Задачи - упражнение - Теория вероятностей и математическая статистика (5), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи - упражнение - Теория вероятностей и математическая статистика (5), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (148.9 KB)
2 страница
374количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету математика. Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Часть 5.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
Кратний конспект по теории вероятностей и матстатистике - конспект - Теория вероятностей и математическая статистика

1 Основы дифференциального

исчисления . Понятие производной.

∆X=X1-X – приращение аргумента. ∆f(X)=f(X+∆X)-f(X) – приращение функции. Пример:Определение: Произв. функ. f(x) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. к приращению аргум., когда последнее стремится к 0. Геометрический смысл производной.

xx x

xxx

x

xxx x

x

xfxxf

x

xf xf

xx

xx

202

)2( lim

)( lim)'(

)()( lim

)( lim)('

0

22

0

2

00

=+=

= ∆

∆+∆= ∆

−∆+=

∆ −∆+∆=

∆ ∆=

→∆→∆

→∆→∆

Ку.к. – угловой коэф. касательной. Ксек – угловой коэф. секущей.

)(' )(

limlim

)(

00 .. xfx

xf KK

x

xf tgK

x сек

x ку

cekсек

= ∆

∆==

∆ ∆==

→∆→∆

ϕ

Таким образом угловой коэффициент касательной совпадает со значение производной в данной точке. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке М0 (x0,y0) имеет вид: )()(' 000 xxxfyy −⋅=− Физический смысл производной. S(t) – путь за данное время.

∆S(t) – приращение пути. ∆S(t)/ ∆t –средняя скорость на участке. мгновен. скорость на участке:

)()(lim )(

lim 00

tUtU t

tS cp

tt ==

∆ ∆=

→∆→∆

произв. пути от скорости: S'(t)=U(t) Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией. Функция наз. диферинцируемой если она имеет производную. Если функция диффер. в точке х, то она и непрерывна в этой точке. Доказательство:

непрерывнаxfxf

xxxxfxf

xxxf x

xf x

xf xf

x

x

−⇒=+=∆ ∆∆+∆=∆

→∆∆=− ∆

∆ ∆

∆=∃

→∆

→∆

)(000)(lim

)()(')(

0,)()(' )(

)( lim)('

0

0

α

αα

2 Правила дифференцирования

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то: ( ) ( ) ( )

)(

)(')()()('

)(

)(

)(')(

)(')()()(')()(

)(')(')()(

2

'

'

'

'

xg

xgxfxgxf

xg

xf

xcfxcf

xgxfxgxfxgxf

xgxfxgxf

⋅−⋅= 

  

=

⋅+⋅=⋅

+=+

Доказательство 2-го правила. ( )

( )

)(')()()(' )()(

)()( )()(

lim

)()()()(

)()()()( lim

)()()()( lim

)()(

0

0

0

'

xgxfxgxf x

xgxxg

xfxxg x

xfxxf x

xgxfxxgxf x

xxgxfxxgxxf x

xgxfxxgxxf

xgxf

x

x

x

+= ∆

−∆+⋅

⋅+∆+⋅ ∆

−∆+=

= ∆

−∆++ ∆

+∆+−∆+∆+=

= ∆

−∆+∆+=

=⋅

→∆

→∆

→∆

Теорема о произв. сложной функции. Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x). Доказательство:

)(')(')('0)(')('

0

0 )()('lim

)()(' lim

))(( lim)('

0

00

xuufxuxuuf

u

x

x

u u

x

u uf

x

uuuuf

x

xuf xy

x

xx

⋅+⋅+⋅=

= 

  

→∆ →∆

= ∆ ∆∆+

∆ ∆

= ∆

∆∆+∆= ∆

∆=

→∆

→∆→∆

α

α

Рассмотрим f(x) в задан. промеж.: [a,b]. g(y): [f(a),f(b)] – наз. обратной к f(x), если g(f(x))=x, для любого ∀ X ∈[a,b] f(g(y))=y, для любого у ∈[f(a),f(b)] y=sin x [-π/2, π/2], тогда x=arcsin y, y∈[1,1] sin arcsin y = y; arcsin * sin x=x

Теорема о произв. обратной функции.

)('limlim 1

lim )('

1

:

)('

1 )(',0)('_

000 yx

y

x

y

x

x

y

xy

ствоДоказатель

xy yxтоxyЕсли

yxx =

∆ ∆

= ∆ ∆

= ∆ ∆

=

=∃≠∃

→∆→∆→∆

Таблица производных:

22

22

22

1

1

1 )'(;

1

1 )'(

1

1 )'(arccos;

1

1 )'(arcsin

sin

1 )'(;

cos

1 )'(

sin)'(cos;cos)'(sin

1 )'(ln,1,0,

ln

1 )'(log

)'(;1,0,ln)'(

2

1 )'(;1';)'(;0)'(

x arcctgx

x arctgx

x x

x x

x ctgx

x tgx

xxxx x

xaa ax

x

eeaaaaa

x xxxxc

a

xxxx

+ −=

+ =

− −=

− =

−==

−==

=≠>=

≠>=

==== −µµ µ

3 Таблица производных:

22

22

22

1

1

1 )'(;

1

1 )'(

1

1 )'(arccos;

1

1 )'(arcsin

sin

1 )'(;

cos

1 )'(

sin)'(cos;cos)'(sin

1 )'(ln,1,0,

ln

1 )'(log

)'(;1,0,ln)'(

2

1 )'(;1';)'(;0)'(

x arcctgx

x arctgx

x x

x x

x ctgx

x tgx

xxxx x

xaa ax

x

eeaaaaa

x xxxxc

a

xxxx

+ −=

+ =

− −=

− =

−==

−==

=≠>=

≠>=

==== −µµ µ

Доказательство:

xa

x x

x x

x

x

x

x

x

xxx x

a

x

a

x

aa

x a

1

ln

1

1log

lim

1log

lim

log)(log lim)'(log

00

0

⋅=

= ⋅∆

 

  

 ∆+ =

 

  

 ∆+ =

= ∆

−∆+ =

→∆→∆

→∆

xxu

uuuf

xuuf xx

sin) 2

cos()1(cos

10';cos)('

2/;sin ))'

2 (sin()'(cos

−=−−=−=

= 

  

−== −==

=−=

π

ππ

xx

xx

x

xxx

x

x tgx

22

22

2

1

cos

1

cos

sincos

cos

)'(cossincos(sin)'

cos

sin )'(

=+=

=−= 

  

=

2222

2

2

2

1

1

1

1

cossin

cos

cos cos

1/1

)'(

1 )'(

xytgyy

y

y ytgy

arctgx

+ =

+ =

+ =

====

Дифференциал функции. Определение: Если Х независимая переменная, то дифференциал функции f(x) наз. f’(x)∆x=u обозначают df(x).

)()(

)()()(

)()(')(

)('

xdfxf

xxxdfxf

xxxxfxf

tgxf

≈∆ ∆∆+=∆

∆∆+∆=∆ =

α α

ϕ

Теорема об инвариантной форме первого дифференциала.

df(x)=f’(x)dx Доказательство: 1).

dxxfxdf xxxdx

xxfxdf )(')(

'

)(')( =⇒

  

∆=∆= ∆=

2).

] [ttdxdxtftt tfttftdfxdf

переменнаязависимаяtx

∆==∆⋅ ⋅=∆==

−=

)(')(')('

))((')))'((())(()(

_)(

ϕϕ ϕϕϕ

ϕ

4 Производная высших порядков.

Определение: Производная второго порядка называется производная производной данной функции:

))'('()('' xfxf =

Определение: Производная n-го порядка называется производной производной n-1-го порядка.

))'(()( )1()( xfxf nn −=

Пример:xxxx 623)'3(')'( 23 =⋅==

Используя метод математической индукции несложно показать, что: 1). n-ая производная обладает свойством линейности, т.е.:

)())((

)()())()(( )()(

)()()(

xfcxfc

xgxfxgxf nn

nnn

⋅=⋅ +=+

2). )

2 sin()(sin )(

π nxx n +=

3). )

2 cos()(cos )(

π nxx n +=

4). nn xnx −+−−= µµ µµµ )1)...(1()( )( 5). aaa nxnx ln)( )( = 6). xnx ee =)()(

Дифференцирование функций заданных параметрически.

)('

)('

)('

)(' )(';

)(

)(

tx

ty

dttx

dtty

dx

dy xy

tyy

txx ===

  

= =

Пример 1:

12

43

)'(

)'2( )('..

2 2

2

23

23

2

+ +=

= +

+=   

+= +=

t

tt

tt

tt xyтогда

tty

ttx пусть

возьмем t=1, тогда x=2, y=3; y’(2)=7/3 Пример 2:

( )

3

1

)(' )('1

1

))('(

)('')(')(')(''

)(')('

))('( ))('()(''

tx

txtytxty

txtx

xy xyxy t

tx ty

t x

⋅−⋅=

====

5 Основные теоремы матим. анализа.

1. Теорема Ферма. Если f(x) дифф. в точке x0 и принимает в хтой точке наибольш. или наименьш. значение для некоторой окресности точки x0, то f’(x)=0. Доказательство:

x

xfxxf xf

x ∆ −∆+

= →∆

)()( lim)(' 0

0 0

пусть f(x0) – наибольшая.

0)(';0 0

0)()( ;0_)1 0

0 ≥⇒≥ <∆

≤−∆+ <∆ xf

x

xfxxf x

0)(';0 0

0)()( ;0_)2 0

0 ≤⇒≤ >∆

≤−∆+ >∆ xf

x

xfxxf x

0)('_)2,1 0 =xf

2.Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

3. Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям: 1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b] 2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b) 3). g’(x)≠0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

)('

)('

)()(

)()( :),(

cg

cf

agbg

afbf bac =

− −∈

g(b)≠g(a) (неравны по теореме Ролля).

)())()()(())()()((

))()()((

1)()(

1)()(

1)()(

)(

afbgagbfafbfxg

agbgxf

agaf

bgbf

xgxf

xF

−+−−

−−==

1). F(x) – непрерывна на [a,b] 2). F(x) – дефференцированна на (a,b) 3). F(a)=0 ; F(b)=0 по теореме Ролля сущ. с∈(a,b); F’(с)=0

)('))()(()('))()(()(' xgafbfxfagbgxF −−−= 0)('))()(()('))()((0)(' =−−−⇔= cgafbfcfagbgcF

)('))()(()('))()(( cgafbfcfagbg −=−

)()(

)()(

)('

)('

agbg

afbf

cg

cf

− −=

4.Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест. т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1≠0.

1

)(')()( cf

ab

afbf = − −

6 Правила Лопиталя.

Раскрытие неопределенности. Теорема: Если функция f(x), g(x) дефференцирована в окресности т. а, причем f(a)=g(a)=0 и существует предел

 

  

=∃⇒= →→ 0

0

)(

)( lim

)('

)(' lim A

xg

xf A

xg

xf axax

Доказательство:

Формула Тейлора. Определение: многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке x0 назыв.

n n

n

xx n

xf xx

xf

xx xf

xfxxfT

)( !

)( ...)(

!2

)(''

)( !1

)(' )()),((

0

)( 2

0 0

0 0

00

−++−

+−+=

6)1(''';6)('''

6)('';6)(''

3)(';3)('

1)(;)(

?)1,(

0

0 2

0 3

3 3

== == ==

==

=

fxf

xfxxf

xfxxf

xfxxf

xT Пример:

3

323 3

)1(2)1(3)1(31

)1( !3

6 )1(

!2

6 )1(

!1

3 1)1,(

−+−+−+=

=−+−+−+=

xxx

xxxxT

Определение: остаточным членам формулю Тейлора n-го порядка наз.:

)),(()()),(( 00 xxfTxfxxfR nn −=

Теорема: Если функция F(x) (n+1) – дефферен. в окресности точки x0, то для любого x из этой окресн. сущ. т. с(x0, x)

)!1(

)()( )),((

1 0

)1(

0 + −⋅

= ++

n

xxcf xxfR

nn

n

1 0

0 )1(

0 0

)(

0 0

0

)( )!1(

)( )(

!

)(

...)( !1

)(' )()(

+ +

− +

+−+

++−+=

n n

n n

xx n

xf xx

n

xf

xx xf

xfxf

0 Правила дифференцирования.

2

'' ''

; '

)(')'(;'')'(

''')'();(0'

v

uvvu

v

u

c

u

c

u

constccvcvuvvuuv

wvuwvuconstcc

−= 

  

= 

  

==+= +−=−−==

Производные степенных и тригонометрических функций. Основные формулы:

( )

x ctgx

x tgx

xxxxx

xxx xaxx

x

aa

22

1

2

1 11

sin

1 )'(;

cos

1 )'(

;sin)'(cos;cos)'(sin;1

; 11

; 2

1 ;)'(

−==

−===

−= 

  

== −

Производная сложной функции.

( )

' sin

1 )'(;'

cos

1 )'(

;'sin)'(cos;'cos)'(sin

;' 2

1 ;')'(

22

11

z z

ctgzz z

tgz

zzzzzz

z z

zzazz aa

⋅−=⋅=

⋅−=⋅=

⋅=⋅= −

Производные показательных и логарифмических функций. Основные формулы:

ax e

x x

xxeeaaa

aa

xxxx

ln

1 log

1 )'(log

1)'(ln;)'(;ln)'(

==

===

Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

z

z z

az

z z

zeezaaa

a

zzzz

' )'(ln;

ln

' )'(log

')'(;'ln)'(

==

⋅=⋅⋅=

Производные обратных тригонометрических функций. Основные формулы: ( ) ( )

( ) ( ) 22

22

1

1 ';

1

1 '

1

1 'arccos;

1

1 'arcsin

x arcctgx

x arctgx

x x

x x

+ −=

+ =

− −=

− =

Для сложных функций:

( ) ( )

( ) ( ) 22

22

1

' ';

1

' '

1

' 'arccos;

1

' 'arcsin

z

z arcctgz

z

z arctgz

z

z x

z

z z

+ −=

+ =

− −=

− =

hrhSV

hrV

оснконуса

цилиндра

⋅=⋅⋅=

⋅= 2

3 1

.3 1

2

π

π

yexe

yyx

xey

yx

x

==

+∞∈= +∞−∞∈=

ln;ln

);0(,ln

);(,

7 Аналитические признаки поведения

функции. Теорема: Критерий постоянства фун. Функция f(x)=const на промежутке [a,b], тогда, когда f’(x)=0 на интервале (a,b). Док-во: f(x)=c => f’(x)=c’=0 возьмем ∀x∈[a,b] и применим т. Лангранжа f(x) [a,b] по т. Лангранжа f(x)-f(a)=f’(c)(x-a); c∈(a,x); f(x)-f(a)=0; f(x)=f(a) для любого x => f(x)=const. Теорема: Достаточный признак возрастания функции. Если f’(x)>0, (a,b), то f(x) возрастает на [a,b]. Док-во: возьмем x1, x2 ∈[a,b]: x1<x2 => f(x2)>f(x1) применим т. Лангранжа f(x) на [x1,x2] по этой теореме f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)>0 => f(x2)>f(x1).Замечание: данные условия не являются необходимыми. Теорема: достаточный признак убывания функции. Если f’(x)<0 на (a,b), то f(x) убывает на [a,b]. Док-во 1: подобно предыдущему. Док-во 2: g(x)=-f(x),тогда g’(x)=-f’(x)>0 => g(x) - возрастает => f(x) – убывает. Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [a,b], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (a,b). f(x) возрастает: [a,b]=>f’(x)⊇0 (a,b).

Признаки экстремума функций. Опред: точка x0 называется точкой max (min) если существ. такая окрестность данной точки, что в x0 фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение. Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка max или min данной функции.

Теорема: Необходимый признак экстремума функции. Если х0 точка экстремума f(x), то : 1). Либо не существует f’(x0) 2). Либо f’(x0)=0 Док-во: 1). Не сущест. f’(x0) 2). Сущест. f’(x0) - по т. Ферма f’(x0)=0

Замечание: данные условия не являются достаточными.

0)0('_,)( 3 == fтогдаxxf

8 Поиск наибольшего и наименьшего значения непрерывных функций на

замкнутом промежутке.

наибольшееf

f

наименьшееf

f

xxxx

xfxxxf

xxxf

,16)2(

7)1(

,11413)1(

0)0(

;1;0;0)1(12

;0)(',1212)('

]2,1[,43)(

34

21 2

23

34

= =−

−=⋅−⋅=

= ===−

=−= −−=

Теорема: Первый достаточный признак экстремума функции. Если f’(x)>0 на интервале (x0-б,х0) и f’(x)<0 на интервале (х0,x0+б) т.е. меняет знак с плюса на минус при переходе на точку х0, т.е. х0 – точка максимума f(x), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х0 – точка минимума. Доказательство:

максимуматочкаx

xxxxfxfет

xxубывxfxxxf

xxxxfxfет

xxвозврxfxxxf

_).2,1

),(),()(..

],.[)(),(,0)(').2

),(),()(..

],.[)(),(,0)(').1

0

000

0000

000

0000

−⇒ −∈∀>

−−⇒−< −∈∀>

−−⇒−>

δ δδ

δ δδ

Теорема:Второй достаточный признак максимума функции. Если f(x) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки х0, и: 1). f’(x0)=0 2). f’’(x0)<0 то х0 точка максимума (аналогично, если f’’(x0)<0, то х0 – точка минимума) Док-во: Возьмем окрестность, где вторая производная сохраняет знак и запишем формулу Тейлора 1-го порядка для х из данной окрестности.

00

0 2

0

0 0

0

__),()(

),(,)( !2

)(''

)( !1

)(' )()(

xxлюбогодляxfxf

xxcxx cf

xx xf

xfxf

≠∀>⇒

∈−+

+−+=

Выпуклость графика функции. Опр. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательной проведенной к графику функции на данном интервале.

9 Теорема: Достаточный признак выпуклости графика функции вниз. Если функция f(x) дважды дефференц. на нтервале (a,b) и ее вторая производн. f’’(x)>0 на интервале (a,b), то график функции y=f(x) выпуклый вниз на интервале (a,b).

2

0000 )(!2

)('' ))((')()( xx

cf xxxfxfxfy −+−+==

Уравнение касательной:

))((')(

))((')(:

00

00

xXxfxfY

xXxfxfYlкас −+=

−=−

Возьмем X=x.Из первого вычтем второе

0)( !2

)('' 2 0 >−=−⇒ xx

cf Yy

Поэтому y>Y следовательно график функции расположен выше касательной Аналогично, если f’’(x)<0 на (a,b) то график функции y=f(x) - выпуклый вверх, на данном интервале.

Асимптоты. Опр. Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности.

Опр. Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю. Теорема 1: x=a (вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции y=f(x), тогда когда f(x)→∝, при x→a. Теорема 2: Критерий существования наклонной асимптоты прямая y=kx+b является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при :

)(,))((lim −∞→=− +∞→

xbkxxf x

Док-во: Точка M0(x0,y0) и прямая L: Ax+By+Cz=0, то расстояние

22

00 0 ),(

BA

CByAx lMd

+

++ =

Пусть y=kx+b асимптота => d(M,l)→0=> kx-f(x)+b→0 тогда f(x)-kx→b при x→+∝ существует предел:

10 Теорема: Необходимый признак существования наклонной асимптоты. Если прямая l: y=kx+b –наклонная асимп. для правой наклонной ветви, то: Док-во:

k x

xf k

x

xf

x

b k

x

xf

xbkxxf

xxbkxxf

тогдаbkxxf x

→⇒→−⇒→−−

→−− +∞→→−−

=−∃ +∞→

)( 0

)( 0

)(

0/1))((

)_(;0/1_;)(

,))((lim

Пример: x=1 – верт. Асимптота, т.к. f(x)→∝, когда x→1

1 1

1 lim0

1

1 lim

0 12

1 lim

1 lim

1 lim

21

== 

  

 ⋅− − +=

= −

= − +=+=

+∞→+∞→

+∞→+∞→−+∞→

xx

xx x

xx

x x

x b

xxx

xx k

Вывод: y=0⋅y+1 – наклонная асимптота для левой и правой ветви.

Примерная схема исследования графика функции.

1).Область определения. 2).Четность (нечетность), переодичность, точки пересечения и др. 3). Непрерывность, точки разрыва, вертикальные асимптоты. 4). Исследование на убывание (возвр.) в точках экстремума. 5). Исследование на выпуклость. 6). Построение графика функции. Пример: 1). (-∞,+∞) 2).не периодическая.

)( 11)(

)( 22

xy x

x

x

x xy −=

+ −=

+− −=−

нечетная, если фун. не изменила знак, значит фун. нечетная y=0x=0 3). непрерывная (-∞,+∞) 4).

1;1;01;0)('; )1(

1

)1(

21

)1(

)'1()1(' '

2,1 22

22

2

22

2

22

22

±===−= +

−=

= +

⋅−+= +

+−+=

xxxxy x

x

x

xxx

x

xxxx y

5).

3;0;0)3(20''

)1(

)3(2

)1(

2)1(2)1()1(2

)1(

)')1((1()1()'1(

)1(

1 ''

3,21 2

32

2

42

2222

42

222222'

22

2

±===−−⇔=

+ −−=

+ +−−+−=

= +

+−−+−= 

  

+ −=

xxxxy

x

xx

x

xxxxx

x

xxxx

x

x y

4 3

4 3 )3(;0)0(;)3( ==−=− yyy

6).

0 2

1 lim

1 lim))((lim

0lim )(

lim

2

12

== +

=−=

===

∞→∞→∞→

+

∞→∞→

xx

x kxxfb

xx

xf k

xxx

x

x

xx

y=0⋅x+0;y=0 – наклонная асимптота.

bkxxf x

=− +∞→

))((lim

)(, )(

lim +∞→= +∞→

x x

xf k

x

1

1 )(

− +=

x

x xf

12 + =

x

x y

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome