближе его значение к единице, тем

теснее наблюдения примыкают к линии регрессии, тем лучше регрессия

описывает значимость переменных.

∑ − −

−= 2

2 2

)(

)ˆ( 1

yy

yy R XY = 994,0

1,956

35,11 1 =−

Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 99,4%

объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).

F-критерий Фишера )2( 1 2

2

−× −

= n R

R F .

Если расчетное значение этого критерия со степенями свободы (m) и

(n-m-1), где n- количество наблюдений, m – число включенных в модель

факторов, больше табличного значения критерия Фишера при заданном

уровне значимости (достаточно большой вероятности), то модель признается

значимой.

Fрасч 1,6662)-(10* 994,01

994,0 = −

=

Fрасч многократно больше табличного значения F0,05;1;8 = 5,32, т.е. не входит в

правдоподобную область с плотностью распределения р=0,95 – гипотеза о

несущественности уравнения отклоняется. Модель значима с вероятностью

95%.

6. Прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне

значимости α=0,01 при Х=80% от его максимального значения.

Для прогнозирования результативного показателя подставим в

уравнение

=8,12+0,97x значение факторного показателя, равного 80%

от его максимального значения

х̂= 0,8*29=23,2.

Тогда точечный прогноз составит: ŷ = 8,12+0,97*23,2=30,6.

9

7. График фактических и модельных значений Y, точки прогноза.

График прогноза представим на рисунке 2.

23,2; 30,6

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-5 0 5 10 15 20 25 30 35

y

у по модели

Рис. 2. График по модели

8. Уравнения нелинейной регрессии:

8.1 Гиперболическая модель

Уравнение гиперболической функции: ŷ = a + b/x.

Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1/x. В результате

получим линейное уравнение ŷ = a + bX.

Рассчитаем параметры уравнения по данным таблицы 2.

b = 22 XX

XyXy

− ⋅−⋅ = 72,23

18,0112,0

18,0*7,2341,2 2

−= −

а = Xby ×− =23,7+23,72*0,18=28,0.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

=28-23,72/х.

8.2 Степенная модель

Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ =аxb

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию

переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей

уравнения : lg ŷ = lg a + b lg x.

Обозначим через Y=lg ŷ , X=lg x, A=lg a.

10

Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение

регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.

b = 22

XYYХ

− ⋅− = 45,0

05,13,1

05,1*33,148,1 2

= −

A = XbY − = 1,33-0,45*1,05=0,85

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 0,85+0,45 Х.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование

данного уравнения.

= 100,85* х0,45.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

= 7,14* х0,45.

8.3 Показательная модель

Уравнение показательной кривой: ŷ =abx.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию

переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей

уравнения: lg ŷ = lg a + x lg b. Обозначим: Y = lg ŷ , B = lg b, A = lg a.

Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B x.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 4.

В = 22 xx

xYxY

×−× = .02,0 1,161,360

1,16*33,146,23 2

= −

А = xBY ×− = 1,33-0,02*16,1=0,997

Уравнение будет иметь вид: Y = 0,997+0,02х.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование

данного уравнения:

=100,997* ( 100,02)х = 9,92*1,05х.

11

Графики построенных моделей:

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

0 5 10 15 20 25 30 35

y

у по модели

Рис.3. Гиперболическая

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35

y

y по модели

Рис.4. Степенная

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

45,0

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0

y

у по модели

Рис.5. Показательная

12

9. Сравнение моделей по характеристикам: коэффициенты

детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные

ошибки аппроксимации. Вывод.

9.1 Гиперболическая модель

Коэффициент детерминации: ∑

∑ − −

−= 2

2 2

)(

)ˆ( 1

yy

yy R XY = 468,0

1,956

98,508 1 =−

Вариация результата Y на 46,8% объясняется вариацией фактора Х.

Коэффициент эластичности:

y

aХ Э ху =1ˆ = 7,23

18,0*28 = 0,21.

Это означает, что при увеличении фактора Х на 1 % результирующий

показатель увеличится на 0,21 %.

Бета-коэффициент :

Sx= 10

79.0 =0,28 Sy= 10

1,956 =9,78 =xŷβ 28*0,28/9,78=0,81.

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину

среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению

среднего значения объема выпуска продукции на 0,81

среднеквадратического отклонения этого показателя.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Е отн = 37,05/ 10= 3,7 %.

В среднем расчетные значения ŷ для гиперболической модели

отличаются от фактических значений на 3,7%.

9.2 Степенная модель

Коэффициент детерминации: ∑

∑ − −

−= 2

2 2

)(

)ˆ( 1

yy

yy R XY = 928,0

46,0

03,0 1 =−

Вариация результата Y на 92,8% объясняется вариацией фактора Х.

Коэффициент эластичности:

13

Y

АХ Э ху =1ˆ = 33,1

05,1*85,0 = 0, 67.

Это означает, что при увеличении факторного признака на 1 %

результирующий увеличится на 0,67%.

Бета-коэффициент:

y

x xy S

aS=ˆβ , Sy= n yy∑ −

2)( и Sx=

n

xx∑ − 2)(

.

Sx= 10

06,2 =0,45 Sy= 10

45,0 =0,21 =xŷβ 0,85*0,45/0,21=1,82.

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину

среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению

среднего значения объема выпуска продукции на 1,82 среднеквадратического

отклонения этого показателя.

Е отн= %100 1 ××∑ y

E

n i = 100,89/10= 10,09%.

В среднем расчетные значения ŷ для степенной модели отличаются от

фактических значений на 10,09%.

9.3 Показательная модель

Коэффициент детерминации: ∑

∑ − −

−= 2

2 2

)(

)ˆ( 1

yy

yy R XY = 941,0

46,0

03,0 1 =−

Вариация результата Y на 94,1% объясняется вариацией фактора Х.

Коэффициент эластичности:

Y

хА Э ху =1ˆ 33,1

1,16*9972,0 = 12,08.

Это означает, что при росте фактора Х на 1 % результирующий

показатель Y изменится на 12,08 %.

Бета-коэффициент :

Sx= 10

9,1008 =10,04 Sy= 10

45,0 =0,21 =xŷβ 0,997*10,04/0,21=46,94.

14

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину

среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению

среднего значения объема выпуска продукции на 46,94

среднеквадратического отклонения этого показателя.

Е отн= 106,02/ 10 = 10,6%.

В среднем расчетные значения ŷ для показательной модели

отличаются от фактических значений на 10,6%.

Вывод.

Лучшей из уравнений нелинейной регрессии является показательная:

выше коэффициент детерминации, наименьшая относительная ошибка.

При использовании показательной модели можно получит более точный

прогноз. Из всех моделей для прогноза самая точная линейная модель.

15

Таблица 1

n y x y x 2x ( x - х )2 ( y - y )

2 ( уу − )* *( хх − ) ŷ ε̂= y -

( ε̂ i- ε̂ i-1)

2ЕОТН

| ε̂ / y |* %100 ( y - )2

1 21 12 252 144 16,81 7,29 11,07 19,73 1,27 6,04 1,61 2 10 4 40 16 146,41 187,69 165,77 11,99 -1,99 10,62 19,91 3,96 3 26 18 468 324 3,61 5,29 4,37 25,54 0,46 6,01 1,77 0,21 4 33 27 891 729 118,81 86,49 101,37 34,25 -1,25 2,92 3,78 1,56 5 34 26 884 676 98,01 106,09 101,97 33,28 0,72 3,87 2,12 0,52 6 37 29 1073 841 166,41 176,89 171,57 36,18 0,82 0,01 2,21 0,67 7 9 1 9 1 228,01 216,09 221,97 9,09 -0,09 0,82 0,98 0,01 8 21 13 273 169 9,61 7,29 8,37 20,70 0,30 0,15 1,43 0,09 9 32 26 832 676 98,01 68,89 82,17 33,28 -1,28 2,50 4,00 1,64 10 14 5 70 25 123,21 94,09 107,67 12,96 1,04 5,39 7,44 1,08

Итого 237 161 4792 3601 1008,90 956,10 976,30 32,29 49,67 11,35 средн. 23,7 16,10 479,2 360,1 4,97

Таблица 2

t y x X y X X 2

( y - y ) ( y - y )2

( XX − ) ( уу − ) *( XX − ) ( XX − )2

( y - )2 ЕОТН ( ε̂ i- ε̂ i-1) 2

1 21,0 12 0,08 1,75 0,0069 -2,70 7,29 -0,098 0,26 0,0096 26,03 25,27 23,94

2 10,0 4 0,25 2,50 0,0625 -13,70 187,69 0,069 -0,94 0,0047 22,07 145,77 120,7

4 49,7 3 26,0 18 0,06 1,44 0,0031 2,30 5,29 -0,126 -0,29 0,0158 26,69 0,47 2,64 129,69 4 33,0 27 0,04 1,22 0,0014 9,30 86,49 -0,144 -1,34 0,0208 27,12 34,52 17,80 43,0 5 34,0 26 0,04 1,31 0,0015 10,30 106,09 -0,143 -1,47 0,0204 27,09 47,74 20,32 1,07 6 37,0 29 0,03 1,28 0,0012 13,30 176,89 -0,147 -1,95 0,0216 27,19 96,33 26,53 8,44 7 9,0 1 1,00 9,00 1,0000 -14,70 216,09 0,819 -12,03 0,6701 4,29 22,23 52,39 26,01 8 21,0 13 0,08 1,62 0,0059 -2,70 7,29 -0,105 0,28 0,0109 26,18 26,82 24,66 97,88 9 32,0 26 0,04 1,23 0,0015 8,30 68,89 -0,143 -1,19 0,0204 27,09 24,10 15,34 101,76 10 14,0 5,0 0,20 2,80 0,0400 -9,70 94,09 0,019 -0,18 0,0003 23,26 85,74 66,14 200,75

Итого 237,0 161 1,81 24,15 1,1240 956,10 -18,85 0,7948 237,00 508,98 370,5 658,31

16

Таблица 3.

n y Y x

X

Y X X 2 ( YY − )2 ( XX − )

2 ( YY − )* ( XX − ) Ŷ ( YY

ˆ− )2 ε̂

( ε̂ i- ε̂ i-1) 2 ЕОТН ε̂2

1 21 1,32 12 1,08 1,43 1,16 0,0000 0,00102 0,000 1,34 0,00042 -1,02 4,84 1,0 2 10 1,00 4 0,60 0,60 0,36 0,1078 0,19825 0,1462 1,13 0,0160 -3,38 5,60 33,84 11,45 3 26 1,41 18 1,26 1,78 1,58 0,0075 0,04325 0,0180 1,42 0,00006 -0,46 8,57 1,76 0,21 4 33 1,52 27 1,43 2,17 2,05 0,0362 0,14749 0,0730 1,50 0,0003 1,21 2,77 3,66 1,5 5 34,0 1,53 26 1,41 2,17 2,00 0,0413 0,13517 0,075 1,49 0,00134 2,75 2,37 8,08 7,55 6 37,0 1,57 29 1,46 2,29 2,14 0,0575 0,17230 0,0996 1,52 0,0027 4,16 2,00 11,25 17,33 7 9,0 0,95 1 0,00 0,00 0,00 0,1399 1,09687 0,392 0,85 0,0101 1,86 5,31 20,64 3,5 8 21 1,32 13 1,11 1,47 1,24 0,0000 0,00444 0,000 1,36 0,0013 -1,83 13,60 8,71 3,35 9 32 1,51 26 1,41 2,13 2,00 0,0313 0,13517 0,065 1,49 0,000105 0,75 6,64 2,34 0,56 10 14 1,15 5,0 0,70 0,80 0,49 0,0332 0,12134 0,063 1,17 0,00059 -0,81 2,4 5,77 1 ∑ 237 13,28 161 10,47 14,8 13,0 0,455 2,055 0,931 0,00 0,0329 49,3 100,89 47,0 Ср 23,7 1,33 16,1 1,05 1,48 1,30 10,09

Таблица 4.

n y Y x Y x x 2 (Y -Y ) (Y -Y )2 (Y -Y ) *( x - х )

(y- )2 ( YY ˆ− )2

ЕОТН ( ε̂ i- ε̂ i-1) 2

1 21,0 1,32 12,0 15,87 144,00 -0,006 0,000 0,02 17,53 12,02 1,244 0,006 16,51 2 10,0 1,00 4,0 4,00 16,00 -0,328 0,108 3,97 12,00 3,99 1,079 0,006 -19,97 29,8540 3 26,0 1,41 18,0 25,47 324,00 0,087 0,008 0,16 23,31 7,26 1,367 0,002 10,37 22,01 4 33,0 1,52 27,0 41,00 729,00 0,190 0,036 2,07 35,71 7,36 1,553 0,001 -8,22 29,25 5 34,0 1,53 26,0 39,82 676,00 0,203 0,041 2,01 34,06 0,00 1,532 0,000 -0,17 7,05 6 37,0 1,57 29,0 45,48 841,00 0,240 0,058 3,09 39,27 5,14 1,594 0,001 -6,13 4,88 7 9,0 0,95 1,0 0,95 1,00 -0,374 0,140 5,65 10,4 1,98 1,017 0,004 -15,62 0,74 8 21,0 1,32 13,0 17,2 169,00 -0,006 0,000 0,02 18,4 6,84 1,264 0,003 12,45 16,17 9 32,0 1,51 26,0 39,13 676,00 0,177 0,031 1,75 34,06 4,24 1,532 0,001 -6,44 21,85 10 14,0 1,15 5,0 5,73 25,00 -0,182 0,033 2,02 12,58 2,02 1,100 0,002 10,14 12,11

Итого 237,0 13,28 161,0 234,6 3601,00 0,455 20,78 50,85 0,027 106,02 143,91

Средн 23,70 16,10 0,18 2,41 0,1124 37,05

17

Средн 23,7 1,33 16,10 23,46 360,10 2,08

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное

пособие для вузов/ В.В.Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др., Под

ред. В.В.Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.

2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – М.: Финансы и

статистика, 1998.

16

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome