Введение в квантовую теорию поля - конспекты - Квантовая теория поля 2, Конспекты лекций из Квантовая физика

Скачай Введение в квантовую теорию поля - конспекты - Квантовая теория поля 2 и еще Конспекты лекций в формате PDF Квантовая физика только на Docsity! слеловательно (9, — Рич = [9 (6, — ВЫ + 6). Это дает закон нреобразования У» У, = ИУ, + (6,0) И*. {2.16} Первый член в ур.(2.16) это хорошо известное нрисосдинсннос нрелставление (2.11). Оно может быть разложено но генераторам У, = У„Т*. Второй член также может быть разложен но генераторам как сит". Таким образом, мы нриходим к № — 1 калибровочным нолям У: нреобра- зующимся но нрисослинснному нрепставлению грунны $0 (№). Тенерь локально инвариантный лагранжиан для фермионов в фундаменталь- ном нредставлении нринимаст вид Ср ФИ" О,ф — пФ (2.17) = др — ть — УТ и содержит взаимодействие. Пам необходим также кинетический член для нолей У,, который тоже должен быть калибровочно инвариантным. Чтобы найти сго, рассмотрим коммутатор двух ковариантных нроизводных [Р„р [Р.В =Ир, В, - Р,БЫИ*. в Лействуя на некоторое ноле $, имеем [2,, рф = В, (р.$) — БАБ,» = — (дру, — Эм, [УИ = вы. Согласно у р. (2.14) и (2.15) тензор нанряженности С'„„ обладает следующими свойствами нреобразования „6, =. ву Таким образом кинетический член ковариантный относительно грунны 50(М) есть 1 ии Сдвшае = Зое" ), (2.18) гле д ость число, введенное для нравильной нормировки (см. ниже). Инвариант- НОСТЬ Сддице Следует из свойства матриц: Теа’) = ТКОб „боб и+) = ТеОчО вв") = Те(@ 6»). Рассмотрим тенерь взаимодействие со скалярными нолями. Ренент следую- нолстановка ковариантной нроизводной О, вместо д, в глобально инвари- "БОЕ анжиан, нанример, (2.7). с, = (0,$)+(2*Ф} — У(@+$). (2.19) 26 ОрНтееа изд па! мегбюп мили. Баез Ур. (2.19) очевидно калибровочно-инвариантно. Заметим, что У, = Ур Т®. То же самос снраведливо и для тензора Ст: а», = 9,УаТ — д,удТе — УВ, 7] = = (9, ду + уеузуе) те _ у& — 0 Аа Переонрелеляя ноля И = #А, ‚ имесм 1 киа 1 мы. $) 1 ира 1 и отб) = дбрьа”тАтет = бур" = = вре”, где СУ-иЫ, Бад, АВ О.А + оАР А 71 и мы учли обычную нормировку генераторов в фундаментальном нрепставлении с ТТТ 2 Окончательно, лагранжиан (2.17), (2.18} и (2.19) нринимаст вид: 1 Со = ДВР", (2.20) Суоттю = (ИО, — т) + "АТВ, Си = [9 — ФАБТЗ) ФП [(0" + 19А""Т$)®] — У (Ф*Ф). Имесм следующие замечательные свойства: 1) Единая константа связи 9; и) Пеабелевы калибровочные теории нелинейны, т.с. содержат самодействие калибровочных нолсй естественным образом. 11) калибровочные ноля безмассовы, массовый член нарушил бы калибровочную инвариантность. 2.3.3 Замечание о квантовании калибровочных нолей Имся лагранжиан калибровочных нолей, мы можем нроквантовать сго согласно общим нравилам. Однако, нрямое квантование сталкивается © некоторыми нро- блемами. Чтобы увидсть это, рассмотрим каноническое квантованис. Обобщен- ный канонический имнульс в соответствии с ур. (2.18) имсет вил с р = 50, Аа Еш- в 10 р = 2% = 0. В то же время, мы хотели бы сохранить обычные ком- з соотношения [9,2] = 1. Очевидно, мы имеем нротиворечие. Причина, 27 ОрНтееа изд па! мегбюп мили. Баез 2.3.-" БРСТ инвариантность Можно задаться вонросом: что нроисходит с калибровочной инвариантностью но- слс все х этих нертурбаций? К счастью, ответ слелующий: амнлитулы вссх физи- ческих нроцессов остаются инвариантными. Кратчайший нуть нродемонстриро- вать это ссть тн. БРСТ-инвариантность. Оказывастся, что нолный Лагранжиан Е = Соанце + Сале анту 4 Соло (2.32) инвариантен относительно БРСТ нреобразования : 1 1 рабо с БАБ АРЬЕ", бе" = ОАО, АЬ, 56° = АННЕ (233) где Л есть ностоянный антикоммутирующий нараметр, а @ есть нараметр фикса- ции калибровки. БРСТ инвариантность эквивалентна обычной калибровочной инвариантности в физическом секторе с нараметров калибровочного нреобразования и“ (5) = А+“ (4). Это нозволяет доказать капибровочную инвариантность физических амнлитуд. ЖЖ ЖЖ ЖЖ ЖА 30 ОрНтееа изд па! уегюп мили. Баезю.сот 3 Лекция ПТ Споптаппое парушепия симметрии, Голдстоуповские частицы, Эффект Хиггса. 3.1 Споптаппое парушепие симметрии Нарушение симметрии иногда играст немаловажную роль, чем сама, симметрия. Решая уравнения движения, которые являются дифференциальными уравнениями, нриходится накладывать граничные или начальные условия. Нусть лагранжиан инвариантен относительно некоторой грунны симметрии. А как начальные усло- вия? Сушествуют различные возможности. Нотенциал может иметь симметрич- ные или несимметричные минимумы, они могут быть устойчивыми или неустой- чивыми (см. Рис.3). у у | Зутт. (боягяние] > 1 \ ИК) ` и / к" ци ы а 'Зутит. Авутт ы `Азутит. [бас] ЕВ Зуттему т-В Зуттеку Рис. 3: Споптаппое парушепие симметрии означает несимметричнос граничнос {начальное) условие нри симметричном лагранжиане. Необходимое условие для этого ссть вырождение вакуума. Ночему вакуум столь важен? Нотому, что в КТН частицы ссть квантовые флуктуации ноля ф вокруг низшего энергетичс- ского состояния (вакуума). Ностоянное значение ноля, соответствующее вакууму называется вакуумным ожиданием (во). Как во, так и вид флуктуаций вокруг ного онрелелястся лагранжианом С. Чтобы онределить снектр частиц нужно разложить нотенциал вокруг его ми- нимума Ур) = Уфо НУ бы ьеры и — Фо)+ + 2 =рю(ф; — Фю)(ф; — Фл) +... ОрНтееа изд па! мегбюп мили. Баез Массовая матрица М; = _ву_ 94:95; должна быть диагонализирована для нахождения снектра частиц. [ро (3.1) 3.1.1 Споптаппое парушепия дискретпой симметрии Рассмотрим лагранжиан действительного скалярного ноля, обладающий дискрет- ной симметрией ф $ —ф: т? — 1 2 = 5(9ы+) -= -а#- (3.2) Когда т? > бил > 0 нотенциал имеет минимум о = 0 (Рис. 4а) и массовая матрица имеет вид 9?у . Эр? [50 = ии. ) Рис. 4: Ситуация меняется, когда т? < 0. Подставляя в этом спучает? —$ —т?, нолу- чим Е* = Эр? — т? РОУ ” т Е ” что означает, что снектр частиц содержит тахионное состояние. Однако, этот вывод основан на неустойчивом вакууме фо = 0. Существуют и другие решения т 9?У др? Ра 2 У =о и = =2т”. А Потенциал можст быть неренисан как Е ОрНтееа изд па! уегюп мили. Баез  Рис. 7: Лля сс диагонализации выберсм одно из нолей, фто или фл, равным нулю, скажем $10 = %, фо = 0, тогда 2м 0 М = ( оо ) . (3.8) Таким образом нолсф! = ф1 — в соответствует частице с массой т? = 25? = 22, в то время как нолс $ = $2 оказывается безмассовым. Результат не зависит от выбора вакуумных средних. Для любой точки на окружности носле диагона- лизации вывод будет тем же самым. Лагранжиан в терминах новых нолей нринимаст вид 1 1 , , , А, , = (бы + 50,55)? — МРфР — Мирр + 92) — ЧФР. = (89) 0{2) симметрия более нс очевидна. Она снонтанно нарушсна. Рассмотрим другую нараметризацию ((1) модели. Если занисать комнлексное ноле в нонеречных координатах 1 о) = роде". (3.10) то нроизводная становится де = реке) + ау, так что пагранжиан нриобрстаст ви 1 1 = ро + 0,8) — У, во где У) = + д ЧР 52? (3.12) Мы вилим, что ноле 9 исчезает из нотенциала. Это есть нроявление ((1} сим- метрии. Для нахождения массы частицы, соответствующей ”радиальному” нолю р), разпожим нотенциал вокруг минимума ро = 5. Получим ри) =), те, в то время как Ио = 0 из-за отсутствия квадратичного но 9-члена в лагранжиане нчатсльный вывод следующий: снсктр модели (3.5) нри т? = —? <0 зух частиц, одной массовой и одной безмассовой. 35 ОрНтееа изд па! мегбюп мили. Баез  3.2 Голдстоуновские частицы Присутствие безмассовых частиц не ссть дело случая, но ссть общее свойство извсстное как теорема Голдстоуна, которая утверждает, что когда глобаль- ная ненрерывная симметрия снонтанно нарушена, существует набор безмассовых частиц (голдстоуновских бозонов) в количестве, равном числу нарушенных гс- нераторов. Рассмотрим тенерь обобшенисе этого результата на случай нсабелевой симметрии. 3.2.1 50(2) симметрия 2 антный лагранжиан ссть Пусть ф = ( Я есь комнлексный дублст грунны 310(2). Тогла 50{2) инвари- СЕ д.0" — У(р+ф). (3.13) Если выбрать нотенциал как и рансс в вилс УЕ (тр) + Ар то минимум лостигастся, когда. фр = [2 = 17. Выбирая нараметризацию в форме (3.10) кое" ( о ) (84) д, р(®) = ве [( но) ) не ( Но )} Заметим, что в ур.(3.14) мы имсем 4 действительных ноля: &°, а =1,2,ЗиН. Лагранжиан (3.13) тенерь нриобретает вид с = ов, Нот" } х [аль ие [ нань У = ен, ет Уна. 8.15) нолучаем Это выглядит также как в случае грунны (1), но только три ноля &“,(а = | с 50 (2)) тенсрь оказываются безмассовыми. Н(т} нриобретаст массу чьная 50(2) симметрия болес нс очевидна, но становится ”скрытой” Число безмассовых нолей в общем случае дает 36 Теорема Голдстоуна: Существует столько безмассовых голдетоуновских бозонов, сколько существует направлений в пространстве помей ф; (внутрен- нем пространстве), вдоль которых вакуум вырожден, т.е. не единственен. Рассмотрим преобразовапие вакуума, геперируемые пекоторыми зарядами ()°, а=1,2,..., М. Пусть 90 >70, &=1,2,...М (парушеппые геператоры), @"|0 >=0, пл=М+1....М№ (пепарушеппые геператоры). Согласпо теорсме Петер (ур.(1.40} и ур. (1.14)) .@ @=0= ин, 09. Следовательно [8 9“ >=0 или н(90 >) = 910 >). 846) Уравпепие (3.16) озпачает, что для любого & = 1,2,..., М состояпие (“|0 > выро- ждепо с вакуумпым состоянием |0 >, т.с. соответствует безмассовым возбуждс- пиям, пазываемым голдсетоуповскими бозопами. Поэтому число голдетоуповских бозопов равпо М, числу парушеппых геператоров. Следует сделать два замечапия: 1) число парушеппых геператоров зависит от выбора прелставлепий скалярпых полей; 1) в спучае фермиоппых гсператоров <)" соответствующая частица будет фермиопом. Эта, возможность реализуется в суперсимметричных моделях. Чтобы осозпать псобхолимость бсезмассовых частиц в случас споптаппого па- рушепия симметрии, остаповимся па пскоторых свойствах толдетоуповоских бо- зопов. Рассмотрим преобразование некоторого вектора, состояпия под действием труппы симметрии “| Р) >= |в(®) > но@е(®) > +. где ©) ссть гсператор. Пусть Ча в) > ®, (3.17) где $ = 0 соответствует симметричпому состояпию, а % 52 0 озпачает, что состоя- пие пеипвариаптпо отпосительпо группы преобразовапий. Поскольку = [в можпо пайти матричпый элемепт типа < 0172) и." юизводпую, паходим < 00,7 а( К) >-ь. №. (3.18) 37 ОрНтееа изд па! мегбюп мили. Баез где У($+$) = —-и2$+Ф + ^($+Ф)?> мл 0. В унитарной калибровкс можно онредслить ори 0 Ф(е) = уе (неззь)} , 0 9) = 065 = $ [ночь ) В, =И-ТА,ЙО +0 9,0. Лагранжиан нри этом имеет вид Е = [Р.Ф + ФФ — (ФФ)? — Е, дву“ В) {3.25) Онять голдетоуновские бозоны &* исчезают. Окончательная форма лагранжиана равна 1 1 1 с = РАЕАВУР®А(В) + (0. — РИ? к ВЕВ"" (3.26) 1 1 + ЭРВЕВмИ(ь ++ Н) — №Н* — АН. Он онисываст тринлот массивных вскторных нолей Ва (а = 1,2, 3) с массой Мв = 19% и массивное скалярное нолс Хиггса Н с массой тн = УЗи.Замстим онять сохранение стененей свободы. Следовательно, в результате мы имеем безмассовых нолей в физическом снек- тре: голдстоуновскис бозоны ”съедаются” вскторными нолями, нреврашаясь в их нродольные комнонснты. Остающаяся скалярная частица массивна и обычно называется хиггсовским бозоном. В точности этот эффект имеет место в Стандартной Модели, где И’и 7 - бозоны нриобретают свои массы в результате снонтанного нарушения симметрии с номощью онисанного выше механизма. Это единственный известный на сего- дняшний день механизм, который дает массы калибровочным бозонам, сохраняя в то же время капибровочную инвариантность. Сохранение калибровочной кова- риантности играст ключевую роль в неренормируемости теории {см. ниже). ЖЖЖЕЖЖЖЕЖЯ ЖЖ 40 ОрНтееа изд па! мегбюп мили. Баез 4 Лекция ТУ Взаимодействие, 5-матрица, Теория Возмущений, Правила Фейн- мана. До сих пор мы рассматривали только теорию свободпых полей. Уравпепия дви- жепия были липейпыми и их решепия, удовлетворяющие припципу суперпозиции, были плоскими волпами. Коэффициепты Фурьс-разложспия были кваптовапы. 4.1 Взаимодействие Как ввести взаимюдействие кваптовых полей? Взаимодействие озпачает пелипей- пость уравиепий движспия, которая, в свою очерель, озпачает присутствие поли- помов высшего порядка в лаграпжианс. Что происходит при этом со свободпыми состояпиями, которые являются собствеппыми состояпиями свободпого тамиль- топиапа? Существуют две возможности: 1 сильпая деформация спектра: повые собствеппые состояпия, повыс решспия уравпепий движения, и т.п.; Н) слабая деформация свободпой теории, т.е. слабая пертурбация свободпого движепия. По- следпяя ситуация символически показана па Рис.7. Опа осповывается па, следую- шей гипотезе: Существует предел слабой связи и разложепие по теории возму- шепий. Если это так, то теория возмущепий даст пам, как в кваптовой мсхапикс, регулярпый способ построепия амплитуд рассеяпия. Нмегасцо тебол. Деерафою — Неершвле Рис. 8: 4.1.1 Представлепие взаимодействия Рассмотрим урависпие Шредипгера для амплитуды 90) 3 = Ноф(#) 9 с решением $) = еныф, (4.1) тде Ф - копстапта, (пе зависящая от времепи). Для взаимодействующей системы ‚| редипгера есть [ = (№ + НУ). 41 ОрНтееа изд па! мегбюп мили. Баез Решенис тенсрь дастся ур. (4.1), однако Ф нс является болсе константой, а уло- влетворяст уравнению .ОФ(Е $ о ) _ ево Не (у), или 9% + а = НКО, (4.2) тле НИ = [4 Н(<) есть гамильтониан в т.н. представлепии взаимодей- ствия. Ур.(4.2) называется уравнением Шредингера в нрелставлении взаимодей- ствия. Для онределения среднего значения любого онератора В можно нользоваться как нредставлением Шредингера, так и нредставленисм взаимолействия, В, = 9*®Вф(® = Ф* (бен Ве (ь = $"()В)Ф0. 4.2 Матрица рассеяния (3-матрица) Предноложим, что взаимодействие адиабатически исчезает нри $ —? со. Тогда З-матрица онределястся как $ = 5Ф(—00). (4.3) З-матрица, как онератор, характеризуется своими матричными элементами Зав =< В|$|а >, гле |@ > и < 8| суть начальные и конечные состояния, соответственно. Вероят- ность нсрехода Р дастся квадратом модуля элемента -матрицы: Р -- |в|?. Чтобы найти явное выражение для 5-матрицы, рассмотрим уравнение Шре- дингера (4.2) но теории возмущений. Для этой цели онрелелим сначала конечно- временной онсратор 5(, &} такой, что $() = 9, в) (в). (4.4) Подставляя сго в ур.(4.2), исходим : . и 5,6) =1— [ нае (9? [ (Рае [ на +, (4.5) 5 5 ь где Н(ф) = НК®. Рассмотрим область интегрирования во втором слагаемом в ур. {4.5). Она ноказана на Рис. 9а (заштрихованный треугольник}. Изменяя норялок интегрирования, мы можем неренисать носледний член как | д ] аенан(”) 5 и 42 ОрНтееа изд па! мегбюп мили. Баезю.сот Последний член обычно называстся нормальным снариванием и являстся С- числом (нс онератором). Т-нроизводение может быть выражено в терминах М№- нроизведений А.В, > :АВ: АВ т(иеви) = | В.А, су ={ :ВА:+ВА Замстим, что : АВ ВА :, слеловательно Т(А(е)В(у)) =: А()В(у) : +А(®) Ву), где ВА), “< называется хронологическим снариванием (С-числом Давайте найдем хронологическое снаривание для скалярного ноля. Согласно ур. (1.51) имеем явзв = { А(т)В(у), 2 > у ф(аеур (у) = —Р^ (а — )0(?° — у) + 2+5 у’ — 17) = -М а -у), гле 0“(2) есть нричинная функция Грина. Для сведения Т-нроизведения нескольких онераторов к М-нроизведению, может быть нрименена следующая теорема: Теорема Вика: 1.Произведение п линейных операторов равно сумме нормальных произведе- ний этих операторов со всевозможными спариваниями, включая член без спари- вания. 8. Т-произведение п линейных операторов равно сумме нормальных произведе- ний этих операторов со всевозможными тронологическими споривониями, включая член без спаривания. Чтобы нроиллюстрировать эту теорсму, рассмотрим нроизведение четырех онсраторов: ААА = АААЗАа: + ААА: + ААА: +: А ААА: + ААЗАа: + АДА: + АДА: + ААА: + ВАА: +: ААА : В случае Т-нроизведения, все снаривания следует заменить хронологическими сна- [Е ОрНтееа изд па! уегюп мили. Баез 4.3.1 Причинные функции Грина свободных нолей Рассмотрим свободные уравнения движения в нрисутствии источника {О пра) = Ла), (4.13) где Т(т) ссть внешний источник скалярного ноля. Решение может быть найдено с номощью функции Грина Ф(®) = [чве- уу), где функция Грина С'(2) уловлетворяст уравнени (2- =2)2 а) = -5(». (4.14) Решение ур. (4.14) может быть найдено в имнульсном нредставлении 1 ей в) = ола [4% 4.15 @) (21)1 7 т? {2 415) ур. (4.15) содержит нолюс нри Ао = Е \/т? + ©. Это означает, что мы должны онределить контур интегрирования, чтобы избежать нолюса. Однако, различные контуры интегрирования нриводят к различным свойствам функций Грина. При- чинная функция Грина Р“(») = 9(а°)р` («) — 9) РБ“ (2) соответствует следукищему выбору контура интегрирования 1 в #2 10° в) — м . 41 а (2) (от [из В 60 (4.16) ноказанному на Рис. 10. Причинные функции Грина для снинорного и векторного их Рис. 10: нолей строятся в нолной аналогии с ур. (4.16) е — 5 в 1 ей (т + аз а _ Яузе) = (бе т)в р") = ей (ат) 9.0, те = бы +2 0), тэ 0, (4.18) с дидь с Буре) = (ды + р Ч) Р“(а), т =0. (4.19) 46  4.4 Правила Фейнмана 4.4.1 Правила Фейнмана в х-нространстве З-матричные элементы в теории возмушений донускают весьма наглядное графи- ческое нредставленис, известное как нравило Фейнмана: и: (хуи (у) & 1 } нронагатор, х У ч(2) > ; внешняя линия А : А(«)В(<)...: + = вершина Пример 1. Сг=-А: (5): 5 — матр. элемент Графическое нрепставление с ол: оща: , 51 (2) =-А: 0): ЧАС 55 (т, у) = РАТИ: 91 (5) 19) } (теорема Вика) =: ое): жж их 16 ре) у) : ру) : 96 (рее) : ра) фи) : г < ЧЕТВ (реф) : (у) : > — > АР (е)р)* х => у Мы нриняли во внимание комбинаторные факторы. Графичсскис нравила могут быть иснользованы для ностроения 5-матричных элементов без иснользования те- оремы Вика. Обычно гораздо удобнее рисовать графики, нринимая во внимание [РОЕ 1с факторы. 2. ОЕО 2: =е: РАФ : 47