Адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса  - упражнение -  Финансовая математика, Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса - упражнение - Финансовая математика, Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (256.3 KB)
18 страница
1000+количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Финансовая математика. Тема Адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 18
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса - курсовая работа - Финансовая математика

1 Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

Профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Барнауле

Курсовая работа

Дисциплина:

Финансовая математика

Тема:

«Адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса»

2 Задание 1.

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от

коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4

года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу

первого года).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса

с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3; α2=0,6;

α3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней

относительной ошибки аппроксимации.

3)| Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические

значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при

критическом значении r1=0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию

с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Квартал

Вариант5

5 37 6 48 7 59 8 36 9 41

10 52 11 62 12 38 13 46 14 56 15 67 16 41

3

α

Решение:

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную

модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

( ) tbatYp ×+= )0()0(

Метод наименьших квадратов дает возможность определить

коэффициенты линейного уравнения по формулам:

85,0 42

36

)(

)())(( )0(

2 ==

− −×−

= ∑

ср

срср

tt

ttYtY b

30,395,485,013,43)0()0( =×−=×−= срср tbYa

Таблица 1

t2 t Y t*Y 12,25 -3,5 -8,13 28,455

6,25 -2,5 0,87 -2,175

2,25 -1,5 8,87 -13,305

0,25 -0,5 -9,13 4,565

0,25 0,5 -6,13 -3,065

2,25 1,5 4,87 7,305

6,25 2,5 15,87 39,675

12,25 3,5 -7,13 -24,955

42 36,5

1 35 2 44 3 52 4 34

4 Произведем расчет:

13,43345 8

1 )(

1 =×=×= ∑ tYN Yср

5,436 8

11 =×=×= ∑N N

tср

Получим линейное уравнение вида: ( ) ttYp 85,030,39 += Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной

модели значений составим таблицу.

Таблица 2

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения

экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.

Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может

служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала

первого года, равное )1(/)1( pYY , и такое же отношение для I квартала второго

года (т.е. за V квартал t=5) )5(/)5( pYY . Для окончательной, более точной,

оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее

арифметическое значение этих двух величин.(Таблица 3)

Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса

(табл. 3) используя следующие формулы:

Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели

t Y(t) Yp(t)

1 35,00 34,56

2 44,00 44,38

3 52,00 53,42

4 34,00 33,43

5 37,00 37,59

6 48,00 47,23

7 59,00 56,71

8 36,00 37,01

5 [ ] )()()()( LktFtbktaktYp −+××+=+

[ ])1()1()11()(/)(1)( −+−×−+−×= tbtaLtFtYta αα [ ] )1()31()1()(3)( −×−+−−×= tbtatatb αα

)()21()(/)(2)( LtFtatYtF −×−+×= αα

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда

E(t) (разности )()( tYtY p− между фактическими и расчетными значениями

экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям

(точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим

таблицу 3.

Таблица 3

t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t) Абс.погр.,E(t) Отн.погр.,в% 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 0,86 -2 1,08 -1 1,27 0 39,30 0,85 0,79 1 35,00 40,30 0,90 0,87 34,56 0,44 1,27 2 44,00 41,10 0,86 1,07 44,38 -0,38 -0,86 3 52,00 41,62 0,76 1,26 53,42 -1,42 -2,74 4 34,00 42,61 0,83 0,79 33,43 0,57 1,68 5 37,00 43,23 0,77 0,86 37,59 -0,59 -1,58 6 48,00 44,22 0,83 1,08 47,23 0,77 1,61 7 59,00 45,60 1,00 1,28 56,71 2,29 3,88 8 36,00 46,21 0,88 0,79 37,01 -1,01 -2,80 9 41,00 47,28 0,94 0,86 40,49 0,51 1,26 10 52,00 48,19 0,93 1,08 52,10 -0,10 -0,19 11 62,00 48,91 0,87 1,27 62,86 -0,86 -1,39 12 38,00 49,37 0,74 0,78 39,08 -1,08 -2,85 13 46,00 51,05 1,02 0,89 43,31 2,69 5,86 14 56,00 52,01 1,01 1,08 56,22 -0,22 -0,40 15 67,00 52,91 0,97 1,27 67,46 -0,46 -0,69 16 41,00 53,57 0,88 0,77 41,80 -0,80 -1,96

Модель Хольта-Уинтерса

6

t E(t)^2

(E(t)-E(t- 1))^2

E(t)*E(t- 1)

1 0,20 2 0,14 0,68 -0,17 3 2,03 1,09 0,54 4 0,33 3,99 -0,82 5 0,34 1,34 -0,34 6 0,60 1,85 -0,45 7 5,23 2,29 1,77 8 1,01 10,85 -2,30 9 0,27 2,31 -0,52

10 0,01 0,38 -0,05 11 0,74 0,58 0,09 12 1,17 0,05 0,93 13 7,26 14,26 -2,92 14 0,05 8,51 -0,60 15 0,21 0,06 0,10 16 0,65 0,12 0,37

Сумма 20,24 48,35 -4,36

2. Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная

погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на

фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в

среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных

погрешностей составляет 0,10. Средняя величина: 0.10/16=001%, значит,

условие точности выполнено.

3. Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд

остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости

последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней

остаточной компоненты (гр. 2 табл. 4) проводим на основе критерия

поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е ( )t сравниваем с двумя

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

Таблица 4

7 соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то

точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 4 для этой строки ставится 1, в

противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3

табл. 4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух

соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=8.

Рассчитаем значение q :

( ) ( )[ ]90/291623/22int −−−= NNq Функция int означает, что от полученного значения берется только

целая часть. При N = 16.

( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] 616,6int18,333,9int90/22723/28int90/29161623/2162int ==−=−=−×−−=q

Так как количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие

случайности уровней ряда остатков выполнено. Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия

автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни

d1=1,10 и d2=1,37):

( ) 39,2

24,20

35,48

)(

)1()( 2

2

== −−

= ∑

tE

tEtE d

Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:

61,139,24/ =−=d

Условие выполнено (1,37<1,61<2), следовательно, уровни ряда Е(t)

являются независимыми.

2) по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

[ ] 21,0

24,20

36,4

)(

)1()( )1(

2 −=−=

−× =

tE

tEtE r

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента

автокорреляции меньше критического значения )1(r < rтабл., то уровни ряда

остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32.

Имеем: )1(r =0,21 < rтабл. = 0,32 – значит уровни независимы.

8 Проверка соответствия ряда остатков нормальному

распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

( ) SEERS /minmax −= ,

где maxE - максимальное значение уровней ряда остатков ( )tE ;

minE - минимальное значение уровней ряда остатков ( )tE ( )5.1 . 2. таблгр ;

S – среднее квадратическое отклонение.

EmaxEmin = 2,69 – (-1,42) = 4,11

16,1 15

09,20

1

)( 2 ==

− = ∑

N

tE S

54,316,1/11,4/)( minmax ==−= SEERS

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к.

полученное значение RS (3,54)попадает в заданный интервал

(3,00<3,54<4,21).

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены.

Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и

возможности проведения прогноза показателя Yp(t) на год.

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по

t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны

коэффициенты ( )ta и ( )tb определяется количеством исходных данных и

равно 16. Рассчитав значения ( )16a и ( )16b (см. табл. 1.4) по формуле:

( ) ( ) ( )[ ] ( )LktFtbktaktYp −+××+=+ ,

где k – период упреждения;

( )tYp - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

( ) ( ) ( )tFtbta и , - коэффициенты модели;

( )LktF −+ - значение коэффициента сезонности того периода, для

которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности.

9 Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для:

t = 17, 18, 19 и 20.

[ ](17) (16) 1 (16) (13)Yp a b F= + × ×

[ ](18) (16) 2 (16) (14)Yp a b F= + × ×

[ ](19) (16) 3 (16) (15)Yp a b F= + × ×

[ ](20) (16) 4 (16) (16)Yp a b F= + × ×

Yp(t)

17 3,44

18 59,64

19 71,32

20 43,93

5. На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление

фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о

кредитах на год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо

согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве

прогноза.

10

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

расчет факт

Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных

11 Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10

дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно

выполнить на основании имеющихся данных.

Рис.№1.1

Вариант 5

Дни

Цены

макс. мин. закр.

1 718 660 675

2 685 601 646

3 629 570 575

4 585 501 570

5 598 515 523

6 535 501 506

7 555 500 553

8 580 540 570

9 580 545 564

10 603 550 603

1. Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА)

ЕМАt = Сt К + ЕМАt-1 (1-K),

где К = 1

2

+n

1. Выбрать интервал сглаживания п (в нашем случае п = 5).

2. Вычислить коэффициент К(К= 2/(n + 1) = 2/6 = 0,33).

12 3. Вычислить МА для первых 5 дней. Для этого сложить цены закрытия

за первые 5 дней. Сумму разделить на 5 и записать в графы 3 за 5-й день.

4. Перейти на одну строку вниз по графе 3. Умножить на К данные по

конечной цене, которую берем из графы 2 текущей строки. (Для 11-го дня это

будет 506*0,33=166,98)

5. Данные по ЕМА за предыдущий день взять из предыдущей строки

графы 3 и умножить на (1 — К). (Для 6-го дня это будет 597,8*0,67=400,53.)

6. Сложить результаты, полученные на предыдущих двух шагах (для 6-го

дня это будет 166,98 + 400,53 = 567,51). Полученное значение ЕМА записать

в графу 4 текущей строки.

7. Повторить шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы (см. табл.№2,3)

2. Момент (momentum MOM). Момент рассчитывается как разница

конечной цены текущего дня и цены п дней тому назад:

МОМt=Сt-Сt- п. (см. табл.№2).

3. Скорость изменения цен ROC.

ROCt=( Сt/ Сt- п)*100% (См. табл. №2,3)

Рис.№2.2

Рис.№2.3

13

4.Индекс относительной силыRSI. Является наиболее значимым

осциллятором, расчет которого предусмотрен во всех компьютерных

программах технического анализа. Значения RSI изменяются от 0 до 100.

Этот индикатор может подавать сигналы либо одновременно с разворотом

цен, либо с опережением, что является его важным достоинством.

Для его расчета применяют формулу:

RSI=100-(100/1+AU/AD)

где AU — сумма приростов конечных цен за п дней; AD — сумма убыли

конечных цен за п дней.

Рассчитывается RSI следующим образом :

1. Выбирают интервал n=5.

2. Начиная со 2-го дня до конца таблицы, выполняют следующую

процедуру. Вычитают из конечной цены текущего дня конечную цену

предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записывают в графу 3.

Иначе абсолютное значение разности записывают в графу 4.

3. С 6-го дня и до конца таблицы заполняют графы 5 и 6. Для этого

складывают значения из графы 3 за последние п дней (включая текущий) и

14 полученную сумму записывают в графу 5 (величина AU). Аналогично

находят сумму убыли конечных цен по данным графы 4 и записывают в

графу 6 (величина AD).(Рис.№ 2.4, 2.5).

4. Зная AU и AD рассчитывают значение RSI и записывают в графу 7.

Рис.№2.4

Дни закр. AU UD RSI 1 2 3 4 5 6 7 1 675 2 646 29 3 575 71 4 570 5 5 523 47 6 506 17 0 169 0 7 553 47 47 169 21,759 8 570 17 64 169 27,468

9 564 6 64 175 26,778

10 603 39 103 175 37,05

Рис.№2.5

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6

Ряд1

15 5. Стохастические линии.

%Kt= 100 (С,-L5)/(H5 -L5),

где %К, — значение индекса текущего дня ; С, — цена закрытия текущего

дня t,LsnH5 — соответственно минимальная и максимальная цены за 5

предшествующих Дней, включая текущий.

Рис. №2.6

Дни Мак

с.Нt Мин.L t

Закр. Ct

Мак

с. За 5 д.Н5

Мин

. За 5д. L5

Ct- L5

Н5 -Ct

Н5- L5 %K %R

Сумм

а за 3 дн.гр. 7

Сумм

а за 3дн.гр 8 %D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14

1 718 660 675

2 685 601 646

3 629 570 575

4 585 501 570

5 598 515 523

718 501 22 19

5 217 10,14 89,86

6 535 501 506

718 501 5 21

2 217 2,304 97,7

7 555 500 553

718 500 53 16

5 218 24,31 75,69 80 572 13,99

8 580 540 570

718 500 70 14

8 218 32,11 67,89 128 525 24,38

9 580 545 564

718 500 64 15

4 218 29,36 70,64 187 467 40,04

10 603 550 603

718 500 103 11

5 218 47,25 52,75 237 417 56,83

Похожая формула используется для расчета %R.

%Rt=100(Hn-C,)/(Hn-Ln),

где %Rt — значение индекса текущего дня /; Ct — цена закрытия текущего

дня t, Ln и Нп — соответственно минимальная и максимальная цены за п

предшествующих дней, включая текущий.( Рис. №6).

%Dt= 100 )55(

)5(

2

2 • −

−=

−= t

ti

t

ti

LH

LCi .

16 Задание 3.

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные,

приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в

виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тл„ -

время в годах, i - ставку в процентах и т.д. По именам переменных из

таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения

параметров и выполнить расчеты.

3.1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - Тн, возврата -

Гк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются

по простой процентной ставке i% годовых. Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

3.2. Через Гдн дней после подписания договора должник уплатит S руб.

Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова

первоначальная сумма и дисконт?

3.3. Через Гдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк

приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i%

годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму

и дисконт.

3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет,

зафиксирована ставка сложных процентов, равная i % годовых. Определить

наращенную сумму.

3.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тл„. Проценты сложнее,

ставка - i% годовых. Проценты начисляются тп раз в году. Вычислить

наращенную сумму.

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет

проценты тп раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

3.7. Определить какой должна быть номинальная ставка при начислении

процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

17 3.8. Через Т предприятию будет выплачена сумма S рублей. Определить

ее современную стоимость при условии, что применяется сложная

процентная ставка i% годовых.

3.9. Через Т по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел

вексель по сложной процентной ставке i% годовых. Определить дисконт.

3.10.В течении Т лет на расчетном счет в конце каждого года поступает по

S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой

ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Рис.№3.1.

Вариа

нт Сумма

Дата начальна

я

Дата конечна

я

Врем

я в днях

Врем

я в годах

Ставк

а

Число начислени

й

S TH TK Tдн Тлет i m

5 2 500 000 15.01.2002 15.03.2002 180 4 30 2

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды:

I=Sit/K, где K=365, t=59

I=121232,87

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

K=360, t=59

I=122916,66

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

K=360, t=60

I= 125 000,00

3.2. Первоначальная сумма

Р=S/(1+ni)=2 500 000/(1+0,30*180/360)= 2 173 913,04

и дисконт

D=S-P=2 500 000- 2 173 913,04= 326 086,96

3.3. Полученная предприятием сумма

D=Snd=2 500 000*0,30(180/360)= 375 000

и дисконт

P=S-D=2 125 000

18 3.4. Наращенная сумма

S=P(1+i) n =2 500 000*(1+0,30) 4 =7 140 250

3.5. Наращенная сумма

S=P(1+j/m) N =2 500 000(1+0,30/2) 3/48 =23 394 052 3.6. Эффективная ставка процента

i эф =(1+j/m) m -1= (1+0,30/2) 2 -1=1,32

3.7. Номинальная ставка

J=m((1+i эф ) m/1 -1)= 2((1+0,32) 2/1 -1)=1,05

3.8. Современная стоимость

P=S ni)1(

1

+ =Sυ n = 2 500 000*1/(1+0,30) 4 =1 346 910,18

3.9. Дисконт

P=S(1-d) n =2 500 000(1-0,30) 4 =600 250

D=S-P=2 500 000 - 600 250=1 899 750

3.10. Сумма на расчетном счете к концу срока

R=S i

i n 1)1( −+ =2 500 000 30,0

1)30,01( 3 −+ = 9 975 000.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome