Задачи по Финансовой математике  - упражнение -  Финансовая математика (9), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по Финансовой математике - упражнение - Финансовая математика (9), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (182.6 KB)
17 страница
322количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Финансовая математика. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Часть 9.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 17
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по Финансовой математике, 8 вариант - контрольная работа - Финансовая математика

Министерство образования РФ

Всероссийский заочный финансово – экономический институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Финансовая математика

тема:

«Задачи по Финансовой математике, 8 вариант»

Орел – 2008 г.

Задание 1.

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на

жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварта-

лов, первый столбец соответствует первому кварталу первого года).

Квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 Данные о кредитах

39 50 59 38 42 54 66 40

9 10 11 12 13 14 15 16 45 58 69 42 50 62 74 46

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с

учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания 1α = 0,3; 2α = 0,6;

= 0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней отно-

сительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значе-

ния 1d = 1,10и2d = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при

критическом значении 1r = 0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критериюс

критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1) Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса:

а) Оценка начальных параметров модели – 0a и 0b :

Для этого применим МНК к первой половине уровней ряда.

−− =

t

t t

tt

ttyy b

20 )(

))(( ; tbya ⋅−= 00

Для удобства расчетов построим таблицу.

Таблица 1.1

5,48 8

388 ==y ; 5,4 8

36 ==t

90,0 42

38 0 ==b ; 4,445,490,05,480 =⋅−=a

Линейная модель tbayt ⋅+= 00 принимает вид: tytр ⋅+= 90,04,44 .

3,45190,04,441 =⋅+=рy ; 9,48590,04,445 =⋅+=рy ;

2,46290,04,442 =⋅+=рy ; 8,49690,04,446 =⋅+=рy ;

1,47390,04,443 =⋅+=рy ; 7,50790,04,447 =⋅+=рy ;

48490,04,444 =⋅+=рy ; 6,51890,04,448 =⋅+=рy .

t tфy tt 2)( tt yy ))(( ttyy −− tрy 1 39 -3,5 12,25 -9,5 33,25 45,3 2 50 -2,5 6,25 1,5 -3,75 46,2 3 59 -1,5 2,25 10,5 -15,75 47,1 4 38 -0,5 0,25 -10,5 5,25 48 5 42 0,5 0,25 -6,5 -3,25 48,9 6 54 1,5 2,25 5,5 8,25 49,8 7 66 2,5 6,25 17,5 43,75 50,7 8 40 3,5 12,25 -8,5 -29,75 51,6

36 388 - 42 - 38 -

б) Оценка начального массива сезонных коэффициентов:

Для четырех кварталов первого года (t = 1) необходимы четыре начальных

значения сезонных коэффициентов. Для их расчета используем формулу:

 

 

 +⋅=

+

+ −

Lрt

Lфt

tф Lt y

y

y

y F

2

1

Получаем:

860,0 9,48

42

3,45

39

2

1 341 =

  

 +⋅== −− FF ;

083,1 8,49

54

2,46

50

2

1 242 =

  

 +⋅== −− FF ;

277,1 7,50

66

1,47

59

2

1 143 =

  

 +⋅== −− FF ;

783,0 6,51

40

48

38

2

1 044 =

  

 +⋅==− FF .

в) Корректировка параметров ta и tb от уровня к уровню:

)()1(/ 1111 −−− +⋅−+= ttLtфt baFya αα ;

1313 )1()( −− ⋅−+−⋅= tttt baab αα ;

Lttфt FayF −⋅−+= )1(/ 22 αα ;

τττ +−⋅⋅+= Ltttt Fbay )()( ;

tрtфt yyE −= .

Для удобства расчетов построим таблицу.

Таблица 1.2

t tфy ta tb tF tрy tE

0 - 44,40 0,90 - - - 1 39 45,31 0,90 0,86 39,75 -0,75 2 50 46,20 0,90 1,08 51,01 -1,01 3 59 46,83 0,82 1,27 60,85 -1,85 4 38 47,92 0,90 0,79 38,22 -0,22 5 42 48,81 0,90 0,86 42,77 -0,77 6 54 49,76 0,91 1,08 54,86 -0,86 7 66 51,11 1,04 1,28 66,05 -0,05 8 40 51,71 0,91 0,78 41,52 -1,52 9 37 49,74 0,05 0,79 42,83 -5,83

10 48 48,13 -0,45 1,03 51,69 -3,69 11 57 46,72 -0,74 1,24 58,93 -1,93 12 35 45,65 -0,84 0,77 34,94 0,06 13 42 47,31 -0,09 0,85 37,33 4,67 14 52 48,17 0,20 1,06 49,92 2,08 15 62 48,80 0,33 1,26 61,15 0,85 16 39 49,55 0,45 0,78 38,59 0,41

Для t = 1:

31,45)90,04,44()3,01(860,0/393,01 =+⋅−+⋅=a ;

90,090,0)3,01()4,4431,45(3,01 =⋅−+−⋅=b ;

860,0860,0)6,01(31,45/396,01 =⋅−+⋅=F ;

75,39860,0)90,031,45(1 =⋅+=y ;

75,075,39391 −=−=E .

Для t = 2:

20,46)90,031,45()3,01(083,1/503,02 =+⋅−+⋅=a ;

90,090,0)3,01()31,4520,46(3,02 =⋅−+−⋅=b ;

08,1083,1)6,01(20,46/506,02 =⋅−+⋅=F ;

01,51083,1)90,020,46(2 =⋅+=y ;

01,101,51502 −=−=E .

Для t = 3:

83,46)90,020,46()3,01(277,1/593,03 =+⋅−+⋅=a ;

82,090,0)3,01()20,4683,46(3,03 =⋅−+−⋅=b ;

27,1277,1)6,01(83,46/596,03 =⋅−+⋅=F ;

85,60277,1)82,083,46(3 =⋅+=y ;

85,185,60593 −=−=E .

Для t = 4:

92,47)82,083,46()3,01(783,0/383,04 =+⋅−+⋅=a ;

90,082,0)3,01()83,4692,47(3,04 =⋅−+−⋅=b ;

79,0783,0)6,01(92,47/386,04 =⋅−+⋅=F ;

22,38783,0)9,092,47(4 =⋅+=y ;

22,022,38384 −=−=E .

Для t = 5:

81,48)90,092,47()3,01(86,0/423,05 =+⋅−+⋅=a ;

90,090,0)3,01()92,4781,48(3,05 =⋅−+−⋅=b ;

86,086,0)6,01(81,48/426,05 =⋅−+⋅=F ;

77,4286,0)90,081,48(5 =⋅+=y ;

77,077,42425 −=−=E .

и т.д.

Таблицу расчетных значений показателя и ошибок, полученную в резуль-

тате обработки данных в ППП Олимп см. в Приложение 1.

Таким образом, на последнем шаге получаем адаптивную мультипликатив-

ную модель Хольта-Уинтерса вида: τττ +−⋅⋅+= 41616 )45,055,49()( Fy

2) Оценим точность построенной модели с использованием средней относи-

тельной ошибки аппроксимации:

Для удобства расчетов построим таблицу.

Таблица 2.1

t tфy

tE Точки

поворота

2 tE

1+tE

1+− tt EE

2 1)( +− tt EE

1+⋅ tt EE

отнt E

1 39 -0,75 - 0,56 -1,01 0,26 0,07 0,76 1,9

2 50 -1,01 1 1,02 -1,85 0,84 0,71 1,87 2

3 59 -1,85 0 3,42 -0,22 -1,63 2,66 0,41 3,1

4 38 -0,22 1 0,05 -0,77 0,55 0,30 0,17 0,6

5 42 -0,77 1 0,59 -0,86 0,09 0,01 0,66 1,8

6 54 -0,86 0 0,74 -0,05 -0,81 0,66 0,04 1,6

7 66 -0,05 0 0,00 -1,52 1,47 2,16 0,08 0,1

8 40 -1,52 1 2,31 -5,83 4,31 18,58 8,86 3,8

9 37 -5,83 0 33,99 -3,69 -2,14 4,58 21,51 15,8

10 48 -3,69 1 13,62 -1,93 -1,76 3,10 7,12 7,7

11 57 -1,93 1 3,72 0,06 -1,99 3,96 -0,12 3,4

12 35 0,06 1 0,00 4,67 -4,61 21,25 0,28 0,2

13 42 4,67 0 21,81 2,08 2,59 6,71 9,71 11,1

14 52 2,08 1 4,33 0,85 1,23 1,51 1,77 4

15 62 0,85 1 0,72 0,41 0,44 0,19 0,35 1,4

16 39 0,41 - 0,17 - - - - 1,1

Сумма -10,41 р=9 87,06 66,44 53,47 59,6

%5%73,3 16

6,59 <=== ∑

n

E E t

t

t

отн

отн , следовательно, уровень точности модели яв-

ляется достаточным. Фактические данные отличаются от расчетных, в сред-

нем, на 3,73%.

3) Оценим адекватность построенной модели:

а) Свойство случайности уровней в ряде остатков:

Для проверки данного свойства используют критерий поворотных точек.

Общее число поворотных точек равно p = 9 (см. Таблицу 2.1). Свойство слу-

чайности выполняется если количество поворотных точек р удовлетворяет

неравенству р > [ 90:)2916(23:)2(2 −−−⋅ nn ].

9 > [ 90:)291616(23:)216(2 −⋅−−⋅ ]

9 > [6,2]

p = 9 > 6, следовательно, свойство случайности уровней в ряде остатков вы-

полняется.

б) Свойство независимости уровней в ряде остатков или отсутствия авто-

корреляции:

Данное свойство проверим двумя методами:

I) по d-критерию Дарбина-Уотсона;

II) по первому коэффициенту автокорреляции r(1).

I) 76,0 06,87

44,66 )(

2

2 1

== −

= ∑

∑ +

t t

t tt

E

EE d

При 10,11 =d и 37,12 =d :

d 1d 2d

| | | | | |

0 0,76 1,10 1,37 2 4

Так как d попало в промежуток (0; 1d ), то свойство независимости уровней в

ряде остатков не выполняется, остатки автокоррелируют.

II) 61,0 06,87

47,53 )(

)1( 2

1

== ⋅

= ∑

∑ +

t t

t tt

E

EE r

Так как 61,0)1( =r > 32,0. =таблr , то свойство независимости уровней в ряде

остатков не выполняется, остатки автокоррелируют.

в) Свойство соответствия ряда остатков нормальному закону распределе-

ния:

Для проверки данного свойства применяют RS-критерий.

SEERS :)( minmax −= ; 1

2

− =

n

E S t

t

= −

= 116

06,87 S 4,2

26,44,2:))83,5(4,4( =−−=RS ∉ (3; 4,21), следовательно, свойство соответствия

ряда остатков нормальному закону распределения не выполняется.

г) Свойство равенства нулю математического ожидания:

Так как ∑ −= t

tE 41,10 (см. Таблицу 2.1), следовательно, свойство равенства

нулю математического ожидания не выполняется.

Вывод: так как не все свойства выполнены, то построенная модель является

не адекватной.

4) Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год:

Прогноз выполняется по формуле: ττ ττ +−+ ⋅⋅+= Lnnnn Fbay )()( . Для прогноза

используем модель полученную на последнем шаге расчетов, то есть

τττ +−⋅⋅+= 41616 )45,055,49()( Fy .

5,4285,0)145,055,49()1(116 =⋅⋅+=+y

48,5306,1)245,055,49()2(216 =⋅⋅+=+y

13,6426,1)345,055,49()3(316 =⋅⋅+=+y

05,4078,0)445,055,49()4(416 =⋅⋅+=+y

5) Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные:

Для построения графика используем ППП Олимп (см. Приложение 2).

Задание 2.

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведен-

ные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде пе-

ременных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, летT – время в

годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необ-

ходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выпол-

нить расчеты.

Сумма Дата

начальная Дата ко- нечная

Время в днях

Время в годах Ставка

Число начисле- ний

S нT кT днТ летТ i m

4000000 10.01.02 20.03.02 90 5 45 4

2.1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды – нT ,возврата –

кT .День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются

по простой процентной ставке i% годовых. Найти:

2.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

2.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

2.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

2.2. Через днТ дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кре-

дит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная

сумма и дисконт?

2.3. Через днТ дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк

приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i%

годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму

и дисконт.

2.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на летТ лет, зафиксиро-

вана ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную

сумму.

2.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на летТ .Проценты сложные, став-

ка – i% годовых. Проценты начисляются т раз в году. Вычислить наращен-

ную сумму.

2.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет процен-

ты т раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

2.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении

процентов т раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

2.8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее

современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная

ставка i% годовых.

2.9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел

вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

2.10. В течение Тлеm лет на расчетный счет в конце каждого года поступает

по S руб., на которые т раз в году начисляются проценты по сложной годовой

ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

2.1. Дано: Решение:

Р = 4000000 руб. Используем формулу для расчета процентов (процентных денег): inPI ⋅⋅= .

=1t 10.01.02 Так как продолжительность ссуды менее года k t

n = .

=2t 20.03.02 Получаем: ik t

PI ⋅⋅= .

i = 45% = 0,45 .97,34027345,0 365

69 4000000 рубIтт =⋅⋅=

опоттт III ;; - ? .32000045,0360 69

4000000 рубI от =⋅⋅=

.36000045,0 360

72 4000000 рубI оп =⋅⋅=

Ответ: .360000.;320000.;97,340273 рубIрубIрубI опоттт ===

2.2. Дано: Решение:

S = 4000000 руб. Используем формулу математического дисконтирования

=t 90 по простым процентным ставкам: )1( in

S P

⋅+ = .

i = 45% = 0,45 Так как продолжительность ссуды менее года k

t n = .

DP; - ? Получаем: )1( i

k

t S

P ⋅+

= .

а) Для k = 360: .39,3593890 )45,0

360

90 1(

4000000 1 рубP =

⋅+ =

б) Для k = 365: .04,3600360 )45,0

365

90 1(

4000000 2 рубP =

⋅+ =

Для расчета дисконта используем формулу: PSD −= .

а) 1D = 4000000-3593890,39 = 406109,61 руб. б) 2D = 4000000-3600360,04 = 399639,96 руб. Ответ:

.96,399639.;61,406109.;04,3600360.;39,3593890 2121 рубDрубDрубPрубP ==== 2.3. Дано: Решение:

S = 4000000 руб. Используем формулу банковского учета по простым

=t 90 процентным ставкам: )1( dnSP ⋅−⋅= .

=k 360 Так как продолжительность ссуды менее года k

t n = .

d = 45% = 0,45 Получаем: )1( d k

t SP ⋅−⋅= .

DP; - ? .3548000)45,0 360

90 1(4000000 рубP =⋅−⋅=

Для расчета дисконта используем формулу: PSD −= .

D = 4000000 – 3548000 = 452000 руб. Ответ: .452000.;3548000 рубDрубP ==

2.4. Дано: Решение:

P = 4000000 руб. Используем формулу наращения по сложным процентам: niPS )1( +⋅= .

=n 5 .25638800)45,01(4000000 5 рубS =+⋅=

i = 45% = 0,45

S - ?

Ответ: .25638800 рубS =

2.5. Дано: Решение:

Используем формулу начисления процентов по номи-

P = 400000 руб нальной процентной ставке: mn m

j PS )1( +⋅= .

=n 5 .33720000) 4

45,0 1(4000000 54 рубS =+⋅= ⋅

j = 45% = 0,45

m = 4

S - ?

Ответ: .33720000рубS =

2.6. Дано: Решение:

m = 4Используем формулу для расчета эффективной ставки

j = 45% = 0,45 процента: 1)1( −+= mэ m j

i .

эi - ? %17,535317,01)4 45,0

1( 4 ==−+=эi

Ответ: %21=эi

2.7. Дано: Решение:

m = 4Используем формулу для расчета номинальной ставки

эi = 45% = 0,45процента:1)1( 1

−+⋅= mэimj .

j - ? %4545,01)45,01(4 4 1

==−+⋅=j

Ответ: %45=j

2.8. Дано: Решение:

S = 4000000 руб. Используем формулу математического дисконтирования

=n 5 по сложным процентным ставкам: ni

S P

)1( + = .

i = 45% = 0,45 .33,624122 )45,01(

4000000 5

рубP = +

=

P - ?

Ответ: .33,624122 рубP =

2.9. Дано: Решение:

S = 4000000 руб. Используем формулу банковского учета по сложным

=n 5 процентным ставкам: nслdSP )1( .−⋅= .

.слd = 45% = 0,45 .75,201313)45,01(4000000 5 рубP =−⋅=

D - ? Для расчета дисконта используем формулу: PSD −= .

.25,379868675,2013134000000 рубD =−=

Ответ: .25,3798686 рубD =

2.10. Дано: Решение:

R = 4000000 руб. Используем формулу для расчета годовой ренты с начис-

n = 5 лением процентов m раз в году: 1)1(

1)1(

−+

−+ ⋅=

m

mn

m

j m

j

RS .

j = 45% = 0,45 .56072000 1)

4

45,0 1(

1) 4

45,0 1(

4000000 4

54

рубS = −+

−+ ⋅=

m=4

S - ?

Ответ: .56072000 рубS =

Приложение 1 Таблица расчетных значений показателя и ошибок, полученная в ре-

зультате обработки данных в ППП Олимп

Номер Факт Расчет Ошибка абс.

Ошибка относит.

1 39,000 39,513 -0,513 -1,316

2 50,000 50,280 -0,280 -0,560

3 59,000 59,044 -0,044 -0,075

4 38,000 37,924 0,076 0,199

5 42,000 40,639 1,361 3,240

6 54,000 53,150 0,850 1,574

7 66,000 63,521 2,479 3,756

8 40,000 41,995 -1,995 -4,988

9 45,000 44,907 0,093 0,208

10 58,000 57,413 0,587 1,011

11 69,000 69,196 -0,196 -0,284

12 42,000 42,664 -0,664 -1,581

13 50,000 47,468 2,532 5,064

14 62,000 62,603 -0,603 -0,973

15 74,000 74,429 -0,429 -0,580

16 46,000 45,592 0,408 0,887

Период сезонности = 4

Приложение 2

График фактических, расчетных и прогнозных данных

Дата сдачи: Подпись:

Аппроксимация и Прогноз

37

42

47

52

57

62

67

72

77

82

87

1 3 5 7 9 11 13 15 1 3

Верхняя

граница

Прогноз

Нижняя

граница

Факт

Возврат в ОТЧЕТ

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome