Задачи по Финансовой математике, варианты  - упражнение -  Финансовая математика (9), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по Финансовой математике, варианты - упражнение - Финансовая математика (9), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (346.2 KB)
24 страница
580количество посещений
Описание
Задачи по Финансовой математике. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Вариант 9.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 24
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по Финансовой математике, вариант 8 - контрольная работа - Финансовая математика

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение

высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Туле

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине

«Финансовая математика»

Тема:

«Задачи по Финансовой математике, вариант 8»

Тула – 2007 г.

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.Задание 1……………………………….…………………………………....3

2. Задание 2……………………………….…………………………………...14

3. Задание 3……………………………………….…………………………...21

Список использованной литературы……..…………..………………………24

3

Задание 1.

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка

на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16

кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года):

Таблица 1. Исходные значения заданного временного ряда

Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Y(t) 39 50 59 38 42 54 66 40 45 58 69 42 50 62 74 46

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с

учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3;

α2=0,6; α3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней

относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические

значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту

автокорреляции при критическом значении r1=0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-

критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1. Построение модели Хольта-Уинтерса

Для оценки начальных значений ( )0a и ( )0b применим линейную модель

с первыми восьми значениями заданного временного ряда ( )ty (Таблица 2).

4

Линейная модель имеет вид: ( ) ( ) ( ) tbatYP ⋅+= 00 . Оценим коэффициенты

линейной модели ( )0a и ( )0b с помощью метода наименьших квадратов

(МНК).

Таблица 2. Расчёт коэффициентов линейной модели

t )(tY ))(( срYtY )( срtt 2)( срtt )())(( срср ttYtY −⋅−

1 39 -9,5 -3,5 33,25 12,25 2 50 1,5 -2,5 -3,75 6,25 3 59 10,5 -1,5 -15,75 2,25 4 38 -10,5 -0,5 5,25 0,25 5 42 -6,5 0,5 -3,25 0,25 6 54 5,5 1,5 8,25 2,25 7 66 17,5 2,5 43,75 6,25 8 40 -8,5 3,5 -29,75 12,25 Сумма 36 388 38 42 Среднее значение 4,5 48,5 Определим значения коэффициентов нашей линейной модели по

формулам:

; )(

)())(( )0(

1

2

1

=

=

−⋅− =

N

i ср

N

i срср

tt

ttYtY b ;)0()0( срср tbYa ⋅−= ;

)( 1

N

tY Y

N

i ср

∑ == .1

N

N t

N

i t

ср

∑ ==

Подставив исходные данные, получим:

;5,48 8

388

8

4066544238595039 ==+++++++=срY

;5,4 8

36

8

87654321 ==+++++++=срt

+−+−+−+− +−⋅−+−⋅−+−⋅−+−⋅−=

2222 )5.44()5.43()5.42()5.41(

)5.44()5.4838()5.43()5.4859()5.42()5.4850()5.41()5.4839( )0(b

0,905 42

38

12,256,252,250,250,252,256,2512,25

29,75-43,758,253,25-5,2515,75-3,75-33,25

5.35.25.15.0)5.0()5.1()5.2()5.3(

3,58,5-2,517,51,55,50,56,5-(-0,5)10,5-(-1,5)10,5-2,5)(1,5(-3,5)9,5-

)5.48()5.47()5.46()5.45(

)5.48()5.4840()5.47()5.4866()5.46()5.4854()5.45()5.4842(

22222222

2222

== +++++++

+++=

= ++++−+−+−+−

⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=

= −+−+−+−

−⋅−+−⋅−+−⋅−+−⋅−

44,4286.4,50,905-48,5)0( =⋅=a

Линейная модель с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

5

t.0,90544,4286)( ⋅+=tY

Из этого уравнения находим расчётные значения )(tYp и сопоставляем их

с фактическими значениями заданного временного ряда (Таблица 3).

,6686.5180,90544,4286)8(

,7636;5070,90544,4286)7(

,8586;4960,90544,4286)6(

;9536,4850,90544,4286)5(

;0486,4840,90544,4286)4(

;1436,4730,90544,4286)3(

46,2386;20,90544,4286)2(

45,3336;10,905,428644)1(

=⋅+= =⋅+= =⋅+= =⋅+= =⋅+= =⋅+= =⋅+=

=⋅+=

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Таблица 3. Значения заданного временного ряда и расчетной модели

Т 1 2 3 4 5 6 7 8 Y(t) 39 50 59 38 42 54 66 40 Yр(t) 45,3336 46,2386 47,1436 48,0486 48,9536 49,8586 50,7636 51,6686

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I – IV

кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего году, по

которому имеются данные. В результате расчёта получим следующие

данные:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] 0,7825.

2

0,77420,7909

2

51,6686

40

48,0486

38

2

)8(

)8(

)4(

)4(

)0(

1,2758; 2

1,30011,2515

2

50,7636

66

47,1436

59

2

)7(

)7(

)3(

)3(

)1(

1,0822; 2

1,08311,0813

2

49,8586

54

46,2386

50

2

)6(

)6(

)2(

)2(

)2(

0,8591; 2

0,85790,860

2

48,9536

42

45,3336

39

2

)5(

)5(

)1(

)1(

)3(

=+=  

  

 + =

 

  

 +

=

=+=  

  

 + =

 

  

 +

=−

=+=  

  

 + =

 

  

 +

=−

=+=  

  

 + =

 

  

 +

=−

PP

PP

PP

PP

Y

Y

Y

Y

F

Y

Y

Y

Y

F

Y

Y

Y

Y

F

Y

Y

Y

Y

F

Адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса имеет вид:

[ ] ),()()()( LktFtbktaktYP −+⋅⋅+=+ Где k – период упреждения; )(tYP - расчетное значение показателя для t-го

периода; a(t), b(t) и F(t) – коэффициенты модели; )( LktF −+ - значение

6

коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается

показатель; L – период сезонности (для квартальных данных L=4).

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t)

коэффициентов модели производятся по формулам:

[ ]

[ ] ).()1(

)(

)( )(

);1()1()1()()(

;)1()1()1( )(

)( )(

2 2

33

1 1

LtF ta

tY tF

tbtatatb

tbta LtF

tY ta

−⋅−+⋅=

−⋅−+−−⋅=

−+−⋅−+ −

⋅ =

αα αα

αα

Значения параметров сглаживания, согласно заданию, таковы:

.3,0 ;6,0 ;3,0 321 === ααα

Тогда для момента времени t=0, k=1 имеем:

[ ] [ ] [ ] ,9428380,8591

0,809544,43)3()0(1)0()410()0(1)0()1()10(

=⋅ ⋅+=−⋅⋅+=−+⋅⋅+==+ FbaFbaYY PP

При моменте времени t=1 имеем:

Для t=1, k=1 имеем: [ ] [ ] =−⋅⋅+=−+⋅⋅+= )2()1(1)1()411()1(1)1()2( FbaFbaYP [ ] ,0678;501,08220,911045,3550 =⋅+=

Для момента времени t=2 имеем:

[ ] [ ]

[ ] [ ] 1,0816.1,0822)6,01(

46,2472

506,0 )2()1(

)2(

)2( )2(

;0,90540,991)3,01(45,3550-46,24723,0)1()1()1()2()2(

,2472;460,067845,3550)3.01( 1,0678

503.0 )1()1()1(

)2(

)2( )2(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=−⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ −

⋅ =

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=2, k=1 имеем: [ ] [ ] =−⋅⋅+=−+⋅⋅+= )1()2(1)2()412()2(1)2()3( FbaFbaYP [ ] ,1564;601,27580,905446,2472 =⋅+=

Для момента времени t=3 имеем:

[ ] [ ]

[ ] [ ] 0,8605.0,8591)6,01(

45,3550

396,0 )3()1(

)1(

)1( )1(

;0,9110,905)3,01(44,43-45,35503,0)0()1()0()1()1(

,3550;450,90544,43)3.01( 0,8591

393.0 )0()0()1(

)3(

)1( )1(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=−⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ −

⋅ =

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

7

[ ] [ ]

[ ] [ ] 1,2654.1,0822)6,01(

46,8806

596,0 )1()1(

)3(

)3( )3(

;0,82380,9054)3,01(46,2472-46,88063,0)2()1()2()3()3(

46,8806;0,905446,2472)3.01( 1,0822

593.0 )2()2()1(

)1(

)3( )3(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=−⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ −

⋅ =

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=3, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )0()3(1)3()413()3(1)3()4( FbaFbaYP [ ] 37,3284;0,78250,823846,8806 =⋅+=

Для момента времени t=4 имеем:

[ ] [ ]

[ ] [ ] 0,7884.0,7825)6,01(

47,9619

386,0 )0()1(

)4(

)4( )4(

;0,90100,8238)3,01(46,8806-47,96193,0)3()1()3()4()4(

4,9619;0,823846,8806)3.01( 0,7825

383.0 )3()3()1(

)0(

)4( )4(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=4, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )1()4(1)4()414()4(1)4()5( FbaFbaYP [ ] ,9991;410,85950,901047,9619 =⋅+=

Для момента времени t=5 имеем:

[ ] [ ]

[ ] [ ] 0,8595.0,8595)6,01(

48,8632

426,0 )1()1(

)5(

)5( )5(

;0,90110,9010)3,01(47,9619-48,86323,0)4()1()4()5()5(

48,8632;0,901047,9619)3.01( 0,8595

423.0 )4()4()1(

)1(

)5( )5(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=5, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )2()5(1)5()415()5(1)5()6( FbaFbaYP [ ] 53,8230;1,08160,901148,8632 =⋅+=

Для момента времени t=6 имеем:

[ ] [ ]

[ ] [ ] 1,0831.1,0816)6,01(

49,8134

546,0 )2()1(

)6(

)6( )6(

;0,91580,9011)3,01(48,8632-49,81343,0)5()1()5()6()6(

49,8134;0,901148,8632)3.01( 1,0816

543.0 )5()5()1(

)2(

)6( )6(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=6, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )3()6(1)6()416()6(1)6()7( FbaFbaYP [ ] 64,1940;1,26540,915849,8134 =⋅+=

Для момента времени t=7 имеем:

8

[ ] [ ]

[ ] [ ] 1,2803.1,2654)6,01(

51,1574

666,0 )3()1(

)7(

)7( )7(

;1,04430,9158)3,01(49,8134-51,15743,0)6()1()6()7()7(

51,1574;0,915849,8134)3.01( 1,2654

663.0 )6()6()1(

)3(

)7( )7(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=7, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )4()7(1)7()417()7(1)7()8( FbaFbaYP [ ] 41,1545;0,78841,044351,1574 =⋅+=

Для момента времени t=8 имеем:

[ ] [ ]

[ ] [ ] 0,7790.0,7884)6,01(

51,7624

406,0 )4()1(

)8(

)8( )8(

;0,91251,0443)3,01(51,174-51,76243,0)7()1()7()8()8(

51,7624;1,044351,1574)3.01( 0,7884

403.0 )7()7()1(

)4(

)8( )8(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=8, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )5()8(1)8()418()8(1)8()9( FbaFbaYP [ ] ,2760;450,85950,912551,7624 =⋅+=

Для момента времени t=9 имеем:

[ ] [ ]

[ ] [ ] 0,8573.0,8595)6,01(

52,5785

456,0 )5()1(

)9(

)9( )9(

;0,88360,9125)3,01(51,7624-52,57853,0)8()1()8()9()9(

52,5785;0,912551,7624)3.01( 0,8595

453.0 )8()8()1(

)5(

)9( )9(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=9, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )6()9(1)9()419()9(1)9()10( FbaFbaYP [ ] ,9022;571,08310,883652,5785 =⋅+=

Для момента времени t=10 имеем:

[ ] [ ]

[ ] [ ] 1,0838.1,0831)6,01(

53,4892

586,0 )6()1(

)10(

)10( )10(

;0,89170,8836)3,01(52,5785-53,48923,0)9()1()9()10()10(

,4892;530,883652,5785)3.01( 1,0831

583.0 )9()9()1(

)6(

)10( )10(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=10, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )7()10(1)10()4110()10(1)10()11( FbaFbaYP [ ] ,6212;691,28030,891753,4892 =⋅+=

Для момента времени t=11 имеем:

9

[ ] [ ]

[ ] [ ] 1,2754.1,2803)6,01(

54,2354

696,0 )7()1(

)11(

)11( )11(

;0,84800,8917)3,01(53,4892-54,23543,0)10()1()10()11()11(

,2354;540,891753,4892)3.01( 1,2803

693.0 )10()10()1(

)7(

)11( )11(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=11, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )8()11(1)11()4111()11(1)11()12( FbaFbaYP [ ] 42,9104;0,77900,848054,2354 =⋅+=

Для момента времени t=12 имеем:

[ ] [ ]

[ ] [ ] 0,7720.0,7790)6,01(

54,7328

426,0 )8()1(

)12(

)12( )12(

;0,74290,8480)3,01(54,2354-54,73283,0)11()1()11()12()12(

,7328;540,848054,2354)3.01( 0,7790

423.0 )11()11()1(

)8(

)12( )12(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=12, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )9()12(1)12()4112()12(1)12()13( FbaFbaYP [ ] ,5611;470,85730,742954,7328 =⋅+=

Для момента времени t=13 имеем:

[ ] [ ]

[ ] [ ] 0,8755.0,8573)6,01(

56,3219

506,0 )9()1(

)13(

)13( )13(

;0,99890,7429)3,01(54,7328-56,32193,0)12()1()12()13()13(

56,3219;0,742954,7328)3.01( 0,8573

503.0 )12()12()1(

)9(

)13( )13(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+ ⋅

=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=13, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )10()13(1)13()4113()13(1)13()14( FbaFbaYP [ ] 62,1332;1,08380,998956,3219 =⋅+=

Для момента времени t=14 имеем:

[ ] [ ]

[ ] [ ] 1,0828.1,0838)6,01(

57,2912

626,0 )10()1(

)14(

)14( )14(

;0,99780,9989)3,01(56,3219-57,29123,0)13()1()13()14()14(

,2912;570,998956,3219)3.01( 1,0838

623.0 )13()13()1(

)10(

)14( )14(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=14, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )11()14(1)14()4114()14(1)14()15( FbaFbaYP [ ] 74,3313;1,2754,9878057,2912 =⋅+=

Для момента времени t=15 имеем:

10

[ ] [ ]

[ ] [ ] 1,2730.1,2754)6,01(

58,2011

746,0 )11()1(

)15(

)15( )15(

;0,96450,9878)3,01(57,2912-58,20113,0)14()1()14()15()15(

58,2011;0,987857,2912)3.01( 1,2754

743.0 )14()14()1(

)11(

)15( )15(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Для t=15, k=1 имеем: [ ] [ ] =⋅⋅+=−+⋅⋅+= )12()15(1)15()4115()15(1)15()16( FbaFbaYP [ ] 45,6770;0,77200,964558,2011 =⋅+=

Для момента времени t=16 имеем:

[ ] [ ]

[ ] [ ] 0,7743.0,7720)6,01(

58,2011

466,0 )12()1(

)16(

)16( )16(

;1,00210,9645)3,01(58,2011-59,29103,0)15()1()15()16()16(

59,2910;0,964558,2011)3.01( 0,7720

463.0 )15()15()1(

)12(

)16( )16(

2 2

33

1 1

=⋅−+⋅=⋅−+⋅=

=⋅−+⋅=⋅−+−⋅=

=+⋅−+⋅=+⋅−+ ⋅

=

F a

Y F

baab

ba F

Y a

αα αα

αα

Занесем полученные данные модели Хольта-Уинтерса в таблицу 4.

2. Проверка точности модели

Оценим точность полученной модели по средней относительной

ошибке аппроксимации:

Таблица 4. Расчётные данные по модели Хольта-Уинтерса

t )(tY )(ta )(tb )(tF )(tYP )()()( tYtYtE P−= %100 )(

)( ⋅

tY

tE

0 44,4300 0,9050 0,7825 1 39 45,3550 0,9110 0,8595 38,9428 0,0572 0,1468 2 50 46,2472 0,9054 1,0816 50,0678 -0,0678 0,1357 3 59 46,8806 0,8238 1,2654 60,1564 -1,1564 1,9600 4 38 47,9619 0,9010 0,7884 37,3284 0,6716 1,7675 5 42 48,8632 0,9011 0,8595 41,9991 0,0009 0,0021 6 54 49,8134 0,9158 1,0831 53,8230 0,1770 0,3278 7 66 51,1574 1,0443 1,2803 64,1940 1,8060 2,7364 8 40 51,7624 0,9125 0,7790 41,1545 -1,1545 2,8863 9 45 52,5785 0,8836 0,8573 45,2760 -0,2760 0,6134

10 58 53,4892 0,8917 1,0838 57,9022 0,0978 0,1687 11 69 54,2354 0,8480 1,2754 69,6212 -0,6212 0,9003 12 42 54,7328 0,7429 0,7720 42,9104 -0,9104 2,1676 13 50 56,3291 0,9989 0,8755 47,5611 2,4389 4,8777 14 62 57,2912 0,9878 1,0828 62,1332 -0,1332 0,2148 15 74 58,2011 0,9645 1,2730 74,3313 -0,3313 0,4478 16 46 59,2910 1,0021 0,7743 45,6770 0,3230 0,7021

Сумма 0,92 20,0549

11

1,25% 16

20,0549

%.100 )(

)( %100

)(

)()(

1 ===

⋅=⋅ −

=

∑ =

N

tY

tE

yY

tYtY

N

i i

P i

δ δ

δ

Так как средняя относительная ошибка аппроксимации меньше 5%, то

условие точности выполнено.

3. Проверка условий адекватности

Оценим адекватность построенной модели. Для оценки адекватности

модели исследуемому процессу нужно, чтобы ряд остатков E(t) обладал

свойствами случайности, независимости последовательных уровней,

нормальности распределения.

Проверку случайностей уровней остаточной компоненты проводим на

основе критерия поворотных точек, сведя промежуточные данные расчётов в

таблице 5.

Таблица 5. Промежуточные расчёты для оценки адекватности модели

t )(tE Точки

поворота 2)(tE )1()( −− tEtE 2))1()(( −− tEtE )1()( −⋅ tEtE

1 0,0572 - 0,0033 - - - 2 -0,0678 0 0,0046 -0,1251 0,0156 -0,0039 3 -1,1564 1 1,3373 -1,0886 1,1850 0,0784 4 0,6716 1 0,4511 1,8281 3,3418 -0,7767 5 0,0009 1 0,0000 -0,6708 0,4499 0,0006 6 0,1770 0 0,0313 0,1761 0,0310 0,0002 7 1,8060 1 3,2617 1,6290 2,6536 0,3197 8 -1,1545 1 1,3329 -2,9605 8,7648 -2,0851 9 -0,2760 0 0,0762 0,8785 0,7717 0,3187

10 0,0978 1 0,0096 0,3739 0,1398 -0,0270 11 -0,6212 0 0,3859 -0,7191 0,5170 -0,0608 12 -0,9104 1 0,8288 -0,2891 0,0836 0,5656 13 2,4389 1 5,9481 3,3493 11,2175 -2,2203 14 -0,1332 0 0,0177 -2,5720 6,6154 -0,3248 15 -0,3313 1 0,1098 -0,1982 0,0393 0,0441 16 0,3230 - 0,1043 0,6543 0,4281 -0,1070

Сумма 0,92 9 13,9026 36,2543 -4,2783

12

Общее число поворотных точек р в данной задаче (см. таблицу 5) равно

9.

Рассчитаем значение q:

[ ] .66,2206int 90

291616 96.1

3

)216(2 int

90

2916 96.1

3

)2(2 int ==

  

 −⋅−−= 

  

 −−−= NNq

Так как p > q, то условие случайностей ряда остатков выполняется,

следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверку независимости уровней ряда остатков (отсутствие

автокорреляции). Проверку проведем двумя методами:

1. По d -критерию Дарбина-Уотсона;

2. По первому коэффициенту автокорреляции r(1).

Рассчитаем d -критерий Дарбина-Уотсона:

1. [ ]

2,6077. 13,9026

36,2543

)(

)1()(

1

2

2

2

== −−

= ∑

=

= N

i

N

i

tE

tEtE d

Расчётное значение находится в интервале от 2 до 4, что свидетельствует

об отрицательной связи. В этом случае его надо преобразовать по формуле

dd −=′ 4 и в дальнейшем использовать d ′ .

1,3923.2,60774 =−=′d

Так как 2 37,12 〈′〈= dd , то уровни ряда остатков являются независимыми.

Следовательно, модель адекватна.

2. [ ]

-0,3077 13,9026

4,2783-

)(

)1()( )1(

1

2

2 == −⋅

= ∑

=

= N

i

N

i

tE

tEtE r

Так как )1(r < 32,0=ТАБr , то уровни ряда остатков независимы.

Проверку соответствия ряда остатков нормальному распределению

выполним по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21:

[ ] ,/

E

MINMAX

S

EE SR

− = где

MAXE - максимальное значение уровней ряда остатков )(tE ,

13

MINE - минимальное значение уровней ряда остатков )(tE ,

ES - среднее квадратическое отклонение.

0,9627; 116

13,9026

1

)( 1

2

= −

= −

= ∑

=

N

tE S

N

i E

[ ] 3,7346.

0,9627

(-1,1564)-2,4389 / ==SR

Так как полученное значение входит в интервал от 3 до 4,21, то уровни

ряда подчиняются нормальному распределению, следовательно, модель по

этому критерию адекватна.

Таким образом, не все условия адекватности выполнены. Следовательно,

нельзя говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности

проведения прогноза показателя )(tYP на четыре квартала вперед.

Построим точечный прогноз на 4 шага вперед:

[ ] [ ] [ ] [ ] .0127,497743,0)0021,142910,59()4416()16(4)16()416()20(

;3045,792730,1)0021,132910,59()4316()16(3)16()316()19(

;3704,660828,1)0021,122910,59()4216()16(2)16()216()18(

;7078,528755,0)0021,12910,59()4116()16(1)16()116()17(

=⋅⋅+=−+⋅⋅+=+=

=⋅⋅+=−+⋅⋅+=+=

=⋅⋅+=−+⋅⋅+=+=

=⋅+=−+⋅⋅+=+=

FbaYY

FbaYY

FbaYY

FbaYY

pp

pp

pp

pP

Отобразим на графике фактические, расчётные и прогнозные данные. Из

графика видно, что расчётные данные хорошо согласуются с фактическими

значениями, что говорит от удовлетворительном качестве прогноза.

14

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10

дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно

выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 6. Исходные данные

Дни Цены

Макс. Мин. Закр. 1 595 580 585 2 579 568 570 3 583 571 578 4 587 577 585 5 586 578 582 6 594 585 587 7 585 563 565 8 579 541 579 9 599 565 599 10 625 591 618

Решение:

Рассчитаем экспоненциальную скользящую среднюю по формуле:

),1(1 KEMAKCEMA ttt −⋅+= −

где tEMA - значение экспоненциальной скользящей средней текущего дня t;

- цена закрытия t- го дня, 1 2

+ =

n K - коэффициент. Интервал сглаживания

n=5.

Тогда коэффициент К будет равен: . 3

1

15

2 = +

=K

Вычислим простую среднюю для первых 5 дней. Получим следующее:

15

,7202.595) 3

1 1(7802.584

3

1 618)1(

,584,5802) 3

1 1(3704.577

3

1 599)1(

577,3704,) 3

1 1(5556.576

3

1 579)1(

576,5556,) 3

1 1(3333,582

3

1 565)1(

582,3333,) 3

1 1(580

3

1 587)1(

580, 5

2900

5

582585578570585

91010

899

788

677

566

5

=−⋅+⋅=−⋅+⋅=

=−⋅+⋅=−⋅+⋅=

=−⋅+⋅=−⋅+⋅=

=−⋅+⋅=−⋅+⋅=

=−⋅+⋅=−⋅+⋅=

==++++=

KEMAKCEMA

KEMAKCEMA

KEMAKCEMA

KEMAKCEMA

KEMAKCEMA

EMA

Экспоненциальная скользящая средняя является индикатором тренда. Из

графика (Рис. 2) видно, что ЕМА пересекает ценовой график в районе 6-8 дня

и идет над графиком цен что является сигналом к продаже.

Рассчитаем момент по следующей формуле:

,nttt CCМОМ −−=

где tМОМ - значение момента текущего дня t, tC - цена закрытия t-го дня,

ntC − - цена закрытия n дней назад. В итоге получим следующие значения

момента:

16

2;585-587166 ==−= CCMOM

36.582-618

14;585-599

1;578-579

-5;570-565

51010

499

388

277

==−= ==−= ==−= ==−=

CCMOM

CCMOM

CCMOM

CCMOM

График момента (Рис. 3) пересекает нулевую линию в районе 6-8 дня,

что является сигналом к продаже.

Рассчитаем скорость изменения цен по следующей формуле:

%,100⋅= −nt

t t C

C ROC

где tROC - значение скорости изменения цен текущего дня t, tC - цена

закрытия t-го дня, ntC − - цена закрытия n дней назад.

100,17%,%100 578

579 %100

99,12%,%100 570

565 %100

,100,34%%100 585

587 %100

3

8 8

2

7 7

1

6 6

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

C

C ROC

C

C ROC

C

C ROC

17

,19%.106%100 582

618 %100

102,39%,%100 585

599 %100

5

10 10

4

9 9

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

C

C ROC

C

C ROC

График ROC (Рис. 4) пересекает уровень 100% в районе 6-8 дня сверху

вниз, что является сигналом к продаже.

Рассчитаем индекс относительной силы по следующей формуле:

, 1

100 100

AD

AV RSI

+ −=

где AV (AD) – сумма приростов (убыли) конечных цен за n дней.

Для этого заполним таблицу.

Дни Цена

закрытия

Повышение

цены

Понижение

цены

Сумма

повышений

Сумма

понижений RSI

Гр.1 Гр.2 Гр.3 Гр.4 Гр.5 Гр.6 Гр.7

1 585

2 570 15

3 578 8

4 585 7

5 582 3

18

6 587 5 20 18 52,6316 7 565 22 20 25 44,4444 8 579 14 26 25 50,9804 9 599 20 39 25 60,9375 10 618 19 58 22 72,5000

Заполним графу 3 и 4:

2-ой день: ⇒〈−=−=− 0 1558557012 СС заполняем графу 4;

3-ий день: ⇒〉=−=− 0 857057823 СС заполняем графу 3;

4-ый день: ⇒〉=−=− 0 757858534 СС заполняем графу 3;

5-ый день: ⇒〈−=−=− 0 358558245 СС заполняем графу 4;

6-ой день: ⇒〉=−=− 0 558258756 СС заполняем графу 3;

7-ой день: ⇒〈−=−=− 0 2258756567 СС заполняем графу 4;

8-ой день: ⇒〉=−=− 0 1456557978 СС заполняем графу 3;

9-ый день: ⇒〉=−=− 0 2057959989 СС заполняем графу 3;

10-ый день: ⇒〉=−=− 0 19599618910 СС заполняем графу 3.

Заполним графу 5:

6-ой день: 8+7+5=20;

7-ой день: 8+7+5=20;

8-ой день: 7+5+14=26;

9-ый день: 5+14+20=39;

10-ый день:5+14+20+19=58.

Заполним графу 6:

6-ой день: 15+3=18;

7-ой день: 3+22=25;

8-ой день: 3+22=25;

9-ый день: 3+22=25;

19

10-ый день: 22.

Заполним графу 7:

6316,52

18

20 1

100 1006 =

+ −=RSI ; 4444,44

25

20 1

100 1007 =

+ −=RSI ;

9804,50

25

26 1

100 1008 =

+ −=RSI ; 9375,60

25

39 1

100 1009 =

+ −=RSI ;

.5.72

22

58 1

100 10010 =

+ −=RSI

Индексы стохастических линий %Rt, %Kt, %Dt рассчитаем по формулам:

; )(

)( 100%

55

5

LH

CH R tt

− ⋅= ;

)(

)( 100%

55

5

LH

LC K tt

− ⋅= .

)(

)( 100%

2 55

2 5

−=

−=

− ⋅=

t

ti

t

ti i

t

LH

LC D

;1481,48 )568595(

)582595( 100% 5 =−

−⋅=R ;8519,51 )568595(

)568582( 100% 5 =−

−⋅=K

;9231,26 )568594(

)587594( 100% 6 =−

−⋅=R ;0769,73 )568594(

)568587( 100% 6 =−

−⋅=K

20

;5484,93 )563594(

)565594( 100% 7 =−

−⋅=R ;4516,6 )563594(

)563565( 100% 7 =−

−⋅=K

.6667,41 84

35 100% 7 =⋅=D

;3019,28 )541594(

)579594( 100% 8 =−

−⋅=R ;6981,71 )541594(

)541579( 100% 8 =−

−⋅=K

.6364,53 110

59 100% 8 =⋅=D

;0 )541599(

)599599( 100% 9 =−

−⋅=R ;100 )541599(

)541599( 100% 9 =−

−⋅=K

.0141,69 1142

98 100% 9 =⋅=D

;3333,8 )541625(

)618625( 100% 10 =−

−⋅=R ;6667,91 )541625(

)541618( 100% 10 =−

−⋅=K

.7179,88 195

173 100% 10 =⋅=D

Ниже на графике (рис. 6) приведены расчётные значения осцилляторов.

21

Задание 3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные,

приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в

виде переменных. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать

соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Сумма Дата начальная

Дата конечная

Время в днях

Время в годах Ставка

Число начислений

S Тн Тк Тдн Тлет i M 4000000 10.01.02 20.03.02 90 5 45 4

3.1. Банк дал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды – Тн, возврата –

Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты

рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды:

К=365 (дней) – количество дней в году;

t= 69 (дней) – количество дней, за которые начисляются проценты;

.)(97.34027345.0 365

69 4000000 рубi

K

t PI =⋅⋅=⋅⋅=

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

К=360 (дней) – количество дней в году;

t= 69 (дней) – количество дней, за которые начисляются проценты;

.)(34500045.0 360

69 4000000 рубi

K

t PI =⋅⋅=⋅⋅=

3.1.3)обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

К=360 (дней) – количество дней в году;

t= 70 (дней) – количество дней, за которые начисляются проценты;

.)(35000045.0 360

70 4000000 рубi

K

t PI =⋅⋅=⋅⋅=

3.2. Через Тн дней после подписания договора должник уплатит S руб.

Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова

первоначальная сумма и дисконт?

22

.)(618.3595505 45.0

360

90 1

4000000

1 руб

i K

t S

P n = ⋅+

= ⋅+

=

.)(382.404494618.35955054000000 рубPSD n =−=−=

3.3. Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк

приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i%

годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму

и дисконт.

.)(3550000)45.0 360

90 1(4000000)1( рубj

K

t PS n =⋅−⋅=⋅−⋅=

.)(45000035500004000000 рубSPD n =−=−=

3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет,

зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определите

наращенную сумму.

.)(25.25638936)45.01(4000000)1( 5 рубiPS nn =+⋅=+⋅=

3.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные,

ставка – i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить

наращенную сумму.

.)(84.33733420) 4

45.0 1(4000000)1( 54 руб

m

i PS mnn =+⋅=+⋅=

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет

проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

5318.01) 4

45.0 1(1)1( 4 =−+=−+= mномэ m

i i или 53,18%

3.7. Определить какой должна быть номинальная ставка при начислении

процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

3894.0)1145.0(4)11( 4 =−+⋅=−+= m эном imi или 38,94%

3.8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее

современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная

ставка i% годовых.

.)(25.624051 )45.01(

4000000

)1( 5 руб

i

S P

n n =

+ =

+ =

23

3.9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел

вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

.)(75.201313)45.01(4000000)1( 5 рубjPS nn =+⋅=−⋅=

.)(25.379868675.2013134000000 рубSPD n =−=−=

3.10. В течение Тлет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает

по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной

годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного

срока.

.)(63.55911644 1)

4

45.0 1(

1) 4

45.0 1(

4000000 1)1(

1)1(

4

54

руб

m

i m

i

PS m

mn

n = −+

−+ ⋅=

−+

−+ ⋅=

24

Список использованной литературы:

1. Финансовая математика: математическое моделирование

финансовых операций: Учеб. пособие / Под ред. В.А. Половникова и А.И.

Пилипенко. - М.: Вузовский учебник, 2004.

2. Финансовая математика: Методические указания по изучению

дисциплины и контрольные задания. Для студентов 4-го курса

специальности 060400 «Финансы и кредит» / ВЗФЭИ. - М.:

Финстатинформ, 2002.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome