Задачи, варианты - упражнение - Финансовая математика (9), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи, варианты - упражнение - Финансовая математика (9), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (229.2 KB)
28 страница
663количество посещений
Описание
Задачи. Упражнения по предмету финансовая математика. Задачи с решениями. Упражнения с ответами. Разные варианты. Вариант 9.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 28
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по финмат, вариант 8 - контрольная работа - Финансовая математика

Федеральное агентство по образованию

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Финансовая математика

тема:

«Задачи по финмат, вариант 8»

Архангельск – 2008 г.

2

Условие задачи.

По предприятиям лёгкой промышленности региона получена информа-

ция, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.)

от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать эконо-

мическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оце-

нить дисперсию остатков 2ES ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения ре-

грессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость

уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти

среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о каче-

стве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y

при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X со-

ставляет 80% от его максимального значения.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y

точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• Гиперболической;

• Степенной;

• Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации,

коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппрок-

симации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

3

Решение задачи.

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать

экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Для нахождения параметров уравнения линейной регрессии

),( 10 аa решим систему нормальных уравнений:

 

 

×=×+×

=×+×

∑∑∑

∑∑

===

==

n

t tt

n

t t

n

t t

n

t t

n

t t

yxaxax

yaxan

1 1

1

2 0

1

1 1

1 0

)()()(

)(

n=10

x y x^2 xy

17 26 289 442

22 27 484 594

10 22 100 220

7 19 49 133

12 21 144 252

21 26 441 546

14 20 196 280

7 15 49 105

20 30 400 600

3 13 9 39

133 219 2161 3211

10

133

32112161133

21913310

10

10

× ×

  

=×+× =×+× aa

aa

Х 17 22 10 7 12 21 14 7 20 3

Y 26 27 22 19 21 26 20 15 30 13

4

  

=×+× =×+×

32110216101330

29127176891330

10

10

aa

aa

29833921 1 −=×− a

7608,01 =a

2197608,013310 0 =×+× a

8136,11710 0 =× a

7814,110 =a Найдём параметры уравнения линейной регрессии, используя

надстройку «Мастер диаграмм» в Excel, тип диаграммы – точечная, выделяем

столбцы (А1:В11), выбираем команду «Добавить линию тренда», выбираем 2

последние команды:

- показывать уравнение на диаграмме;

- поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации.

Общий вид уравнения регрессии имеет вид:

хааy ×+= 10ˆ

хy ×+= 761,0781,11ˆ

781,110 =а

761,01 =а

−1а коэффициент регрессии.

Величина коэффициента регрессии ( 1а ) показывает, на сколько в

среднем изменяется значение результата с изменением фактора на 1 единицу.

Т.о в нашем случае, с увеличением объема капиталовложений (Х) на 1

млн.руб. объём выпуска продукции (У) возрастает в среднем на 0,761

млн.руб.

5

X Y 17 26 22 27 10 22 7 19

12 21 21 26 14 20 7 15

20 30 3 13

а0=11,781 а1=0,761

y = 0,7608x + 11,782

R2 = 0,8567

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30

Объем капиталовложений, млн. руб.

О б ъ е м

в ы п у с к а п р о д у к ц и и

м л н .р у б .

Ряд1

Линейный

(Ряд1)

6

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оце-

нить дисперсию остатков 2 ES . Построить график остатков.

Вычислим остатки по формуле: ttt yyE ˆ−=

xyt ×+= 761,0781,11ˆ

x y tŷ tE m 2tE

17 26 24,718 1,282 * 1,6435

22 27 28,523 -1,523 1 2,3195

10 22 19,391 2,609 1 6,8069

7 19 17,108 1,892 0 3,5797

12 21 20,913 0,087 0 0,0076

21 26 27,762 -1,762 0 3,1046

14 20 22,435 -2,435 1 5,9292

7 15 17,108 -2,108 0 44437

20 30 27,001 2,999 1 8,9940

3 13 14,064 -1,064 * 1,1321

133 219 * -0,023 4 37,9608

Оценка дисперсии остатков:

2

)ˆ( 1

2

2

− == ∑

=

n

yy

DS

n

t tt

остE

7451,4 210

9608,372 = −

== остE DS

По следующим данным строим график остатков:

Y Е(t) 26 1,282 27 -1,523 22 2,609 19 1,892 21 0,087 26 -1,762 20 -2,435 15 -2,108 30 2,999 13 -1,064

7

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E

(t )

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

1. Случайный характер остатков (критерий поворотных точек, кри-

терий пиков):

 

  

 −−−×> 90

2916 2

3

)2(2 nn m ,

где n- количество наблюдений;

m – количество поворотных точек (пиков).

Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и по-

следующей (или меньше).

11

11

+−

+−

<> ><

ttt

ttt

EEE

EEE

609,2523,1282,1

523,1 2

<−>

−=E является поворотной точкой

892.1609.2523.1

609,23 ><−

=E является поворотной точкой

087.0892.1609.2

892,14 >>

=E не является поворотной точкой

762.1087.0892.1

087,05 −>>

=E не является поворотной точкой

435.2762.1087.0

762,16 −>−>

−=E не является поворотной точкой

087.0435.2762.1

435,27 <−>−

−=E является поворотной точкой

8

999.2108.2435.2

108,28 <−<−

−=E не является поворотной точкой

064.1999.2108.2

999,29 −><−

=E является поворотной точкой.

m=4

[ ] [ ] [ ] [ ] 2919.2

414.2333.5207.12333.5456.12333.5 90

131 2

3

16

90

29160 2

3

82

90

291016 2

3

)210(2

==

=−=×−=−= 

  

 −=

= 

  

 −−×= 

  

 −×−−×>m

m=4>2, следовательно неравенство выполняется, свойство выполняет-

ся.

2. Независимость значений остатков (отсутствие автокорреляции).

Критерий Дарбина-Уотсона.

=

= −−

= n

t t

n

t tt

расчётное

E

EE d

1

2

2

2 1)(

x y tŷ tE 2tE 2

1)( −− tt EE

17 26 24,718 1,282 1,6435 *

22 27 28,523 -1,523 2,3195 7,8680

10 22 19,391 2,609 6,8069 17,0734

7 19 17,108 1,892 3,5797 0,5141

12 21 20,913 0,087 0,0076 3,2580

21 26 27,762 -1,762 3,1046 3,4188

14 20 22,435 -2,435 5,9292 0,4529

7 15 17,108 -2,108 4,4437 0,1069

20 30 27,001 2,999 8,9940 26,0814

9

3 13 14,064 -1,064 1,1321 16,5080

133 219 * -0,023 37,9608 75,2816

98,1 9608,37

2816,75 ≈=расчётноеd

расчётноеd сравниваем с двумя табличными: 32.1;88,0 21 == dd

2dd р > , следовательно, свойство выполняется, остатки независимы.

3. Подчинение остатков нормальному закону (R/S критерий).

ES

EE

S

R minmax −=

999,2

435,2

min

max

= −=

E

E

)1(

)( 1

2

1

2

−× =

∑∑ ==

nn

EEn S

n

t t

n

t t

E

4698.45.0)^ )110(*9

2^023,09608,37*10 ( =

− −=ES

216,1 4698,4

)435,2(999,2 =−−= S

R

Расчётный критерий сравниваем с двумя табличными, если расчётный

критерий попадает внутрь табличного интервала, то свойство выполняется.

10

05.0

= =

n

α (2,67;3,57)

1,216 < 2,67, следовательно, свойство не выполняется, остатки не

подчинены нормальному закону.

10

4. Проверка равенства М(Е)=0, средняя величина остатков равна 0

(критерий Стьюдента).

n S

E t

e расчётное ×=

0023,0 10

023,01 === ∑

=

n

E E

n

t t

0016,010 4698,4

0023,0 =×=расчётноеt

Если расчётноеt < ))1(;(., −nтаблt α , то свойство выполняется.

05.0=α

== = 9;05.0. αttтабл 2,2281 2281,20016,0 . =<= таблрасчётное tt , следовательно, свойство

выполняется.

5. Гомоскедастичность остатков, то есть дисперсия остатков ( )

одинаково для каждого значения tΧ (остатки имеют постоянную дисперсию).

Если дисперсия остатков неодинакова, то имеет место гетеро-

скедастичность.

Если предпосылки не выполняются, то модель нужно уточнять. При-

меняем тест Голдфельд-Квандта:

1) упорядочить (ранжировать) наблюдения по мере возрастания фак-

тора «Х».

2) исключить d-средних наблюдений.

nd ×≈ 4 1

, где n – количество наблюдений.

2) разделить совокупность на две группы: с малыми и большими зна-

чениями «Х» и для каждой из частей найти уравнение регрессии.

11

3) найти остаточную сумму квадратов отклонений ( .остатSS ) для

каждого уравнения регрессии.

∑ =

−= 1

1

2 1ˆ1 )ˆ(

n

t tty yyS

∑ −−+=

−= n

nnt tty yyS

11

2 2ˆ2 )ˆ(

4) применяют критерий Фишера:

 

 

>

>

=

yy y

y

yy y

y

расчётное

SеслиS S

S

SеслиS S

S

F

ˆ1ˆ2 ˆ1

ˆ2

ˆ2ˆ1 ˆ2

ˆ1

,

,

Если );;.( 21 kkтаблрасчётное FF α= , то гетероскедастичность имеет

место, то есть пятая предпосылка не выполняется.

mnnk

mnk

−−= −=

12

11

X Y 17 22 22 27 10 22 7 19 12 21 21 26 14 20 7 15 20 30 3 13

12

Упорядочим наблюдениям по мере возрастания переменной Х:

X5=12; Y5=21 и Х6=14; Y6=20 исключаем.

25.210 4

1 =≈×≈d ; n=10

x y 2tx tŷ tE 2 tE

3 13 9 12,517 0,483 0,2333

7 19 49 17,569 1,431 2,0478

7 15 49 17,569 -2,569 6,5998

10 22 100 21,358 0,642 0,4122

27 69 207 * -0,013 9,2930

 

 

×=×+×

=×+×

∑ ∑∑

∑∑

= ==

== n

t

n

t tt

n

t tt

n

t t

n

t t

yxaxax

yaхan

1 1 1

1

2 0

1 1

1 0

)()()(

)(

n=4

4

27

49720727

69274

10

10

× ×

  

=×+× =×+× aa

aa

−   

=×+× =×+×

1988828108

1863729108

10

10

aa

aa

12599 1 −=×− a

2626,11 =a

X Y 3 13 7 19 7 15 10 22 12 21 14 20 17 22 20 30 21 26 22 27

13

7275,8

692626,1*274

0

0

= =+

a

a

xxy ×+= 263,1728,8)(ˆ1

2930,9)ˆ( 1

1

2 1ˆ1 =−= ∑

=

n

t tty yyS

  

 

×=×+×

=×Χ+×

∑ ∑∑

∑∑

= ==

== n

t

n

t tt

n

t tt

n

t t

n

t t

yxaxax

yaan

1 1 1

1

2 0

1 1

1 0

)()()(

)(

n=4

4

80

2114161480

105804

10

10

× ×

  

=×+× =×+× aa

aa

−   

=×+× =×+×

84566456320

84006400320

10

10

aa

aa

5656 1 −=×− a

11 =a

25,6

1051804

0

0

= =×+

a

a

xxy ×+= 125,6)(ˆ2

x y 2tx tŷ tE 2 tE

17 22 289 23,25 -1,25 1,5625

20 30 400 26,25 3,75 14,0625

21 26 441 27,25 -1,25 1,5625

22 27 484 28,25 -1,25 4,5625

80 105 1614 * 0 18,75

14

75,18)ˆ( 11

2 2ˆ2 =−= ∑

−+=

n

nnt tty yyS

y

y расчётное S

S F

ˆ1

ˆ2= , так как 75,182930,9 ˆ2ˆ1 =<= yy SS

0177,2 2930,9

75,18 ==расчётноеF

51410

314

12

11

=−−=−−= =−=−=

mnnk

mnk

41,50177,2 . =≠= таблрасчётное FF , значит, пятая предпосылка выполняется,

следовательно, модель нужно адекватна.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения

регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

хy ×+= 761,0781,11ˆ

781,110 =a

761,01 =а

0

0 0 Sa

a ta = ;

=

=

−⋅ ⋅=

n

t t

n

t t

y

xxn

х

SSa

1

2

1

2

0

)(

1

)ˆ( 1

2

−−

− =

∑ =

mn

yy S

n

t tt

y

ttt Eyy =− ˆ

15

x y 2 tŷ tE 2 tE

2)( xxt

17 26 289 24,718 1,282 1,6435 13,69

22 27 484 28,523 -1,523 2,3195 75,69

10 22 100 19,391 2,609 6,8069 1,89

7 19 49 17,108 1,892 3,5797 39,9

12 21 144 20,913 0,087 0,0076 1,69

21 26 441 27,762 -1,762 3,1046 59,29

14 20 196 22,435 -2,435 5,9292 0,49

7 15 49 17,108 -2,108 4,4437 39,69

20 30 400 27,001 2,999 8,9940 44,89

3 13 9 14,064 -1,064 1,1321 106,09

133 219 2161 * -0,023 37,9608 392,1

3,13 10

1331 == Χ

=Χ ∑

=

n

n

t t

1783,28/9608,37 ==yS

6171,1 1,39210

2161 1783,20 =×

×=Sa

2853,7 6171,1

781,11 0

==at

)1(;. 0 −−= mnaтабл tt 811101;05,0 =−−=−−= mnα

31.2. =таблt

.0 таблa tt > , следовательно, параметр 0a значим.

1

1

1

a a S

a t =

16

2

1

)(

1

∑ =

= n

t t

y a

xx

S S

1100,0 1,392

1783,2 1

==aS

9181,6 1100,0

761,0 1

==at

)1(;. 1 −−= mnaтабл tt 811101;05,0 =−−=−−= mnα

.0 таблa tt > , следовательно, коэффициент регрессии 1a значим. Интервальная оценка:

000 : at Saa ×± α

1; −−= mntt αα

81;05.0 =−−= mnα

31,2)8;05.0(. == =αttтабл

а0: 11,781 ± 2,31*1,617

а0: 11,781 ± 3,735

Нижняя граница: 11,781-3,735=8,046

Верхняя граница: 11,781+3,735=15,516

а0: (8,046 ÷ 15,516), следовательно, параметр а0 значим, так как в эти границы не попадает 0.

111 : at Saa ×± α

31,2)8;05.0(. == =αttтабл

а1: 0,761 ± 2,31*0,11

а1: 0,761 ± 0,2541

17

Нижняя граница: 0,761-0,254=0,507

Верхняя граница: 0,761+0,254=1,015

а1: (0,507 ÷ 1,015), следовательно, коэффициент регрессии а1 значим, так как в эти границы не попадает 0.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значи-

мость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05),

найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать

вывод о качестве модели.

Для нахождения коэффициента детерминации найдём коэффици-

ент парной корреляции:

yx yx

yxxy r

σσ × ×−=

1,321 10

3211 )(

1 == ×

= ∑

=

n

yx xy

n

t tt

22 )(xxx −=σ

1,216 10

21611

2

2 === ∑

=

n

x x

n

t t

2618,621,39)3,13(1,216 2 ==−=xσ

22 )( yyy −=σ

n

y y

n

t t

== 1 2

2

1,506 10

50611

2

2 === ∑

=

n

y y

n

t t

1468,549,26)9,21(1,506 2 ==−=yσ

18

926,0 2282,32

83,29

1468,5*2618,6

9,21*3,131,321 ==−=yxr

Проверяем значимость xyr по критерию Стьюдента:

9382,6 1425,0

8598,6

926,01

)210(926,0

1

)2( 2

2

2

2

==

= −

−×= −

−= r

nr t r

)2(;. −= nтабл tt α

3060,2. =таблt

3060,28;05,0)2(; == =− αα tt n

)2(;. −=> nтаблr ttt α , следовательно, yxr значим.

yxr =0,926, то есть связь между переменными y и x очень тесная

(то есть близко к 1) и прямая (так как больше 0).

Находим коэффициент детерминации:

%8,85858,0)926,0( 22 ===yxr , то есть 85,8% - изменение объ-

ёма выпуска продукции (зависимой переменной «y») происходит под

влиянием объёма капиталовложений (фактора «х», включённого в мо-

дель).

Значимость уравнения регрессии по критерию Фишера:

1386,48 1

)2( 2

2

= −

−×= r

nr Fрасчётное

21 ;;. kkтабл FF α=

811101;1;05,0 21 =−−=−−==== mnkmkα

32,5. =таблF

32,51386,48 . =>= таблрасчётное FF , следовательно, уравнение

регрессии значимо, модель адекватна.

19

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

%100 1

1

××= ∑ =

n

t t

t

y

E

n S

x y tŷ tE t

t

y

E

17 26 24,718 1,282 0,0493

22 27 28,523 -1,523 0,0564

10 22 19,391 2,609 0,1186

7 19 17,108 1,892 0,0996

12 21 20,913 0,087 0,0041

21 26 27,762 -1,762 0,0678

14 20 22,435 -2,435 0,1218

7 15 17,108 -2,108 0,1405

20 30 27,001 2,999 0,1000

3 13 14,064 -1,064 0,0818

133 219 * -0,023 0,7332

%33,7%1007332,0 10

1 =××=S

Так как %5%33,7 >=S , значит модель не достаточно точная.

F-критерий намного больше табличного значения, коэффициент де-

терминации yxr 2

очень близок к 1, а относительная ошибка аппроксимации

составляет 7,33%. На основании рассчитанных критериев можно сделать вы-

вод о хорошем качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y

при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X со-

ставляет 80% от его максимального значения.

..ˆ прогнпрогн Sty ⋅± α

20

)(ˆˆ .. прогнпрогн xyy =

.. 761,0781,11ˆ прогнпрогн xy ⋅+=

6,178,0*22. ==прогнx - прогноз факторного признака (объема капитало-

вложений).

1746,256,17761,0781,11. =×+=прогнy - точечный прогноз.

(17,6; 25,2) – точка должна лежать на графике модели.

Интервальный прогноз:

)1(; −−= mntt αα 1,0=α

8595,1)8;1,0(. == =αttтабл

xaaxy ⋅+= 10)(ˆ

∑ =

− ++⋅=

n

t t

прогн yпрогн

xx

xx

n SS

1

2

2 .

ˆ.

)(

)(1 1

1783,2 8

9608,37

1 1

2

ˆ ==−− =

∑ =

mn

E S

n

t t

y

8143,1 1,392

)3,136,17(

10

1 11783,2

2

. = −++×=прогнS

25,2 ± 1,86 × 1,81

25,2 ± 3,37

Нижняя граница: 25,2-3,37=21,83

Верхняя граница: 25,2+3,37=28,57

То есть при уровне значимости α =0,1, если прогнозное значение фак-

тора «Х» составит 80% от его максимального значения или 17,6, точечный

прогноз среднего значения «Y» по линейной модели составит 25,2. Довери-

тельный интервал: 21,83 ÷ 28,57.

21

7. Представить графически фактические и модельные значения Y

точки прогноза.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30

Объем капиталовложений, млн. руб.

О б ъ е м в ы п у с к а п р о д у к ц и и

м л н .р у б .

Ряд1

Ряд2

Ряд3

22

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

Гиперболической;

Степенной;

Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации,

коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппрок-

симации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Уравнение степенной модели парной регрессии:

1 0)(ˆ

axaxy ×= Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию

переменных. Для этого произведём логарифмирование обеих частей уравне-

ния:

xbay lglgˆlg 0 ×+=

Обозначим yY ˆlg= , xX lg= , 0lg aA = . Тогда уравнение примет вид

bXAY += - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры (см. приложение).

 

 

×=×+×

=×Χ+×

∑ ∑∑

∑∑

= ==

==

n

t

n

t

n

t

n

t

n

t

YXbXAX

YbAn

1 11

2

11

)()()(

)(

10

5886,9

8902,122062,105886,9

2729,135886,910

× ×



  

=×+×

=×+×

bA

bA

− 

  

=×+×

=×+×

902,128062,102886,95

5685,1279416,91886,95

bA

bA

6335,11204,10 −=×− b

1614,0=b

23

1725,1

2729,131614,05886,910

=

=×+

A

A

Получим уравнение степенной модели регрессии:

1614.0^8765,14 хy ×=

Построим график:

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30

Объем капиталовложений, млн. руб.

О б ъ е м

в ы п у с к а п р о д у к ц и и

м л н .р у б .

Ряд1

Определим коэффициент корреляции:

7584,0 9,264

5388,112 1

)(

)ˆ( 1

2

2

=−= − −

−= ∑ ∑

yy

yy x YXρ

Связь между показателем y и фактором x можно считать доста-

точно тесной.

Коэффициент детерминации:

5752,07584,0 22 === yxR ρ

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 57,5%

объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

%100 1

1

××= ∑ =

n

t t

t y

E

n S

24

%6,14%1004613,1 10

1 =××=S

В среднем расчётные значения ŷ для степенной модели отлича-

ются от фактических значений на 14,6%.

Коэффициент эластичности для степенной модели регрессии:

%16,01 == aЭyx , значит, если фактор X (объём капиталовложе-

ний) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём вы-

пуска продукции) увеличится в среднем на 0,16%.

Уравнение показательной модели парной регрессии:

xaaxy 10)(ˆ ×=

Для построения этой модели необходимо произвести линеариза-

цию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих ча-

стей уравнения:

10 lglglgˆlg аxay ×+=

Обозначим yY ˆlg= , 1lgаB = , aA lg= . Тогда уравнение примет вид

xBAY ×+= - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры.

 

 

×=×+×

=×Χ+×

∑ ∑∑

∑∑

= ==

==

n

t

n

t

n

t

n

t

n

t

YXВXAX

YВAn

1 11

2

11

)()()(

)(

10

133

8332,1822161133

2729,1313310

× ×



  

=×+×

=×+×

ВA

ВA

− 

  

=×+×

=×+×

332,1828216101330

2957,1765176891330

ВA

ВA

0363,633921 −=×− В

0161,0=В

25

1132,1

2729,130161,013310

=

=×+

A

A

9778,12101132,1lg 1132,100 ==⇒== аaA

0378,1100161,0lg 0161,001 ==⇒== ааB

Перейдём к исходным переменным x и y.

xy 0378,19778,12ˆ ×=

Построим график:

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30

Объем капиталовложений, млн. руб.

О б ъ е м

в ы п у с к а п р о д у к ц и и

м л н .р у б

.

Ряд1

Определим индекс корреляции:

9105,0 9,264

2862,45 1

)(

)ˆ( 1

2

2

=−= − −

−= ∑ ∑

yy

yy x YXρ

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно

тесной.

Коэффициент детерминации:

8290,09105,0 22 === yxR ρ

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 82,9% объяс-

няется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

26

%5,9%1009521,01,0%100 1

1

=××=××= ∑ =

n

t t

t

y

E

n S

В среднем расчётные значения ŷ для степенной модели отличаются

от фактических значений на 9,5%.

Коэффициент эластичности для показательной модели регрессии:

4935,00378,1ln3,13ln 1 =×=×= axЭyx , значит, если фактор X (объём

капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y

(объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,49%.

Уравнение гиперболической модели парной регрессии:

x

a axy 10)(ˆ +=

Произведём линеаризацию модели путём замены x

X 1= .

В результате получим линейное уравнение:

Xаay ×+= 10ˆ

Рассчитаем его параметры.

 

 

×=×+×

=×+×

∑ ∑∑

∑∑

= ==

== n

t

n

t

n

t

n

t

n

t

yХaХaХ

yaХan

1 1 1

1

2 0

1 1

1 0

)()()(

)(

10

0757,1

0638,201843,00757,1

2190757,110

10

10

× ×

  

=×+× =×+×

aa

aa

−   

=×+× =×+×

638,200843,1757,10

5783,2351571,1757,10

10

10

aa

aa

9403,346859,0 1 =×− a

9408,501 −=a

3797,27

219)9408,50(0757,110

0

0

= =−×+

a

a

27

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

x y

9408,50 28,54ˆ −=

Построим график:

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30

Объем капиталовложений, млн. руб.

О б ъ е м в ы п у с к а п р о д у к ц и и

м л н .р у б .

Ряд1

Определим индекс корреляции:

8199,0 9,264

8041,86 1

)(

)ˆ( 1

2

2

=−= − −

−= ∑ ∑

yy

yy x YXρ

Связь между показателем y и фактором x можно достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

6723,08199,0 22 === yxR ρ

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 67,2% объяс-

няется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

%462,12%1002462,11,0%100 1

1

=××=××= ∑ =

n

t t

t

y

E

n S

В среднем расчётные значения ŷ для степенной модели отличаются

от фактических значений на 12,46%.

Коэффициент эластичности для гиперболической модели регрессии:

28

1749,0 9,213,13

9408,501 = ×

−−= ×

−= yx

a Эyx %, значит, если фактор X (объём

капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y

(объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,18%.

Сравним модели по коэффициенту детерминации, коэффициенту эла-

стичности и средней относительной ошибке аппроксимации:

Модель парной регрессии Критерий

2R S yxЭ

Степенная 0,575 14,6% 0,16%

Показательная 0,829 9,5% 0,49%

Гиперболическая 0,672 12,5% 0,18%

Самое хорошее качество имеет показательная модель. Коэффициент

детерминации наиболее близок к 1 (вариация объёма капиталовложений на

82,9% объясняет вариацию объёма выпуска продукции), наименьшая сред-

няя относительная ошибка аппроксимации S=9,5% и среднее значение коэф-

фициента эластичности %49,0=yxЭ .

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome