Задачи по Финансовой математике, варианты  - упражнение -  Финансовая математика (5), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по Финансовой математике, варианты - упражнение - Финансовая математика (5), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (175.0 KB)
13 страница
1000+количество посещений
Описание
Задачи по Финансовой математике. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Вариант 5.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 13
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по Финансовой математике, вариант 4 - контрольная работа - Финансовая математика

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

К о н т р о л ь н а я р а б о т а

По дисциплине

Финансовая Математика

Тема:

«Задачи по Финансовой математике, вариант 4»

Уфа – 2006 г.

2

ЗАДАЧА 1 Приведены поквартальные данные о кредитах коммерческого банка, выданных на жилищное строительство (в у. е.) за 4 года (всего 16 кварталов, первый столбец соответствует первому кварталу первого года).

Требуется

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0.3, α2=0.6, α3=0.3.

2) Оценить точность построенной модели, вычислив среднюю относительную ошибку аппроксимации.

3) Проверить адекватность построенной модели на основе исследования: - случайности остаточной компоненты по критерию числа точек поворота; - независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10, d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32; - нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями 3 и 4,21. 4) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

РЕШЕНИЕ:

Для построения модели Хольта-Уинтерса проведем основные вычисления в таблице 1, а вспомогательные вычисления в таблице 2. Сначала заполним вспомогательную таблицу. В графу Y(t) вспомогательной таблицы внесем первые 8 значений исходных данных Во вспомогательной таблице 2 для t и Y(t) вычислим средние значения. Проведем вычисления t-tср, Y-Yср, (t-tср)*(Y(t)-Yср), (t-tср)2 и внесем в соответствующие графы таблицы 2 Затем, для вычисленных значений сосчитаем их суммы и перейдем к вычислениям в основной таблице 1.

Таблица 2 (вспомогательная) t Y(t) Yr1(t) t-tsr Y-Ysr (t-tsr)(Y(t)-Ysr) (t-tsr)*(t-tsr)

1 33 38,4167 -3,5 -8,25 28,875 12,25 2 42 39,2262 -2,5 0,75 -1,875 6,25 3 50 40,0357 -1,5 8,75 -13,125 2,25 4 33 40,8452 -0,5 -8,25 4,125 0,25 5 36 41,6548 0,5 -5,25 -2,625 0,25 6 46 42,4643 1,5 4,75 7,125 2,25 7 56 43,2738 2,5 14,75 36,875 6,25 8 34 44,0833 3,5 -7,25 -25,375 12,25

СУММА 0 0 34 42 СР.ЗНАЧ 4,541,25

В столбец Y(t), строки 1-16 основной таблицы внесем исходные данные.

квартал t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Y(t) 33 42 50 33 36 46 56 34 39 50 59 37 44 54 65 40

3

Значения а(0) и b(0) основной таблицы рассчитаем по формулам:

( )( ) ( )∑

∑ −

−− =

−=

20

0 ,*)0(

tcрt

YcрYtcрt b

tcрbYcра

.

Таблица 1(основная)

t Y(t) Yr(t) a(t) b(t) F(t) -3 0,8616 -2 1,0770 -1 1,2715 0 37,60714 0,8095 0,7896 1 33 33,1007 38,3816 0,7990 0,8605 2 42 42,1970 39,1257 0,7825 1,0749 3 50 50,7427 39,733 0,7300 1,2636 4 33 31,9494 40,8621 0,8497 0,8004 5 36 35,8939 41,7488 0,8608 0,8616 6 46 45,7999 42,6654 0,8776 1,0768 7 56 55,0224 43,7751 0,9472 1,2730 8 34 35,7955 44,0493 0,7453 0,7833 9 39 38,5945 44,9358 0,7876 0,8654 10 50 49,2369 45,936 0,8514 1,0838 11 59 59,5610 46,6552 0,8118 1,2680 12 37 37,1797 47,3981 0,7911 0,7817 13 44 41,7020 48,9859 1,0301 0,8851 14 54 54,2083 49,9583 1,0128 1,0821 15 65 64,6295 51,0588 1,0391 1,2710 16 40 40,7241 51,82 0,9557 0,7758

Во вспомогательной таблице вычислим значения Yr1(t). Для этого воспользуемся формулой Yr1(t) =a(0)+t*b(0) Получаем линейную модель Yr1(t) = 37,607 + 0,809t Для визуальной проверки полученных значений построим графики Y(t), Yr1(t). Получим:

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8

Y(t)

Yr1(t)

Для исчисления F(-3) воспользуемся формулой  

  

 +=− )5(1

)5( )1(1

)1( 2 1

)3( Yr

Y

Yr

Y F ,

4

F(-2), F(-1), F(0) рассчитаем по аналогии. В основной таблице 1 a(t), b(t), F(t), и Yr(t) рассчитаем по соответствующим формулам:

))1()1()(1( )4(

)( )( 11 −+−−+−

= tbta tF

tY ta αα

)1()1()1()(()( 33 −−+−−= tbtatatb αα

)4()1( )(

)( )( 22 −−+= tFta

tY tF αα

)41(*)()()1( −++=+ tFtbtatYr

Мы построили мультипликативную модель Хольта-Уинтерса. Теперь проверим нашу модель на точность, качество и адекватность. Для этого все необходимые расчеты проведем в таблице 3. Графы Y(t) и Yr(t) заполним из таблицы 1.

Таблица 3 (проверка точности и адекватности)

t Y(t) Yr(t) E(t) отн. погр. т. Поворота E(t)**2

(E(t)-E(t- 1))**2 E(t)*E(t-1)

1 33 33,1007 -0,1007 0,30528 0,010 2 42 42,197 -0,197 0,46913 0 0,039 0,00927212 0,01985 3 50 50,7427 -0,7427 1,48547 1 0,552 0,29778761 0,14634 4 33 31,9494 1,05056 3,18353 1 1,104 3,21591667 -0,7803 5 36 35,8939 0,10606 0,2946 1 0,011 0,8920936 0,11142 6 46 45,7999 0,20009 0,43499 0 0,040 0,00884308 0,02122 7 56 55,0224 0,97759 1,7457 1 0,956 0,60450593 0,19561 8 34 35,7955 -1,7955 5,28086 1 3,224 7,69000448 -1,7553 9 39 38,5945 0,40548 1,0397 0 0,164 4,84428308 -0,728 10 50 49,2369 0,76308 1,52615 1 0,582 0,12787371 0,30941 11 59 59,561 -0,561 0,95086 1 0,315 1,75320329 -0,4281 12 37 37,1797 -0,1797 0,48573 0 0,032 0,14538275 0,10082 13 44 41,702 2,29805 5,22283 1 5,281 6,13932357 -0,413 14 54 54,2083 -0,2083 0,38581 1 0,043 6,28194789 -0,4788 15 65 64,6295 0,37047 0,56995 1 0,137 0,33501157 -0,0772 16 40 40,7241 -0,7241 1,81013 0,524 1,19796975 -0,2682

СУММ 10 13,01 33,5434191 -4,0242 СРЗНАЧ 1,57442

17 46,71088 18 58,14114 19 69,50804 20 43,16863

Рассчитаем отклонения Е(t) = Y(t) - Yr(t) и квадрат отклонений E(t)2

Относительную погрешность рассчитаем как частное абсолютных значений отклонений Е(t) и фактических значений Y(t) выраженное в процентах. Таким образом, средняя относительная ошибка аппроксимации это есть среднее арифметическое найденных относительных погрешностей.

5

Относительная ошибка аппроксимации равна 1,57 %, она не превышает 5 %, что позволяет сделать вывод о выполнении условия точности. Проверим адекватность модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию числа точек поворота Для этого, каждый уровень ряда Е(t) сравнивается с двумя соседними. Если он больше (меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной. В графе «Точки поворота» будем ставить 1, если точка поворотная и 0 в противном случае. Для наглядности можно ряд Е(t) изобразить графически, экстремумы графика будут соответствовать точкам поворота:

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Вычисляем число точек поворота (в нашем примере их 10) и сравниваем с пороговым значением q.

[ ]90/)2916(23/)2(2 −−−= NNq = 6

Так как p > q, то условие случайности уровней выполнено. • независимости уровней ряда остатков

- по d-критерию

Вычислим величину d-критерия по формуле: [ ]

∑ −− =

2 2

2

)(

)1()(

tE

tEtE d

n

Так как все необходимы значения мы вычислили в таблице 3, то подставив их в формулу, получим, что d-критерий равен 2,57. Так как он больше двух, то имеет место отрицательная автокорреляция и следует уточнить значение d, вычитая его из 4. Получим d' = 1,423. Так как расчетное значение больше 1-ой границы критического интервала и больше 2, проверим независимость по первому коэффициенту автокорреляции. - по первому коэффициенту автокорреляции

Вычислим величину r1 по формуле: [ ]

∑ −× =

2 2

)(

)1()( )1(

tE

tEtE r

n

= - 0,257

Так как Ιr1Ι = 0,257 и он меньше критического уровня r1 = 0,32, теперь можно сделать вывод, что уровни ряда остатков независимы.

6

• нормальности распределения остаточной компоненты

Вычислим величину RS-критерия по формуле: S

EE RS minmax

− = , где S –

среднеквадратическое отклонение, рассчитываемое по формуле: 1

)( 2

− = ∑

N

tE S =0,931

Тогда расчетный RS = 4,395. Табличное значение границ для RS-критерия для N=16 и 5%-ого уровня значимости есть интервал от 3,00 до 4,21 Наше расчетное значение не входит в этот интервал, значит, уровни ряда остатков не подчиняются нормальному распределению. Для вычисления прогнозных значений Yr(t), t=17 рассчитаем по формуле: Yr(17)=(a(16)+(t-16)*b(16))*F(t-4) = 46,71 Yr(18,19,20) рассчитаем аналогично. (см. таблица 3) Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные значения:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Y фактическое

Y расчетное

Y прогнозное

7

ЗАДАЧА 2 Даны цены (максимальная, минимальная, закрытия) за 10 дней. Интервал

сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать: - экспоненциальную скользящую среднюю, - момент, - скорость изменения цен, - индекс относительной силы - %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

РЕШЕНИЕ: Сформируем таблицу исходных данных:

Дни Цены

Макс. Мин. Закр.

1 744 705 709

2 743 675 738

3 750 700 735

4 759 707 751

5 770 740 755

6 776 661 765

7 756 715 720

8 745 685 739

9 758 725 740

10 730 673 678

С помощью Мастера Диаграмм построим биржевую диаграмму для набора из трех значений ( максимальной цены, минимальной цены и цены закрытия)

600 620

640 660

680 700

720 740

760 780

800

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

дни

ц е н ы

max цена

min цена

цена закрытия

СКОЛЬЗЯЩИЕ СРЕДНИЕ: Затем рассчитаем экспоненциальную скользящую среднюю ЕМА по формуле: EMAi=k*Ci+(1-k)*EMAi-1. при i=6,…,10, n=5, k=2/(n+1)=1/3

8

Значение EMA5 принимается равным средней цене закрытия за 1-5 дни. Результаты вычислений занесем в таблицу: Дни Макс. Мин. Закр. ЕМА

1 744 705 709

2 743 675 738

3 750 700 735

4 759 707 751

5 770 740 755 737,60 6 776 661 765 746,73 7 756 715 720 737,82 8 745 685 739 738,21 9 758 725 740 738,81

10 730 673 678 718,54 Построим графики цены закрытия и экспоненциальной средней (в одной системе координат).

620

640

660

680

700

720

740

760

780

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

дни

ц е н ы

цены закрытия ЕМА

ОСЦИЛЛЯТОРЫ: Для вычисления осцилляторов сформируем таблицу и проведем необходимые

вычисления по формулам: MOMi=Ci – Ci-5, 100 5

×= −i

i i C

C ROC (i=6,7,8,9,10), Понижение

и Повышение (i=2,3,…,10) Вычислим при i=6,…,10 AU и AD, где: AUi - суммы повышений за предшествующие 5 дней, ADi - суммы понижений за

предшествующие 5 дней,), RSIi=100- ii ADAU /1

100

+ .

9

Дни MOM ROC Пониж Повыш. AU AD RSI 1 2 29 3 3 4 16 5 4 49 3 94 6 56 108 10 30 3 91 7 -18 98 45 30 45 40 8 4 101 19 33 45 42 9 -11 99 1 30 45 40 10 -77 90 62 20 107 16

Построим графики МОМ, ROC, RSI

-100

-50

0

50

100

150

5 6 7 8 9 10

MOM

ROC

RSI

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ: Для вычисления стохастических линий сформируем таблицу и произведем необходимые вычисления : Н5 – Максимальная цена за 5 дней L5 – Минимальная цена за 5 дней %K=100(Ct - L5)/ (H5 - L5), %R=100(H5 - Ct)/ (H5 - L5) или100−%K (вычисления проводятся при i=5,6,…,10), %D (вычисления проводятся при i=7,8,9,10) равен отношению сумм цена закрытия – минимальная цена и максимальная - минимальная цена за три предшествующих дня.

10

Дни цена

закрытия Макс. Мин.

%K %R %D

1 709 744 705 − 2 738 743 675 − 3 735 750 700

4 751 759 707

5 755 770 740 84,21 15,7895

6 765 776 661 89,11 9,57

7 720 756 715 51,30 48,70 39,07

8 739 745 685 67,83 32,17 31,47

9 740 758 725 68,70 31,30 23,90

10 678 730 673 14,78 85,22 6,89

11

ЗАДАЧА 3 Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные приведенные в таблице.

Сумма Дата

превоначальная Дата

конечная Время в днях

Время в годах

Ставка Число начислений

S Tн Tк Tдн Tлет i m 2000 000 16.01.02 14.03.02 180 4 25 2

РЕШЕНИЕ:

3.1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - Тн, возврата - Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i % годовых. Найти:

1. точные проценты с точным числом дней ссуды; 2. обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; 3. обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Формула расчета процентов по простой процентной ставки S = p(1 + ni), где S – сумма к получению, p – вложенная сумма, i – процентная ставка, n – срок вклада в годах. Таким образом:

1) S = 2000 000*( 1 + 0,25*57/365) = 2078082,19 руб. Следовательно проценты будут равны 2078082,19 – 2000 000= 78082,19 руб. 2) S = 2000 000*( 1 + 0,25*57/360) = 2079166,67 руб. Следовательно проценты будут равны 2079166,67 – 2000 000= 79166, 67 руб. 3) S = 2000000*( 1 + 0,25*59/360) = 2081944,44 руб. Следовательно проценты будут равны 2081944,44 – 2000000= 81944,44 руб.

3.2. Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт? Первоначальную сумму р можно найти из формулы простых процентов:

, где n - срок вклада в годах

Таким образом р = 2000 000/ ( 1 + 180/360 *0,25) = 1777777,78 руб. Сумма дисконта считается как разница между уплаченной в конце и в начале суммой: D = S – P D = 2000000– 1777777,78 = 222222,22 руб

)1( ni

S p

+ =

12

3.3 Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт. Находим сумму дисконта D = Sni, где n - срок вклада в годах, который можно найти как:

D = 2000 000* 180/360 * 0,25 = 250 000 руб. Таким образом, полученная предприятием сумма по векселю составит : Р = S – D = 2000 000 – 250 000 = 1750 000 руб. 3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму. Формула расчета по сложной процентной ставке S = p(1 + i)n, где S – сумма к получению, p – вложенная сумма, i – процентная ставка, n – срок вклада в годах.

Таким образом, сумма к получению составит: S = 2000 000 * (1 + 0,25)4 = 4882812,5 руб Сумма процентов по вкладу составит 4882812,5 – 2000 000 = 2882812,5 руб. 3.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму. Воспользуемся формулой для исчисления номинальной процентной ставки:

где S – сумма к получению, p – вложенная сумма, i(m) – процентная ставка выплачиваемая m раз в год, n – срок вклада

в годах. Таким образом, сумма к получению составит: S = 2000 000 (1 + 0,25/2)2*4 = 5131569,03 руб. Сумма процентов по вкладу составит 5131569,03 - 2000 000 = 3131569,03руб. 3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых. Для вычисления воспользуемся формулой:

360 днTn =

mn m

m

i pS )1(*

)(

+=

1)1( )(

−+= m m

эф m

i i

13

Таким образом, эффективная процентная ставка составит ( 1 + 0,25/2)2 – 1 = 0,2656 или 26,56 %

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых. Преобразуем формулу для исчисления эффективной ставки и получим:

Таким образом, номинальная ставка будет равна 2[(1+0,25)0,5 – 1] = 0,2361 или 23,61 %

3.8. Через Тлет„ предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых. Воспользуемся формулой S = p(1 + i)n для расчета по сложной процентной ставке, и преобразовав её получим формулу:

Таким образом, современная стоимость вклада будет равна: р = 2000 000/ (1 + 0,25)4 = 819200 руб.

3.9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт. Воспользуемся формулами: P = S(1 – d)n и D = S – P, где S – сумма к получению, p – вложенная сумма, d – процентная ставка Получим: Первоначальная сумма составит 2000 000( 1- 0,25)4 = 632812,5 руб. Дисконт равен 2000 000 – 632812,5 = 1367187,5 руб. 3.10. В течение Тлет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i %. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока. Имеем поток платежей постнумерандо, где R = 2000 000 руб. Конечная сумма определяется по формуле: S = RsnΙiэф, где snΙiэф = ((1 + iэф)

n-1) / iэф Эффективную процентную ставку возьмём из задачи 3.6. Она равна 26,56 % Таким образом, получим: S = 2000 000 * ((1+ 0,2656)4-1)/ 0,2656 = руб.

 

  

 −+= 1)1(

1 )( m

эф

m imi

ni

S p

)1( + =

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome