Зависимость объема выпуска продукции от объёма капиталовложений - упражнение - Эконометрика, Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament
wklev85
wklev8525 March 2013

Зависимость объема выпуска продукции от объёма капиталовложений - упражнение - Эконометрика, Упражнения из Эконометрика. Modern Institute of Managament

PDF (174.2 KB)
11 страница
117количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Эконометрика. Тема Зависимость объема выпуска продукции от объёма капиталовложений. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Лабораторная работа. Разные варианты.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 11
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Зависимость объема выпуска продукции от объёма капиталовложений - практическая работа - Эконометрика

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

По дисциплине:

Эконометрика

По теме:

«Зависимость объема выпуска продукции от

объёма капиталовложений»

По предприятиям лёгкой промышленности региона получена информация,

характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от

объёма капиталовложений (X, млн. руб.).

Вариант 1

X 66 58 73 82 81 84 55 67 81 59

Y 133 107 145 162 163 170 104 132 159 116

Требуется:

1. найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую

интерпретацию коэффициента регрессии.

2. вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию

остатков S2; построить график остатков.

3. проверит выполнение предпосылок МНК.

4. осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с

помощью t-критерию Стьюдента (α=0,05).

5. вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения

регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю

относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне

значимости 0,1α = , если прогнозное значения фактора Х составит 80%

от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения ,Y точки

прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;

• показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации,

коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации.

Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение:

1.Для вычисления параметров модели промежуточные расчеты приведём в виде таблицы (таблица выполнена с помощью средств Excel):

табл.1.1 Наблюд ение x y y-yср x-xср

(x- xср)^2

(y-yср)(x- xср) yx X^2 (y-yср)^2

1,00 66,00 133,00 -6,10 -4,60 21,16 28,06 8778,00 4356,00 37,21

2,00 58,00 107,00 -32,10 -

12,60 158,76 404,46 6206,00 3364,00 1030,41 3,00 73,00 145,00 5,90 2,40 5,76 14,16 10585,00 5329,00 34,81 4,00 82,00 162,00 22,90 11,40 129,96 261,06 13284,00 6724,00 524,41 5,00 81,00 163,00 23,90 10,40 108,16 248,56 13203,00 6561,00 571,21 6,00 84,00 170,00 30,90 13,40 179,56 414,06 14280,00 7056,00 954,81

7,00 55,00 104,00 -35,10 -

15,60 243,36 547,56 5720,00 3025,00 1232,01 8,00 67,00 132,00 -7,10 -3,60 12,96 25,56 8844,00 4489,00 50,41 9,00 81,00 159,00 19,90 10,40 108,16 206,96 12879,00 6561,00 396,01

10,00 59,00 116,00 -23,10 -

11,60 134,56 267,96 6844,00 3481,00 533,61 сумма 706,00 1391,00 0,00 0,00 1102,40 2418,40 100623,00 50946,00 5364,90 среднее 70,60 139,10 10062,30 5094,60

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей

формуле:

ry,x=﴾∑(y-yср)*(x-xср)﴿/√∑(y-yср) 2*(x-xср)

2=0,994

можно сказать, что связь между объёмом капиталовложений и объёмом

выпуска продукции прямая, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: y=a+b*x.

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные

таблицы 1.1:

b=y*x – y*x / x2 – x 2 = 10062,30 – 70,60*139,10 / 5094,60 – 70,602 = 241,84/110,24 = 2,19

a=y-b*x=139,10-2,19*70,60=-15,514

Уравнение линейной регрессии имеет вид: Y=-15.514+2.19*X

С увеличением объёма капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой

продукции увеличится в среднем на 2млн. 190 тыс.руб. Это свидетельствует об

эффективной работе предприятия.

2. Вычислим остатки и остаточную сумму квадрвтов с помощью Excel и занесем результаты вычислений в таблицу 2.1:

Табл. 2.1 Набл юд ение x y y-yср x-xср

(x- xср)^2

(y- yср)(x-

xср) yx X^2 (y-

yср)^2 y' e e^2

1,00 66,0

0 133,00 -6,10 -4,60 21,16 28,06 8778,00 4356,0

0 37,21 129,0

26 3,97 15,79

2,00 58,0

0 107,00 -

32,10 -12,60 158,76 404,46 6206,00 3364,0

0 1030,41 111,5

06 -4,51 20,30 3,00 73,0 145,00 5,90 2,40 5,76 14,16 10585,00 5329,0 34,81 144,3 0,64 0,41

0 0 56

4,00 82,0

0 162,00 22,90 11,40 129,96 261,06 13284,00 6724,0

0 524,41 164,0

66 -2,07 4,27

5,00 81,0

0 163,00 23,90 10,40 108,16 248,56 13203,00 6561,0

0 571,21 161,8

76 1,12 1,26

6,00 84,0

0 170,00 30,90 13,40 179,56 414,06 14280,00 7056,0

0 954,81 168,4

46 1,55 2,41

7,00 55,0

0 104,00 -

35,10 -15,60 243,36 547,56 5720,00 3025,0

0 1232,01 104,9

36 -0,94 0,88

8,00 67,0

0 132,00 -7,10 -3,60 12,96 25,56 8844,00 4489,0

0 50,41 131,2

16 0,78 0,61

9,00 81,0

0 159,00 19,90 10,40 108,16 206,96 12879,00 6561,0

0 396,01 161,8

76 -2,88 8,27

10,00 59,0

0 116,00 -

23,10 -11,60 134,56 267,96 6844,00 3481,0

0 533,61 113,6

96 2,30 5,31

сумма 706,

00 1391,00 0,00 0,00 1102,40 2418,4

0 100623,0

0 50946,

00 5364,90 1391,

00 0,00 59,53

Сред нее

70,6 0 139,10 10062,30

5094,6 0

Дисперсия остатков будет равна:

S2 = (∑ε2) / n-2 = 59,53/8 = 7,44

График остатков имеет вид: Рис.1

ряд остатков

-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ряд1

3.Основные предпосылки МНК:

Первое условие: т.к. ∑ε= 0, то M(ε)=0,т.е. математическое ожидание случайной

составляющей в любом наблюдении равно 0.

Второе условие: в найденной модели Y=-15.514+2.19*X возмущение ε есть

величина случайная, а объясняющая переменная x- величина неслучайная. Т.к. на

графике (рис.1) нет направленности в расположении точек ε, то ε - случайные

величины, и применение МНК оправдано.

Третье условие: d=∑( εi- εi-1) 2 / ∑ εi

2, d≈2, значит, автокорреляция отсутствует.

Четвёртое условие: т.к. дисперсия случайной величины постоянна для всех

наблюдений, то соблюдается условие гомоскедастичность.

4. Коэффициент Стьюдента tα для m=8 степеней свободы уровня значимости

α=0,05 равен 2,3060.

Sα=√(S 2 * ∑x2 )/ n*(∑x-xср)

2 = 5,86

Sβ=√ S 2 / (∑x-xср)

2 = 0,082

tα=|a| / Sα= 15,514/5,86=2,647

tβ=|b| / Sβ= 2,19/0,082=26,707, т.к. tβ>tтабл., tα>tтабл., то оба коэффициента

считаются значимыми.

5. Коэффициент детерминации равен: R2=1-(∑ε2) / ∑(y-yср) 2=1-0,011=0,9889.

Проведём оценку значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия

Фишера:

F=(R2/1-R)*(n-2)=(0,9889/0,011)*8=719,2

F>Fтабл.=5,32 ,для α=0,05; k1=m=1; k2=n-m-1=8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое,

т.к. F>Fтабл.

Определим среднюю относительную ошибку:

Eотн.=1/n*∑|(y-yср)/y)|*100%=15,7%.

В среднем расчетные значения Y для линейной модели отличаются от

фактических значений на 15,7%.

6. yпрогн.=a+b*xпрогн.

X=80%x=0,8*84=67,2

yпрогн=-15,514+2,19*67,2=131,654

7. Фактические и модельные значения Y, точки прогноза. Рис.2

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

160,00

180,00

40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00

Ряд1

Ряд2

Ряд3

8. Гиперболическая модель

Уравнение гиперболической функции: y’=a+b/x.

Произведём линеаризацию модели путем замены X=1/x. В результате получим

линейное уравнение: y’=a+b*X.

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 3.1: Табл.3.1

наблюдение x y X y*X X^2 y-ycp (y-ycp)^2 1 66 133,00 0,015151515 2,015152 0,000229568 -6,10 37,21 2 58 107,00 0,017241379 1,844828 0,000297265 -32,10 1030,41 3 73 145,00 0,01369863 1,986301 0,000187652 5,90 34,81 4 82 162,00 0,012195122 1,97561 0,000148721 22,90 524,41 5 81 163,00 0,012345679 2,012346 0,000152416 23,90 571,21 6 84 170,00 0,011904762 2,02381 0,000141723 30,90 954,81 7 55 104,00 0,018181818 1,890909 0,000330579 -35,10 1232,01 8 67 132,00 0,014925373 1,970149 0,000222767 -7,10 50,41 9 81 159,00 0,012345679 1,962963 0,000152416 19,90 396,01

10 59 116,00 0,016949153 1,966102 0,000287274 -23,10 533,61 сумма 706 1391,00 0,14493911 19,64817 0,002150381 0,00 5364,90 среднее 70,6 139,10 0,014493911 1,964817 0,000215038 536,49

b=[y*X-y*X]/[X^2-X^2]=[1.964817-139.10*0.014493911]/[0.000215038-

0.014493911*0.014493911]=-10330.45951

a=y-b*X=139.10+10330.45951*0.0144933911=288.8287607.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

y’=288.829-10330.4595/x, и её график: Рис.3

гиперболическая модель

100,00

110,00

120,00

130,00

140,00

150,00

160,00

170,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ряд1

Степенная модель

Уравнение степенной модели имеет вид:

Y=a*xb ; для построения этой модели произведём линеаризацию переменных:

lgy=lga+b*lgx. Построим таблицу с помощью Excel:

Табл. 3.2

наблюдение x lg(x) y lg(y) 1,00 66,00 1,82 133,00 2,12 2,00 58,00 1,76 107,00 2,03 3,00 73,00 1,86 145,00 2,16 4,00 82,00 1,91 162,00 2,21 5,00 81,00 1,91 163,00 2,21 6,00 84,00 1,92 170,00 2,23 7,00 55,00 1,74 104,00 2,02 8,00 67,00 1,83 132,00 2,12 9,00 81,00 1,91 159,00 2,20

10,00 59,00 1,77 116,00 2,06 сумма 706,00 18,44 1391,00 21,37 среднее 70,60 1,84 139,10 2,14

Обозначим Y=lg(y), X=lg(x), A=lg(a). Тогда имеем уравнение: Y=A+bX –

линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя таблицу 3.3:

Табл. 3.3 Наблюд ение x X=lg(x) y Y=lg(y) YX X^2 y' e [e/y]*100% e^2

1 66 1,82 133 2,12 3,8584 3,3124 136,3901 -3,3901 2,548945 11,49276 2 58 1,76 107 2,03 3,5728 3,0976 131,96869 -24,9687 23,335223 623,4354 3 73 1,86 145 2,16 4,0176 3,4596 139,94208 5,057923 3,4882229 25,58259 4 82 1,91 162 2,21 4,2211 3,6481 144,15365 17,84635 11,016263 318,4921 5 81 1,91 163 2,21 4,2211 3,6481 143,70325 19,29675 11,8385 372,3648 6 84 1,92 170 2,23 4,2816 3,6864 145,04233 24,95767 14,68098 622,8851 7 55 1,74 104 2,02 3,5148 3,0276 130,19319 -26,1932 25,185761 686,0833 8 67 1,83 132 2,12 3,8796 3,3489 136,9142 -4,9142 3,7228769 24,14934 9 81 1,91 159 2,2 4,202 3,6481 143,70325 15,29675 9,6206006 233,9907

10 59 1,77 116 2,06 3,6462 3,1329 132,5453 -16,5453 14,263191 273,747 сумма 706,00 18,44 1391,00 21,37 39,42 34,01 1384,56 6,44 119,70 3192,22 среднее 70,60 1,84 139,10 2,14 3,94 3,40 138,46 0,64 11,97 319,22

b=(Y*X-Y*X)/ X2-X2=(3,94152-1,84*2,14)/3,40097-1,84*1,84=0,00392/0,01537 =

0,25504229

a=y-b*x=2,14-0,25504229*1,84=1,670722186

Y=1,670722186+0,25504229*x

Получим следующее уравнение степенной модели:

y’=101.670722186*x0.25504229=46,85135826*x0.25504229, и её график: Рис. 4

степенная модель

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ря

д1

Показательная модель

Уравнение показательной кривой: y’=a*bx; для построения этой модели

произведём линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование

обеих частей уравнения: lg(y’)=lg(a)+lg(x)*b

Обозначим: Y=lg(y’) , B=lg(b) , A=lg(a)

Получим линейное уравнение регрессии: Y=A+B*x.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.4: Табл.3.4

Наблю дение x y Y=lg(y) Y*x x^2 (Y-Ycp)^2 x-xcp

(x- xcp)^2

1 66 133 2,12 139,92 4356 0,0004 -4,60 21,16 2 58 107 2,03 117,74 3364 0,0121 -12,60 158,76 3 73 145 2,16 157,68 5329 0,0004 2,40 5,76 4 82 162 2,21 181,22 6724 0,0049 11,40 129,96 5 81 163 2,21 179,01 6561 0,0049 10,40 108,16 6 84 170 2,23 187,32 7056 0,0081 13,40 179,56 7 55 104 2,02 111,1 3025 0,0144 -15,60 243,36 8 67 132 2,12 142,04 4489 0,0004 -3,60 12,96 9 81 159 2,2 178,2 6561 0,0036 10,40 108,16

10 59 116 2,06 121,54 3481 0,0064 -11,60 134,56 сумма 706,00 1391,00 21,37 1515,77 50946 0,0556 0,00 1102,40 среднее 70,60 139,10 2,14 151,577 5094,6 0,00556 110,24

B=[Y*x-Y*x]/[x^2-x^2]=[151.577-2.14*70.60]/[5094.60-70.60*70.60]=0.496/110.24=

0.004472

A=Y-B*x=2.14-0.004472*70.60=1.82427

Уравнение будет иметь вид:

Y=1.82427+0.004472*x.

Перейдём к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного

уравнения:

y’=101.82427*(100.004472)x=66.722*1.01035x, график показательной модели: Рис. 5

показательная модель

100,00

110,00

120,00

130,00

140,00

150,00

160,00

170,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ряд1

9. Гиперболическая модель

Определим индекс корреляции, с помощью таблицы 4.1: Табл. 4.1

Наблюд ение x y X y*X X^2 y-ycp (y-ycp)^2 y' e

e^2=(y- y')^2

(e/y)*10 0

1 66 133,00 0,02 2,02 0,00 -6,10 37,21 132,31 0,69 0,48 0,52 2 58 107,00 0,02 1,84 0,00 -32,10 1030,41 110,72 -3,72 13,82 3,47 3 73 145,00 0,01 1,99 0,00 5,90 34,81 147,32 -2,32 5,36 1,60 4 82 162,00 0,01 1,98 0,00 22,90 524,41 162,85 -0,85 0,72 0,52 5 81 163,00 0,01 2,01 0,00 23,90 571,21 161,29 1,71 2,92 1,05 6 84 170,00 0,01 2,02 0,00 30,90 954,81 165,85 4,15 17,24 2,44 7 55 104,00 0,02 1,89 0,00 -35,10 1232,01 101,00 3,00 8,99 2,88 8 67 132,00 0,01 1,97 0,00 -7,10 50,41 134,64 -2,64 6,99 2,00 9 81 159,00 0,01 1,96 0,00 19,90 396,01 161,29 -2,29 5,26 1,44

10 59 116,00 0,02 1,97 0,00 -23,10 533,61 113,74 2,26 5,12 1,95

сумма 706 1391,00 0,14 19,6

5 0,00 0,00 5364,90 1391,0

0 0,00 66,89 17,88 средне е

70, 6 139,10 0,01 1,96 0,00 536,49 139,10 6,69 1,79

ρyx=√1-[∑(y-y’)^2]/∑(y-ycp)^2 =0,9937

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

R^2= ρyx^2=0,988

Вариация результата Y (объём выпуска продукции) на 98,8% объясняется

вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

A=[1/n]*∑|(y-yср)/y)|*100%=66,89/10=6,689%

В среднем расчетные значения y’ для степенной модели отличаются от

фактических значений на 6,689%.

Степенная модель

Определим индекс корреляции:

ρyx=√1-[∑(y-y’)^2]/∑(y-ycp)^2 = 0,63638

Связь между показателем y и фактором x можно считать умеренной.

Коэффициент детерминации:

R^2= ρyx^2=0,63638^2=0,40498

Вариация результата Y (объём выпуска продукции) на 40,498% объясняется

вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

A=[1/n]*∑|(y-yср)/y)|*100%=119,70/10=11,97%

В среднем расчетные значения y’ для степенной модели отличаются от

фактических значений на 11,97%.

Показательная модель

Определим индекс корреляции с помощью таблицы 4.2: табл.4.2

Наблюю дение x X=lg(x) y Y=lg(y) YX X^2 y' e [e/y]*100% e^2

1 66 1,82 133,00 2,12 3,86 3,31 131,65 1,35 1,02 1,83 2 58 1,76 107,00 2,03 3,57 3,10 121,24 -14,24 13,31 202,70 3 73 1,86 145,00 2,16 4,02 3,46 141,49 3,51 2,42 12,35 4 82 1,91 162,00 2,21 4,22 3,65 155,22 6,78 4,18 45,91 5 81 1,91 163,00 2,21 4,22 3,65 153,63 9,37 5,75 87,71 6 84 1,92 170,00 2,23 4,28 3,69 158,45 11,55 6,79 133,30 7 55 1,74 104,00 2,02 3,51 3,03 117,55 -13,55 13,03 183,59 8 67 1,83 132,00 2,12 3,88 3,35 133,01 -1,01 0,76 1,02 9 81 1,91 159,00 2,20 4,20 3,65 153,63 5,37 3,37 28,79

10 59 1,77 116,00 2,06 3,65 3,13 122,49 -6,49 5,60 42,15 сумма 706 18,44 1391,00 21,37 39,42 34,01 1388,37 2,63 56,23 739,34 среднее 70,6 1,84 139,10 2,14 3,94 3,40 138,84 0,26 5,62 73,93

ρyx=√1-[∑(y-y’)^2]/∑(y-ycp)^2 =0,9285 Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

R^2= ρyx^2=0,9285^2=0,862

Вариация результата Y (объём выпуска продукции) на 86,2% объясняется

вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

A=[1/n]*∑|(y-yср)/y)|*100%=56,23/10=5,62%

В среднем расчетные значения y’ для степенной модели отличаются от

фактических значений на 5,62%.

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов:

параметры модель

Коэффициент Детерминации

R2

Индекс корреляции

ρyx

Средняя относительная ошибка аппроксимации

A

1. линейная 0,9889 0,9944 15,7%.

2.степенная 0,40498 0,63638 11,97%

3.показательная 0,862 0,9285 5,62%

4.гиперболическая 0,988 0,9937 6,689%

Линейная модель является лучшей для построения прогноза, т.к. характеристики

этой модели имеют большее значение, чем у других. Среди нелинейных моделей

наиболее точной является гиперболическая модель, в которой значения

показателей коэффициента детерминации и индекса корреляции больше, чем у

остальных нелинейных моделей.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome