Задачи по Финансовой математике  - упражнение -  Финансовая математика (2), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по Финансовой математике - упражнение - Финансовая математика (2), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (254.3 KB)
23 страница
399количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Финансовая математика. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Часть 2.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 23
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по Финансовой математике, 1 вариант - контрольная работа - Финансовая математика

Министерство Образования Российской Федерации

Всероссийский Заочный Финансово - Экономический Институт

Владимирский филиал

Контрольная работа

По дисциплине

Финансовая математика

Тема:

«Задачи по Финансовой математике, 1 вариант»

Владимир 2006

Задача № 1

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на

жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов,

первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Таблица 1: Данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года

Квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Данные 28 36 43 28 31 40 49 30 34 44 52 33 39 48 58 36

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с уче-

том сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3; α2=0,6; α 3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относи-

тельной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайность остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимость уровня ряда остатков по d-критерию (критическое значение

d1=1,10 и d2=1,37)и по первому коэффициенту автокорреляции при критиче-

ском значении r1=0,32;

• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с

критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет

следующий вид:

[ ] )(*)(*)()( LktFtbktakt −++=+ΥΡ где k – период упреждения;

Yp(t) – расчетное значение экономического показателя (данных по

кредитам)для t-го периода;

a(t),b(t),F(t) – коэффициенты модели (уточняются по мере перехода от

членов ряда с номером t-1к t);

F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для кото-

рого рассчитывается экономический показатель;

L – период сезонности (для квартальных данных L=4)

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффи-

циентов модели производится с помощью формул:

[ ])1()1(*)1()(/)(*)( 11 −+−−+−= tbtaLtFtYta αα [ ] )1(*)1()1()(*)( 33 −−+−+= tbtatatb αα

)(*)1()(/)(*)( 22 LtFtatYtF −−+= αα Исходя из формул, при периоде сезонности L=4, нам потребуется F(-3 ),

F( -2), F(-1), F(0), F(-3) следует понимать, как коэффициент сезонности, отно-

сящийся к первому кварталу предыдущего года.

Параметры сглаживания, по условию, имеют следующие значения: α 1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель:

tbat *)0()0()( +=ΥΡ Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффици-

енты линейного уравнения a(0) и b(0) по следующим формулам:

=

=

−− =

N

t CP

N

t CPСР

tt

ttYtY

b

1

2

1

)(

)(*))(( )0(

CPCP tbYa *)0()0( −=

∑=Υ N

CP tYN 1 )(*

1

∑= N

CP NN t

1

* 1

Применим линейную модель к первым 8 значениям ряда, воспользуемся

для этого приведенными выше формулами.

Промежуточные вычисления приведены ниже в таблице 2:

Таблица 2:Расчетные данные

t Y(t) (Y(t)-YCP) (t-tCP) (t-tCP) 2 (Y(t)-YCP)* (t-tCP) t~2 t*Y(t) Yp0(t)

1 28 -7,63 -3,50 12,25 26,71 1 28 32.59 2 36 0,37 -2,50 6,25 -0,92 4 72 33.46 3 43 7,37 -1,50 2,25 -11,06 9 129 34.33 4 28 -7,63 -0,50 0,25 3,82 16 112 35.2 5 31 -4,63 0,50 0,25 -2,32 25 155 36.07 6 40 4,37 1,50 2,25 6,56 36 240 36.94 7 49 13,37 2,50 6,25 33,43 49 343 37.81 8 30 -5,63 3,50 12,25 -19,71 64 240 38.68 36 285 42,00 36,51 204 1319 285.08

63,35285* 8 1

)(* 1

1

===Υ ∑ N

CP tYN

5,436* 8

1 *

1

1

=== ∑ N

CP NN t

В результате проведенных вычислений

87,0 42

51,36

1

2)(

1 )(*))((

)0( == ∑ =

∑ =

−− =

N

t CP

tt

N

t CP

tt СР

YtY

b

72,315,4*87,063,35*)0()0( =−=−= CPCP tbYa Выше приведенное уравнение с учетом полученных коэффициентов име-

ет вид: tt *87,072,31)( +=ΥΡ . Из этого уравнения находим расчетные значения

)(tΡΥ и сопоставляем их с фактическими значениями (результаты приведены ниже в таблице 3):

Таблица 3: сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений YP(t)

t 1 2 3 4 5 6 7 8 Y(t) 28 36 43 28 31 40 49 30 YP(t) 32,59 33,46 34,33 35,2 36,07 36,94 37,81 38,68

Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэф-

фициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1), и F(0) для года, пред-

шествующего первому году, по которому имеются данные. Эти значения необ-

ходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3) и

других параметров модели Хольта-Уинтерса.

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения эконо-

мического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэто-

му в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить

отношение фактических и расчетных значений )(tΥ I квартала первого года, равное Y(1)/YP(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V

квартал t=5) Y(5)/YP(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэф-

фициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение

этих двух величин. Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для

II, III, IV кварталов.

F(-3)=[Y(1)/YP(1)+Y(5) /YP(5)]/2=[28/32,59+31/36,07]/2=0,8593

F(-2)=[Y(2)/YP(2)+Y(6) /YP(6)]/2=[36/33,46+40/36,94]/2=1,0794

F(-1)=[Y(3)/YP(3)+Y(7) /YP(7)]/2=[43/34,33+49/37,81]/2=1,2743

F( 0)=[Y(4)/YP(4)+Y(8) /YP(8)]/2=[28/35,20+30/38,68]/2=0,7855

Оценив значения a(0) и b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно пе-

рейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.

Используя выше приведенные уравнения построим модель Хольта- Уинтерса.

Таблица 4: Модель Хольта-Уинтерса

t Y(t) a(t) b(t) F(t) YP(t) Абсолютная погрешность,

Е(t)

Относительная погрешность,

в % 1 2 3 4 5 6 7 8 0 31,72 0,87 0,7855 1 28 32,59 0,87 0,8592 28,00 0,00 0,00 2 36 33,43 0,86 1,0780 36,11 -0,11 0,32 3 43 34,12 0,81 1,2658 43,69 -0,69 1,61 4 28 35,15 0,88 0,7922 27,44 0,56 2,00 5 31 36,04 0,88 0,8598 30,95 0,05 0,15 6 40 36,98 0,90 1,0803 39,80 0,20 0,50 7 49 38,12 0,97 1,2775 47,94 1,06 2,16 8 30 38,73 0,86 0,7816 30,97 -0,97 3,24 9 34 39,58 0,86 0,8594 34,04 -0,04 0,12

10 44 40,52 0,88 1,0836 43,68 0,32 0,73 11 52 41,20 0,82 1,2683 52,90 -0,90 1,73 12 33 42,08 0,84 0,7832 32,84 0,16 0,47 13 39 43,66 1,06 0,8797 36,88 2,12 5,43 14 48 44,59 1,02 1,0793 48,46 -0,46 0,95 15 58 45,65 1,03 1,2697 57,86 0,14 0,25 16 36 46,47 0,97 0,7781 36,56 -0,56 1,56

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффици-

ентов модели производится по формулам:

at = 1111 )1( −− −

+−+ tt Lt

t ba F

y αα

bt = 1313 )1()( −− ⋅−+− ttt baa αα

Ft = Lt t

t F a

y −⋅−+ )1( 22 αα

Значения параметров сглаживания согласно значению таковы: α 1 = 0,3; α 2 =

0,6; α 3 = 0,3.

Тогда для момента времени t=0, к=1, имеем:

yр1 = (a0 +1 b0) F0+1-4 = (31,715+1*0,869)*0,859=27,99

При моменте времени t=1, имеем:

а1 = 546.32)869.0715.31(7,0 859,0

28 3,0))(1( 001

3

1 1 =++=+−+

ba F

y αα

b1 = 858,0869,07,0)715,31546,32(3,0)1()( 03013 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F1 = 853,0859,04,0 546.32

28 6,0)1( 32

1

1 2 =⋅+⋅=⋅−+ −Fa

y αα

Для t=1, к=1, имеем

yр2 = (a1 +1 b1) F-2 = (32,546+1*0,858)*1,080=36,076

Для момента времени t=2, имеем

а2 = 383,33)858,0546,32(7,0

080,1

36 3,0))(1( 111

2

2 1 =++=+−+

ba F

y αα

b2 = 852,0858,07,0)546,32383,33(3,0)1()( 13123 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F2 = 079,1080,14,0 383,33

36 6,0)1( 22

2

2 2 =⋅+⋅=⋅−+ −Fa

y αα

Для t=2, к=1, имеем

yр3 = (a2 +1 b2) F-1 = (33,383+1*0,852)*1,275=43,650

Для момента времени t=3, имеем

а3 = 082,34)852,0383,33(7,0 275,1

43 3,0))(1( 221

1

3 1 =++=+−+

ba F

y αα

b3 = 806,0852,07,0)383,33082,34(3,0)1()( 23233 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F3 = 267,1275,14,0 082,34

43 6,0)1( 12

3

3 2 =⋅+⋅=⋅−+ −Fa

y αα

Для t=3, к=1, имеем

yр4 = (a3 +1 b3) F0 = (34,082+1*0,806)*0,786=27,422

Для момента времени t=4, имеем

a4 = 109,35)806,0082,34(7,0 786,0

28 3,0))(1( 331

0

4 1 =++=+−+ baF

y αα

b4 = 872,0806,07,0)082,34109,35(3,0)1()( 33343 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F4 = 793,0786,04,0 109,35

28 6,0)1( 02

4

4 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Для t=4, к=1, имеем

yр5 = (a4 +1 b4) F1 = (35,109+1*0,872)*0,853=30,692

Для момента времени t=5, имеем

a5 = 089,36)872,0109,35(7,0 853,0

31 3,0))(1( 441

1

5 1 =++=+−+ baF

y αα

b5 = 904,0872,07,0)109,35089,36(3,0)1()( 43453 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F5 = 857,0853,04,0 089,36

31 6,0)1( 12

5

5 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Для t=5, к=1, имеем

yр6 = (a5 +1 b5) F2 = (36,089+1*0,904)*1,079=39,915

Для момента времени t=6, имеем

а6 = 017,37)904,0089,36(7,0 079,1

40 3,0))(1( 551

2

6 1 =++=+−+ baF

y αα

b6 = 911,0904,07,0)089,36017,37(3,0)1()( 53563 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F6 = 080,1079,14,0 017,37

40 6,0)1( 22

6

6 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Для t=6, к=1, имеем

yр7 = (a6 +1 b6) F3 = (37,017+1*0,911)*1,267=48,055

Для момента времени t=7, имеем

a7 = 152,38)911,0017,37(7,0 267,1

49 3,0))(1( 661

3

7 1 =++=+−+ baF

y αα

b7 = 978,0911,07,0)017,37152,38(3,0)1()( 63673 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F7 = 277,1267,14,0 152,38

49 6,0)1( 32

7

7 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Для t=7, к=1, имеем

yр8 = (a7 +1 b7) F4 = (38,152+1*1,277)*0,872=34,382

Для момента времени t=8, имеем

а8 = 712,37)978,0152,38(7,0 872,0

30 3,0))(1( 771

4

8 1 =++=+−+ baF

y αα

b8 = 553,0978,07,0)152,38712,37(3,0)1()( 73783 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F8 = 826,0872,04,0 712,37

30 6,0)1( 42

8

8 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Для t=8, к=1, имеем

yр9 = (a8 +1 b8) F5 = (37,712+1*0,553)*0,857=32,793

Для момента времени t=9, имеем

a9 = 687,38)553,0712,37(7,0 857,0

34 3,0))(1( 881

5

9 1 =++=+−+ baF

y αα

b9 = 680,0553,07,0)712,37687,38(3,0)1()( 83893 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F9 = 870,0857,04,0 687,38

34 6,0)1( 52

9

9 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Для t=9, к=1, имеем

yр10 = (a9 +1 b9) F6 = (38,687+1*0,680)*1,080=42,516

Для момента времени t=10, имеем

a10 = 779,39)68,0687,38(7,0 080,1

44 3,0))(1( 991

6

10 1 =++=+−+ baF

y αα

b10 = 803,068,07,0)687,38779,39(3,0)1()( 939103 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F10= 096,1080,14,0 779,39

44 6,0)1( 62

10

10 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Для t=10, к=1, имеем

yр11 = (a10 +1 b10) F7 = (39,779+1*0,803)*1,277=51,823

Для момента времени t=11, имеем

a11 = 624,40)803,0779,39(7,0 277,1

52 3,0))(1( 10101

7

11 1 =++=+−+ baF

y αα

b11 = 816,0803,07,0)779,39624,40(3,0)1()( 10310113 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F11= 279,1277,14,0 624,40

52 6,0)1( 72

11

11 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Для t=11, к=1, имеем

yр12 = (a11 +1 b11) F8 = (40,624+1*0,816)*0,826=34,229

Для момента времени t=12, имеем

a12 = 993,40)816,0624,40(7,0 826,0

33 3,0))(1( 11111

8

12 1 =++=+−+ baF

y αα

b12 = 682,0816,07,0)624,40993,40(3,0)1()( 11311123 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F12= 813,0826,04,0 993,40

33 6,0)1( 82

12

12 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Для t=12, к=1, имеем

yр13 = (a12 +1 b12) F9 = (40,993+1*0,682)*0,870=36,257

Для момента времени t=13, имеем

a13 = 621,42)682,0993,40(7,0 870,0

39 3,0))(1( 12121

9

13 1 =++=+−+ baF

y αα

b13 = 966.0682,07,0)993,40621,42(3,0)1()( 12312133 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F13= 897,0870,04,0 621,42

39 6,0)1( 92

13

13 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Для t=13, к=1, имеем

yр14 = (a13 +1 b13) F10 = (42,621+1*0,966)*1,096=47,771

Для момента времени t=14, имеем

a14 = 650,43)966,0621,42(7,0 096,1

48 3,0))(1( 13131

10

14 1 =++=+−+ baF

y αα

b14 = 985,0966,07,0)621,42650,43(3,0)1()( 13313143 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F14= 098,1096,14,0 650,43

48 6,0)1( 102

14

14 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Для t=14, к=1, имеем

yр15 = (a14 +1 b14) F11 = (43,650+1*0,985)*1,279=55,848

Для момента времени t=15, имеем

a15 = 849,44)985,0650,43(7,0 279,1

58 3,0))(1( 14141

11

15 1 =++=+−+ baF

y αα

b15 = 049,1985,07,0)650,43849,44(3,0)1()( 14314153 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F15= 286,1279,14,0 849,44

58 6,0)1( 112

15

15 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Для t=15, к=1, имеем

yр16 = (a15 +1 b15) F12 = (44,849+1*1,049)*0,813=37,315

Для момента времени t=16, имеем

a16 = 413,45)049,1849,44(7,0 813,0

36 3,0))(1( 15151

12

16 1 =++=+−+ baF

y αα

b16 = 903,0049,17,0)849,44413,45(3,0)1()( 15315163 =⋅+−=⋅−+− baa αα

F16= 801,0813,04,0 413,45

36 6,0)1( 122

16

16 2 =⋅+⋅=⋅−+ Fa

y αα

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда Е(t)

(разности Y(t)-YP(t) между фактическими и расчетными значениями экономи-

ческого показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности

и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 5.

Таблица 5: Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t Отклонение,

E(t) Точка

поворота Е(t)2 E(t)-E(t-1) [E(t)-E(t-1)]2 E(t)*E(t-1)

1 2 3 4 5 6 7 1 0,00 хххх 0,00 2 -0,11 0 0,01 0,11 0,01 0,00 3 -0,69 1 0,48 0,58 0,33 0,08 4 0,56 1 0,31 -1,25 1,56 -0,39 5 0,05 1 0,00 0,51 0,26 0,03 6 0,20 0 0,04 -0,15 0,02 0,01 7 1,06 1 1,12 -0,86 0,74 0,21 8 -0,97 1 0,94 2,03 4,13 -1,03 9 -0,04 0 0,00 -0,93 0,87 0,04

10 0,32 1 0,10 -0,36 0,13 -0,01 11 -0,90 1 0,81 1,22 1,48 -0,29 12 0,16 0 0,02 -1,05 1,11 -0,14 13 2,12 1 4,48 -1,96 3,85 0,33 14 -0,46 1 0,21 2,57 6,62 -0,96 15 0,14 1 0,02 -0,60 0,36 -0,07 16 -0,56 хххх 0,32 0,71 0,50 -0,08

Итого 0,87 10 8,88 0,56 21,98 -2,27

Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная по-

грешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактиче-

ское значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем

не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составля-

ет 21,23, что дает среднюю величину 21,23/16=1,33%. Оценим точность нашей

модели по средней относительной ошибки аппроксимации.

%100⋅= t

t t y

εδ

32,0 16

116.51 === ∑

=

n

n

i tδ

δ - 3,2%

Так как средняя относительная ошибка аппроксимации меньше 5%, то усло-

вие точности выполнено.

Проверка условий адекватности.

Для того чтобы модель была адекватной исследуемому процессу, ряд

остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости после-

довательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверка случайности уровней остаточ-

ной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого

каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (ли-

бо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3

таблицы 5 для этой строки ставится 1, в противном случае в графе 3 ставится 0.

В первой и последней строке графы 3 таблицы 5 ставится прочерк или иной

знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно p=10. Расчетное

значение q:

6]16,6int[.]18,333,9int[.]90/22723/28int[.

90/)291616(23/)216(2int[.]90/)2916(23/)2(2int[.

==−=−=

=−×−−×=−×−−×= NNq

Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности

выполнено. В нашем случае p=10, q=6, значит условие случайности уровней

ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствие автокорреля-

ции). Проверку проводим двумя методами:

- по d-критерию Дарбина-Уотсона

- по первому коэффициенту автокорреляции r(1)

48,2 88,8

98,21

)(

)]1()([

1

2

2

2

== −−

= ∑

N

N

tE

tEtE d

Т.к. полученное значение больше 2,значит имеет место отрицательная ав-

токорреляция. В таком случае величину d уточняют, вычитая полученное зна-

чение из 4. d=4-2,48=1,52. В нашем случае d1=1,10, а d2=1,37. Т.к. в нашем слу-

чае d2<d<2 (1,37<1,52<2), следовательно, уровни ряда остатков ряда E(t) неза-

висимы.

06,0 88,8 56,0

)(

)]1()([ )1(

1

2

2 == −−

= ∑

N

N

tE

tEtE r

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорре-

ляции меньше критического значения | r(1) | < rтаб , то уровни ряда остатков не-

зависимы. Для нашей задачи критический уровень rтаб= 0,32.

Имеем: | r(1) |=0,06 < rтаб= 0,32 – значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению

определяем по RS – критерию. Рассчитаем значение RS:

RS=(Emax – Emin)/S,

где Emax – максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

Emin –минимальное значение уровней ряда остатков E(t) (графа 2, таблица 5);

S – среднее квадратическое отклонение.

Emax = 2,12; Emin = - 0,97; Emax - Emin = 2,12 – (-0,97) = 3,09

77,0 15

88,8 1

)( 2 ==

− = ∑

N

tE S

RS=(Emax – Emin)/S=3,09/0,77=4,01

Полученное значение RS сравнивают с табличными значениями, которые

зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N= 16 и 5% уровня

значимости значение RS для нормального распределения должно находится в

интервале от 3,00 до 4,21.

Так как 3,00<4,01<4,21 полученное значение RS попало в заданный ин-

тервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределе-

нию.

Таким образом все условия адекватности и точности выполнены. Следо-

вательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возмож-

ности проведения прогноза показателя YP(t) на четыре квартала вперед.

Расчет прогнозных значений.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год с t=17 по t=20).

Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты

a(t), b(t) определяются количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав

значения a(16), b(16) можно определить прогнозные значения экономического

показателя YP(t). Для t=17

YP(17)=YP(16+1)=[a(16)+1*b(16)]*F(16-+1-4)=[a(16)+1*b(16)]*F(13)=

[46,47+1*0,97]* 0,8797=41,73

Аналогично находим YP(18), YP(19), YP(20):

YP(18)=YP(16+2)=[a(16)+2*b(16)]*F(16-+2-4)=[a(16)+2*b(16)]*F(14)=

[46,47+2*0,97]* 1,0793=52,23

YP(19)=YP(16+3)=[a(16)+3*b(16)]*F(16-+3-4)=[a(16)+3*b(16)]*F(15)=

[46,47+3*0,97]* 1,2697=62,70

YP(20)=YP(16+4)=[a(16)+4*b(16)]*F(16-+4-4)=[a(16)+1*b(16)]*F(16)=

[46,47+4*0,97]* 0,7781=39,18

Рисунок 1: сопоставление расчетных и фактических данных

На выше приведенном рисунке 1 проводится сопоставление фактических

и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1

год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с

фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

25

30

35

40

45

50

55

60

65

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

к р е д и т ы

о т к о м м е р ч е с к о го

б а н к а н а

ж и л и щ н о е с т р о и т е л ь с т в о

в у

.е .

квартал

сопоставление расчетных и фактических данных

фактические данные расчетные значения

Задача № 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10

дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно вы-

полнить на основании имеющихся данных.

Таблица 6: Данные о ценах (максимальная, минимальная и закрытия)

Дни Цены

максимальная минимальная закрытия 1 998 970 982 2 970 922 922 3 950 884 902 4 880 823 846 5 920 842 856 6 889 840 881 7 930 865 870 8 890 847 852 9 866 800 802

10 815 680 699

Решение:

Расчет простой скользящей средней производится по следующей форму- ле:

n tCtCntCntCMA

+−+++−++−= 121 K

где Сt – цена закрытия в момент времени t.

Вычислив МА для первых пяти дней. Запишем полученный результат в

графы 3 и 4 за пятый день таблицы 7.

Рассчитаем экспоненциальную скользящую средную по формуле: )1(1 KtEMAKtCЕМА −⋅−+⋅=

где 1

2 +

= n

K

Результаты расчетов простой скользящей средней и экспоненциальной

скользящей средней представлены ниже в таблице 7. График экспоненциаль-

ной скользящей средней представлен на рисунке 2.

Рисунок 2: Экспоненциальная скользящая средняя.

Рассчитаем момент по формуле:

ntCtCMOM −−=

Результаты расчетов момента представлены ниже в таблице 7. График

момента представлен на рисунке 3.

Движение графика момента вверх из зоны отрицательных значений явля-

ется слабым сигналом до пересечения с нулевой линией. Начиная с 9 дня гра-

фик момента опять направлен вниз в зону отрицательных значений, что свиде-

тельствует о снижении цен.

780,00

800,00

820,00

840,00

860,00

880,00

900,00

920,00

4 5 6 7 8 9 10 11

ц е н а

дни

экспоненциальная скользящая средняя

экспоненциальная скользящая средняя

Рисунок 3: График момента.

Скорость изменения цен (ROCt). Это похожий на МОМ индикатор, ко-

торый расчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n

дней тому назад: %100⋅ −

= ntC

tC tROC .

Результаты расчетов скорости изменения цены представлены ниже в таб-

лице 7. График скорости изменения цены представлен на рисунке 4.

ROCt является отражением скорости изменения цены, а также указывает

направление этого изменения. В качестве нулевой линии используется уровень

100%.

Рисунок 4: График скорости изменения цен.

Индекс относительной силы (RSI). Для его расчета применяют следую-

щую формулу:

-185

-165

-145

-125

-105

-85

-65

-45

-25

-5 4 5 6 7 8 9 10 11

м о м е н т

дни

момент

момент

78,00

83,00

88,00

93,00

98,00

103,00

4 5 6 7 8 9 10 11

R O

C

дни

скорость изменения цен

скорость изменения цен

Рисунок 5: график индекса относительной силы.

AD AU

RSI +

−= 1

100100

где AU – сумма приростов конечных цен за n дней

AD – сумма убыли конечных цен за n дней.

Результаты расчетов индекса относительной силы представлены ниже в

таблице 7. График индекса относительной силы представлен на рисунке 5.

Таблица 7: Расчетные значения

дни цены Расчетные данные

максима льная

минима льная

закрытия МА ЕМА МОМ ROC Прирост Убыль AU AD AU/AD RSI

1 998 970 982 2 970 922 922 -60 3 950 884 902 -20 4 880 823 846 -56 5 920 842 856 901,60 901,60 -126 87,17 10 10 -136 0,07 6,54 6 889 840 881 881,40 894,80 -41 95,55 25 35 -136 0,26 20,63 7 930 865 870 871,00 886,62 -32 96,45 -11 35 -87 0,40 28,57 8 890 847 852 861,00 875,19 6 100,71 -18 35 -85 0,41 29,08 9 866 800 802 852,20 851,04 -54 93,69 -50 35 -79 0,44 30,56 10 815 680 699 820,80 800,87 -182 79,34 -103 25 -182 0,14 12,28

Стохастические линии (%К, %R и %D). Стохастические линии строятся

не только на основании цен закрытия но и с использованием максимальной и

минимальной цены.

)55(

)5(100% LH

LtC tK

− ⋅= ;

)55(

)5(100% LH

tCH tR

− ⋅= ; 100

2 )55(

2 )5(

% ⋅ ∑ −=

∑ −=

− = t

ti LH

t

ti LtC

D

где Ct - цена закрытия; L5 – значение минимальной цены за 5 предшествующих дней; H5 – значение максимальной цены за 5 предшествующих дней.

6,00

11,00

16,00

21,00

26,00

31,00

4 5 6 7 8 9 10 11

R S

I

Дни

индекс относительной силы

индекс относительной силы

Смысл индексов %К и %R состоит в том, что при росте цен цена закры-

тия бывает ближе к максимальной, а при падении цен наоборот – ближе к ми-

нимальной. Индексы %К и %R проверяют куда больше тяготеет цена закрытия.

Все расчеты приведены ниже в таблице 8.

Таблица 8: Расчетные данные

Дни t

Макси- маль- ная цена за день Н(t)

Мини- маль- ная цена за день L(t)

Це- на за- кры- тия, С(t)

Макси- маль- ная цена за 5 дней ,Н(5)

Мини- маль- ная цена за 5 дней, L(5)

Гр.4 ми- нус Гр.6 C(t)- L(5)

Гр.5 минус Гр.4 H(5)- C(t)

Гр.5 ми- нус Гр.6 Н(5) -L(5)

(Гр.7 / Гр.9 ) * 100% %K

(Гр.8 / Гр.9 ) * 100% %R

Сум- ма за 3 дня Гр.7

Сумма за 3 дня Гр.8

(Гр.12 /Гр.13 ) * 100% %D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 998 970 982

2 970 922 922

3 950 884 902

4 880 823 846

5 920 842 856 998 823 33 142 175 18,86 81,14

6 889 840 881 970 823 58 89 147 39,46 60,54

7 930 865 870 950 823 47 80 127 37,01 62,99 138 449 30,73

8 890 847 852 930 823 29 78 107 27,10 72,90 134 381 35,17

9 866 800 802 930 800 2 128 130 1,54 98,46 78 364 21,43

10 815 680 699 930 680 19 231 250 7,60 92,40 50 487 10,27

На рисунке 6 изображен график стохастических линий.

Рисунок 6:Стохастические линии.

Вывод: в данной задаче в пятый, девятый и десятый дни стохастическая линия %К находится в верхней критической зоне, а %R – в нижней критической зоне, что свидетельствует о перекупленности и рекомендуется воздержаться от по- купки в течение 5,9,10 дней; выход в 6,7,8 дни %К и %R из критической зоны является сигналом к продаже в 6,7,8 дни.Сигнал является достаточно сильным, так как подтверждается стохастической линией %D, которая находится в верх- ней критической зоне.

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00

100,00

4 5 6 7 8 9 10 11

дни

Стохастические линии

%K

%R

%D

Задача № 3.

Выполнять различные коммерческие расходы, используя данные, приве-

денные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде

переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлет – время

в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необ-

ходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выпол-

нить расчеты.

Сумма Наращ.сум ма,руб.

Дата начальная

Дата конечная

Время в днях Время в го-

дах Ставка

Число начислений

P S Тн Тк Тдн n i m

10000000 500000 23.01.2009 17.03.200

9 180 2 8.0 12

1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды – Тн, возврата – Тк.

День выдачи и день возврата считать за один день. Проценты рассчитываются

по простой процентной ставке i% годовых. Найти:

1.1. точные проценты с точным числом дней ссуды;

1.2. обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

1.3. обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

2. Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит

выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сум-

ма и дисконт?

3. Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S рублей. Банк

приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i %

годовых (год равен 360 дней).

4. В кредитном договоре на сумму S рублей и сроком на Тлет лет, зафиксирова-

на ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную

сумму.

5. Ссуда, размером S рублей предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка

i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную

сумму.

6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m

раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении про-

центов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S рублей. Определить ее со-

временную стоимость при условии, что применяется сложная процентная став-

ка i% годовых.

9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S рублей. Банк учел

вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

10. В течение Тлет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S

рублей, которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой став-

ке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение.

1.1. Рассчитаем точные проценты с точным числом дней ссуды

K tn =

K tiP

inPI ⋅⋅=⋅⋅= ,

где n - срок ссуды; K – число дней в году; i – процентная ставка; t – срок операции (ссуды) в днях;

Р – размер ссуды;

К = 365, t = 53 (с 23.01.2009 по 17.03.2009)

22,5808 365

5308,0500000 =⋅⋅=⋅⋅= K

tiPI

1.2. Рассчитаем обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

K tn =

K tiP

inPI ⋅⋅=⋅⋅= ,

где n - срок ссуды; K – число дней в году; i – процентная ставка; t – срок операции (ссуды) в днях;

Р – размер ссуды;

К = 360, t = 53 (с 23.01.2009 по 17.03.2009)

89,5888 360

5308,0500000 =⋅⋅=⋅⋅= K

tiPI

1.3. Рассчитаем обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

K tn =

K tiP

inPI ⋅⋅=⋅⋅= ,

где n - срок ссуды; K – число дней в году; i – процентная ставка; t – срок операции (ссуды) в днях;

Р – размер ссуды;

К = 360, t = 54

6000 360

5408,0500000 =⋅⋅=⋅⋅= K

tiPI

2. Рассчитаем первоначальную сумму по формуле: )1( in

S P

⋅+ =

23,480769

360

18008,0 1

500000 )1(

=⋅+ =

⋅+ =

in SP руб.

Найдем дисконт: PSD −=

77,1923062,9615384500000 =−=−= PSD

3. Определим полученный предприятием дисконт по формуле: dnSD ⋅⋅=

20000 360

18008,0500000 =⋅⋅=⋅⋅= dnSD руб.

Сумма, полученная предприятием, равна: DSP −=

480000400000500000 =−=−= DSP руб.

4. Определим наращенную сумму по формуле:

niPS )1( +⋅=

5832002)08,01(500000)1( =+⋅=+⋅= niPS руб.

5. Рассчитаем наращенную сумму: n m jPS )1( +⋅=

Всего начислений за 4 года: 2 12

2*12 ==N

97,5864432) 12

08,0 1(500000)1( =+⋅=+⋅= n

m j

PS руб

6. Вычислим эффективную ставку процента: 11 −+=  

  

m

m j

эi

3,81 12

12

08,0 111 =−+=−+= 

  

  

  

m

m j

эi

7. Определим номинальную ставку процента.

( )  

  

 −+⋅= 111 mэimj

( ) 0772,0112 1

)08,01(121 1

1 =−+⋅=−+⋅=  

 

 

  

mэimj , т.е. 7,72%.

8. Найдем современную стоимость.

( ) ( ) niSni

SP −+⋅= +

⋅= 1 1

1

( ) 41,4286692)08,01(5000001 =−+⋅=−+⋅= niSP

9. Рассчитаем дисконт.

( )nслdSP −⋅= 1 ( ) 4232002)08,01(5000001 =−⋅=−⋅= nслdSP руб.

768008464000500000 =−=−= PSD

10. Определим сумму на расчетном счете к концу 5 лет.

11

11

−+

−+ ⋅=

 

  

 

  

m

m j

mn

m j

RS

75,1041499 13,0

27,0 500000

1 12

12

08,0 1

1 212

12

08,0 1

500000

11

11 =⋅=

−+

− ⋅

+ ⋅=

−+

−+ ⋅=

 

  

 

  

 

  

 

  

m

m j

mn

m j

RS руб.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome