Задачи по Финансовой математике  - упражнение -  Финансовая математика (7), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по Финансовой математике - упражнение - Финансовая математика (7), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (174.1 KB)
15 страница
276количество посещений
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Финансовая математика. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Часть 7.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 15
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по Финансовой математике, 6 вариант - контрольная работа - Финансовая математика

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Кафедра экономико-математических методов и моделей

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Финансовая математика

тема:

«Задачи по Финансовой математике, 6 вариант»

МОСКВА – 2008 г.

2

Задание 1

В табл. 1.1 представлены следующие данные

Таблица 1.1 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y(t) 85 81 78 72 69 70 64 61 56

1. Оценить точность построенной модели с использованием средней

относительной ошибки аппроксимации;

2. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения

d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при

критическом значении r1 = 0,32;

• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с

критическими значениями от 3 до 4,21.

3. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед.

4. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к

значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

( ) tbatYp ×+= )0()0( Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты

линейного уравнения по формулам:

43,3 60

206

)(

)())(( )0(

2 −=−=

− −×−

= ∑

ср

срср

tt

ttYtY b

817,875*)43,3(667,70)0()0( =−−=×−= срср tbYa

Таблица 1.2

t y(t) )( tt − 2)( tt − ))(( yty − 2))(( yty − ))((*)( ytytt −−

3

1 85 -4 16 14,3333 205,4444 -57,3333 2 81 -3 9 10,3333 106,7778 -31,0000 3 78 -2 4 7,3333 53,7778 -14,6667 4 72 -1 1 1,3333 1,7778 -1,3333 5 69 0 0 -1,6667 2,7778 0,0000 6 70 1 1 -0,6667 0,4444 -0,6667 7 64 2 4 -6,6667 44,4444 -13,3333 8 61 3 9 -9,6667 93,4444 -29,0000 9 56 4 16 -14,6667 215,1111 -58,6667

Сумма 45 636 0 60 0,0000 724,0000 -206,0000 Среднее 5 70,6667

Произведем расчет:

667,70636 9

1 )(

1 =×=×= ∑ tY N

Yср

545 9

11 =×=×= ∑N N

tср

Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

( ) ttYp 43,3817,87 −=

Для сопоставления фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной

модели значений Yp(t) составим таблицу (табл. 1.3).

Таблица 1.3 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y(t) 85 81 78 72 69 70 64 61 56

Yp(t) 84,387 80,957 77,527 74,097 70,667 67,237 63,807 60,377 56,947

Зависимость между компонентами тренд – сезонный временный ряд

мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным

ростом имеет следующий вид:

( ) ( ) ( )[ ] ( )LktFtbktaktYp −+××+=+ ,

где k – период упреждения;

( )tYp - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

( ) ( ) ( )tFtbta и , - коэффициенты модели;

4

( )LktF −+ - значение коэффициента сезонности того периода, для которого

рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности.

Уточнение коэффициентов модели производится с помощью формул:

a(t) = α1 * Y(t)/F(t-L) + (1-α1) * [a(t-1)+b(t-1)];

b(t) = α3 * [a(t)-a(t-1)] + (1-α3) * b(t-1);

F(t) = α2 * Y(t)/a(t) + (1-α2) * F(t-L)

Параметры сглаживания равны:

α1 = 0,3

α2 = 0,6

α3 = 0,3

Построение модели Хольта-Уинтерса.

t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t) -3 0,99184 -2 1,02081 -1 1,00456 0 87,817 -3,43 0,99101 1 85 84,78076 -3,31187 0,99829 84,387 2 81 80,83280 -3,50270 1,02081 80,957 3 78 77,42478 -3,47429 1,00456 77,527 4 72 73,56131 -3,59105 0,99101 74,097 5 69 69,71471 -3,66771 0,99829 70,667 6 70 66,80475 -3,44039 1,02081 67,237 7 64 63,46785 -3,40934 1,00456 63,807 8 61 60,50698 -3,27480 0,99101 60,377 9 56 56,89137 -3,37704 0,99829 56,947

10 54,628 11 50,366 12 46,3398 13 43,3089 Сумма 45 636

Среднее 5 70,66667

5

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t)

(разности )()( tYtY p− между фактическими и расчетными значениями экономического

показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и

адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 1.4.

Таблица 1.4 Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t E(t) Точка поворота E(t)2 [E(t)-E(t-1)] [E(t)-E(t-1)]2 E(t)*E(t-1) 1 0,613 - 0,375769 - - - 2 0,043 1 0,001849 -0,57 0,3249 0,026359 3 0,473 1 0,223729 0,43 0,1849 0,020339 4 -2,097 1 4,397409 -2,57 6,6049 -0,991881 5 -1,667 0 2,778889 0,43 0,1849 3,495699 6 2,763 1 7,634169 4,43 19,6249 -4,605921 7 0,193 1 0,037249 -2,57 6,6049 0,533259 8 0,623 1 0,388129 0,43 0,1849 0,120239 9 -0,947 - 0,896809 -1,57 2,4649 -0,589981

Сумма 45 -0,003 6 16,734001 -1,56 36,1792 -1,991888

Проверка точности модели.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации

Таблица 1.5

t Y(t) Yp(t) Е(t) Абс.Ошибка Относ.Ошибка,% 1 85 84,387 0,613 0,613 0,7212 2 81 80,957 0,043 0,043 0,0531 3 78 77,527 0,473 0,473 0,6064 4 72 74,097 -2,097 2,097 2,9125 5 69 70,667 -1,667 1,667 2,4159 6 70 67,237 2,763 2,763 3,9471 7 64 63,807 0,193 0,193 0,3016 8 61 60,377 0,623 0,623 1,0213 9 56 56,947 -0,947 0,947 1,6911

Сумма 45 636 -0,003 9,419 13,6702 Среднее 5 70,6667 1,0466 1,51891

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная

погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое

6

значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не

превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет

13,6702, что дает среднюю величину 13,6702/9 = 1,51891%, что не превышает 5%.

Следовательно, условие точности выполнено.

Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков

E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных

уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной

компоненты (гр. 3 табл. 1.4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для

этого каждый уровень ряда Е ( )t сравниваем с двумя соседними. Если он больше

(либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 4 табл.

1.4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 4 ставится 0. В первой и в

последней строке гр. 4 табл. 1.4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого

уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=6.

Рассчитаем значение q :

( ) ( )[ ]90/291623/22int −−−= NNq Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть.

При N = 9.

( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] 24059,2int2608,26667,4int90/11523/14int90/2991623/292int ==−=−=−×−−=q

Так как количество поворотных точек р=6 больше q=2, то условие случайности

уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции).

Проверку проводим по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические

уровни d1=1,10 и d2=1,37):

7

( ) 162,2

734001,16

1792,36

)(

)1()( 2

2

== −−

= ∑

tE

tEtE d

Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:

1,8382,1624/ =−=d d2<d<2, таким образом в нашем примере 1,37<1,838<2, следовательно уровни

ряда остатков являются независимыми.

Это значение не попадает в критический интервал, ряд остатков не коррелирован.

Предпосылка выполнена.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем

по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

( ) SEERS /minmax −= ,

где maxE - максимальное значение уровней ряда остатков ( )tE ;

minE - минимальное значение уровней ряда остатков ( )tE ( )4.1 . 2. таблгр ;

S – среднее квадратическое отклонение.

( ) 86,4097,2763,2 ,097,2 ,763,2 minmaxminmax =−−=−−== EEEE ;

44629,1 8

734001,16

1

)( 2 ==

− = ∑

N

tE S

3603,344629,1/86,4 ==RS

Так как 3,00<3,3603<4,21, полученное значение RS попало в заданный

интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены, и

можно утверждать, что данная модель является качественной.

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре шага вперед (т.е. с t=10 по t=13). Максимальное

значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты ( )ta и ( )tb

определяется количеством исходных данных и равно 9. Рассчитав значения ( )9a и ( )9b (см. табл. 1.4) по формуле:

8

( ) ( ) ( )[ ] ( )LktFtbktaktYp −+××+=+ ,

где k – период упреждения;

( )tYp - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

( ) ( ) ( )tFtbta и , - коэффициенты модели;

( )LktF −+ - значение коэффициента сезонности того периода, для которого

рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 10,

11, 12 и 13.

[ ] [ ] 628,540208,1)38,3(189,56)419()9(1)9()10( =×−×+=−+××+= FbaYp

[ ] [ ] 366,500046,1)38,3(289,56)429()9(2)9()11( =×−×+=−+××+= FbaYp [ ] [ ] 3398,46991,0)38,3(389,56)439()9(3)9()12( =×−×+=−+××+= FbaYp

[ ] [ ] 3089,43998,0)38,3(489,56)449()9(4)9()13( =×−×+=−+××+= FbaYp

На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и

расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения на 4 шага вперед. Из

рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что

говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

расчетные данные фактические данные

Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных

9

Задание 2

В таблице 2.1 даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия)

за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Рассчитать:

• экспоненциальную скользящую среднюю;

• момент;

• скорость изменения цен;

• индекс относительной силы;

• % R, % К, % D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить

на основании имеющихся данных.

Таблица 2.1

Дни Цены

макс. мин. закр.

1 595 580 585 2 579 568 570 3 583 571 578 4 587 577 585 5 586 578 582 6 594 585 587 7 585 563 565 8 579 541 579 9 599 565 599 10 625 591 618

Решение

Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:

1)1( −×−+×= ttt EMAkCkEMA ,

где k = 2 / (n + 1),

tC - цена закрытия t-го дня;

tEMA - значение EMA текущего дня t.

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня tC и цены n

дней тому назад ntC − :

10

nttt CCMOM −−=

где tC - цена закрытия t-го дня.

tMOM - значение МОМ текущего дня t.

Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены

текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

%100×= −nt

t t C

C ROC ,

где tC - цена закрытия t-го дня.

tROC - значение ROC текущего дня t.

Результаты расчетов представим в таблице (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Дни

Цена закрыт

ия

Экспонен

циальная скользяща

я средняя EMAt

Момент MOM

Скорость изменения цен ROC

Повыше

ние цены

Пони

жение цены

Сумма повыше

ний

Сумма пони

жений

Индекс относитель

ной силы RSI

1 585 - - - - - - - - 2 570 - - - 15 - - - -

3 578 - - - - 8 - - -

4 585 - - - 7 - - - -

5 582 580,0000 -5,0000 99,487179 - 3 - - -

6 587 582,3333 12,3333 102,98246 5 27 11 71,05

7 565 576,5556 -1,4444 97,750865 - 22 12 33 26,67

8 579 577,3704 -7,6296 98,974359 14 - 26 25 50,98

9 599 584,5802 2,5802 102,92096 20 - 39 25 60,94

10 618 595,7201 8,7201 105,28109 19 - 58 22 72,50

K = 2/(n+1)= 2/6=0,33333

Для расчета индекса относительной силы используем формулу:

ADAU RSI

/1

100 100

+ −= ,

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

11

Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:

)/()(100% 555 LHCHR tt −−×= ,

где tR% - значение индекса текущего дня t;

tC - цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 – минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней,

включая текущие.

)/()(100% 555 LHLCK tt −−×= ,

где % - значение индекса текущего дня t;

tC - цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней,

включая текущие.

Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что

при его построении величины )( 5LCt − и )( 55 LH − сглаживают, беря их трехдневную

сумму.

100 )(

)( %

2 55

2 5

× −

− = ∑

−=

−= t

ti

t

ti t

t

LH

LC D

Результаты расчетов представим в таблице 2.3

Таблица 2.3

Дни t

Максима

льная цена за день Ht

Миним

альная цена за день Lt

Цена закрыт

ия Ct

Максима

льная цена за 5 дней H5

Миним

альная цена за 5 дней

L5 Ct-L5 H5-L5 H5-Ct % K % R

Сумма за 3 дня

Ct-L5

Сумма за 3 дня

H5-L5 % D

Медлен

ное % D

1 595 580 585 - - - - - - - - - - -

2 579 568 570 - - - - - - - - - - -

3 583 571 578 - - - - - - - - - - -

4 587 577 585 - - - - - - - - - - -

5 586 578 582 595 568 14 27 13 51,8519 48,1482 - - - -

6 594 585 587 594 568 19 26 7 73,0770 26,9231 - - - -

7 585 563 565 594 563 2 31 29 6,45161 93,5484 35 84 41,667 -

8 579 541 579 594 541 38 53 15 71,6981 28,3019 59 110 53,636 -

9 599 565 599 599 541 58 58 0 100 0 98 142 69,014 54,7724

10 625 591 618 625 541 77 84 7 91,6667 8,33333 173 195 88,718 70,4561

Задание 3

3.1. Банк выдал ссуду, размером 4 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 10.01.02,

возврата 20.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты

рассчитываются по простой процентной ставке 45% годовых. Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

3.1.1) К = 365, t = 69, I = 4000000 * 0,45 * 69 / 365 = 340 273,97 руб.

3.1.2) К = 360, t = 69, I = 4000000 * 0,45 * 69 / 360 = 345 000,00 руб.

3.1.3) К = 360, t = 70, I = 4000000 * 0,45 * 70 / 360 = 350 000,00 руб.

3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 4 000 000 руб.

Кредит выдан под 45% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная

сумма и дисконт?

Решение

P = S / (1 + ni) = 4000000 / (1 + 0,45 * 90 / 360) = 3 595 505,62 руб.

D = SP = 4000000 – 3595505,62 = 404 494,38 руб.

3.3. Через 90 предприятие должно получить по векселю 4 000 000 руб. Банк

приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 45%

годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и

дисконт.

Решение

D = Snd = 4000000 * 0,45 * 90 / 360 = 450 000,00 руб.

P = SD = 4000000 – 450000 = 3 550 000,00 руб.

2

3.4. В кредитном договоре на сумму 4 000 000 руб. и сроком на 5 лет,

зафиксирована ставка сложных процентов, равная 45% годовых. Определить

наращенную сумму.

Решение

S = P * (1+i)n = 4000000 * (1 + 0,45)5 = 25 638 936,25 руб.

3.5. Ссуда, размером 4 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты сложные,

ставка 45% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную

сумму.

Решение

N = 5 * 4 = 20

S = P * (1+j / m)N = 4000000 * (1 + 0,45 / 4)20 = 33 733 420,84 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты

4 раза в год, исходя из номинальной ставки 45% годовых.

Решение

= (1 + j / m) m - 1 = (1 + 0,45 / 4)4 – 1 = 0,5318, т.е. 53,18%.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении

процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 45% годовых.

Решение

j = m * [(1 + ) 1/m - 1] = 4 * [(1 + 0,45)(1/4) – 1] = 0,3894, т.е. 38,94%.

3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 4 000 000 руб.

Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная

процентная ставка 45% годовых.

3

Решение

рубSv i

SP n n

85,050624)45,01( 4000000 )1(

1 5 =+×== +

= −

3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 4 000 000 руб. Банк

учел вексель по учетной ставке 45% годовых. Определить дисконт.

Решение

P = S (1 – dсл) n = 4000000 * (1 – 0,45)5 = 201 313,75 руб.

D = SP = 4000000 – 201313,75 = 3 798 686,25 руб.

3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по

4 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой

ставке 45%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение

.31,64291155 1)4/45,01(

1)4/45,01( 4000000

1)/1(

1)/1( 4

5*4(

руб mj

mj RS

m

mn

= −+ −+×=

−+ −+×=

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome